第1章《三角形》暑假单元自测卷2026-2027学年八年级数学上册试题苏科版

**基本信息** 初中数学《三角形》暑假单元自测卷，通过26题100分设计（选择8题16分、填空8题16分、解答10题68分），覆盖三角形性质、全等、旋转等核心知识点，融合抽象能力、推理意识与应用意识，梯度适配暑假巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/16|三边关系、对称、等腰三角形性质|以测平架情境（第3题）考查三线合一，体现几何直观| |填空题|8/16|直角三角形中线、平移、动点问题|第15题动点全等分类讨论，发展空间观念| |解答题|10/68|全等证明、作图、一线三垂直模型|24题“一线三垂直”模型（初探-变式-拓展），25题动态几何与全等结合，培养推理能力与创新意识|

第1章《三角形》暑假单元自测卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。) 1.在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是() A.3,6,8 B.2,3,5 C.1,2,1D.8,4,3 2.如图，△ABC与△ABC关于直线1对称，∠B=35°，∠C'=50°，则LA的大小为() C50° 35 BB A.85° B.90° C.95 D.105 3.如图，在三角形测平架中，AB=AC,在BC的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调 整架身，使重锤线正好经过点A,那么就能确认BC处于水平位置，这一判断过程体现的数学 依据是( B A.垂线段最短 B.两点确定一条直线 C.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D.三角形具有稳定性 4.如图，在锐角△ABC中，BC=7,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,AC的垂直 平分线分别交AC、BC于点F、G,EG=1,则△AEG的周长为() D F G E A.9 B.10 C.7 D.8 5.如图，△ABC中，∠BAC=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转a°(0°<a<60°)，得到△ADE, DE交AC于F.当a=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于() E D A.609 B.80° C.90 D.100° 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB, AC于点M和点N,再分别以点M,N为圆心，大于2N的长为半径画弧，两弧交于点p, 连接AP并延长交BC于点D.若△ACD的面积为6，则△ABD的面积是() M P D A.10 B.11 C.12 D.13 7.如图，在△ABD中，AB=AD=I2,点E在AD上，点C在BD的垂直平分线上，连接 CB,CD,CE,且CE与BD交于点F,若CE∥AB,CE=7,则CF的长是() E C A.4 B.3.5 C.3 D.2 8.如图，在等腰三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=BC,D是斜边AB的中点，E是边BC上 的一点，将△BDE沿DE翻折至△FDE,EF与边AC相交于点G.已知下列哪条线段的长度可 以求出△CEG的周长() D B A.BE B.BC C.CG D.EG 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9.已知直角三角形的斜边长为0，则这个直角三角形斜边上的中线长为 10.如图，AB‖CD,∠CAD=85°，∠ACD=55°，则La= B D 11.如图，△ABC中，BC=7,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,AC的垂直平分线 分别交AC、BC于点FG.则△AEG的周长为一： 12.如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE,连接BD,EC,写出一个与∠ABD相等的 角是： 13.已知AD是△ABC的高，∠BAD=60°，∠CAD=30°，则∠BAC的度数为 14.如图，在△ABC中，AB=8,将△ABC平移6个单位长度得到△ABC,M是AB的中点，则 MA的最大值为 M B B 15.如图△ABC的两条高AD与BE交于点O,AD=BD,AC=8.F是射线BC上一点，且 CF=A0,动点P从点O出发，沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动 点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P,Q两点 同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t的值 E C 16.如图，在RIAABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=9,D是直角边AC上的一个动点，连接 BD,以BD为边向外作等边△BDE,连接CE.在点D运动的过程中，线段CE的长的最小值为 B 三、解答题（共68分) 17.已知△ABC的三边长分别为a,b,c. (1)若a=9,b=5,且c为整数，求△ABC周长的最大值. (2)化简：lb+c-a-lc-a--la-b+d, 18.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在BC上，DB=EC B D (1)求证：△ABD≌△ACE: (2)尺规作图：在DE上作一点F,使得FD=E.(保留作图痕迹，不要求写作法) 19.已知，如图，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. 入 (1)求证：∠ABD=∠ACD: (2)求证：BE=CF. 2O.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE‖BF,从①AB=CD,②CE=DF, ③∠E=∠F中选出其中两个作为条件，证明CEI DF, B C >0 (1)你选的条件是：一；（填写序号) (2)证明：CE‖DF 21.如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直 平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P. M B (I)求证：点P在线段BC的垂直平分线上. (2)若△AFN的周长为8cm,△PBC的周长为18Cm,求PA的长. 22.如图，△ABC的外角∠EAC的平分线与边BC的垂直平分线相交于点D,过点D作DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为点E,F. E队 D B (1)求证：BE=CF (2)若AB=a,AC=b(a<b),则AE=_ 23.作图题： 图1 图2 图3 图4 (I)如图，已知四边形ABCD.请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留 作图痕迹)： ①在线段AC上找一点M,使得BM=CM,请在图1中作出点队 ②若AB与CD不平行，且AB=CD,请在线段AC上找一点N,使得△ABN和△CDN的面积相等， 请在图2中作出点N (2)请仅用无刻度的直尺分别按下列要求在方格纸中画图.（不写画法，保留画图痕迹） ③在图3的方格纸中，在AC上找一点P,使得P到AB、BC的距离相等； ④在图4的四边形ABCD内找-点Q,使∠AQB=∠QB，∠A0D=∠CQD. 24.【模型提出】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角 度为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长 相等时，模型中必定存在全等三角形 【模型初探】 D H 下人2 BG C 图1 图2 图3 (①)如图1，点A在直线1上，∠BAD=90,AB=AD,过点B作BC⊥1于点C,过点D作DE⊥1于 点E,则线段DE,BC,CE之间的数量关系为 【变式运用】 (2)如图2，在RtAABC中，∠ACB=90，°AC=BC,过点C作直线CE,过点A作AD⊥CE于点D, 过点B作BE⊥CE于点E,若AD=6.8,DE=4.6,求BE的长， 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的4B,AC 边向外作Rt△BAD和Rt△CAE,其中AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，AG是边BC 上的高.延长GA交DE于点H,若AH=5,AG=12,BC=10.直接写出△DAE的面积 25.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,AC=10,将△ABC绕斜边中点旋转 180°得到△CDA,再将aCDA沿CD翻折得到△CDE.动点P从A出发，沿线段AE以每秒1个单位 长度的速度向点E运动，动点从A出发，沿AC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，再沿 CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动.P,Q两点同时出发，当点Q到达点B时，P,Q 两点同时停止运动.设点P的运动时间为t秒(t>0). D E (1)直接写出线段AE的长为；用含t的式子表示：当点Q在AC边上运动时，CQ的长为_，当 点Q在CB边上运动时，CQ的长为_； (2)当点在CB边上运动时，是否存在1值，使以点A,C,9为顶点的三角形与以点C,E, P为顶点的三角形全等？若存在，求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由； (3)连接PO,当直线PQ平分四边形ABCE的面积时，求t的值； (4)当t满足条件时，△AP吧是以P№为底或以AP为底的等腰三角形. 26.【问题发现】 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点， 且EF=BE+FD,试猜想图中∠BAD与∠EAF的数量关系. 小王同学解决此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明 △ABE≌△ADG,再证明△MEF≌aAGF,可得出结论，他的结论应是_： 【问题探究】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分别是BC、CD上的点， 且EF=BE+FD,试探究∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线 上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请写出∠BAD与∠EAF的数 量关系，并说明理由 D 、D B B E 图1 图2 图3 参考答案 一、单项选择题 1.A 解：对于选项A,较小两边为3和6，最大边为8,3+6=9>8，能围成三角形，符合题意. :对于选项B,较小两边为2和3，最大边为5,2+3=5，不满足两边之和大于第三边，∴.不 能围成三角形，不符合题意 ,对于选项C,较小两边为1和1，最大边为2,1+1=2，不满足两边之和大于第三边，，不 能围成三角形，不符合题意. ,对于选项D,较小两边为3和4，最大边为8,3+4=7<8，不满足两边之和大于第三边，. 不能围成三角形，不符合题意. 2.C 解：，△ABC与△A'B'C关于直线I对称， ∴.△ABC兰△AB'C .∠C=∠C'=50°， ∠B=35°， .∠A=180°-∠B-∠C=180°-35°-50°=95°， 3.C 解：这种做法依据的数学原理是：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合. 理由：AB=AC,CD=BD, .AD⊥BC. ,AD是重锤所在的直线， ∴.BC是水平的. 4.A 解：，DE是AB的垂直平分线， ∴.AE=BE, .GF是AC的垂直平分线， ∴.AG=CG ∴.△AEG的周长=AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC+2EG=7+2=9, 5.C 解：由旋转的性质可得：AB=AD,∠BAD=∠CAE=u=40°，∠E=∠C, ∠B=∠4D8=080-∠BAD)-=080-40)=70, 在△ABC中，∠BAC=60°， ∴.∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-70°=50°， ∴.∠E=∠C=50°， ∴.∠AFE=180°-∠FAE-∠E=180°-40°-50°=90° 6.C 解：如图，过点D作DG⊥AB于点G, M G ■ B D 由作图过程知：AD平分∠BAC, .∠CAD=∠GAD .在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，△ACD的面积为6， .∠BAC=90°-∠B=60°，DC=DG, .∠CAD=∠GAD=号∠BAC=30 2 ∴.BD=2DG=2DC S△MBp=2 :.Spaco 1BD:AC BD _2CD-2, CD.AC CDCD .SaAm=2Sa4cD=2×6=12 7.D 解：如图：连接AC交BD于点O, E D C 点C在BD的垂直平分线上， ∴.BC=DC, AB=AD=12, ∴.AC垂直平分BD,∠ABD=∠ADB, .∠BAC=∠DAC, CE∥AB .∠CAB=∠ACE,∠EFD=∠ABD, ∴.∠ACE=∠EAC, .CE=7, .'AE=CE=7. ∴.DE=AD-AE=12-7=5, .∠ABD=∠ADB,∠EFD=∠ABD, ∴.∠EFD=∠EDF, ∴.EF=ED=5, ∴.CF=CE-EF=7-5=2. 故选：D. 8.B 解：如下图所示，过点D作DM⊥AC于点M,DH⊥BC于点H,DN⊥EF于点N,连接DC, DG, D G CE B ∠ACB=90°，AC=BC, ∴A=∠B=s0-∠4C8=45, 点D是AB的中点， .CD平分∠ACB, ∠DCG=1∠ACB=450 .DM=DH' 由折叠的性质可得：∠F=∠B=45°，EF=BE,DN=DH, .∠F=∠DCF,DM=DN, .GD平分∠MGN, .∠DGM=∠DGN, ∠FGA=∠EGC, ∴.∠DGM+∠FGA=∠DGN+∠EGC, .∠DGF=∠DGC, ∠F=∠DCG 在 和△DGC中， ∠DGF=∠DGC △DGF DG=DG :ADGF≌aDGC(AAS), ∴.FG=CG, C.cEG=EC+CG+EG=EC+GF+EG=EC+FE=EC+BE=BC: 故只需要知道BC的长即可求出△CEG的周长； 故选B. 二、填空题 9.5 解：已知直角三角形的斜边长为10， :斜边上的中线长为2×10=5. 10.40° 解：∠CAD=85°，∠ACD=55°， ∴.∠D=180°-∠ACD-∠CAD=180°-55°-85°=40°， .AB∥CD, ∴.∠D=∠a=40° 11.7 解：DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线， .'BE=AE,AG=GC, ..C.AEG AE+AG+EG =BE+GC+EG =BC =7. 12.∠ADB(答案不唯一) 解：由旋转的性质可知，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE 在△ABD中， .AB=AD, ∴△ABD为等腰三角形. :∠ABD=∠ADB=I80°-∠BAD) 在△ACE中， ..AC=AE, ∴△ACE为等腰三角形. ∠1CE=∠4Ec-80-∠C4B). .∠BAD=∠CAE, ∴.180°-∠BAD=180°-∠CAE 0so-∠B40)-50-C4). ∴.∠ABD=∠ACE 又：∠ABD=∠ADB,∠ACE=∠AEC, ∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC」 即与∠ABD相等的角是：∠ADB(答案不唯一)· 13.90°或30° 解：当高AD在△ABC内时， B D ∠BAD=60°，∠CAD=30° .∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+30°=90°： 当高AD在△ABC外时， B ∠BAD=60°，∠CAD=30° .∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-30°=30° 14.10 解：如图，连接A4, M B C B 由平移得，A4=6 因为点M是AB的中点， 所以1=4B=4, 因为M4≤MA+AA 所以当点A在M4上时，MA取得最大值，即MA+AA的长度， 因为MA+A4=4+6=10 所以M4的最大值为10. 16.专酸4 解：AD⊥BC,BE⊥AC ∴.∠BDO=∠ADC=∠AE0=90°， .∠BOD=∠AOE, ∴.∠DBO=∠EAO, 又AD=BD, .△DBO≌aDAC(ASA), .BO=AC=8. ∴.8÷2=4， t≤4， 分情况讨论： ①如图，当点F在BC延长线上时，△AOP≌△FCQ. B ■ D C .AD⊥BC,BE⊥AC, ∴.∠AOP=∠EOD=180°-∠ACB, .:∠FC2=180°-∠DCE .∠AOP=∠FCQ 又：CF=AO, 当△AOP≌△FCQ时，有OP=CO OP=2t,C9=8-4t. .2t=8-4t, 都得景 ②如图，当点F在线段BC上时，△AOP≌△FCQ. PO B Dh 同①得∠AOP=∠FC0, 又：CF=AO, ·当△AOP≌△FCQ时，有OP=CO」 OP=2t,C0=4t-8 .2t=4t-8, 解得t=4; 4 综上，当△AOP与△FC0全等时，t的值为秒或4秒. 16.4 解：延长BC到点F,使得CF=BC,连接AF,EF, B ∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=9, 9 CF-BC-AB-74RR=90-/R4C-605 2 .BF=2BC=9, .AB=BF, ∴△ABF是等边三角形， .∠AFB=60°， :△BDE是等边三角形， .BE=BD,∠DBE=60°， .∠FBE=∠ABD=6O°-∠DBF, 在△FBE和△ABD中， (BF=AB ∠FBE=∠ABD BE=BD :△FBE≌△ABD(SAS), .∠BFE=∠BAD=30° ∴.∠AFE=∠AFB+∠BFE=90°， :点E在经过点F且与AF垂直的射线FE上运动，作CH⊥FE交射线FE于点H,则 ∠CHE=90°， CH=1CF-9 2 4) CE≥CH, CE2 4’ CE的最小值为4， 故答案为：4 三、解答题 17.(1)解：a=9,b=5, 9-5<c<9+5,即4<c<14, .c为整数， ∴.当c=13,△ABC周长的最大值为a+b+c=9+5+13=27; (2)解：△ABC的三边长为a,b,C, ∴b+c-a>0,c-a-b<0,a-b+c>0, ..b+c-a-lc-a-b-la-b+c =b+c-a-(a+b-c)-(a-b+c) =b+c-a-a-b+c-a+b-c =-3a+b+c. 18.(1)证明：AB=AC, ∴.∠B=∠C, .DB=EC. ∴.△ABD≌△ACE|SAS: (2)解：如图，AF即为所求作 D E .△ABD≌△ACE ∴AD=AE ,AF是∠DAE的平分线 ∴.FD=FE 19.(1)证明：连接AD,如图所示： ----A B 在△ABD和△ACD中， AB=AC BD=CD AD=AD :AABD2△ACD(SSS), ∴.∠ABD=∠ACD; (2)证明：由(1)可知：△ABD≌△ACD, .∠BAD=∠CAD :DE⊥AB,DF⊥AC, ..DE=DF, 在Rt△DEB和RtADFC中， DB=DC DE=DF, .RteDEBS≌RtADFC(HL), ∴.BE=CF 20.(1)①③或②③ (2)选①③ 证明：：AE‖BF, .∠A=∠DBF, ①AB=CD, .'AB+BC=CD+BC, .'AC=BD, 在△CAE和△DBF中， [③∠E=∠F ∠A=∠DBF AC=BD .△CAE≌△DBF(AAS), ∴.∠ACE=∠BDF ..CEl DF: 选②③ 证明：AE‖BF, ∴.∠A=∠DBF, 在△CAE和△DBF中， [∠A=∠DBF ③∠E=∠F ②CE=DF .△CAE≌△DBF(AAS), ∴.∠ACE=∠BDF, ∴.CEDF 21.(1)证明：连接PA,PB,PC, M B PE垂直平分AB,PM垂直平分AC, .PB=PA,PC=PA. .PB=PC. 点P在线段BC的垂直平分线上； (2)解：PE垂直平分AB,PM垂直平分AC, ∴.AF=BF,AN=CN, .△AFN的周长为8Cm, .AF+FN+AN BF+FN+CN=BC=8cm,BC=8cm, ,PB=PC,△PBC的周长为l8cm, .BC+PB+PC=18cm, ..PB+PC=18cm-8cm=10cm, :PE垂直平分AB,PM垂直平分AC, .PB=PA.PC=PA. .PA=5cm. 22.(1)证明：连接BD,CD,如图： D 点D在BC的垂直平分线上， :.DB=DC, :点D在∠EAC的平分线上，DE⊥AB,DF⊥AC, :DE DF, 在Rt△DCF和RtADBE中， DE=DF DB=DC, ∴.RtADCF≌RtADBE(HL), .BE=CF; (2)解：点D在∠EAC的平分线上，DE⊥AB,DF⊥AC, :DE DF, 在Rt△AED和Rt△AFD中， 「DE=DF AD=AD, .RtAEDSRtAAFD (HL). .∴.AE=AF, :AB=a、AC=b、CF=BE、AE=AF=AC-CF=AC-BE, .AE+BE=AC=b, BE-AE=AB=a, B班=a+, 4E=b-a). 故答案为：b-o). 23.(1)解：①如图①，点M即为所求； A M EX B 图① ②如图②，点N即为所求， G HA N B 图② (2)解：③如图③，点P即为所求， 图③ ④如图④，点Q即为所求， 图④ 24.(1)解：CE=BC+DE,理由如下， .∠BAD=90° .∠BAC+∠DAE=180°-∠BAD=90° :AE⊥DE,BC⊥AC, ∴.∠ACB=∠DEA=90° ∴.∠BAC+∠ABC=90° ∴.∠ABC=∠DAE 在△ABC和ADAE中 [∠ACB=∠DEA ∠ABC=∠DAE AB=AD ∴△ABC≌△DAE(AAS) ∴BC=AE,AC=DE」 CE=AC+AE, .CE=BC+DE (2)解：AD⊥CE,BE⊥CE, .∠ADC=∠CEB=90° .∠CAD+∠ACD=90°. '.'∠ACB=∠ACD+∠BCE=90°， ∴.∠CAD=∠BCE 在△ACD和△CBE中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=CB △ACD≌△CBE(AAS) ∴.CD=BE,AD=CE CD=CE-DE=AD-DE=6.8-4.6=2.2, BE=2.2; (3)解：过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,如图所示： M Nh B GC .∠M=∠ANE=90° :AG是边BC上的高， ∴.∠AGB=90°」 .∠ABG+∠BAG=90° .∠BAD=90°， .∠BAG+∠DAM=180°-∠BAD=90° .∠ABG=∠DAM 在△ABG和△DAM中， ∠AGB=∠M ∠ABG=∠DAM AB-AD '△ABG≌△DAM(AAS) .'.DM=AG. 同理可证明：△AGC≌aENA(AAS). .·.EN=AG .DM=EN=AG=12 ·SDME=S。AHD+S.AHE -AH.DM+TAH.EN 1 1 =-×5×12+二×5×12 =30+30 =60， 25.(1)解：△ABC绕斜边AC的中点旋转180°得到aCDA, ∴.△ABC兰△CDA, ∴.AD=BC=8,DC=AB=6,∠ADC=∠ABC=90°，∠DAC=∠BCA 又，aCDA沿CD翻折得到△CDE, ∴.DE=AD=8,且A、D、E共线，∠DAC=∠DEC ∴.AE=AD+DE=8+8=16. 当点Q在AC边上运动时， :A0=1,AC=10,.C0=AC-A0=10-t. 当点在CB边上运动时，从点C到点的运动时间为(t-10)秒，速度为2个单位长度/秒， .C2=2(t-10)=2t-20 故答案为：16,10-t,2t-20: (2)解：当在CB边上运动时，C0=2t-20,AP=t,PE=AE-AP=16-t. .CE=AC=10,∠ACQ=∠CEP 要使点A,C,卫为顶点的三角形与以点C,E,P为顶点的三角形全等， 只需C0=EP,即2t-20=16-t,解得t=12; (3)解：如图，当点O在AC上运动时，直线P9交BC于点M,0≤t≤10，AP=t, A0=1,CO=AC-AO=10-1, ..AP=AQ, .∠QPA=∠PQA .∠DAC=∠BCA,∠POA=∠MQC, .AP∥MC, .∠QPA=∠QMC=∠M0C, .CM=CO=10-1 .BM=8-(10-t)=t-2 易得四边形ABCE的面积为72， .当直线PO平分四边形ABCE的面积时， 1 四边形APMB的面积为36，即2+1-2)x6=36,解得，=7： 如图，当点在CB边上运动时，10<t≤14，AP=t,C0=21-20, .B0=8-(21-20)=28-2t D PA E /0 四边形APMB的面积为36，即2+28-2)x6=36,解得，16（不满足题意）. 综上，当运动时间为7秒时直线P№平分四边形ABCE的面积； (4)解：由(3)，当点在AC上运动时，0≤1≤10，△AP是以P吧为底的等腰三角形： 当点O在CB边上运动时，：BO<BC=8,AP>AD=8, △AP吧只可能是以AP为底的等腰三角形，AQ=PQ. 如图，连接AQ,过点Q作QH⊥AD,则QH=AB,HP=2 D PA AB=OH 在Rt△ABQ和RtOHP中， AQ=PQ· .△ABQ≌△QHP(H), 六80=Pm,即28-21=，解得1- 1 5 综上，当，满民0<1S10或曾计，AP2是以P阳为底成以AP为底的等展三角形。 56 故答案为：0<1≤10或1= 5· 26.解：（1)∠BAD=2∠EAF;理由： 如图1，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, ■ B E 图1 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG=90° BE=DG '△ABE≌AADG(SAS) ∠BAE=∠DAG,AE=AG, EF BE+DF,DG=BE, ..EF BE+DF=DG+DF GF, :AFAF, ∴△AEF≌△AGF(SSS) ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF, ∴.∠BAE+∠FAD=∠EAF, ∴.∠BAD=2∠EAF, 故答案为：∠BAD=2∠EAF; (2)如图2，延长FD到点G，使DG=BE,连接AG, G F B C 图2 :∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°， .∠B=∠ADG 又AB=AD, .AABE≌△ADG(SAS) ∠BAE=∠DAG,AE=AG, .EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF. ∴.△AEF≌△AGF(SSS). .∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF: ∴.∠EAF=∠BAE+∠FAD (3)∠R4F=10-D,是由东下， 证明：如图3，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, G D B E 图3 :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， .∠ADC=∠ABE, 又AB=AD :△ADG≌△ABE(SAS), .AG=AE,∠DAG=∠BAE, .EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, ∴△AEF≌△AGF(SSS) .∠FAE=∠FAG, :∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， :.2∠FAE+(∠GAB+LBAE)=360°， 2∠FAE+(LGAB+∠DAG)=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°，