预习08 二次函数与一元二次方程，不等式（八大考点）-2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019）

2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习08二次函数与一元二次方程，不等式 一、一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 二、二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点． 注意：(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 考点一 解不含参的一元二次不等式 【方法点拨】解一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 【例1】求下列关于的不等式的解集. (1) (2) 【例2】已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1-1】已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【变式1-2】（多选）下列式子中，使不等式成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 考点二 解分式不等式 【方法点拨】（1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零； （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 【例3】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【例4】利用函数解下列不等式： (1)； (2)； (3)． (4) (5) 【变式2-1】解下列不等式: (1) (2) (3) 【变式2-2】不等式的解集为 . 【变式2-3】解关于的不等式组：. 考点三 三个“二次”的关系 【方法点拨】（1）一元二次不等式的解集的端点值是一元二次方程的根，也是函数的图象与x轴交点的横坐标． （2）二次函数的图象在轴上方的部分，是由不等式的的值构成的；图象在轴下方的部分，是由不等式的的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 【例5】（多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例6】设二次函数． （1）若方程有实根，则实数的取值范围是 ； （2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是 ； （3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是 ． 【变式3-1】已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为（    ） A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2 【变式3-2】已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ． 【变式3-3】已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为 . 考点四 恒成立问题（法） 【方法点拨】一元二次不等式在上恒成立：一般画出图象，结合根的个数和开口方向进行列不等式即可 【例7】若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8】关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【变式4-1】已知命题p：，，请写出一个满足“p为假命题”的整数m的值： . 【变式4-2】在上定义运算：若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【变式4-3】已知命题在上恒成立，命题，，若或为真，且为假，求实数的取值范围． 考点五 恒成立问题（分离参数法） 【方法点拨】含参数的一元二次不等式恒成立，若能够分离参数成或形式．则可以转化为函数值域求解． 设的最大值为，最小值为：①恒成立⇔，恒成立⇔. ②恒成立⇔，恒成立⇔. 【例9】“”是“，”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例10】已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【变式5-1】命题“，满足不等式”是假命题，则的取值范围为 . 【变式5-2】若“，”是真命题，则实数m的最小值为 ． 【变式5-3】（1）若对于一切实数，不等式恒成立，求的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 考点六 实际问题 【方法点拨】一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 【例11】一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产 （填写区间范围）辆摩托车？ 【例12】已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离与速度之间有如下关系式：，其中是比例系数，且，是汽车质量（t）．若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以36km/h的速度行驶时，从刹车到停车需要走20m．当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面20m处有障碍物时能在离障碍物5m以外处停车，则最高速度应低于多少（设司机发现障碍物到踩刹车需经过1s）？ 【变式6-1】某产品的总成本（万元）与产量（台）之间满足如下关系式：（，）．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量为多少？ 【变式6-2】某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东的方向，与A市相距400 km，该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？ 【变式6-3】某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米. (1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 考点七 二次方程根的分布 【方法点拨】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向. 【例13】关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例14】已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【变式7-1】关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】方程在区间上有一根，求实数的取值范围． 考点八 解含参一元二次不等式 【方法点拨】解含参数的一元二次不等式：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【例15】若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例16】已知，解关于的不等式. 【变式8-1】已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【变式8-2】已知． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集． 【变式8-3】已知函数 (1)若的解集为，求实数的值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求关于的不等式的解集. 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 3．若命题“”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 4．“”是“方程只有一个解”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．设集合或，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．若关于的不等式有实数解，则的值可能为（    ） A．0 B．3 C．1 D． 7．不等式的解集为，且.以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．若不等式的解集是，则实数，，满足的条件是 . 9．已知二次函数，且恰有3个整数解，写出一个符合题意的函数解析式为 . 四、解答题 10．（1）解关于x的不等式； （2）解关于x的不等式. 11．中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 12．命题：“”，命题：“”． (1)若命题是假命题，求实数的取值范围； (2)若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 13．已知函数. (1)若的解集为，求实数的值； (2)若，求不等式的解集. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习08二次函数与一元二次方程，不等式 一、一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 二、二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点． 注意：(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 考点一 解不含参的一元二次不等式 【方法点拨】解一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 【例1】求下列关于的不等式的解集. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）不等式，即，解得， 所以不等式的解集为. （2）不等式，即，即， 解得，所以不等式的解集为. 【例2】已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由得， 由得， 则是的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1-1】已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】或，或， 是的真子集， 因此，是的必要不充分条件. 故选：B 【变式1-2】（多选）下列式子中，使不等式成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意， 根据充分不必要条件与集合之间的关系可知，只需要找集合的子集， 对比选项可知，使不等式成立的充分不必要条件可以是或. 故选：BD. 【变式1-3】求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由，则或， 所以或，故不等式解集为. （2）由，可得， 所以不等式解集为. （3）由已知，显然无解， 所以不等式解集为. 考点二 解分式不等式 【方法点拨】（1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零； （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 【例3】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 得，解得， 所以不等式的解集是. 故选：B. 【例4】利用函数解下列不等式： (1)； (2)； (3)． (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：方程的解为， 所以不等式的解集为； （2）解：方程的解为， 所以不等式的解集为； （3）解：对于方程，由于， 所以不等式的解集为； （4）解：等价于， 方程的解为， 所以原不等式的解集是； （5）解：移项得通分整理得， 等价于，解得， 所以原不等式的解集是． 【变式2-1】解下列不等式: (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）由可得，即， 解得， 故解集为：； （2）由可得，即且， 解得或， 故解集为：或； （3）由可得，即， 解得或， 故解集为：或. 【变式2-2】不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由， 所以不等式解集为. 故答案为： 【变式2-3】解关于的不等式组：. 【答案】 【详解】由，等价于且，解得； 由，即，解得； 所以原不等式组的解集为. 考点三 三个“二次”的关系 【方法点拨】（1）一元二次不等式的解集的端点值是一元二次方程的根，也是函数的图象与x轴交点的横坐标． （2）二次函数的图象在轴上方的部分，是由不等式的的值构成的；图象在轴下方的部分，是由不等式的的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 【例5】（多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由不等式的解集为， 可得相应的二次函数的图像开口向下，所以，所以A错误； 又由2和是方程的两个根，则有， 因为，故，所以BC正确； 因为，所以，所以D错误. 故选：BC. 【例6】设二次函数． （1）若方程有实根，则实数的取值范围是 ； （2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是 ； （3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是 ． 【答案】 或. 【详解】对于（1），因为方程有实根，故，解得或. 对于（2），因为不等式的解集为，故，解得. 对于（3），不等式的解集为R，故，故. 【变式3-1】已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为（    ） A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2 【答案】A 【详解】，解得：，因为是不等式的解集的子集，故要满足：，解得：， 故选：A 【变式3-2】已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ． 【答案】. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以，且和4为方程的两根， 故，得， 又，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式3-3】已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】根据二次函数的图象可知，为方程的两根， 故，即， 则即，也即， ，解得或. 故不等式解集为. 故答案为：. 考点四 恒成立问题（法） 【方法点拨】一元二次不等式在上恒成立：一般画出图象，结合根的个数和开口方向进行列不等式即可 【例7】若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以它的否定“，”为真命题， 则，解得． 故选：D 【例8】关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为的解集为， 即恒成立， 当时，即，解得，不符合题意； 当时，则’解得； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 【变式4-1】已知命题p：，，请写出一个满足“p为假命题”的整数m的值： . 【答案】（答案不唯一） 【详解】由命题p：，为假命题， 则恒成立， 得，解得， 所以整数m的值可为，0，1（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）. 【变式4-2】在上定义运算：若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为恒成立， 所以当时，原不等式化为恒成立， 即恒成立， 故，解得， 又因为，所以． 当时，原不等式化为恒成立， 即恒成立， 故，解得， 又因为，所以． 综上可得． 故答案为：. 【变式4-3】已知命题在上恒成立，命题，，若或为真，且为假，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】若命题在上恒成立，为真命题， 则，解得； 若命题，，为真命题， 则，解得或； 因为或为真，且为假， 所以与一个为真一个为假， 若为真命题，即，此时也为真命题，故舍去， 若为真命题、为假命题，则， 综上可得实数的取值范围为. 考点五 恒成立问题（分离参数法） 【方法点拨】含参数的一元二次不等式恒成立，若能够分离参数成或形式．则可以转化为函数值域求解． 设的最大值为，最小值为：①恒成立⇔，恒成立⇔. ②恒成立⇔，恒成立⇔. 【例9】“”是“，”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】,可得单调递减，单调递增， ,所以, 所以. 不能推出,可以得出，是的必要不充分条件. 故选：B. 【例10】已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为当时，不等式恒成立，则， 原题意等价于当时，不等式恒成立， 又因为，当且仅当，即等号成立， 可得，所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-1】命题“，满足不等式”是假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】命题“，满足不等式”是假命题， 所以，不等式恒成立， 设，， 则有，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式5-2】若“，”是真命题，则实数m的最小值为 ． 【答案】4 【详解】由题意，原命题等价于在上恒成立，根据二次函数的图象，在上的最大值为4，所以，即m的最小值为4． 故答案为：4. 【变式5-3】（1）若对于一切实数，不等式恒成立，求的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）要使恒成立，若，显然，满足题意； 若，则解得， 综上，的取值范围是． （2）令． 当时，恒成立，则的根一个小于1，另一个大于2． 如图，得即解得， 的取值范围是． 考点六 实际问题 【方法点拨】一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 【例11】一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产 （填写区间范围）辆摩托车？ 【答案】51~59 【详解】根据题意可知， 转化为不等式，即可得， 解得； 所以应该生产51~59辆摩托车. 故答案为：51~59 【例12】已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离与速度之间有如下关系式：，其中是比例系数，且，是汽车质量（t）．若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以36km/h的速度行驶时，从刹车到停车需要走20m．当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面20m处有障碍物时能在离障碍物5m以外处停车，则最高速度应低于多少（设司机发现障碍物到踩刹车需经过1s）？ 【答案】18km/h 【详解】设卡车本身质量为，速度为，刹车滑行距离为， 则依题意可得．将，代入得， 又卡车司机从发现障碍物到踩刹车需经过1s， 这1s内卡车已行驶的路程为， 因此，，整理得， 方程有两个不相等的实数根，， 不等式的解集为， 在这个实际问题中，，所以最高速度应低于18km/h． 【变式6-1】某产品的总成本（万元）与产量（台）之间满足如下关系式：（，）．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量为多少？ 【答案】150台 【详解】根据题意可得，整理得， 方程有两个不相等的实数根，， 由图象得不等式的解集为或， 在这个实际问题中，，所以的最小值为150， 即生产者不亏本时的最低产量为150台． 【变式6-2】某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东的方向，与A市相距400 km，该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？ 【答案】在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h. 【详解】如图，以A市为原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系， 显然，热带风暴中心B的坐标为， 则x h后热带风暴中心B到达点处， 依题意，当A市受热带风暴影响时，有，即， 整理得，解得，， 所以在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h. 【变式6-3】某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米. (1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】(1)10米 (2)平方米 【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得， 因为矩形草坪的长比宽至少多10米， 所以，又， 所以，解得， 所以宽的最大值为10米； （2）记整个绿化面积为S平方米，由题意得， ，当且仅当米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米 考点七 二次方程根的分布 【方法点拨】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向. 【例13】关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，即为，不符合题意； 故，即为， 令， 由于关于的方程有两个不相等的实数根，且， 则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧， 故时，，即，解得，故， 故选：D 【例14】已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【答案】 【详解】设， 因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式7-1】关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有二个负根时，则有， 当方程有一个负根一个正根时，则有， 综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有， 即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是. 故选：D. 【变式7-2】如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根， 则有， 故选：A 【变式7-3】方程在区间上有一根，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】令， 当时，，即， 其根为不符合条件，故， 因为，所以有一个根为， 所以可转化为， 所以方程另一根为， 因为方程在区间上有一根， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 考点八 解含参一元二次不等式 【方法点拨】解含参数的一元二次不等式：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【例15】若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意舍去， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 综上：实数的取值范围为或， 故选:A． 【例16】已知，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【详解】对，由关于的不等式，即，可得. 当时，不等式即，解得，解集为. 当时，不等式即，解得，或，解集为或. 当时，不等式即，解得，解集为. 综上，当时解集为; 当时解集为; 当时解集为. 【变式8-1】已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得， 依题意，集合， ， 当，即时，，则，解得； 当，即时，，则，解得， 当，即时，，满足，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式8-2】已知． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）∵ 恒成立， ∴ 对恒成立， 故，化简得，解得， 故实数的取值范围. （2），即； 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为. 【变式8-3】已知函数 (1)若的解集为，求实数的值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)； (2)； (3)详见解析. 【详解】（1）因为的解集为， 所以且和3为方程的两根，所以， 解得； （2）对恒成立， ①当时，，符合题意； ②当时，，解得， 综上，实数a的取值范围是； （3）由，得， 即， 当时，，即， 当时，， 当时，，解得， 当时，， 解得，或， 当时，， 解得，或， 综上：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 ，或 当时，原不等式的解集为，或 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式化为，即有0， 于是或，解得或， 所以原不等式的解集为. 故选：B 2．一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 3．若命题“”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由题意，不等式有解. 即不等式有解. 设，则函数图象开口向上， 要使不等式有解，则函数图象与轴有交点， 则，化简得， 解得，或. 故选：D. 4．“”是“方程只有一个解”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则方程为， 即，则其只有一个解； 若方程只有一个解，则或，所以或， 所以“”是“方程只有一个解”的充分不必要条件. 故选：B 5．设集合或，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，方程的两根异号，且两根之积为. 设，， ①若中恰有两个整数为，，则，解得； ②若中恰有两个整数为，， 则且，； ③若中有两个整数为，， 则且，； 综上可得 故选：B 二、多选题 6．若关于的不等式有实数解，则的值可能为（    ） A．0 B．3 C．1 D． 【答案】ACD 【详解】 当时，不等式有解，符合题意； 当时，得，则不等式有解； 当时，由，解得. 综上，的取值范围为，对照选项，选项ACD中的值符合题意. 故选：ACD 7．不等式的解集为，且.以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为不等式的解集为， 则是方程的两个实数根，，又, 不妨令，，则，，但，故A不成立，符合题意； 令，，则，但，故B不成立，符合题意； 令，，则，，但，故C不成立，符合题意； ，故D成立，不符合题意． 故选：ABC. 三、填空题 8．若不等式的解集是，则实数，，满足的条件是 . 【答案】且 【详解】因为不等式的解集是， 所以不等式恒成立， 所以当且仅当且. 故答案为：且. 9．已知二次函数，且恰有3个整数解，写出一个符合题意的函数解析式为 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】由恰有3个整数解，可确定三个整数解， 不妨设三个整数解分别为1，2，3， 则的解可以为， 故是的两个根， 故可得，所以可得， 不妨令，则，故， 故答案为：（答案不唯一） 四、解答题 10．（1）解关于x的不等式； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1）或；（2） 【详解】（1）变形得到，解得或， 故解集为或； （2）变形为，故， 解得， 故不等式的解集为. 11．中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)40元； (2)至少应达到10.2万件，每件定价30元. 【详解】（1）设每件定价为t元，依题意得， 则，解得， 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元 （2）依题意，时，不等式有解 ， 等价于时，有解， 因为（当且仅当时等号成立）， 所以，此时该商品的每件定价为30元， 当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 12．命题：“”，命题：“”． (1)若命题是假命题，求实数的取值范围； (2)若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为命题是假命题， 所以，即， 设， 当时，， 所以， 故实数的取值范围是． （2）由（1）知，当命题是真命题时，，当命题是假命题时， 当命题是真命题时，，有解， 所以，即， 当命题是假命题时，， 因为若和中有且只有一个是真命题， 所以当真假时，； 当假真时，； 综上所述，若和中有且只有一个是真命题，实数的取值范围为． ． 13．已知函数. (1)若的解集为，求实数的值； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【详解】（1）由题设知，且和是方程的两根， 所以，解得. （2）①若，则，此时图像恒在x轴上方，所以的解集为； ②若，则，此时的图像开后向上且与x轴只有一个交点，所以的解集为； ③若，则，此时图像与x轴有两个交点， 令，解得， 所以此时的解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$