第3天 三角恒等变换与正、余弦定理 每天专项小题练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角恒等变换与正余弦定理，通过真题模拟题系统覆盖公式应用、解三角形及综合题型，强化运算推理与知识迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角恒等变换|7题（单选1-4、6，填空10-12）|考查两角和差、二倍角公式及同角关系，结合范围讨论|从公式推导到变形应用，强调角的拆分与函数值符号判断| |正余弦定理应用|7题（单选5、7，多选9，解答13-14）|涉及边长、角度、面积计算及综合证明|定理与三角形性质结合，体现几何直观与逻辑推理，强化方程思想|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项小题练习 第3天 三角恒等变换与正、余弦定理 1.答案　D 解析　由题得cos α=2cos2-1=2×-1=-, 因为0<α<π,所以sin α==, 所以sin=(sin α-cos α)=×=.] 2.答案　D 解析　因为sin(α-β)=,sin(α+β)=, 所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=, sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=, 则sin αcos β=,故选D. 3.答案　C 解析　由cos(α+β)=sin αcos β, 得cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β, 所以1-tan αtan β=tan α, 又因为tan αtan β=-2, 所以tan α=3,tan β=-, 所以tan(α+β)===.故选C. 4.答案　D 解析　因为sin4 x+cos4 x=(sin2 x+cos2 x)2-2sin2 xcos2 x=1-2sin2 xcos2 x=, 所以sin2 xcos2 x=,又x∈, 所以cos x>-sin x>0, 则sin xcos x=-, sin x+cos x= ==. 故选D. 5.答案　A 解析　由题意,得cos A= ==, 因为0°<A<180°,所以A=45°.] 6.答案　A 解析　由sin 2θ-2cos 2θ=2, 得2sin θcos θ-2(2cos2 θ-1)=2, 即2sin θcos θ-4cos2 θ=0, 即sin θcos θ-2cos2 θ=0, 因为θ∈,故cos θ≠0, 所以sin θ-2cos θ=0, ① 又sin2 θ+cos2 θ=1, ② 由①②可得,sin2 θ+=1, 即4sin2 θ+sin2 θ=4, 可得,sin2 θ=,解得,sin θ=±. 因为θ∈,故sin θ>0, 所以sin θ=,故选A. 7.答案　C 解析　设AB=x, 根据余弦定理BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC, 已知BC=8,AC=10, cos∠BAC=, 代入可得, 82=102+x2-2×10×x×, 即x2-12x+36=0,解得x=6, 由于BC2+AB2=64+36=100=AC2, 则△ABC为直角三角形, 则S=×6×8=24.故选C. 8.答案　AC　[f(x)=sin2+sin2 =+ =sin 2x-cos 2x+1 =sin+1, 则f(x)的最小正周期是=π, 故选项A正确; 由三角函数的性质可知f(x)≤+1,即f(x)的最大值是+1,故选项B错误; x∈时,2x-∈, 因为y=sin z在z∈上单调递减, 故f(x)是区间上的减函数,故选项C正确; 令2x-=kπ,k∈Z, 解得x=+,k∈Z, 故f(x)的图象的对称中心为,k∈Z, 令+=得k=∉Z, 所以f(x)的图象不关于点中心对称,故选项D错误.故选AC. 9.答案　ABC 解析　由cos 2A+cos 2B+2sin C=1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C=2,得sin2A+sin2B=sin C,A正确; 由cos Acos Bsin C=可知A,B皆为锐角; 若A+B<,则sin2A+sin2B<sin Acos B+sin Bcos A=sin C,不合题意, 若A+B>,则sin2A+sin2B>sin Acos B+sin Bcos A=sin C,不合题意, 所以C=A+B=, 所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=0, 又cos Acos Bsin C=cos Acos B=, 所以sin Asin B=. 因为S△ABC=AC·BCsin C=AC·BC=,所以AC·BC=, 所以AB2===2, 故AB=,B正确; (sin A+sin B)2=sin2A+sin2B+2sin Asin B=1+2sin Asin B=1+2×=, 所以sin A+sin B=,C正确; AC2+BC2=AB2=2,D错误.故选ABC.] 10.答案　 解析　由题意得cos α==, 所以cos ==. 11.答案　(答案不唯一)　(答案不唯一) [因为sin(α+β)=sin(α-β), cos(α+β)≠cos(α-β), 所以α+β,α-β的终边关于y轴对称,且不与y轴重合, 故α+β+α-β=π+2kπ,k∈Z且α+β≠+lπ,l∈Z, 即α=+kπ,k∈Z, 故取α=,β=可满足题设要求.] 12.答案　 解析　法一　由sin αtan β=1-cos α, 得sin αsin β=cos β-cos αcos β, 因此cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=cos β, 又因为α,β∈,α-β∈, 所以α-β=β,所以α=2β, 则sin(α-β)=sin β=, cos α=cos 2β=1-2sin2 β=. 法二　由sin αtan β=1-cos α, 则tan β==tan , 又β∈,∈, 则=β,α=2β, 则sin(α-β)=sin β=, cos α=cos 2β=1-2sin2 β=. 13.解　(1)在△ABC中,由c=2asin C及正弦定理得sin C=2sin Asin C,而sin C>0,则sin A=,又0<A<π, 所以A=或A=. (2)由△ABC的周长为3+,a=, 得b+c=3, 在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即3=(b+c)2-2bc(1+cos A),则2bc(1+cos A)=6,当A=时,bc=6,于是b2-3b+6=0,Δ=-15<0,此方程无解; 当A=时,bc=2,于是b2-3b+2=0,解得b=1或b=2, 综上,当A=时,b无解; 当A=时,b=1或b=2. 14.解　(1)因为asin B=bcos A, 所以由正弦定理可得sin Asin B=sin Bcos A, 因为B∈(0,π),所以sin B>0, 所以sin A=cos A,所以tan A=. 又因为A∈(0,π),所以A=. (2)因为c-2b=1,a=,cos A=, 所以由a2=b2+c2-2bccos A, 可得7=b2+(2b+1)2-2b(2b+1)×, 化简得b2+b-2=0, 又b>0,故b=1. 由c=2b+1,得c=3. (3)由正弦定理=,得 =, 解得sin B=. 因为b=1<3=c, 所以B为锐角,cos B==. sin 2B=2sin Bcos B=, cos 2B=2cos2B-1=. 所以sin(A+2B)=sin =sin cos 2B+cos sin 2B =×+×=. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项小题练习 第3天 三角恒等变换与正、余弦定理 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共35分) 1.(2025·新高考Ⅱ卷)已知0<α<π,cos =,则sin=(　　) A. B. C. D. 2.(2025·福州二模)已知sin(α-β)=,sin(α+β)=,则sin αcos β=(　　) A. B.- C.- D. 3.(2025·湖北八市联考)已知cos(α+β)=sin αcos β,tan αtan β=-2,则tan(α+β)=(　　) A.- B. C. D.- 4.(2025·萍乡一模)已知x∈,sin4 x+cos4 x=,则sin x+cos x=(　　) A.- B. C.- D. 5.(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A=(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 6.(2025·贵阳适考)若sin 2θ-2cos 2θ=2,θ∈,则sin θ=(　　) A. B. C. D. 7.(2025·八省联考)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC=,则△ABC的面积为(　　) A.6 B.8 C.24 D.48 二、多选题(每小题6分,共12分) 8.(2025·武汉二调)函数f(x)=sin2+sin2,则下列关于f(x)的说法中正确的是(　　) A.最小正周期是π B.最大值是2 C.是区间上的减函数 D.图象关于点中心对称 9.(2025·新高考Ⅰ卷)已知△ABC的面积为,若cos 2A+cos 2B+2sin C=2,cos Acos Bsin C=,则(　　) A.sin C=sin2A+sin2B B.AB= C.sin A+sin B= D.AC2+BC2=3 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.(2025·四省联考)若α∈,且sin α=,则cos =　　　　.  11.(2025·北京卷)已知α,β∈[0,2π],且sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α-β),写出满足条件的一组α=　　　　,β=　　　　.  12.(2025·浙江Z20名校二联)已知α,β∈,且满足sin αtan β=1-cos α,sin(α-β)=,则cos α=　　　　.  四、解答题(13题13分,14题15分) 13.(2025·成都二诊)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c=2asin C. (1)求A; (2)若a=,且△ABC的周长为3+,求b. 14.(2025·天津卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin B=bcos A,c-2b=1,a=. (1)求A的值; (2)求c的值; (3)求sin(A+2B)的值. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $