第11讲 反比例函数综合问题（知识点+题型精讲） 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第11讲 反比例函数综合问题 目录 知识点1 三大基础函数核心性质汇总 2 知识点2 一次函数与反比例函数核心关联考点 2 知识点3 反比例函数与几何综合核心公式 2 知识点4 函数综合实际应用建模规则 3 题型1 反比例函数与几何综合 3 题型2 反比例函数、二次函数图象综合判断 10 题型3 一次函数与反比例函数图象综合判断 17 题型4 一次函数与反比例函数的交点问题 22 题型5 一次函数与反比例函数的实际应用 25 题型6 一次函数与反比例函数的其他综合应用 34 1. 知识目标：整合一次函数、二次函数、反比例函数的图象与核心性质，掌握三类函数共存图象的判定规则；熟练掌握反比例函数与几何图形、一次函数的交点、面积、参数综合考点，明晰函数综合应用题的建模逻辑与解题依据。 2. 能力目标：能精准判断多函数共存图象正误，熟练求解一次函数与反比例函数交点坐标、参数范围、图象位置关系；掌握反比例函数几何面积综合计算、双函数实际应用解题方法，攻克各类函数综合压轴基础题型。 3. 素养目标：强化数形结合、分类讨论、函数建模三大核心数学思想，提升多知识点融合、图象分析、代数运算、实际转化的综合解题能力，适配期末及中考函数综合题型。 知识点1 三大基础函数核心性质汇总 1. 一次函数：解析式，图象为直线，决定增减性，决定与y轴交点，全体实数定义域，单调递增或递减。 2. 二次函数：解析式，图象为抛物线，决定开口方向，对称轴划分增减区间，存在最值。 3. 反比例函数：解析式，图象为双曲线，无坐标轴交点，象限与象限内增减性由正负决定，具有三重对称性。 知识点2 一次函数与反比例函数核心关联考点 1. 交点本质：联立两个函数解析式，方程组的解即为交点横、纵坐标；方程组有两解、一解、无解，对应两函数相交、相切、无交点。 2. 图象共存规则：两个函数的比例系数符号必须统一，相互印证，矛盾则图象错误。 3. 函数值大小比较：以交点为分界，划分自变量区间，直接判断区间内函数图象上下位置，确定函数值大小关系。 知识点3 反比例函数与几何综合核心公式 1. k的几何意义：双曲线上任意一点作坐标轴垂线，矩形面积，直角三角形面积。 2. 坐标几何转化：函数图象上点的坐标可直接转化为几何图形的边长、高，实现函数与几何双向转化计算。 3. 对称性质应用：利用原点、、对称性，快速求解几何图形顶点坐标、边长、面积。 知识点4 函数综合实际应用建模规则 1. 一次函数适配：匀速变化、线性增减类实际问题，变化率恒定。 2. 反比例函数适配：乘积定值、此消彼长类问题，如路程一定速度与时间、面积一定长与宽、总工程量一定效率与时间。 3. 综合应用：分段场景、双变量变化场景，分段适配一次、反比例函数模型。 题型1 反比例函数与几何综合 解题技巧（数形转化四步法）：1. 找点坐标：锁定双曲线上关键点坐标，结合对称性补全所有顶点坐标；2. 坐标转边长：利用横纵坐标差值，求出几何图形的底、高、边长；3. 套用模型：优先使用面积秒杀模型，快速求解基础图形面积；4. 复杂图形拆分：将多边形拆分为矩形、直角三角形，叠加求和计算面积；5. 反向求解：已知几何图形面积、边长，反求值与函数解析式，结合图象象限确定正负。 核心思路：坐标几何互通，以函数定坐标，以坐标算几何。 【典例1】．如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）通过解一元二次方程得到m，n的值，得到点的坐标，再根据矩形的性质即可得到点B的坐标，然后代入反比例函数即可解答； （2）根据中点的定义得到，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，，分3种情况讨论：①与互相平分；②与互相平分；③与互相平分，分别列出方程组，求出的值，即可得到Q点的坐标； （3）先利用A、D两点坐标求出直线解析式，联立直线与反比例函数，通过一元二次方程判别式算出双曲线与线段有一个交点时的临界；再求出双曲线过点B时的临界，分区间分析双曲线与四边形边的交点数量，得到恰好有两个交点时k的取值范围。 【详解】（1）解：， ， 解得：，， 由题意得，，， ，， ，， 四边形是矩形， ， 点的坐标为； 将代入，得． （2）解：存在， 点是的中点，， ， ， 反比例函数的解析式为， 设，， 以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形， 下面分3种情况讨论： ①当与互相平分，则 解得， ； ②当与互相平分，则 解得， ； ③当与互相平分，则 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． （3）已知，，设直线解析式为， 将两点代入得： 把代入，得 ， 解得， 直线的解析式为． 当的图象与直线恰好有一个交点时，联立方程： 两边同乘整理得：， 只有一个交点， 一元二次方程判别式， ， 解得． 当反比例函数图象经过点时，， 此时双曲线仅与四边形交于点，只有1个交点． 当时，双曲线与线段产生2个交点，交点总数超过2个，不符合题意； 当时，双曲线仅与线段、线段各有1个交点，恰好共2个交点； 当时，双曲线与四边形无交点． 反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点时，． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 【变式3】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于，两点，连接，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式和反比例函数的解析式； （2）直线交轴于点，用割补法求出的面积； （3）根据函数图象找到不等式的解集． 【详解】（1）解：反比例函数过， 可得：， 解得：， 反比例解析式为， 将代入， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 一次函数过、， 可得：， ， 一次函数解析式：； （2）解：当时，, 直线交轴于点， ， 答：的面积为； （3）解：由函数图象可知，当或时，变形为， 不等式的解集为或． 题型2 反比例函数、二次函数图象综合判断 解题技巧（参数互证排除法）：1. 先看二次函数：由抛物线开口、对称轴、顶点位置，判断正负及取值范围；2. 再看反比例函数：由双曲线象限判断正负；3. 参数互验：同一题目中公共参数符号必须统一，出现矛盾直接排除错误选项；4. 辅助验证：结合函数增减性、最值、特殊点位置，进一步锁定正确图象；5. 禁忌速判：二次函数有最值、区间增减，反比例无最值、象限内单调，特征完全不同，快速区分。 【典例2】．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解决此题的关键是根据反比例函数的性质确定k的正负． 先根据反比例函数图象得到，再根据二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且顶点在x轴上． ∴只有A选项符合题意． 故选：A 【变式1】．若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可． 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 【变式2】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数的性质的过程，以下是我们研究的函数y1＝性质及其应用的部分过程，请按照要求完成下列各小题． （1）补全下列表格，并求出b的值： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … ﹣8 ﹣3 0 ﹣3 ﹣8 2 … （2）描点，连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数图像，写出这个函数的一条性质； （3）若函数y2＝m，若y1＝y2有两个解，结合你所画的图象，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）1，0，；b=-4；（2）画图见解析，函数的性质为：当x≤-2或x≥2时，函数值随自变量的增大而增大；当2<x≤1或1<x<2时，函数值随自变量的增大而减小（答案不唯一）；（3）-8≤m<1或m>2． 【分析】（1）把x=-3，y=0代入函数解析式求得b的值后即可得到函数的解析式，然后根据表中x的值选用合适的解析式即可求出对应的y值，从而完成表格的填写； （2）根据表中的数据在直角坐标系中描点，然后把各点用平滑曲线连接就可得到函数图象，由函数图象即可写出函数的性质； （3）根据函数的图象解答． 【详解】解：（1）把x=-3，y=0代入函数解析式可得： -（-3）2-3b-3=0，解之可得：b=-4， ∴当x≤1时，函数y1=-x2-4x-3， ∴当x=-2时，y=1； 当x=-1时，y=0； 当x=时，y=， 故答案为1，0，； （2）根据表中的数据在直角坐标系中描点，然后把各点用平滑曲线连接就可得到函数图象如下： 由函数的图象可以看出： 当x≤-2或x≥2时，函数值随自变量的增大而增大； 当2<x≤1或1<x<2时，函数值随自变量的增大而减小； （3）∵y2＝m表示与x轴平行的直线， ∴若y1＝y2有两个解，则表示直线y2＝m与原函数图象有两个交点， ∴由图象可得m的取值范围为：-8≤m<1或m>2． 【点睛】本题考查二次函数与双曲线函数的综合应用，熟练掌握函数图象的画法及应用是解题关键． 【变式3】．在函数的学习中，我们经历了“确定函数表法式－画函数图象－利用函数图象研究函数性质－利用图象解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们常常通过描点的方法画函数图象．已知函数，探究函数的表达式、图象和性质、解决问题的过程如下： （1）下表是与的几组值，则函数表达式中的_______，表格中的______ 0 1 2 3 4 5 6 … 8 6 3 4 3 0 … （2）在平面直角坐标系中，补全描出表格中数据对应的各点，补全函数图象： （3）观察函数的图象，请描述该函数（当时）的一条性质：____________． （4）若直线（为常数）与该函数图象有且仅有两个交点，则的取值范围为_________． 【答案】（1）6，；（2）见解析；（3）当时，随的增加而减小；（4）或或 【分析】（1）根据表格信息，利用待定系数法解决即可求得，把代入即可求得． （2）利用描点法画出函数图象即可，结合图形描述函数的性质即可． （3）根据图象即可求得； （4）判断出直线与双曲线有交点的的取值范围即可． 【详解】解：（1）把，代入得，， 解得， 把代入得，， ， 故答案为：6，． （2）函数图象如图所示． （3）性质：当时，随的增加而减小． 故答案为：当时，随的增加而减小． （4）观察图象可知，若直线为常数）与该函数图象有且仅有两个交点，则的取值范围为或或， 故答案为或或． 【点睛】本题考查反比例函数与二次函数的性质，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． 题型3 一次函数与反比例函数图象综合判断 解题技巧（k值统一秒杀法）：1. 核心判定规则：同一试题中一次函数与反比例函数符号完全一致；2. 正向判断：反比例一三象限，则一次函数必递增；反比例二四象限，则一次函数必递减；3. 辅助核验：结合一次函数值，判断直线与y轴交点位置，排除异常图象；4. 矛盾排除：只要增减性与双曲线象限不匹配，直接排除选项。 秒杀口诀：双k同号不矛盾，图象匹配定乾坤。 【典例3】．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 【变式1】．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 【变式2】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数与一次函数的函数表达式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集为_________，直接写出以反比例函数与一次函数图象交点横坐标为两根的一元二次方程_________； (3)若点为轴上一点，的面积为10，直接写出点的坐标． 【答案】(1)y，y＝x＋1； (2)或； (3)P的坐标是或 【分析】（1）根据反比例函数的图象经过，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式，进而求得的坐标，根据、点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据、的坐标，结合图象即可求得； （3）对于一次函数，令，求出点C的坐标，设，表示出的长，根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴，即 ∴反比例函数的表达式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得，不等式的解集为或． 以，2为根的一元二次方程可以为，即． （3）解：对于一次函数，令，则，解得， ∴， ∵点为轴上一点， ∴设，则， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标是或． 【变式3】．如图，在中，．过点A作于点．点P为上一点（P与均不重合），，连接，点E为的中点，记点E与点P的距离为的面积为的面积为，记． (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)； (2) 函数：关于直线对称； 函数：随的增大而减小； (3) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和勾股定理求得的值，再写出对应的函数解析式即可； （2）先描点，再画出函数图象，观察图象得到函数性质； （3）结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 点E为的中点， ， ； ， （2）解：当时，；； 当时，；； 当时，；； 当时，；； 当时，；； 图象略； 函数：关于直线对称； 函数：随的增大而减小； （3）解：结合函数图象，当时，． 题型4 一次函数与反比例函数的交点问题 解题技巧（联立方程组通解法）：1. 联立解析式：将与联立，消去得到分式方程，整理为一元二次方程；2. 判别式判交点：两个交点，一个交点，无交点；3. 求解交点：解方程得到值，回代求，得到完整交点坐标；4. 几何拓展：利用交点坐标求解两点间距、三角形面积、函数值大小区间。 必考结论：一次函数与反比例函数若有两个交点，两点关于原点对称。 【典例4】．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设点A坐标为，根据反比例函数图象的中心对称性质得点B坐标为，再根据计算即可． 【详解】解：设点A坐标为， ∵点A与点B关于原点对称， ∴点B坐标为， ∴， 即的面积为1． 【变式1】．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 【变式2】．如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 【答案】4 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质分别求出点、的坐标，进而计算． 【详解】解：对于一次函数，时，， ∴； 将点代入一次函数， 有， 解得， ∴， 将代入反比例函数， 有， 解得， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴，即， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴． 【变式3】．如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 或 【分析】先利用正比例函数和反比例函数的对称性，因为两个函数的交点关于原点对称，所以由点A的横坐标为1，可得到点B的横坐标．将不等式变形为，问题转化为找正比例函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围．结合函数图象，分和两个区间，根据两个交点的横坐标，确定满足的x的范围． 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点、也关于原点对称． 已知点横坐标为，因此点横坐标为． ，即找正比例函数值大于反比例函数值时的范围． 观察图象可得：当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足； 当时，正比例函数图象也在反比例函数图象上方，满足． 因此不等式的解集为 或 ． 题型5 一次函数与反比例函数的实际应用 解题技巧（场景建模法）：1. 识别变化规律：均匀增减、匀速变化、单价固定类问题，用一次函数建模；此消彼长、乘积定值、总量不变类问题，用反比例函数建模；2. 设元列式：根据题意设自变量与函数，列出对应解析式，锁定自变量实际取值范围；3. 代入求解：结合题干已知条件，求参数、最值、对应变量值；4. 双函数综合场景：分段区分变化规律，分段列式、分段求解；5. 结果检验：舍去负数、超范围、不符合实际意义的解。 常见场景：销售利润、工程效率、行程运动、几何最值、耗材成本问题。 【典例5】．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 【答案】(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为：． (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）根据函数图象的交点和图象的位置关系进行解答即可； （3）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴由图象可知， 的x取值范围是 故答案为： （3）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 【变式1】．综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． (1)建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； (2)图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； (3)深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 【答案】(1)，， (2)①见解析；②不存在，理由见解析 (3)①或；②原矩形长为米，宽为米，（答案不唯一） 【分析】（1）根据“新花园的周长是原花园的一半”，以及“新花园面积也是原花园的一半”建立关于的函数关系式，并求出的取值范围，即可解题； （2）①根据列表、描点、连线的步骤画出这两个函数的图象即可； ②根据所画的图象交点情况分析即可； （3）①设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半，推出有解，结合一元二次方程根的判别式列不等式求解，即可解题； ②利用①中的结论，结合条件原矩形的长和宽均为正整数，找出存在这种“减半”矩形的原矩形即可． 【详解】（1）解：根据“新花园的周长是原花园的一半，”得：， 整理得，； 根据“新花园面积也是原花园的一半，”得：， 整理得，； ， 则的取值范围为； 故答案为：，，； （2）解：①根据题意列表如下： 0 10 20 30 30 0 40 20 结合表格数据画图如下： ②所画的图象无交点， 不存在满足条件的新矩形花园； （3）解：①设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半， 由题意得：，整理得，； ，整理得，； 则，整理得， 则或， 或； 故答案为：或． ②由①题知，原矩形长为米，宽为米， 记其新矩形长为，宽为， 则 解得或， 当时，； 当时，； 长为米，宽为米的原矩形存在这种“减半”矩形（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，反比例函数解析式，画函数图象，根据图象交点情况求方程的解，一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于正确理解“减半”矩形的概念． 【变式2】．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)20 (2)能，理由见解析 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ，即对应的指标值为20； （2）解：设当时，的解析式为，将、代入得： ，解得， 的解析式为， 当时，，解得， 由（1）得反比例函数的解析式为， 当时，，解得， 时，注意力指标都不低于36， 而， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． 【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式． 【变式3】．探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？” (1)完成下列空格： 当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的：设所求矩形的一边是x，则另一边为，由题意得方程：，化简得：． ，______，_____． 满足要求的矩形B存在． 小红的做法是：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：消去y化简后也得到：，（以下同小明的做法） (2)如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形B． (3)在小红的做法中，我们可以把方程组整理为：，此时两个方程都可以看成是函数解析式，从而我们可以利用函数图象解决一些问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空格） ①这个图象所研究的矩形A的面积为________；周长为________． ②满足条件的矩形B的两边长为________和________． 【答案】(1)2； (2)不存在矩形B (3)①8；18；②， 【分析】（1）用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可； （2）设所求矩形的一条边是x，根据周长表示出另外一条边，根据面积列出方程，解方程即可； （3）①由图可知，一次函数解析式为，反比例函数解析式为，组成方程组，消去y求出方程的根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出，，即可． ②利用解二元二次方程，可求出满足条件的矩形B的两边长． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴，． 故答案为：2；． （2）解：设B矩形的一边长为x，则另一边为 ， ， ， 不存在矩形B． （3）解：①设直线的关系式为，把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为， 设反比例函数解析式为，把代入得：，解得：， ∴反比例函数解析式为， 根据一次函数解析式可得：，根据反比例函数解析式可得：， ∴图形B的两边之和为，面积为4， ∴图形A的周长为：，面积为； 故答案为：8；18． ②把代入得：， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴满足条件的矩形B的两边长为，． 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程解，利用函数图象得函数解析式等知识，根据图象得出函数解析式，是解题关键． 题型6 一次函数与反比例函数的其他综合应用 解题技巧（综合万能解题模板）：1. 图象分析：结合双函数图象位置、交点、增减区间，判断函数值大小、参数范围、图象平移关系；2. 最值与范围：根据自变量区间，结合一次函数单调性、反比例函数象限性质，求解最值与取值范围；3. 动态综合：图象平移、翻折、对称变换后，重新求解解析式、交点、几何面积；4. 参数综合：结合不等式、方程、几何面积，反向求解函数参数取值范围；5. 压轴思路：数形结合+分类讨论，优先固定不变量，分析动态变量规律。 【典例6】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先求解，，可得，进一步利用待定系数法求解一次函数的解析式即可． （2）表示，，可得，，结合，进一步可得答案． （3）直接利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入， ∴， 解得：， ∴一次函数为． （2）解：如图， ∵，一次函数，反比例函数， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，此时不符合题意， 综上：． （3）解：∵， ∴结合图象可得：当时，的解集是． 【变式1】．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 【答案】(1)，4 (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，将点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得n的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）由函数图象知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围，结合两点的坐标即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 解得：， ∴一次函数为． 如图，记与轴的交点为， ∴， ∵，， ∴的面积为． （2）解：∵，， 结合图象可得不等式的解集为：或． 【变式2】．直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 【变式3】．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质． 【操作发现】 (1)当时，下表是该函数部分，的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． … … 结合函数图象，下列说法错误的是________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③当时，图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 (2)在（1）的条件下，当函数值时，自变量的值为________； 【拓展提高】 (3)①当关于的方程有三个不同的解时，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，则当直线与新函数有三个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，② (2)或或 (3)①；② 【分析】（1）用描点法画出函数图像，结合函数性质判断各个说法，找出错误选项； （2）分和两种情况分别解方程，得到所有符合条件的自变量的值； （3）①将方程解的个数问题转化为直线与分段函数图像交点个数问题，画出对应直线临界位置，结合图像确定参数取值范围；②先判断直线过定点，再确定分段函数平移规则，找出分段函数图像上的临界交点，代入直线解析式求出临界值，结合图像得到的取值范围． 【详解】（1）解：根据表格描点连线画出函数图像略， 由图可得函数最小值为0，没有最大值，故①正确； 当时，，随的增大而增大即当时，随的增大而增大，故②错误； 当时，图像为轴对称图形，故③正确； 直线与图像有两个交点，故④正确． （2）解：分两种情况解方程： 当时，令，解得，满足条件； 当时，令，解得或，均满足； 因此自变量的值为或或． （3）解：①∵关于的方程有三个不同的解， ∴直线与分段函数的图象有三个交点， 当直线过点时，有，此时， 当直线过点时，有，此时， 如图， 由图可得． ②直线恒过定点， ∵将函数图像进行平移后得到新函数， ∴平移规律为函数向右平移3个单位长度， ∴点向右平移3个单位得，点向右平移3个单位得， 当直线过点时，有，此时， 当直线过点时，有，此时， 如图， 由图可得，直线与新函数有三个交点时，． 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，证明是等腰直角三角形，证明，设，则，点D在反比例函数图象上，则，根据，，即可求出的值． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∵、在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、，顶点在反比例函数（）上，顶点在反比例函数（）上．当点坐标为时，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据待定系数法得到，过点作轴于点，通过证明，得到，过点作轴于点，同理可证，继而得到，从而根据待定系数法得到． 【详解】解：将点代入反比例函数表达式， ，故①正确； 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得，故②，③正确； ，，，， 如图，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， ， 将点代入反比例函数表达式， ，故④正确． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，，由菱形的性质可得，求出，证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 【详解】解：过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，， 是的中点，四边形是菱形， ∴，， ，， 轴，O为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵，，均垂直轴， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 4．如图，直线l经过原点，且与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转度角（）后，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状是（     ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】由于直线与双曲线都是关于原点的中心对称图形，根据对称性可得，，再由，即可判定四边形一定是平行四边形． 【详解】解：如图， ∵直线与双曲线是关于原点的中心对称图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形不可能是菱形或正方形， ∵只有当时，四边形是矩形， ∴四边形不一定是矩形， ∴四边形一定是平行四边形． 5．若直角坐标系内两点P、Q满足条件①P，Q都在函数y的图象上②P，Q关于原点对称，则称点对是函数y的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）．已知函数，则函数y的“友好点对”有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意可知函数关于原点对称的图象与的图象的交点的个数即为答案． 【详解】解：函数，则“友好点对”的个数即为函数关于原点对称的图象与的图象的交点的个数． 在同一直角坐标系中作出函数关于原点对称的图象与函数的图象，如图所示， 由图象可知，两个图象的交点有2个，则“友好点对”有2个． 6．已知抛物线开口向上且经过点，双曲线经过点，给出下列结论：①；②；③b，c是关于x的一元二次方程的两个实数根；④．其中正确结论有（  ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数，反比例函数，一元二次方程的综合，掌握二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据抛物线的开口及过点，双曲线经过点，得到，可判定①；根据可以转化为：，可判定③；根据一元二次方程根的判别式可判定④；根据且，得到可判定②；由此即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上且经过点，双曲线经过点， ∴， ∴，故①正确； ∴ ∴可以转化为：， ∴或，故③正确； ∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， 化简，得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，故④错误； ∵且， ∴，故②错误； 故选：B． 7．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 8．如图，已知，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，动点在轴的正半轴上，线段交反比例函数图象于、两点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，给出下面三个结论： ①； ②对任意，存在唯一的动点，使四边形是平行四边形； ③当时，的面积有最大值2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】连接，利用角平分线及斜边中线的性质即可判断①；若四边形是平行四边形，则可推出四边形是平行四边形，进而得出，再结合函数的图象可判断②；由可知，确定 的最大值即可判断③． 利用面积关系及三角函数求最值判断. 【详解】解：①如图1，连接， 直线与反比例函数的图象都关于原点对称， 、两点关于原点对称，即． ， 在中，， ， 平分， ， ， ， 故①符合题意； ② 如图2，连接. 若四边形是平行四边形，则，． 由①已知, 四边形是平行四边形， ， 由①已知， . 动点在轴的正半轴上，且是线段与反比例函数图象的交点， 点在点的右侧，且由图象可知随着动点向右运动，的长度是由0开始逐渐增大的， 对任意，一定存在唯一的动点，满足，也就是满足四边形是平行四边形，故②符合题意； ③如图3，过点E作,垂足为. 当时，把与联立，得 解得或， 两点的坐标分别为、． . ， . 在中，． 当时， 取得最大值，最大值为． 故③不符合题意. 综上所述，符合题意的结论是①②. 9．如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________． 【答案】/ 【分析】过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，两直线相交于点，则四边形是矩形，设，相交于点，先证明是等腰直角三角形，设，证明，求得，作轴于点，作轴于点，则四边形是矩形，再证明，求得，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，两直线相交于点，则四边形是矩形，设，相交于点， ∵， ∴， ∵在中，， ∴与平行，，， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，即，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 作轴于点，作于点，则四边形是矩形，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵、在函数图象上， ∴，， ∵在函数图象上， ∴， ∴． 10．如图，反比例函数的图像经过的顶点A，点B在y轴上，，，则_______． 【答案】3 【分析】设，过A作轴于D，证明是等腰直角三角形，得到，，利用已知条件和勾股定理求得，再利用反比例函数图像上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：设，过A作轴于D，则，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∵，， ∴，即， 解得， ∵反比例函数的图像经过点A， ∴ ． 11．如图，直线交反比例函数的图象于点A，交y轴于点B，将直线向下平移个单位后得到直线，交反比例函数的图象于点C．若的面积为，则k的值为____． 【答案】6 【分析】向下平移个单位后得到直线，可得到的函数表达式，将点A和点C的坐标分别表示出来．过点A和点C分别作y轴得垂线，与y轴交于点P和点Q，则，即可求出点A的坐标，最后将点A的坐标代入反比例函数的表达式，求出k即可． 【详解】∵向下平移个单位后得到直线 ∴直线 把x=0代入得；y=   ∴B(0， ) 令点A的横坐标为m，则A（m，） 令点B的横坐标为n，则B（n，） AP=m，CQ=n，PQ=-（）= PB==，BQ= = = = = ∵的面积为 ∴= 解得m= ∴A（，4） 把A（，4）代入 解得：k=6 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了与一次函数和反比例函数相关的几何面积问题，用割补法将三角形的面积表示出来以及引入参数表示未知点的坐标是解题的关键． 12．点在一次函数上，也在反比例函数上，则的值为________． 【答案】20 【分析】根据函数图象上点的坐标满足函数解析式，得到的关系式与的值，再利用完全平方公式变形计算得到结果. 【详解】解：点在一次函数上， ∴将代入得，整理得， 点在反比例函数上， ∴将代入得，整理得， ∴. 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 【答案】 【分析】先把代入得，求得反比例函数的表达式，再通过反比例函数的表达式求出点的坐标，再将点和点的坐标求出一次函数的表达式，当时，求出点，得到的值，再由即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵把代入得， ∴， 把代入得， ∴， 把的坐标代入得， 解得：， ∴， 当时，，得， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为y．一次函数的表达式为y (2)点坐标为或 【分析】（1）先把代入反比例函数求出，得到反比例解析式，再将代入反比例函数求出；最后把、两点坐标代入，解方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点，设为；设，以为公共底边，利用列式计算，解出． 【详解】（1）解：把代入反比例函数， ，解得， 反比例函数解析式：． 将代入： ， ． 把，代入得方程组： ， 解得， 一次函数解析式：． （2）解：设直线与轴交于点，如图所示， 令， 解得， ． 设点坐标，则． 的高为点纵坐标6，的高为点纵坐标的绝对值． ， 解得或， 点坐标为或． 15．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，再联立求解即可； （2）先求出，作点E关于x轴的对称点，则，根据轴对称性质，，则．当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．结合勾股定理计算即可得出的最小值为．求出直线的方程为，令，得，解得，即可得出结果； （3）过C作轴交于点T，设，则，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入直线得，， 解得， ∴一次函数的解析式为， 再将代入得，， ∴反比例函数的解析式为， 联立，得， 解得：（舍去），， ∴； （2）解：在中，当时，，则， 作点E关于x轴的对称点，则， 根据轴对称性质，， ∴． 当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度． ， ∴的最小值为． 设直线的方程为． 将和代入得， 解得． ∴直线的方程为 令，得，解得． ∴点P的坐标为． （3）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点C的坐标为． 16．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴ 由题意得，轴， ∵ ∴ ∵的中点的坐标为， ∴ ∴ ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得 ∴ ∵ ∴平移的距离为． 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点在轴上，连接，，若，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出满足的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数表达式为一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）将代入反比例函数求出，再求出的坐标，将、代入即可求解； （2）由得，即可求解； （3）由在上方的图象对应的函数值较大进行判断，即可求解． 【详解】（1）解：将代入反比例函数得： ， 解得， ， 将点的坐标代入反比例函数关系式得∶ ， 解得：， ， 将、代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图， ， ， ， 解得：， 对于一次函数，当时， ， 解得：， ， ， ， 解得：或1， 的坐标为或； （3）解：由图象得或． 18．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，将两点和的“直角距离”定义为：． (1)已知，那么______； (2)函数的图像如图所示，如果点C在该函数的图像上，且． ①求点C的坐标； ②过点C作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)3 (2)①； ②四边形是正方形，证明如下： 如图所示， 由（2）①得点C的坐标为， ∵轴，轴， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． 【分析】（1）根据“直角距离”的定义求解即可； （2）①设，根据题意可得，解方程即可得到答案；②根据题意可得，，据此可证明四边形是正方形． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）①解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，经检验是方程的解， ∴， ∴点C的坐标为； ②略 19．定义：如图，在平面直角坐标系中，为第一象限内的任意一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为．若四边形的周长与其面积相等，则称点为平面直角坐标系中的“等和积点”．已知“等和积点”在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)若为上一点，以为边作正方形，若点在反比例函数的图象上，试求出点的坐标，并判断点是否为“等和积点”． 【答案】(1) (2)点D的坐标为，点为“等和积点” 【分析】（）利用等和积点定义求点坐标，代入反比例函数求解析式； （）设纵坐标，利用正方形得坐标，代入反比例函数求值，验证等和积点条件． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设点的纵坐标为， 四边形为正方形， ． 点的横坐标为， ， 点在反比例函数的图象上， ， 解得 （负值已舍去）， 点的坐标为， ， 点为“等和积点”． 20．如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别是，过两点的直线与轴， 轴分别交于点，双曲线与该直线交于两点． (1)求直线和双曲线的函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求出点A坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将 代入得，， 点D的坐标为，则， ， ． 将代入，得， 点的坐标为，则， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得， ， 点P坐标为． 21．如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． (1)若点的坐标为； ①求的值； ②观察图象，当时，直接写出不等式的解集． (2)若将点分别向上或向右平移相同距离均可落在反比例函数的图象上，请直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2)1 【分析】（1）①把点代入反比例函数，求出n的值，得到点A的坐标，再将点A的坐标代入正比例函数即可求解； ②由图象可得，不等式的解集为正比例函数的图象在反比例函数的图象上方对应的自变量x的取值，即可解答； （2）设点B的坐标为，向上平移b个单位长度得到，向右平移b个单位长度得到，把，代入反比例函数，即可求解． 【详解】（1）解：①∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数的图象过点， ∴， 解得． ②∵反比例函数与正比例函数交于点， ∴由图象可得，当时，不等式的解集为． （2）解：∵点是线段上（不与点重合）的一点， ∴设点B的坐标为，向上平移b个单位长度得到，向右平移b个单位长度得到， ∵点分别向上或向右平移相同距离均可落在反比例函数的图象上， 即，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 22．如图，反比例函数与一次函数的图像相交于和两点． (1)直接写出：点坐标________；反比例函数解析式________，直线的函数解析式________． (2)如图，直线与反比例函数交于另一点，若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标． (3)请结合图像回答，时，的取值范围________． (4)在轴上有一点，若满足最小，则点的坐标为________．若满足最大，则点的坐标为________． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 (4)， 【分析】（1）根据点求出反比例函数表达式，从而确定点坐标，利用待定系数法求出一次函数表达式，设直线表达式，根据求出表达式，再根据一次函数和反比例函数交点求出点． （2）设点，对的面积进行分割，根据面积公式进行求解即可． （3）观察函数图象，即反比例函数图象在一次函数图象上方即可． （4）求出点关于轴对称点,当点、、三点共线时最小，，当、、三点共线时最大，最大值即为． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象相交于和两点， ∴点代入反比例函数中得， ， ∴， ∴． ∵点， ∴， ∴点， ∵直线表达式经过点和点， ∴代入得， 解得，， ∴直线表达式． 设直线表达式为经过点和点， ∴代入中得， 解得， ∴设直线表达式为， ∴， ∵反比例函数和一次函数交于点和点， ∴即， 解得， ∵点， ∴点横坐标，代入， 解得， ∴点． （2）解：由（1）知点，设点，如图， 观察图形可知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点或． （3）反比例函数与一次函数的图像相交于点和点两点， 结合函数图象可知，当或时，． （4）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图， ∵， ∴， ∴当点、、三点共线时最小，即满足最小， 设直线表达式为， ∵点，点代入表达式得， 解得，， ∴直线表达式， ∵点为直线和轴交点， ∴，即， 解得， ∴点． ∵， ∴当、、三点共线时，最大，即为， ∵， 当时，即，解得， ∴若满足最大，则点的坐标为． 23．小华用“描点法”绘制一个正比例函数图像和一个反比例函数图像，他列表取值的部分数据如表1和表2． 表1： 表2： x … a 1 2 … x … a 1 2 … … 2 1 … … b 2 4 … (1)请判断表1和表2分别对应哪种函数，并分别写出它们的函数表达式； (2)求表格中a、b的值； (3)在平面直角坐标系中，画出这两个函数的大致图像，并结合这两个函数的图像，直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)表1对应反比例函数，；表2对应正比例函数， (2)， (3)，自变量x的取值范围为或． 【分析】（1）根据表格中的自变量和函数值进行判断即可； （2）根据所求函数解析式进行解答即可； （3）根据表格画出函数图象，根据函数图象的位置和交点坐标写出自变量x的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据表1可知，， ∴表1对应反比例函数，即， 根据表2可知，，即， ∴表2对应正比例函数，即， （2）解：由题意可得， ， 解得， 由题意可得， （3）根据表格画出函数图象，根据图象可知，自变量x的取值范围为或． 24．如图1，在中，为边上的高，，，，动点P从点B出发，沿以1个单位每秒的速度运动，到达点C时停止运动，设点P运动的时间为，过点P作交的边于点Q，点P，Q的距离为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)关于x的表达式为和，关于x的表达式为 (2)作图见详解，当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小（答案不唯一，言之有理即可） (3)x的取值范围是或 【分析】本题考查了函数与几何动点综合问题，包括一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质及相似三角形的判定与性质． （1）根据题意得到，的值，再分情况讨论点P的位置，由题意得，，证明，，得到的表达式，求出的面积进而求得的表达式； （2）根据（1）的解析式将图象画在网格中即可，需注意x的取值，由图象可知函数的性质，任写一条即可； （3）将分别代入的两个解析式，解得x的值，再利用图象可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， 当点P在段时， 由题意知，，则， ∵，， ∴， ∴， 即，则， ∴， 当点P在段时， 同理：， ∴，则， ∴， ∵， ∴的面积与点P运动路程之比， 综上所述，关于x的表达式为和，关于x的表达式为． （2）解：如图所示为所求： 由图象可知，当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小． （3）解：由图象可知，将分别代入的两个解析式可得： ，解得（舍去），；，解得，（舍去）， ∴当时，x的取值范围是或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 反比例函数综合问题 目录 知识点1 三大基础函数核心性质汇总 2 知识点2 一次函数与反比例函数核心关联考点 2 知识点3 反比例函数与几何综合核心公式 2 知识点4 函数综合实际应用建模规则 3 题型1 反比例函数与几何综合 3 题型2 反比例函数、二次函数图象综合判断 5 题型3 一次函数与反比例函数图象综合判断 8 题型4 一次函数与反比例函数的交点问题 10 题型5 一次函数与反比例函数的实际应用 11 题型6 一次函数与反比例函数的其他综合应用 14 1. 知识目标：整合一次函数、二次函数、反比例函数的图象与核心性质，掌握三类函数共存图象的判定规则；熟练掌握反比例函数与几何图形、一次函数的交点、面积、参数综合考点，明晰函数综合应用题的建模逻辑与解题依据。 2. 能力目标：能精准判断多函数共存图象正误，熟练求解一次函数与反比例函数交点坐标、参数范围、图象位置关系；掌握反比例函数几何面积综合计算、双函数实际应用解题方法，攻克各类函数综合压轴基础题型。 3. 素养目标：强化数形结合、分类讨论、函数建模三大核心数学思想，提升多知识点融合、图象分析、代数运算、实际转化的综合解题能力，适配期末及中考函数综合题型。 知识点1 三大基础函数核心性质汇总 1. 一次函数：解析式，图象为直线，决定增减性，决定与y轴交点，全体实数定义域，单调递增或递减。 2. 二次函数：解析式，图象为抛物线，决定开口方向，对称轴划分增减区间，存在最值。 3. 反比例函数：解析式，图象为双曲线，无坐标轴交点，象限与象限内增减性由正负决定，具有三重对称性。 知识点2 一次函数与反比例函数核心关联考点 1. 交点本质：联立两个函数解析式，方程组的解即为交点横、纵坐标；方程组有两解、一解、无解，对应两函数相交、相切、无交点。 2. 图象共存规则：两个函数的比例系数符号必须统一，相互印证，矛盾则图象错误。 3. 函数值大小比较：以交点为分界，划分自变量区间，直接判断区间内函数图象上下位置，确定函数值大小关系。 知识点3 反比例函数与几何综合核心公式 1. k的几何意义：双曲线上任意一点作坐标轴垂线，矩形面积，直角三角形面积。 2. 坐标几何转化：函数图象上点的坐标可直接转化为几何图形的边长、高，实现函数与几何双向转化计算。 3. 对称性质应用：利用原点、、对称性，快速求解几何图形顶点坐标、边长、面积。 知识点4 函数综合实际应用建模规则 1. 一次函数适配：匀速变化、线性增减类实际问题，变化率恒定。 2. 反比例函数适配：乘积定值、此消彼长类问题，如路程一定速度与时间、面积一定长与宽、总工程量一定效率与时间。 3. 综合应用：分段场景、双变量变化场景，分段适配一次、反比例函数模型。 题型1 反比例函数与几何综合 解题技巧（数形转化四步法）：1. 找点坐标：锁定双曲线上关键点坐标，结合对称性补全所有顶点坐标；2. 坐标转边长：利用横纵坐标差值，求出几何图形的底、高、边长；3. 套用模型：优先使用面积秒杀模型，快速求解基础图形面积；4. 复杂图形拆分：将多边形拆分为矩形、直角三角形，叠加求和计算面积；5. 反向求解：已知几何图形面积、边长，反求值与函数解析式，结合图象象限确定正负。 核心思路：坐标几何互通，以函数定坐标，以坐标算几何。 【典例1】．如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【变式3】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于，两点，连接，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 题型2 反比例函数、二次函数图象综合判断 解题技巧（参数互证排除法）：1. 先看二次函数：由抛物线开口、对称轴、顶点位置，判断正负及取值范围；2. 再看反比例函数：由双曲线象限判断正负；3. 参数互验：同一题目中公共参数符号必须统一，出现矛盾直接排除错误选项；4. 辅助验证：结合函数增减性、最值、特殊点位置，进一步锁定正确图象；5. 禁忌速判：二次函数有最值、区间增减，反比例无最值、象限内单调，特征完全不同，快速区分。 【典例2】．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数的性质的过程，以下是我们研究的函数y1＝性质及其应用的部分过程，请按照要求完成下列各小题． （1）补全下列表格，并求出b的值： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … ﹣8 ﹣3 0 ﹣3 ﹣8 2 … （2）描点，连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数图像，写出这个函数的一条性质； （3）若函数y2＝m，若y1＝y2有两个解，结合你所画的图象，直接写出m的取值范围． 【变式3】．在函数的学习中，我们经历了“确定函数表法式－画函数图象－利用函数图象研究函数性质－利用图象解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们常常通过描点的方法画函数图象．已知函数，探究函数的表达式、图象和性质、解决问题的过程如下： （1）下表是与的几组值，则函数表达式中的_______，表格中的______ 0 1 2 3 4 5 6 … 8 6 3 4 3 0 … （2）在平面直角坐标系中，补全描出表格中数据对应的各点，补全函数图象： （3）观察函数的图象，请描述该函数（当时）的一条性质：____________． （4）若直线（为常数）与该函数图象有且仅有两个交点，则的取值范围为_________． 题型3 一次函数与反比例函数图象综合判断 解题技巧（k值统一秒杀法）：1. 核心判定规则：同一试题中一次函数与反比例函数符号完全一致；2. 正向判断：反比例一三象限，则一次函数必递增；反比例二四象限，则一次函数必递减；3. 辅助核验：结合一次函数值，判断直线与y轴交点位置，排除异常图象；4. 矛盾排除：只要增减性与双曲线象限不匹配，直接排除选项。 秒杀口诀：双k同号不矛盾，图象匹配定乾坤。 【典例3】．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数与一次函数的函数表达式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集为_________，直接写出以反比例函数与一次函数图象交点横坐标为两根的一元二次方程_________； (3)若点为轴上一点，的面积为10，直接写出点的坐标． 【变式3】．如图，在中，．过点A作于点．点P为上一点（P与均不重合），，连接，点E为的中点，记点E与点P的距离为的面积为的面积为，记． (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 题型4 一次函数与反比例函数的交点问题 解题技巧（联立方程组通解法）：1. 联立解析式：将与联立，消去得到分式方程，整理为一元二次方程；2. 判别式判交点：两个交点，一个交点，无交点；3. 求解交点：解方程得到值，回代求，得到完整交点坐标；4. 几何拓展：利用交点坐标求解两点间距、三角形面积、函数值大小区间。 必考结论：一次函数与反比例函数若有两个交点，两点关于原点对称。 【典例4】．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式2】．如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 【变式3】．如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 题型5 一次函数与反比例函数的实际应用 解题技巧（场景建模法）：1. 识别变化规律：均匀增减、匀速变化、单价固定类问题，用一次函数建模；此消彼长、乘积定值、总量不变类问题，用反比例函数建模；2. 设元列式：根据题意设自变量与函数，列出对应解析式，锁定自变量实际取值范围；3. 代入求解：结合题干已知条件，求参数、最值、对应变量值；4. 双函数综合场景：分段区分变化规律，分段列式、分段求解；5. 结果检验：舍去负数、超范围、不符合实际意义的解。 常见场景：销售利润、工程效率、行程运动、几何最值、耗材成本问题。 【典例5】．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 【变式1】．综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． (1)建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； (2)图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； (3)深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 【变式2】．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【变式3】．探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？” (1)完成下列空格： 当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的：设所求矩形的一边是x，则另一边为，由题意得方程：，化简得：． ，______，_____． 满足要求的矩形B存在． 小红的做法是：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：消去y化简后也得到：，（以下同小明的做法） (2)如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形B． (3)在小红的做法中，我们可以把方程组整理为：，此时两个方程都可以看成是函数解析式，从而我们可以利用函数图象解决一些问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空格） ①这个图象所研究的矩形A的面积为________；周长为________． ②满足条件的矩形B的两边长为________和________． 题型6 一次函数与反比例函数的其他综合应用 解题技巧（综合万能解题模板）：1. 图象分析：结合双函数图象位置、交点、增减区间，判断函数值大小、参数范围、图象平移关系；2. 最值与范围：根据自变量区间，结合一次函数单调性、反比例函数象限性质，求解最值与取值范围；3. 动态综合：图象平移、翻折、对称变换后，重新求解解析式、交点、几何面积；4. 参数综合：结合不等式、方程、几何面积，反向求解函数参数取值范围；5. 压轴思路：数形结合+分类讨论，优先固定不变量，分析动态变量规律。 【典例6】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 【变式1】．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 【变式2】．直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质． 【操作发现】 (1)当时，下表是该函数部分，的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． … … 结合函数图象，下列说法错误的是________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③当时，图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 (2)在（1）的条件下，当函数值时，自变量的值为________； 【拓展提高】 (3)①当关于的方程有三个不同的解时，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，则当直线与新函数有三个交点时，直接写出的取值范围． 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、，顶点在反比例函数（）上，顶点在反比例函数（）上．当点坐标为时，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 4．如图，直线l经过原点，且与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转度角（）后，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状是（     ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 5．若直角坐标系内两点P、Q满足条件①P，Q都在函数y的图象上②P，Q关于原点对称，则称点对是函数y的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）．已知函数，则函数y的“友好点对”有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知抛物线开口向上且经过点，双曲线经过点，给出下列结论：①；②；③b，c是关于x的一元二次方程的两个实数根；④．其中正确结论有（  ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．如图，已知，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，动点在轴的正半轴上，线段交反比例函数图象于、两点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，给出下面三个结论： ①； ②对任意，存在唯一的动点，使四边形是平行四边形； ③当时，的面积有最大值2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________． 10．如图，反比例函数的图像经过的顶点A，点B在y轴上，，，则_______． 11．如图，直线交反比例函数的图象于点A，交y轴于点B，将直线向下平移个单位后得到直线，交反比例函数的图象于点C．若的面积为，则k的值为____． 12．点在一次函数上，也在反比例函数上，则的值为________． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 15．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 16．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点在轴上，连接，，若，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出满足的x的取值范围． 18．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，将两点和的“直角距离”定义为：． (1)已知，那么______； (2)函数的图像如图所示，如果点C在该函数的图像上，且． ①求点C的坐标； ②过点C作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，试判断四边形的形状，并证明． 19．定义：如图，在平面直角坐标系中，为第一象限内的任意一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为．若四边形的周长与其面积相等，则称点为平面直角坐标系中的“等和积点”．已知“等和积点”在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)若为上一点，以为边作正方形，若点在反比例函数的图象上，试求出点的坐标，并判断点是否为“等和积点”． 20．如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别是，过两点的直线与轴， 轴分别交于点，双曲线与该直线交于两点． (1)求直线和双曲线的函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足，求点P的坐标． 21．如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． (1)若点的坐标为； ①求的值； ②观察图象，当时，直接写出不等式的解集． (2)若将点分别向上或向右平移相同距离均可落在反比例函数的图象上，请直接写出的值． 22．如图，反比例函数与一次函数的图像相交于和两点． (1)直接写出：点坐标________；反比例函数解析式________，直线的函数解析式________． (2)如图，直线与反比例函数交于另一点，若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标． (3)请结合图像回答，时，的取值范围________． (4)在轴上有一点，若满足最小，则点的坐标为________．若满足最大，则点的坐标为________． 23．小华用“描点法”绘制一个正比例函数图像和一个反比例函数图像，他列表取值的部分数据如表1和表2． 表1： 表2： x … a 1 2 … x … a 1 2 … … 2 1 … … b 2 4 … (1)请判断表1和表2分别对应哪种函数，并分别写出它们的函数表达式； (2)求表格中a、b的值； (3)在平面直角坐标系中，画出这两个函数的大致图像，并结合这两个函数的图像，直接写出当时，自变量x的取值范围． 24．如图1，在中，为边上的高，，，，动点P从点B出发，沿以1个单位每秒的速度运动，到达点C时停止运动，设点P运动的时间为，过点P作交的边于点Q，点P，Q的距离为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $