2.2 第2课时　基本不等式的应用 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，通过典型例题精研析构建学习支架，涵盖不等式证明、实际问题解决及几何应用三大题型，衔接不等式性质与最值求解，形成从理论到实践的知识脉络。 其亮点在于突出通性通法总结与分层训练，以数学思维引导推理运算，如运输成本优化、矩形翻折面积最值等实例，培养学生用数学眼光抽象现实问题的能力。学生能提升应用意识，教师可借助随堂检测与分级习题高效落实核心素养。

第2课时　 基本不等式的应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 利用基本不等式证明不等式 【例1】　已知 a ＞0， b ＞0， c ＞0，且 a ＋ b ＋ c ＝1.求证： ≥8. 目录 数学·必修第一册 证明：因为 a ＞0， b ＞0， c ＞0， a ＋ b ＋ c ＝1， 所以 －1＝ ＝ ≥ ， 同理 －1≥ ， －1≥ . 上述三个不等式两边均为正值，分别相乘， 得 ≥ · · ＝8. 当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ 时，等号成立. 目录 数学·必修第一册 通性通法 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性 质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所求证的问题，其 特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”； （2）注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意 使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成 基本不等式模型再使用. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　已知 a ， b ， c 为不全相等的正实数.求证： a ＋ b ＋ c ＞ ＋ ＋ . 证明：因为 a ＞0， b ＞0， c ＞0，所以 a ＋ b ≥2 ， b ＋ c ≥2 ， c ＋ a ≥2 .所以2（ a ＋ b ＋ c ）≥2（ ＋ ＋ ），即 a ＋ b ＋ c ≥ ＋ ＋ ，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号 成立.由于 a ， b ， c 为不全相等的正实数，故等号不成立.所以 a ＋ b ＋ c ＞ ＋ ＋ . 目录 数学·必修第一册 题型二 基本不等式的实际应用 【例2】　某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物， 运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用 与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其他费用为每小时 800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时. 目录 数学·必修第一册 （1）请将该货轮从甲地到乙地的运输成本 y （元）表示为航行速度 x （海里/时）的函数； 解： 由题意，每小时的燃料费用为0.5 x2元，从甲地到乙 地所用的时间为 小时， 则 y ＝0.5 x2· ＋800· ＝150· （0＜ x ≤50）. 目录 数学·必修第一册 （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速 度行驶？ 解： 由（1）得 y ＝150 ≥300 ＝12 000， 当且仅当 x ＝ ，即 x ＝40时取等号. 故当货轮的航行速度为40海里/时时，能使该货轮从甲地到乙地 的运输成本最少. 目录 数学·必修第一册 通性通法 利用基本不等式解决实际问题的步骤 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2（图 中阴影部分），上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白 部分面积的最小值是 dm2. 56　 目录 数学·必修第一册 解析：设阴影部分的高为 x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积 为 y dm2.由题意，得 y ＝（ x ＋4）· －72＝8＋2 ≥8 ＋2×2 ＝56.当且仅当 x ＝ ，即 x ＝12时等号成立. 目录 数学·必修第一册 题型三 基本不等式在几何中的应用 【例3】　如图所示，设矩形 ABCD （ AB ＞ BC ）的周长为24，把它 沿 AC 翻折，翻折后AB'交 DC 于点 P ，设 AB ＝ x . 目录 数学·必修第一册 （1）用 x 表示 DP ，并求出 x 的取值范围； 解： 矩形 ABCD （ AB ＞ BC ）的周长为24， ∵ AB ＝ x ，∴ AD ＝ － x ＝12－ x ， ∵ AB ＞ BC ＝ AD ，得 x ＞12－ x ，∴6＜ x ＜12， 在△ APC 中，∠ PAC ＝∠ PCA ，∴ AP ＝ PC ，从而得 DP ＝PB'， ∴ AP ＝AB'－PB'＝ AB － DP ＝ x － DP ，在Rt△ ADP 中，由勾股 定理得（12－ x ）2＋ DP2＝（ x － DP ）2， ∴ DP ＝12－ （6＜ x ＜12）. 目录 数学·必修第一册 （2）求△ ADP 面积的最大值及此时 x 的值. 解： 在Rt△ ADP 中， S△ ADP ＝ AD · DP ＝ （12－ x ）（12－ ）＝108－（6 x ＋ ）（6＜ x ＜12）. ∵6＜ x ＜12，∴6 x ＋ ≥2 ＝72 ， 当且仅当6 x ＝ ，即 x ＝6 时，等号成立. ∴ S△ ADP ＝108－（6 x ＋ ）≤108－72 ， ∴当 x ＝6 时，△ ADP 的面积取得最大值108－72 . 目录 数学·必修第一册 通性通法 利用基本不等式求几何中最值问题的思路 （1）依据题意设出变量，将所求量用所设变量表示； （2）构造基本不等式模型，将其变形为满足基本不等式成立的形 式； （3）数学运算求得最值，再返回到原几何问题中给出解答. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛 AMPN ， 要求点 B 在 AM 上，点 D 在 AN 上，且对角线 MN 过点 C ，已知 AB ＝4 米， AD ＝3米，当 BM ＝ 米时，矩形花坛 AMPN 的面积最小. 4　 目录 数学·必修第一册 解析：设 BM ＝ x （ x ＞0），则由 DC ∥ AM 得 ＝ ，解得 ND ＝ ，∴矩形 AMPN 的面积为 S ＝（4＋ x ）（3＋ ）＝24＋3 x ＋ ≥24＋2 ＝48，当且仅当3 x ＝ ，即 x ＝4时等号成立.∴当 BM ＝4米时，矩形花坛 AMPN 的面积最小. 目录 数学·必修第一册 1. ∃ x ＞0，使得 ＋ x － a ≤0，则实数 a 的取值范围是（　　） A. a ＞2 B. a ≥2 C. a ＜2 D. a ≤2 解析：∃ x ＞0，使得 ＋ x － a ≤0，等价于 x ＞0时 a ≥ ，∵ x ＋ ≥2 ＝2，当且仅当 x ＝1时等号成立，∴ a ≥2. 目录 数学·必修第一册 2. 用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积 为（　　） A. 9 cm2 B. 16 cm2 C. 4 cm2 D. 5 cm2 解析： 　设矩形模型的长和宽分别为 x ， y ，则 x ＞0， y ＞0，由 题意可得2（ x ＋ y ）＝8，所以 x ＋ y ＝4，所以矩形模型的面积 S ＝ xy ≤ ＝ ＝4，当且仅当 x ＝ y ＝2时，等号成立，所以当 矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2. 目录 数学·必修第一册 3. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部 分），矩形花园面积的最大值为 ⁠. 400　 目录 数学·必修第一册 解析：由题意设矩形花园的长为 x （ x ＞0），宽为 y （ y ＞0），矩形花园的面积为 xy ，根据题意作 图，如图，因为花园是矩形，则△ ADE ∽△ ABC ， 所以 ＝ ，又因为 AG ＝ BC ＝40，所以 AF ＝ DE ＝ x ， FG ＝ y ，所以 x ＋ y ＝40，由基本不等式x ＋ y ≥2 ，得 xy ≤400，当且仅当 x ＝ y ＝20时等号成立，此时矩形花园面积最大，最大值为400. 目录 数学·必修第一册 4. 已知 a ， b ， c ＞0，求证： ＋ ＋ ≥ a ＋ b ＋ c . 证明：∵ a ， b ， c ＞0，利用基本不等式可得 ＋ b ≥2 a ， ＋ c ≥2 b ， ＋ a ≥2 c ， ∴ ＋ ＋ ＋ a ＋ b ＋ c ≥2 a ＋2 b ＋2 c ， ∴ ＋ ＋ ≥ a ＋ b ＋ c ，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，等号成立. 目录 数学·必修第一册 　基本不等式的拓广 阅读下列材料： 二元基本不等式：设 a ， b 为正数，则 ≥ ，当且仅当 a ＝ b 时 等式成立. 证明：因为（ a ＋ b ）2－4 ab ＝（ a － b ）2≥0，所以（ a ＋ b ）2≥4 ab ，从而得 ≥ ，当且仅当 a ＝ b 时等式成立. 三元基本不等式：设 a ， b ， c 为正数，则 ≥ ，当且仅 当 a ＝ b ＝ c 时等式成立. 目录 数学·必修第一册 证明：设 d 为正数，由二元基本不等式， 得 ＝ ≥ ≥ ，当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ d 时，等式成立. 令 d ＝ ，即 a ＋ b ＋ c ＝3 d ，代入上述不等式，得 d ≥ ， 由此推出 d3≥ abc ，因此 ≥ ，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等式 成立. 目录 数学·必修第一册 【问题探究】 1. 当满足什么条件时，可以利用三元基本不等式求 的最 小值？ 提示：当 a ， b ， c 均为正数，且 a ， b ， c 能取到相等的值时，可 以利用三元基本不等式求 的最小值. 目录 数学·必修第一册 2. 利用上述结论证明：已知 a ， b ， c 均为正实数，求证：（ a ＋ b ＋ c ）· ≥9. 提示：∵ a ， b ， c 均为正实数，∴ a ＋ b ＋ c ≥3 ＞0， ＋ ＋ ≥3 ＞0， ∴（ a ＋ b ＋ c ）· ≥3 ·3 ＝9， 当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号成立. 目录 数学·必修第一册 【迁移应用】 1. 利用上述结论求解：设 a ＞0， b ＞0， c ＞0， a ＋ b ＋ c ＝1，求（1 － a ）（1－ b ）（1－ c ）的最大值. 解：因为 a ＞0， b ＞0， c ＞0， ≥ ， 所以 abc ≤ ，又因为 a ＋ b ＋ c ＝1， 所以0＜1－ a ＜1，0＜1－ b ＜1，0＜1－ c ＜1， 所以（1－ a ）（1－ b ）（1－ c ）≤ ＝ ， 当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ 时，等号成立. 所以（1－ a ）（1－ b ）（1－ c ）的最大值为 . 目录 数学·必修第一册 2. 利用上述结论的推广求解：已知 a ， b ， c 均为正实数，求 · 的最小值. 解：∵ ＝3＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ≥3＋6 ＝9， 当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号成立. ∴ 的最小值为9. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 文具店的某种商品的年进货量为1 000件，分若干次进货，每次进 货量相同，且所需运费为10元，运来的货物需租仓库存放，一年的 租金按一次进货量的一半来计算，每件2元.为使一年的运费和租金 最省，每次进货量应为（　　） A. 20件 B. 500件 C. 100件 D. 250件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 设每次进货量为 x 件，一年的运费和租金总费用为 y 元. 由题意，得 y ＝10· ＋2· ＝ ＋ x ≥2 ＝200，当 且仅当 x ＝100时取等号.故为使一年的运费和租金最省，每次进货 量应为100件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的 底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的 最低总造价是（　　） A. 80元 B. 120元 C. 160元 D. 240元 解析： 　设底面相邻两边的长分别为 x m， y m，总造价为 T 元， 则 xy ·1＝4⇒ xy ＝4. T ＝4×20＋（2 x ＋2 y ）×1×10＝80＋20（ x ＋ y ）≥80＋20×2 ＝80＋20×4＝160（当且仅当 x ＝ y ＝2时 取等号）.故该容器的最低总造价是160元.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. 将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框 架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的 是（　　） A. 6.5 m B. 6.8 m C. 7 m D. 7.2 m 解析： 　设两直角边分别为 a ， b ，直角三角形的框架的周长为 l ，则 ab ＝2，∴ ab ＝4， l ＝ a ＋ b ＋ ≥2 ＋ ＝ 4＋2 ≈6.828（m），当且仅当 a ＝ b ＝2时等号成立.故C既够 用，浪费也最少. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 为教室消毒，向室内喷洒某消毒液，已知室内消毒液浓度 C （单 位：mg/L）随时间 t （单位：min）的变化关系为 C ＝ ，则经 过 min后室内消毒液浓度达到最大. 解析：由题意可得 t ＞0， C ＝ ＝ ≤ ＝2，当且仅当 t ＝ ，即 t ＝5时取等号. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批 生产 x 件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为 1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小， 每批应生产产品（　　） A. 30件 B. 60件 C. 80件 D. 100件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 y 元，则 y ＝ ＝ ＋ ≥2 ＝30，当且仅当 ＝ ，即 x ＝60时等号成立，故每批应生产产品60件.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. 某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比， 而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车 站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元， 那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站 km处. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析：设仓库到车站的距离为 x ，每月土地费用为 y1，每月货物 的运输费用为 y2，由题意可设 y1＝ ， y2＝ k2 x ，把 x ＝10， y1＝2 与 x ＝10， y2＝8分别代入上式得 k1＝20， k2＝0.8，∴ y1＝ ， y2 ＝0.8 x ，则两项费用之和为 y ＝ y1＋ y2＝0.8 x ＋ ≥2×4＝8，当 且仅当0.8 x ＝ ，即 x ＝5时等号成立.∴当仓库建在离车站5 km 处时两项费用之和最小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购 买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些 黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘 中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称 得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金（　　） A. 大于10 g B. 大于等于10 g C. 小于10 g D. 小于等于10 g 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为 a （ a ＞ 0），右臂长为 b （ b ＞0），则 a ≠ b ，再设先称得黄金为 x g，后 称得黄金为 y g，则 bx ＝5 a ， ay ＝5 b ，∴ x ＝ ， y ＝ ，∴ x ＋ y ＝ ＋ ＝5（ ＋ ）≥5×2 ＝10，当且仅当 ＝ ，即 a ＝ b 时等号成立，但 a ≠ b ，等号不成立，即 x ＋ y ＞10，因此， 顾客购得的黄金大于10 g. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $