第19讲 三角形的内切圆、正多边形与圆（暑假预习培优讲义，5题型技巧2重难拓展+中考真题+提分培优）新九年级数学新教材人教版

第19讲 三角形的内切圆、正多边形与圆（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 三角形的内切圆 2 知识点02 正多边形与圆 3 剖题型·讲技巧 题型1 利用公式求内切圆半径（基础必考） 5 题型2 内心与角度综合（培优必考） 6 题型3 内心‑外接圆综合（填空压轴） 8 题型4 求中心角、边长、边心距 8 题型5 正多边形面积计算 10 释疑惑·重难拓展 题型1 方程思想解决内切圆与外接圆综合模型（拔高） 11 题型2 培优拓展：正多边形与旋转综合 14 知中考·真题探源 16 练好题·提分培优 17 课标要点 1. 了解三角形内心的概念，区分内心与外心；掌握内切圆半径的常用计算公式，会求普通三角形、直角三角形内切圆半径。 2. 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角概念，能把正多边形问题转化为等腰三角形、直角三角形计算。 3. 培优目标：结合方程、面积法、勾股定理解决内切圆综合问题；利用垂径定理处理正多边形边长、周长、面积的压轴计算。 重点：内心性质、直角三角形内切圆公式、正多边形四个基本概念。 难点：一般三角形内切圆半径推导、正多边形中构造直角三角形计算。 知识点01 三角形的内切圆 一、基础概念 1. 三角形内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2. 内心：内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点。 内心核心性质（必背） ① 内心到三角形三边的距离相等，距离就是内切圆半径； ② 内心一定在三角形内部； ③ 内心与顶点连线平分对应内角； ④ 区分外心（三边垂直平分线交点，到三个顶点距离相等）。 内外心对比表格 名称 交点来源 到哪里距离相等 位置 外心（外接圆圆心） 三边垂直平分线 三个顶点 锐角△内部；直角△斜边中点；钝角△外部 内心（内切圆圆心） 三条角平分线 三条边 永远在三角形内部 二、内切圆半径公式（培优重点） 设三边：，，，周长，面积为。 公式1（通用公式，面积法推导） 变形： 原理：连接，把大三角形分成3个小三角形， 。 公式2（直角三角形专属结论，高频考点） ，直角边，斜边。 推导：，代入通用公式： 化简可得 ，做题优先用这个简化式子。 补充：切点到顶点线段长度（培优拓展） 设边上切点分别为，则： 练习 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 知识点02 正多边形与圆 一、四个核心概念（必须熟记） 一个正多边形一定有外接圆和内切圆，且两圆为同心圆。以正边形为例： 1. 中心：外接圆圆心； 2. 正多边形的半径：中心到顶点距离（外接圆半径）； 3. 边心距：中心到一条边的距离，也是内切圆半径； 4. 中心角：相邻两个顶点与中心连线的夹角。 二、解题万能思想 过中心作边的垂线，把正多边形问题切分成全等的直角三角形： 直角三角形三要素：斜边 = 正多边形半径；一条直角边 = 边心距；另一条直角边 = 边长的一半； 锐角 = 中心角。核心关系式：。 三、 常见特殊正多边形结论（培优速记） 图形 OA:AB:OB 内切圆与外接圆半径的比 等边三角形 1:: 2 1:2 正方形 1:1: 1: 正六边形 : 1:2 :2 练习 2．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，正六边形内接于，已知这个正六边形的边心距的长为3，则的半径为（   ） A． B． C．3 D．6 题型1 利用公式求内切圆半径（基础必考） 方法技巧 1. 直角三角形内切圆：优先秒杀公式 ，无需算面积，最快出答案； 2. 任意普通三角形：固定用通用公式 ，缺面积时优先用海伦公式、勾股定理补求面积。 【典例1】（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 【变式1-1】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-3】（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图， 的周长为，， 是的内切圆，的切线与、分别交于点、， 则的周长为_______ ． 题型2 内心与角度综合（培优必考） 方法技巧 角度题型专属秒杀模型：看到「三角形内心、求」直接套结论 ；反向题型已知，反推顶角 ，考试无需现场推导，节省大量时间。 【典例2-1】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则___________． 【典例2-3】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的内切圆，切点分别是、、．若，则__________°． 【变式2-1】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点C恰好与的内心I重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 【变式2-3】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 题型3 内心-外接圆综合（填空压轴） 方法技巧 ①角平分线转化角；②圆周角定理相等代换；③证等腰三角形。 压轴小题直接用该结论，跳过证明步骤 【典例3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【变式3-1】（25-26九年级上·湖北鄂州·阶段检测）已知分别是的外心和内心，，则的大小是___________． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，分别是的外心和内心，，则的大小是______． 【变式3-3】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）已知的外心为，内心为，，_______ 题型4 求中心角、边长、边心距（基础） 方法技巧 正多边形基础计算万能法：一律「过中心作垂线，拆分直角三角形」，锁定三边关系：；特殊图形直接背定值秒杀：正六边形，不用一步步推导。 【典例4-1】（2026·上海闵行·三模）已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【典例4-2】（25-26九年级上·陕西延安·期末）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形，一个巢房的横截面为正六边形（如图），正六边形内接于于点，且，则这个正六边形的边长是___________． 【典例4-3】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）若正六边形的边长为4，则此正六边形的边心距为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式4-1】（2025·山东德州·二模）如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·陕西西安·一模）如图，正六边形内接于，若正六边形的周长是，则的半径是__________． 【变式4-3】（2025·上海金山·二模）以同一个圆的内接正三角形、正四边形、正边形的边心距为三边作三角形，若这个三角形是直角三角形，正边形的边心距为直角三角形的斜边，那么的值可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．12 题型5 正多边形面积计算 方法技巧 正多边形面积统一速算：放弃分三角形累加，通用秒杀公式 ，适配所有正边形，计算简洁、容错率高。 正边形面积 = 个等腰三角形面积之和 【典例5-1】（2026·安徽·二模）如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·安徽·模拟预测）南北朝数学家祖冲之用“割圆术”首次将“圆周率”精算到小数第七位，割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，以此可求得圆周率的近似值．如图，若的半径为1，则圆的面积与其内接正十二边形面积的差为_____． 【变式5-1】（25-26九年级上·河北唐山·期末）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为______． 【变式5-2】（2026·安徽马鞍山·三模）如图，的外切正六边形的边长为4，则图中阴影部分的面积为______． 【变式5-3】（25-26九年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，的半径为4，正六边形内接于，求的面积． 题型1 方程思想解决内切圆与外接圆综合模型（拔高） 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点，，在上，是直径，点是的内心，连接，并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 2.如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）提出问题以及解决问题： (1)问题提出 如图1，在直角中，，是的内切圆，若的半径是1，则的斜边长为 ． (2)问题解决 小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石进行切割设计．顾客首先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在附近区域，所以玉镯要尽可能贴着边和边，观察到和的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过边和边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的（点A在上，点C在上），应使得尽可能短，同时的周长和面积尽可能的小．经过测量，，，根据顾客的需求，手镯的内圈直径为，外圈直径为，即小圆的直径为，大圆的直径为 请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在和上的点A和点C使得覆盖大圆的周长取得最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出的周长及面积；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知中，，．请按照题意用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)请在图中作一个能覆盖且面积最小的，则的半径为 ； (2)请在图的纸片中剪出一个面积最大的，则的半径为 ． 5．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 题型2 培优拓展：正多边形与旋转综合 6．（24-25九年级下·广西桂林·阶段检测）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图①，在等边三角形内部有一点，求的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，然后利用和形状的特殊性求出的度数，就可以解答这道题． 下面是小明的部分解答过程： 解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，即． （1）请你补全余下的解答过程． 【类比迁移】 （2）如图②，在正方形内有一点，且，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图③，在（2）的条件下，连接，若正方形的边长为，则线段的最小值为________． 7．（23-24九年级上·浙江金华·阶段检测）如图①，是的直径，，点C在上且位于直线上方，将半径绕点O顺时针旋转，点C的对应点为点D，连接，． (1)以为边的内接正多边形的边数为 ； (2)当直径平分时，求的长； (3)如图②，连接并延长，交的延长线于点E，当是等腰三角形时，直接写出扇形的面积． 8．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图1，正方形内接于，将线段绕点顺时针旋转得到线段，其中，连接并延长交于点，连接，，过作于点，连接． (1)如图1，若，，共线，求的值； (2)试探究的大小与的关系，并说明理由； (3)当为等腰直角三角形时，求的值． 一、单选题 1．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 3．（2026·山东烟台·中考真题）如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________． 三、解答题 4．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图①，在中，，，垂足为．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心的位置，并求出的半径；若不可以，请说明理由． 1．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 3.（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，正八边形内接于为上任意一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 5．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，点为的外心，点为的内心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7.（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·福建福州·模拟预测）如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 9．（2026·河北·一模）已知平面内一个角，有一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的两边上截得的两条弦恰好都是一个正六边形的边，那么这个角的度数为___________． 10．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）正方形的四个顶点都在上，E是上一动点． (1)若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数； (2)如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由； (3)如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $©学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第19讲三角形的内切圆、正多边形与圆（暑假预习培优讲 义) 析知识·讲要点 知识点01三角形的内切圆 … 。。。。。。。。 .2 知识点02正多边形与圆， 0……3 剖题型·讲技巧 题型1利用公式求内切圆半径（基础必考） 题型2内心与角度综合（培优必考） 9 题型3内心-外接圆综合（填空压轴） 14 题型4求中心角、边长、边心距 17 题型5正多边形面积计算， 22 释疑惑·重难拓展 题型1方程思想解决内切圆与外接圆综合模型（拔高） 26 题型2培优拓展：正多边形与旋转综合 35 知中考·真题探源 44 练好题提分培优 47 课标要点 1.了解三角形内心的概念，区分内心与外心；掌握内切圆半径的常用计算公式，会求普通三角形 直角三角形内切圆半径。 1/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角概念，能把正多边形问题转化为等腰三角形、直角 三角形计算。 3.培优目标：结合方程、面积法、勾股定理解决内切圆综合问题；利用垂径定理处理正多边形边 长、周长、面积的压轴计算。 重点：内心性质、直角三角形内切圆公式、正多边形四个基本概念。 难点：一般三角形内切圆半径推导、正多边形中构造直角三角形计算。 析知识·讲要点 知识点01三角形的内切圆 一、基础概念 1.三角形内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2.内心：内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点。 内心核心性质（必背） ①内心到三角形三边的距离相等，距离就是内切圆半径r; ②内心一定在三角形内部； ③内心与顶点连线平分对应内角； ④区分外心（三边垂直平分线交点，到三个顶点距离相等）。 内外心对比表格 名称 交点来源 到哪里距离相等 位置 外心（外接圆圆心） 三边垂直平分线 三个顶点 锐角△内部；直角△斜 边中点；钝角△外部 内心（内切圆圆心） 三条角平分线 三条边 永远在三角形内部 2/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、内切圆半径公式（培优重点） 设△ABC三边：BC=a,AC=b,AB=C,周长CA=a+b+C,面积为S。 公式1（通用公式，面积法推导）S=(a+b+c)小r 变形：r= 2S a+b+c 原理：连接OA、OB、OC,把大三角形分成3个小三角形△OAB、△OBC、△OAC, 1,1 1 SA ABC=SAO+SAOAC+SAOAB=ar+br+cr. 2 21 2 公式2（直角三角形专属结论，高频考点） Rt△，直角边a、b.斜边c。r=a+b-C 2 推导：S=ab.代入通用公式： 3x1 6 ab r= a+b+c a+b+c 化简可得r=a+b-C,做题优先用这个简化式子。 2 补充：切点到顶点线段长度（培优拓展） 设AB、BC、AC边上切点分别为F、D、E,则： AF=AE=b+c-a,BD=BF=a+c-b,CD=CE=a+b-c 2 2 2 练习 1.(25-26九年级上宁夏吴忠·期末)三角形内切圆的圆心为() A.三条高的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点 3/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【详解】解：，三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又，角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点， 知识点02正多边形与圆 一、四个核心概念（必须熟记） 一个正多边形一定有外接圆和内切圆，且两圆为同心圆。以正边形为例： 1.中心：外接圆圆心 2.R正多边形的半径：中心到顶点距离（外接圆半径）； 3.r边心距：中心到一条边的距离，也是内切圆半径 4.中心角：相邻两个顶点与中心连线的夹角。 中心角=360 n 二、解题万能思想 过中心作边的垂线，把正多边形问题切分成全等的直角三角形： 直角三角形三要素：斜边=正多边形半径R;一条直角边=边心距r;另一条直角边=边长的一半 锐角=1中心角_180。核心关系式：，2+ =R2 n 三、常见特殊正多边形结论（培优速记） 图形 OA:AB:OB 内切圆与外接圆半径的比 等边三角形 1:3:2 1:2 A 7B ∠A0B=609 4/62 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正方形 1:1:V2 1:V2 ∠A0B=45 正六边形 V3:1:2 3:2 B ∠AOB=300 练习 2.(25-26九年级上：广东广州期末)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，己知这个正六边形的边心距 OM ⊙O 的长为3，则的半径为() 825 C.3 D.6 【答案】B 【详解】解：如图，连接OB,OC, M ∠B0C=60°.OB=OC, ∴△BOC是等边三角形， :.OB=BC, OM⊥BC, 5/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 BM-CM -7BC .OM=BO2-BM2 =3BM .OM=3 BM=3 OB=2BM=23 故选：B 剖题型·讲技巧 题型1利用公式求内切圆半径（基础必考） 方法技巧 1。直角三角形内切国优先秒杀公式r-9无需算面积最快出答案： 2.任意普通三角形：固定用通用公式r= 2S 缺面积时优先用海伦公式、勾股定理补求面 a+b+c 积。 【典例1】(25-26九年级上：广西钦州阶段检测)如图，已知O0是△ABC的内切圆，切点分别为D,E, F,若AE=2,CD=4,BF=6,则内切圆的半径r为 o 【答案】2 【详解】解：，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F, 6/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AE=AF,CD=CE,BD=BF, :AE=2,CD=4,BF=6, ∴AF=2,CE=4,BD=6. .AB=AF+BF=2+6=8,BC=BD+DC=6+4=10,AC=AE+EC=2+4=6, AB2+AC2=BC2 ·.△ABC是直角三角形， 设内切圆的半径为” .5.w-(AB+BC+AC)r-ABxC 即5(8+10+6)r= *6x8 解得r=2, 故答案为：2. 【变式1-1】(25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测)如图，在△ABC中，AB-12,AC=6,⊙0为 △AB 的内切圆，且半径为万，若△48C 14V7 BC 的面积为 ,则的长为() B A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】D 【详解】解：过O分别作OD⊥AB、OE⊥AC、OF⊥BC,分别交AB、AC、BC于D、E、F,连接 OA、OB、OC, 是 的内切圆，且半径为， D B.⊙O△ABC √5 7/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OD=OE=OF= 24B-0D+24C-0F+)oF-BC=14W万， 12x5+6x万+分x7ac=i45. 解得BC=10, 故选：D, 【变式1-2】(25-26九年级上江苏苏州阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为中线，若 女 AB=5,AC=12,设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为i,,那么的值为() D 25 6 5v2 A.1 B.18 c. D.6 【答案】B 【详解】解：如图，连接OA,OB,OD,LA,IC,D,过点O,点I分别作BC的垂线，垂足分别为 M,N, M DN 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5,AC=12, :BC=VAC2+AB2=V12+5=13 AD为中线， .'AD=BD=CD c-13 2 2 8/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DD)O(C+D+CD) “2×(5+13)斯=2×(12+13)5 1=25 218 故选：B. 【变式1-3】(2025九年级上江苏泰州专题练习)如图，△ABC的周长为20cm,AC=8cm,⊙0是 △ABC ⊙0 的切线与4B、BC M N BMW cm 的内切圆， ，分别交于点“、”，则 的周长为. 0 【答案】4 【详解】解：如图，设OO与△ABC各边的切点分别为D、E、F，⊙O与MN相切于G点， D M G E .AD=AF,BD=BE,CE=CF,MD=MG,NG=NE. AC=8,即AF+CF=8, ∴，AD+CE=8, :△ABC的周长为20 .AB+BC+AC=20. ∴AB+BC=20-8=12,即BD+AD+CE+BE=12, ∴.BD+BE=12-8=4, △BMN的周长为：BM+BN+MN =BM+BN+MG+NG =BM+BN+MD+NE 9/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(BM+MD)+(BN+NE) =BD+BE =4cm. 故答案为：4 题型2内心与角度综合（培优必考） 方法技巧 角度题型专属秒杀模型：看到「三角形内心、求上B1C直接套结论∠B1C=90+号∠A:反向 题型已知 ∠BIC 反推顶角 ∠A=2(∠BIC-90°) 考试无需现场推导，节省大量时间。 【典例2-1】(25-26九年级上：山东临沂期末)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心， 连接OB，LA.若∠0BC=25°，则∠BA1的度数为() A.35° B.17.5° C.20° D.32.5° 【答案】D 【详解】解：如图，连接OC, .OB=OC ∴.∠OCB=∠OBC=25°. 10/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠B0C=180°-2×25°=130°， :∠BAC=∠B0C=65° 2 点I是△ABC的内心， ∠BAl=2∠BMC=2×65°=32.50 1 2 故选：D 【典例2-2】(25-26九年级上·河北邢台期末)如图，将三角形纸片ABC沿EF折叠，点C恰好与△ABC 的内心I重合，若∠EIA+∠FIB=210°，则∠C= 夕 【答案】40 【详解】解：：△ABC沿EF折叠，点C恰好与△ABC的内心I重合， .∠EIF=∠C,AI平分∠BAC,BI平分∠ABC, 8=5ac,∠B4=号ABC, 28+2B4-BC+2ic)0-∠c)=03<c. ∠B-1s0-(u1B+∠a4=180-(90-号0=0+54C .∠EIA+∠FIB=360°-∠EIF-∠AIB=210°， 3w-4c-(0+号c210 解得∠C=40°， 故答案为：40 11/62 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2-3】(25-26九年级上·江苏扬州期中)如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F.若 ∠A=60°，则∠DFE= D B 【答案】60 【详解】解：连接D、E, D 是 的内切圆，切点分别是、、， △ABC D E F AB⊥ID,AC⊥IE .∠ADI=∠AEI=90° ∠A=60°， ∠DIE=360°-∠ADI-∠AEI-∠A=120°， ∠DFE=∠DIE=60, 故答案为：60 【变式2-1】(25-26九年级上山西吕梁期末)如图，将三角形纸片ABC沿EF折叠，点C恰好与△ABC 的内心I重合.若∠ACB=30°，则∠EIA+∠FIB的度数为() E A.215° B.225° C.235° D.245° 12/62 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】解：，在△ABC中，∠ACB=30°， ∴.∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=150°， ,△ABC沿EF折叠，点C恰好与△ABC的内心I重合， .∠EIF=∠ACB=30°，AI平分∠BAC,BI平分∠ABC, B-c,∠B4=ABc, 2A8+∠BA=(∠BAC+∠ABC)-X150=75, ∠AIB=180°-（∠IAB+∠IBA)=180°-75°=105° .∠EIA+∠FIB=360°-∠EIF-∠AIB=360°-30°-105°=225°， 故选：B 【变式2-2】(25-26九年级上：宁夏吴忠期末)如图所示，△ABC的内切圆⊙0与AB、BC、AC分别相切 于点D、E、F,若∠DEF=55°，则∠A的度数是 D B E 【答案】70° 【详解】解：连接OD、OF,如图， A D ,∠DEF=55°， .∠DOF=2∠DEF=110°， :⊙O是△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F, .OD⊥AB,OF⊥AC, 13/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AD0=∠AF0=90°， .∠A+∠DOF=180°， ∴.∠A=180°-110°=70° 【变式2-3】(25-26九年级上·甘肃武威阶段检测)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的 外接圆相交于点D. D (1)求证：DE=DB (2)连接BE,CE.若∠CBD=32°，求∠BEC的度数. 【详解】(1)证明：连接BE,如图所示： E B D CD=CD .∠DAC=∠DBC, ~点E是△ABC的内心， BE平分∠ABC,AE平分∠BAC, ∠CBE=∠ABE=∠ABC,∠BAE=LCAE=)∠BAC, 21 ∠DAC=LDBC, .∠BAE=∠DBC, :∠BED是△ABE的一个外角， ∠BED=∠ABE+∠BAE, ·.'∠DBE=∠DBC+∠CBE. 14/62 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DBE=∠DEB. :DE=DB: (2)解：连接CE,如图所示： 由(1)知∠DAC=∠CBD=32°， ∴.∠BAC=2∠CAD=2×32°=64°， 在△ABC中，由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-64°=116°， ~点E是△ABC的内心， ∴.BE平分∠ABC,CE平分∠ACB, <CE=Z46-4C,∠BCE=∠4CE=ACB, 在△BCE中，∠BEC=18O°-∠CBE-∠BCE =180-ABc-∠AC8 =180-(2ABc+∠4C8) =1800-x116 =122° 题型3内心-外接圆综合（填空压轴） 方法技巧 ①角平分线转化角；②圆周角定理相等代换；③证等腰三角形。压轴小题直接用该结论，跳过证明步骤 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一中一一一一一一 【典例3】(25-26九年级上江苏宿迁期末)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连 15/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 接OB、IA.若∠CAI=40°，则∠OBC的度数为. 【答案】10 【详解】解：如图，连接OC, :点I是△ABC的内心， ∴.AI平分∠BAC, :∠CAI=40°， ∴∠BAC=2∠CA1=2×40°=80°， ,点O是△ABC外接圆的圆心， .∠B0C=2∠BAC=2×80°=160°， ...OB=OC, ÷208c=20cB=×080-∠B0c)=×0s0-160）-10, 故答案为：10° 【变式3-1】(25-26九年级上湖北鄂州阶段检测)已知O,I分别是△ABC的外心和内心，∠B0C=140° 则∠BIC的大小是 【答案】125°或145° 【详解】解：O是△ABC的外心，∠BOC=140°， BC ,当点A在优弧上时， ∠BAC=1∠B0C=70 2 16/62 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当点A在劣弧 BC 上时， ∠BAC=180°-70°=110° I是△ABC的内心， .∠B1C=90°+∠BAC 当∠B1C=70时，∠B1C=90+×70=125: 当∠BAC=110时，∠B1C=90°+ ×110°=145° 2 故答案为：125°或145° 【变式3-2】(25-26九年级上湖北武汉阶段检测)已知O,I分别是△ABC的外心和内心，∠B0C=148° 则∠BIC的大小是一 【答案】127°或143 【详解】解：，O是△ABC的外心，∠BOC=148°， ∴当点A在优弧BC上时，∠BAC=)∠B0C=74, 2 .∠ABC+∠ACB=180°-74°=106°， ,I是△ABC的内心， .∠ABI=∠CBL,∠ACI=∠BCI .∠CBM+∠BCI=。×106°=53°， 、∠BC=180°-(2CB1+∠BC1)=180°-53°=127 17/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当点A在劣B8C上时.∠BAC=180-74=106 .∠ABC+∠ACB=180°-106°=74°， ,I是△ABC的内心， .∴.∠ABI=∠CBI,∠ACI=∠BCI .∠CB1+∠BC1=号×74=37°， ∠BIC=180°-（∠CBI+∠BC）=180°-37°=143° 故答案为：127°或143° 【变式3-3】(25-26九年级上福建莆田阶段检测)己知△ABC的外心为O,内心为I,∠B0C=126°， ∠BIC= 【答案】121.5°或148.5 【详解】解：，O是△ABC的外心，∠BOC=126°， 当点A在优弧BC上时，如图： ZBAC∠B0C=号x126°=630 :I是△ABC的内心， .BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB, 、∠ABI=∠CBI,∠ACI=∠BCI, ,∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC, 18/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷2CB1+∠BC-ABc+4c8-x4Bc+ZAcB)-Is0-∠BC)-0-ac. ∠BIC=180°-∠CBI-∠BCI=180°- 9o-Bc=0+Bc 8当∠B4C=630时，∠BMC=90+号×63-121.5°： 当点A在劣弧BC上时， 则∠BMC=2(60-1269)-×234=17°。 :/是。4BC的内心，同理可得∠B1C=90+)∠BAC, .∠B1C=90°+)∠BAC=90°+号×117°=148.50 故答案为：121.5°或148.5° 题型4求中心角、边长、边心距（基础） 方法技巧 正多边形未础计算万能法：一在「过中心作垂线，拆分直角三角形，锁定三边关系：=+月 特殊图形直接背定值秒杀：正六边形l=R,不用一步步推导。 【典例4-1】(2026上海闵行·三模)己知正多边形一个内角的度数是150°，那么该正多边形中心角的度数 是 【答案】30° 【详解】解：~该正多边形的一个内角为150° 19/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 该正多边形的一个外角为180°-150°=30°， :任意多边形的外角和为360° :该正多边形的边数n= 360° =12 30° 正多边形的中心角和为360°， 360° :,该正多边形的中心角为12 =30° 【典例4-2】(25-26九年级上陕西延安期末)大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结 构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形，一个 巢房的横截面为正六边形ABCDEF(如图)，正六边形ABCDEF内接于OO,OM⊥BC于点M,且 OM=2mm,则这个正六边形的边长是 mm. 4v5 【答案】3 【详解】解：连接OB,OC,如图所示 六边形 是正六边形， ABCDEF :∠B0C=360 =60° 6 OB=OC :△BOC为等边三角形， ∴OB=BC=OC, ,OM⊥BC, .BM-MC-BC.ZBOM-ZBOC-30 20/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷BM=BO 2 根据勾股定理得：BO-BM2=OM2, 2 即B02、 o 1 -22 9 B0-4 -mm 解得： 3 ,负值舍去， 43 BC=BO= mm 3 4v -mm ,这个正六边形的边长是3 【典例4-3】(24-25九年级上湖南湘西期末)若正六边形的边长为4，则此正六边形的边心距为() 8 22 0 23 A.2 C.3 【答案】D 【详解】解：如图，连接OA,作OM⊥AB, E D ,正六边形 的边长为4， ABCDEF ∠AOM=30° .AM 24B-1 ×4=2 ·正六边形的边心距是OM=VOAP-AM2=2V5 故选：D 【变式4-1】(2025山东德州二模)如图，⊙0是正五边形ABCDE的内切圆，点M,N,F分别是边 AE AB CD,⊙O ∠MFN 与的切点，则 的度数为() 21/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.360 B.35 C.34° D.33 【答案】A 【详解】解：如图，连接OM,ON. 分别是 与 的切点， .M N F AE AB CD⊙O .OM⊥AE,ON⊥AB, ∠0MA=∠0NA=90°， 正五边形AB0De中∠1=5-2)x10 108°， 5 .∠M0N=180°-108°=72°， ÷∠MFN=∠MON=36° 故选：A。 【变式4-2】(2025陕西西安·一模)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，若正六边形的周长是18cm, 则⊙0的半径是 cm A D 【答案】3 【详解】解：连接OA,OB, 22/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D :正六边形ABCDEF内接于⊙O, =60° ·AB=3cm ∠A0B=360 6 ∴.△OAB是等边三角形， ..OB=AB=3cm, :⊙0的半径是3cm, 故答案为：3 【变式43】(2025·上海金山二模)以同一个圆的内接正三角形、正四边形、正n边形的边心距为三边作 三角形，若这个三角形是直角三角形，正n边形的边心距为直角三角形的斜边，那么n的值可能是() A.4 B.5 C.6 D.12 【答案】C 【详解】解：如图，AC是⊙O的直径，△AEF,四边形ABCD是⊙O的内接正三角形，正四边形，AC交 EF于点H, AE=AF :AE=AF .AC⊥EF ∴.OH是正三角形AEF的边心距，∠OHE=90°， .OE=OF,∠E0F=二×360°=120° 3 .∠0EF=∠0FE=5×(180°-120)=30°」 2 设OH=m,则OE=2OH=2m, 连接OD,作OI⊥AD于点I, 23/62 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .OD=OA=OE=2m,∠AOD=二×360°=90° 4 .AD=VOA2+OD2=√20A=2√2m C.O1=AI=DI=AD=2m 设正n边形的边心距为x, ,以⊙O的内接正三角形，正四边形，正边形的边心距为三边作三角形得到直角三角形， .x=√m2+(W2m)2=V3m 如图，令正”边形的一条边为MN,过点O作OL1N,则OL=V3m,M=M N ML=NL-VON-O -(2m)-(3m)m ∴.MN=2m=OM=ON, :△MON为等边三角形，则∠MON=60°， ∴.n=360°÷60°=6. 故选：C 题型5正多边形面积计算 方法技巧 正多边形面积统一速算：放弃分三角形累加，通用秒杀公式S=二×周长×边心距，适配所有正n 边形，计算简洁、容错率高。 正n边形面积=n个等腰三角形面积之和S=n×】·1~r=上×周长×边心距 2 24/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一一一一一一1 【典例5-1】(2026安徽二模)如图，一个正多边形中心点0为正多边形的中心，0A=工，若乙ACB=150 则这个正多边形的面积为() A.1 B.3 C.π D.3元 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥OB于D, :O是正多边形的中心， .OA、OB都是正多边形外接圆的半径，A、B是正多边形的相邻顶点，C在外接圆上， ..OA=OB=1, :∠ACB=15°，∠AOB和∠ACB是外接圆的圆心角和圆周角， .∠AOB=2∠ACB=30° 4004 :正多边形所有中心角和为360°， 360° :.正多边形的边数为30°=12，即该正多边形为正十二边形， 1 11 S40B=5OB·AD=5×1×5 2 24 :.正十二边形的面积为12S40B=12×=3 4 【典例5-2】(2026·安徽·模拟预测)南北朝数学家祖冲之用“割圆术”首次将“圆周率π”精算到小数第 七位，割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，以此可求得圆周率的近似值.如图，若⊙O 25/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的半径为1，则圆的面积与其内接正十二边形面积的差为 【答案】π-3 【详解】解：如图，将圆内接正十二边形分割成12个等腰三角形，点A,B,C为顺次三个分点，连接 AC,交OB于点D, ,圆的半径OA=OB=OC=1, :=0xP=元 360°=30°， :正十二边形的中心角为12 ∴.∠AOB=∠BOC=30° .∠AOC=60°. ∴.△AOC为等边三角形， 04-AC-0C=1 AD-CD=1AC=1 Γ2，OD⊥AC: S40=OBxAD=1 2 4 1 ·正十二边形的面积为12个这样的等腰三角形面积之和，即：S正+二边形=12×=3， 4 S差=S圆-S正+二边形=π-3 CoHo 【变式5-1】(25-26九年级上河北唐山期末)苯（分子式为。°）的环状结构是由德国化学家凯库勒提 出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图 如图2所示，点O为正六边形ABCDEF的中心.若CD=1,则正六边形的面积为 26/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 3w5 【答案】2 【详解】解：，ABCDEF是正六边形，点O为中心， .AB=BC=CD=DE=EF=AF=1,OC=OD, .∠C0D=360°÷6=60°， :.△COD是等边三角形， OC=CD=1 正六边形的面积为 S.COD 过点O作OH⊥CD,如图所示： .CH-CD- .OH⊥CD oH=co-ci =1-4 -2 6S.c=6xxCDxOH=3xIx √535 2 2, 33 故答案为：2· 【变式5-2】(2026安徽马鞍山三模)如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为4，则图中阴影部分 的面积为 27/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 4V3-2π 【详解】解：如下图所示， E 设AB与⊙O的切点是点M,连接OM, 则OM⊥AB, ·在正六边形4 BCDEE中，∠4OB=×360°=60°，OA=OB 6 ∴.△OAB 是等边三角形， 正六边形ABCDEF的边长为4， ∴OA=OB=AB=4, .∠AOM=∠BOM=30°， 4M-01=2。 :.0M=VOAP-AM2=V42-22=2√3 ∴.S阴影=SOAB-S扇形AOB 360xx0M2 425-05j =45-2π 28/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式5-3】(25-26九年级上·甘肃定西阶段检测)如图，⊙0的半径为4，正六边形ABCDEF内接于⊙0 求aOAB的面积. 4v3 【答案】 【详解】解：~正六边形ABCDEF内接于OO, ∠A0B=360 =60°， 6 :OA=OB, :△AOB是等边三角形， .AB=OA=OB=4. 如图，过O作AB的垂线OH, 则4H=BH-54B=2,∠Ai0=90 :0H=VOA-4H2=V42-22=25 :5m480H-4x25=45 释疑惑•重难拓展 题型1方程思想解决内切圆与外接圆综合模型（拔高） 1.(25-26九年级上湖北武汉阶段检测)如图，点A,B,D在O0上，BD是直径，点I是△ABD的内 心，连接AI,并延长交⊙O于点C,过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E. 29/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求证：CE是⊙O的切线： 包法BE-20,CE-号0B,求图中阴影都分的面积， 3 【详解】(1)证明：连接OC, ,BD是⊙O的直径， 六∠BAD=90°， :点I是△ABD的内心， ∴.AI平分∠BAD, .∠BAC=45°， .∠BOC=2∠BAC=90°， ,CE∥BD. ∴.∠OCE+∠BOC=180°， .∠0CE=90°， .OC⊥CE, :0C是⊙0的半径， .CE是⊙O的切线： (2)解：过B作BF⊥CE于点F,则∠BFE=∠BFC=90°， ∴.∠BFC=∠OCF=∠BOC=90°， ∴四边形BOCF是矩形， 30/62 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OC=OB, ∴，四边形BOCF是正方形， 、BF=CF=OB, 直CE-0,设0B=3x则BF=CF=CR=4 ..EF =CE-CF=x, 在RtABEF中，由勾股定理得：BE2=BF2+EF2, :(2o=(3x}+x2, ∴x=2(负值已舍去)， .EF=2,BF=6, :.S影=SaGr+SE方形0ce-S0形0c 2×2x6+62-0x6 360 =42-9π 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙0是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F. (1)连接OA、OB,则∠AOB= (2)若BD=6,AD=4,求⊙0的半径. 3)在(2)的条件下，Rt△ABC的外心和内心的距离等于 【详解】(1)解：⊙0是△ABC的内切圆， .OA平分∠CAB,OB平分∠CBA, 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴.∠CAB+∠CBA=90°， 31/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠OAB+∠OBA=(∠CAB+∠CBA)=45° 2 .∠A0B=180°-45°=135° (2)解：设半径为r,连接OE、OF, :⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F, ∴由切线长定理得：BE=BD=6,AF=AD=4,CE=CF, :∠C=90OE⊥BCOF⊥AC ∴四边形OECF是正方形，CE=CF=r, .AC=AF+CF=4+r,BC=BE+CE=6+r, :AB=AD+BD=4+6=10. 在Rt△ABC中，由勾股定理得： (4+r)2+(6+)2=102 解得：r=2或r=-12(舍去负值)， ⊙0的半径r=2. (3)解：由(2)知AC=6,BC=8,AB=10, 设斜边AB的中点为M,则M是Rt△ABC的外心， 分别连接OM,OD, AD=4,AB=10, AM=4B-5 .MD=AM-AD=5-4=1, :OD是内切圆半径，OD上AB, ∴.OD=r=2, 在RtAOMD中，由勾股定理得： OM=VOD2+MD2=22+1=5 .Rt△ABC 5 的外心和内心的距离为 32/62 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026陕西西安·模拟预测)提出问题以及解决问题： B 图1 图2 备用图 (1)问题提出 如图1，在直角△ABC中，∠A=30°，⊙0是△ABC的内切圆，若⊙0的半径是1，则△ABC的斜边长为_ (2)问题解决 小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石BDFE进行切割设计.顾客首 先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计，由于该原石成色最好的部分在∠B附近区域，所以玉 镯要尽可能贴着BE边和BD边，观察到EF和DF的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过DF 边和EF边.根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打 磨.为了最大限度地利用该石材，切割出的△ABC(点A在BD上，点C在BE上)，应使得AC尽可能短， 同时△ABC的周长和面积尽可能的小.经过测量，∠B=60°，BE=156mm,BD=175mm.根据顾客的需 求，手镯的内圈直径为56mm,外圈直径为70mm,即小圆⊙0的直径为56mm,大圆⊙0的直径为70mm. 请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在BD和BE上的点A和点C使得覆盖大圆OO的△ABC周长取得 最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出△ABC的周长及面积；若不存在，请说明理由 【详解】(1)解：如图，内切圆圆心为O,过O分别作ABAC、BC的垂线段，垂足分别为D、B、F, 连接OA、OB、OC,则OD=OE=OF=R, 33/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=30 六设BC=,则4B=2x,4C=V5x 由内切圆可得，CE=CF=R, .AD=AE=AC-R.BD=BF=BC-R, ∴，AB=AD+BD=AC+BC-2R, :.R-AC+BC-AB -3x-x=1 2 解得V5+1 .AB=2x=2N3+2 即斜边长为 2W3+2 2W3+2 故答案为： (2)解：由题意可知大⊙O与△ABC相切，如图，过O作AB、ACBC的垂线段，垂足分别为M、N P,连接OA、OB、OC, 大 的直径为 E ⊙0 70mm ∴.OM=OP=ON=35mm. ∠B=60°， ∠0BN=∠0BM=30,∠A0C=90+)∠B=120 .BM=BN=35v3mm 34/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AM=AP,CN=CP, “.CABC=AB+BC+AC BM+AM+AC+BN+CN =BM+BN+AP+CP+AC =70W3+2AC ∴.要使△ABC的周长最小，则求AC最小值即可， 如图，作△AOC的外接圆O卫，连接O0,过Q作QH⊥AC于点H, D .·∠AOC=120 ∴.∠AQC=120° 设01=0C=Q0=r,则4C-5,0H=, :QH+OP≤OQ 1 35+r≤r, 2 .r≥70 AC=V3r≥70W ,即当4C=70w 时，有最小值， 此时C,c=70W5+2AC=210W5mm (CC)C.6755mm 4.(24-25九年级上江苏无锡阶段检测)如图，已知△ABC中，AC=BC=3,AB=4.请按照题意用无 刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）· 35/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 1)请在图1中作一个能覆盖△ABC且面积最小的©0，则O0的半径为一： (2)请在图2的△ABC纸片中剪出一个面积最大的⊙I,则⊙I的半径为 【详解】(1)解：如图1，分别作线段AB,AC的垂直平分线，相交于点O,以点O为圆心，OA的长为 半径画圆，则⊙0即为所求. 图1 设线段AB的垂直平分线交AB于点D, .AD=AB=2 2 .AC=BC=3. ·△ABC为等腰三角形， 直线OD过点C, :CD=VAC2-AD2=V32-22=5 设⊙0的半径为r,则OD=CD-OC=5-r. 在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2=OD+AD, 即2=(N5-r+2 95 解得10， 36/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 95 ,⊙0的半径为10. 95 故答案为：10； (2)解：如图2，分别作∠BAC和∠ABC的平分线，相交于点I,再过点I作AB的垂线，交AB◆于点D, 以点I为圆心，线段D的长为半径画圆，则O1即为所求. E B 图2 由题意得，⊙I为△ABC的内切圆， 记⊙I与AC相切于点E,与BC相切于点F,连接IC, 设⊙0的半径为r, .AC=BC=3. ·△ABC为等腰三角形， :直线o过点C,0-4B=2, CD=AC2-AD2=32-22=5 m-号4BcD-×4x5=25 SAABC=SAABD+SABCD+SAACD :2x4r+7x3r+x3r=25 1 2 解得5， 37/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25 ∴⊙1的半径为5. 2W5 故答案为：5. 5.(24-25九年级上江苏南京阶段检测)如图1，己知△ABC中，AB=AC=10,BC=12,点I是△ABC 内-点，若∠BC=0+号BMC且m平分∠ABC 2 F B (1)求证：点I是△ABC的内心： (2)如图2：直接写出答案：△ABC外接圆的半径r= ;△ABC的内心I与外心O的距离I=- 【详解】(1)证明：：△ABC中，AB=AC=10, ∠4BC=∠4C8=080-∠BAC)=0-ABc, .BI平分∠ABC, ∠IBC=5∠ABC=45°-∠BAC. 4 ∠B1c=0+B4C. 2cB=180-45-4Bc+90+BaC45-4a4c 0c8-cB=w-B4c-(45-Bc4s-ac .∠ICB=∠ICA, ∴.CI平分∠ACB, 38/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·点I是△ABC的内心： (2)解：连接OB,D,IF,IB,IC,如图所示： 是等腰三角形，点是内心，点是外心 △ABC ·A,I,O在同一条直线上，且AE⊥BC,OA=OB=r, .BE=CE-7BC-6. 在RtABE中，AB=10,BE=6, ..AE=AB2-BE2 =8 在RtAOBE中，OB=r,OE=AE-OA=8-r,BE=6, 由勾股定理得：OB2=OE2+BE2, r2=(8-r)2+62 25 解得：=4， 0A=0B=r=25 4， 0E=AE-0A=8-25_7 44 点I为△ABC的内心，D,E,F为切点， ∴.lD=IE=IF=a, S.uB+S.mc+S.IC4=S4BC 号4Br+acE+4cD-8cD, 10a+分2a+x10-x12x8 1 2 解得：a=3, .IE=a=3, 39/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10=E-0E=3-7=5 44 25 △ABC外接圆的半径r= 4：a1BC的内心1与外心O的距离1= 4 255 故答案为：44· 题型2培优拓展：正多边形与旋转综合 6.(24-25九年级下·广西桂林·阶段检测)旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散 的条件相对集中，以达到解决问题的目的 ② 【探充发现】如图D.在等边=角形BC内部有一点P,PH=2,PB=,PCl,求∠BPC的度数.爱动脑 筋的小明发现：将线段BP绕点8逆时针旋转60°得到线段BP,连接4P,PP,则△BPC≌△BP4,然后 利用△BPP和△APP形状的特殊性求出∠BP'A的度数，就可以解答这道题. 下面是小明的部分解答过程： 解：将线段BP绕点B逆时针旋转6O°得到线段BP',连接AP,PP :BP=BP',∠PBP=60° △P'BP是等边三角形 ∠BP'P=60°，PP'=PB=V3 :△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=60°，BC=BA 9 .∠ABC-∠ABP=∠P'BP-∠ABP,即∠PBC=∠P'BA. (1)请你补全余下的解答过程. 40/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【类比迁移】 (2)如图②， 在正方形ABCD内有一点P,且PA=,PB=25,PC=,求∠BPC的度数. 【拓展延伸】 (3)如图③，在(2)的条件下，连接DP,若正方形ABCD的边长为2，则线段PD的最小值为 【详解】解：(1)将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP',连接AP,PP, BP=BP,∠PBP=60° ∴△P'BP是等边三角形， ∴.∠BP'P=60°，PP=PB=V3 :△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=60°，BC=BA ∴.∠ABC-∠ABP=∠PBP-∠ABP,即∠PBC=∠P'BA,且BP=BP', △BPC≌△BP'A(SAS) .∠BPC=∠BPA,PC=P'A=1. 在△4Pp中，(PPY=(5=3,(AP=1AP=4 (PP)+(AP)=4P2 ∴△APP是直角三角形，∠APP=90°， ∴∠BP'A=∠BPP+∠AP'P=60°+90°=150°， .∠BPC=150°： (2)如图所示，将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BE,连接AE,PE, D 、BP=BE,∠EBP=9O°=∠EBA+∠ABP, 41/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△BEP是等腰直角三角形， ,EP=V2PB=V2×2V2=4∠BEP=45° ,四边形ABCD是正方形， :.∠ABC=90°，即∠ABP+∠PBC=90°， ·.∠ABC-∠ABP=∠EBP-∠ABP,即∠PBC=∠EBA,且BP=BE, △PBC≌△EBA(SAS) .∠BPC=∠BEA,PC=EA=1, 在AABP中，P4=(7=17,PE2=4=16,AE2=1, .'PE2+AE2=PA2, ∴.△AEP是直角三角形，∠AEP=90°， ∴.∠BEA=∠BEP+∠AEP=45°+90°=135°， :.LBPC=135°： (3)如图所示，以BC为斜边在BC下方作等腰直角△BOC,则∠OBC=∠OCB=45°，以点O为圆心， OB ⊙0BC⊙O G BG.CG BGCP 为半径画圆，记为，在下方，©上取一点，连接，则四边形 是圆内接四边 形， B 0 ,∠BOC=90°， ZBGC=22B0C=45° :.∠BPC=135°，符合(2)的条件， 连接OD,根据两点之间线段最短，当点P在⊙O上运动时，点P在OD上时有最小值，作OF⊥DC延长 线与点F, 42/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△BOC是等腰直角三角形，正方形ABCD的边长为2，即BC=CD=2, OB =OC-BC-V2 2 ,∠BCD=90°， OP=B0=V2∠OCF=180°-∠BCD-∠OCB=180°-90°-45°=45° .FC=Fo-2 C=1 2 在RIADOF中，FO=1,DF=DC+FC=2+1=3, :0D=VFo2+DF=P+3=10 DP=OD-OP=10-√2 10-√2 故答案为： 7.(23-24九年级上浙江金华阶段检测)如图①，AB是⊙0的直径，AB=8,点C在⊙0上且位于直线 AB上方，将半径OC绕点O顺时针旋转40°，点C的对应点为点D,连接CD,BD, E 图① 图② (1)以CD为边的OO内接正多边形的边数为_： 2当直径B平分∠COD时，求4C的长， (3)如图②，连接AC并延长，交BD的延长线于点E,当△ABE是等腰三角形时，直接写出扇形AOD的面 积. 【详解】(1)解：根据旋转可知，∠COD=40° 43/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 360° 以CD为边的o0内接正多边形的边数为：40。=9： 故答案为：9。 (2)解：，点C在⊙0上且位于直线AB上方，将半径OC绕点O顺时针旋转40°，点C的对应点为点 D,直径AB平分∠COD, ：∠B0c=∠B0D-5←C0Dx40=20, 2 ∠A0C=180°-∠B0C=180°-20°=160°， AB=8, :10=B0=2AB=4, 160×π×432π 180 99 32 ·AC的长是gπ (3)解：当△ABE是等腰三角形，且EB=AB时，如图所示： E B 则∠A=∠E, :OA=OC=OD=OB】 ∴.∠OCA=∠A=∠E, .OC‖BE, ∴.∠AOC=∠B=∠ODB=∠COD=40°. .∠AOD=∠AOC+∠COD=40°+40°=80°， 80元×4232π S扇形AOD 3609: 当△ABE是等腰三角形，且AE=BE时，如图所示： 44/62 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则∠A=∠B, 180°-2∠A=180°-2∠B. ∠AOC=180°-2∠A,∠BOD=180°-2∠B, :∠A0C=∠B0D=080°-40）=70°， .∠AOD=∠AOC+∠COD=70°+40°=110°， 110元×4244元 ∴.S扇形4OD= 360 9； 当△ABE是等腰三角形，且AE=AB时，如图所示： C 则∠B=∠E, ∴.∠ODB=∠B=∠E, .OD‖AE, ∴.∠BOD=∠A=∠OCA=∠COD=40」 :.∠AOD=180°-∠B0D=180°-40°=140°， 140π×4256π .S扇形4OD= 360 9； 32 44 56 综上所述，扇形AOD的面积为)π或gπ或)元. 8.(25-26九年级上福建厦门期中)如图1，正方形ABCD内接于⊙0，将线段BC绕点C顺时针旋转α 得到线段CE,其中0°<a<90°，连接BE并延长交⊙O于点F,连接AF,AE,过E作EG⊥CD于点G, 连接FG. 45/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 o 0 图1 图2 备用图 (1)如图1，若E,0,G共线，求的值； (2)试探究∠FGE的大小与的关系，并说明理由： BE (3)当。4EF为等腰直角三角形时，求BF的值。 【详解】(1)解：如图所示，连接AC,BD,取CE的中点T,连接GT, 图1 :四边形ABCD是正方形， .∠ADC=∠BCD=90°，BC=CD, ∴.AC,BD都是⊙O的直径， “.点O为正方形ABCD对角线的交点， .0D=0C, ,EG⊥CD,且E,O,G共线， CG-CD-BCCGE-90 2 2 由旋转的性质可得CE=CB,∠BCE=a, c-jc T为CE的中点， ÷.7G=7C=2CE=CG, “△CGT是等边三角形， .∠TCG=60°. 46/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BCE=∠BCD-∠TCG=30°，即a=30°： (2)解：∠FGE的大小与a无关，∠FGE=45°，是个定值，理由如下： 如图所示，连接OAOF,BD,DF,CF,DE, B 图2 ,四边形ABCD是正方形， ∴∠AOD=90°，∠BCD=∠ABC=90°，∠ABD=45°，BC=CD, .∠AFD=180°-∠ABD=135°： 由旋转的性质可得CB=CE,∠BCE=a, :∠CBE=∠CEB=1809-a=90° 1 2，∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-a' :.∠ABF=∠ABC-∠CBE=20, 1 1 :∠ADF=∠ABF=20, :∠DAF=180°-∠AFD-∠ADF=45°-1& ·∠DCF=∠DAF=45o- 2, i∠ECF=2DCE-∠DCF=45°-a=∠DC； 又：BC=CE=CD,CF=CF, :△ECF≌DCF(SAS) .EF=DF. ·∠AFB=∠ADB=45°， ∴.∠BFD=135°-45°=90°， .∠FDE=∠FED=45°， :EG⊥CD, 47/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EGD=90°， .∠EGD+∠EFD=180°， ∴E、F、D、G四点共圆， ∴.∠FGE=∠FDE=45°， ·∠FGE的大小与a无关，∠FGE=45°，是个定值： (3)解：如图3-1所示，当∠AEF=90°时，过点A作AM⊥AF交BF于M, M O 图3-1 :∠AFE=45°， :△AMF是等腰直角三角形 .AM=AF,MF =2EF,ME=EF :四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=90°=∠MAF, .∠BAM=∠DAF=90°-∠DAM, △BAM≌△DAF, .BM=DF, 由(2)可得DF=EF, .BM=EF, .BF BM+FM =3EF,BE BM+EM =2EF BE 2 ·BF3: 如图3-2所示，当∠EAF=90°时， 图3-2 48/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△EAF是等腰直角三角形， .AE=AF ,四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAD=90° 、∠BAD=∠EAF=90°， ∴.∠BAD-∠DAE=∠EAF-∠DAE, .∠BAE=∠DAF, △BAE≌△DAF(SAS) .BE=DF, 又.EF=DF, ∴BE=EF, .BF =2BE, BE 1 BF2: BE 2 综上所述， F的值为2或3· 知中考·真题探源 一、单选题 1,(2025四川内江巾考真题)如阁，正五边形18CDE内接于o0,P为C上的点（点P不与点C重 合)，则∠CPD的度数为() A.360 B.45° C.60° D.72 【答案】A 【详解】解：：正五边形ABCDE内接于⊙O, 49/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .∠C0D=2×360°=72 ·<CPD ∠COD CD 分别是所对的圆周角和圆心角， :∠CPD= ∠C0D=36° 2 二、填空题 2.(2026黑龙江绥化中考真题)如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则这个正六边 形地基的面积是， m(计算结果保留根号). 24V5 【答案】 【详解】解：如图，设正六边形的中心为O, 连接OA、OB, 过点O作OD⊥AB于点D B ,多边形是正六边形 <A0B=360°」 -=60° 6 OA=OB :.△OAB是等边三角形 .OA=OB=AB=4m :OD⊥AB D-34B=x4=2m 1 50/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtAOAD中，由勾股定理得： 0D=√OA2-AD2=V42-2=√12=2W5(m) ∴.S.OAB= AB.0D=×4x23=43(m2） 2 2 ·正六边形的面积为： 6xS.0B=6×4W5=24W5(m2） 3.(2026山东烟台中考真题)如图，正五边形ABCDE的边长为10，连接AC,以AB为直径作⊙0，与 AC交于点F,与CB的延长线交于点G,则阴影部分扇形GOF的面积为 G B 15 【答案】2 【详解】解：如图，连接AG, ,在正五边形ABCDE中， AB=CB=10:<ABC=5-2×180=108 ∠B4c=4cB-080-4c)=36. :AB为OO的直径， ∠AG8=90.0G=0B-4B=5, .∠FAG=90°-∠ACB=54°， ∴.∠GOF=2∠GAF=108° 108π×5215 .S扇形cOr 360 2 三、解答题 4.(2024陕西中考真题)问题提出 51/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D.若AB=15,AC=8,则AD的长为 问题解决 (2)如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB=100cm,BC=160cm,AC=140cm.为了充 分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件.你认为可以吗？若可以，请在图中确 定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由， 图① 图② 备用图 【详解】解：(1)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=15,AC=8, :BC=VAB+AC2=152+82=17 AD⊥BC, 1 S△AaC= Bx4C=8Cx4D,即x15x8=×17xAD, 解得AD=120 17· 120 故答案为： 17： (2)可以， ,三角形内最大的圆是三角形的内切圆， ∴，所求圆的圆心是△ABC的内心， 作∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF交于点O,则点O就是裁出的最大圆型部件的圆心O的位置， MH 设BM=xcm,⊙O的半径为Rcm, .AB=100cm,BC=160cm,AC=140cm, ,CM=(160-x)cm 52/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ABM中，由勾股定理得AM2=AB2-BM2=1002-x2, 在RtAACM中，由勾股定理得 M2=AC2-CM2=1402-(160-x} ,1002-x2=1402-(160-x)} 解得x=50, :AM=V1002-2=50N3cm Sax-8cx4M-xl60x505=40N5am, ,点O为△ABC的内心 、OH=OP=OQ=Rcm. 又.3c=Soc+5oe+Son :BCxoH+)4Cx0P+54Bx00=400n5am, . 2 即2×160R+×140R+2×100R=40005cm2 R=20v3cm 解得 即⊙ 0v3cm 的半径为 练好题提分培优 1,(25-26九年级上河南驻马店期末)如图，BC是⊙0的内接正n边形的一边，点A在⊙0上， ∠BAC=20°，则n的值为() 0. 53/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.6 B.8 c.9 D.18 【答案】C 【详解】解：如图，连接OB,OC, ∠BAC=20°， .∠B0C=2∠BAC=2×20°=40°， .BC⊙O 是 的内接正边形的一边， ∴.n=360°÷40°=9 故选：C 2.(25-26九年级上湖北随州期末)如图，点A,B,C,D为一个正多边形的部分顶点，点O为正多边形的 中心，若∠AOD=120°，则这个正多边形的边数为() A.6 B.9 C.10 D.12 【答案】B 【详解】解：如图：连接OC、OB, :点O为正多边形的中心，∠AOD=120°， :∠A0B=∠A0D=40 3 .360°÷40°=9. 54/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意 3.(25-26九年级上·山东威海·期末)如图，正八边形 ABCDEFGH 于o0,P为G 内接 上任意一点，连接 PA,PB,则∠APB的度数为() D O H A.20° B.22.5 C.25 D.30° 【答案】B 【详解】解：连接OB、OA,如图。 D 正八边形 内接于 ABCDEFGH ⊙0 360° ∴.∠AOB= =45° 8 “P是圆上任意一点， AB=AB 银据圆周角定理，∠4P8=∠A0B=259 故选：B 4.(25-26九年级上山东德州期末)如图，⊙0为正五边形的外接圆，过C点的切线交AB的延长线于点 F,则∠F的度数为()· A.60° B.54° C.66° D.72° 55/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【详解】解：如图，连接OB,OC, 为正五边形的外接圆， …⊙0 ∠BOC= 360° =72° .OB=OC, ∠00B=180°-∠B0C-180,72=54. 2 2 :CF是⊙O的切线， OC⊥CF, .∠0CF=90° ∴.∠BCF=∠OCF-∠OCB=90°-54°=36° :∠CBF为正五边形的外角， ∠CBF=360 =72° ∴.∠F=180°-∠BCF-∠CBF=180°-36°-72°=72°， 故选：D 5.(2026海南省直辖县级单位·模拟预测)如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M,N,F分别是 边AE,AB,CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为() A.36° B.35 C.34° D.33 【答案】A 【点睛】解：如图，连接OM,ON」 56/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点M,N,F分别是边AE,AB,CD与⊙O的切点， .OM⊥AE,ON⊥AB, .∠OMA=∠ONA=90°， 正五边形8CDE中A=5-2k180 =108°， .∠MON=360°-∠0MA-∠ONA-∠A=72°， :∠MFN=;∠MON=36° 6.(2025九年级上：广东广州专题练习)如图，点0为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若 ∠B0C=130°，则∠B1C的度数为() A.122.5° B.57.5 C.67.50 D.70° 【答案】A 【详解】解：连接OC,C,如图所示： O 由内心可知：IA,C,B分别是△ABC内角的角平分线， :点O为△ABC的外心，∠BOC=130°， :根据圆周角定理可知：∠B4C=B0C=65。 57/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC+∠ACB=115°， :IC,IB分别是∠ACB,∠ABC的角平分线， &∠IBc-Ac,∠108=4cB, 2 ∠Bc+2ICB-ABc+号4CB=575 2 .∠B1C=180°-∠IBC-ICB=122.5°： 故选A. 7.(25-26九年级上山东临沂期末)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB, LA.若∠CAI=36°，则∠OBC的度数为() A.16° B.18° C.20° D.36° 【答案】B 【详解】解：连接OC, 点是 的内心， ·I△ABC ∠CAI=36° ∠BAC=2∠CAL=72°， ∴.∠B0C=2∠BAC=144°， 点O是△ABC外接圆的圆心， ..OB=OC, :∠OBC= 180°-144° =18° 2 8.(2026福建福州模拟预测)如图，正七边形ABCDEFG,连接对角线AE,BG交于点H,则∠I的度 数为 58/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 540° 【答案】7 【详解】解：如图，作正七边形ABCDEFG的外接圆⊙O, ,正七边形ABCDEFG, 六4B=AG=GF=BEF,∠BAG=∠AGF=∠F-(7-2x180°_900 7 7, 180°、9000 ·∠ABG=∠AGB= 7-180° 2 AG=EF' AG+FG=EF+FG AGF-EFG 、.∠GAE=∠AEF, ,∠AGF+∠AEF=180°， .∠AGF+∠GAE=180°， ∴.GF∥AE, ·∠GAE=180°_900°3600 7 7 ∴∠I=∠GAE+∠AGB= 360°，180°540° > 7 7 9.(2026河北一模)已知平面内一个角，有一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的两边上 截得的两条弦恰好都是一个正六边形的边，那么这个角的度数为 【答案】60°或120° 59/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】分两种情况讨论： 当角的项点在圆上时，圆与角的两边截得的两条弦为圆内接正六边形的两条相邻边， 即该角为正六边形的内角，如图： 正六边形的内角 (6-2)x180°=120°，即此时该角度数为120 6 当角的顶点在圆外时，圆与角的两边各交于两点，截得的两条弦为该圆内接正六边形的两条边（非相邻）， 如图： 弦AB和CD均为正六边形的边，则∠ABC=∠BCD=120°， 故∠PBC=∠PCB=60°， ∠P=180°-∠PBC-∠PCB=180°-60°-60°=60°； 综上，这个角的度数为60°或120° 10.(24-25九年级上广东广州阶段检测)正方形ABCD的四个顶点都在O0上，E是⊙0上一动点. A A 0 E 图1 图2 图3 (1)若点E不与点A、D重合，请直接写出∠AED的度数： 上运动（点B不与点B、C重合），连接BE,BC,E,试探究线段BE,BC BC (2)如图2，若点E在 AE的数量关系并说明理由； 60/62 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，若点E在AD上运动，分别取AB、CD的中点MN连接BE,MN,BE交MN于点F,四 边形BFNC与四边形BFN'C'关于直线BE对称，连接MC',MN',当正方形ABCD的边长为2时，求 △MC'N'面积的最小值. 【详解】(1)解：连接AC, E B C 正方形ABCD, .∠ACD=45°， 当点E在优弧AD上时，∠AED=∠ACD=45° 当点E在劣弧AD上时，∠AED=180°-45°=135°， 综上，∠AED的度数为45°或135°： (2) AE =CE+2BE ,理由如下， 在AE上截取AG=CE,连接BG, G B E ,AB=CB,∠GAB=∠ECB, △GAB≌△ECB(SAS) 、BG=BE,∠ABG=∠CBE .∠GBE=∠CBE+∠GBC=∠ABG+∠GBC-∠ABC=90°， :.△BGE是等腰直角三角形， GE=VBE 61/62 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ÷AE=AG+GE=CE+2BE (3)解：：正方形ABCD的边长为2，点M、N是AB、CD的中点， BM AM=CN=x2=1. :四边形BFNC与四边形BFV'C'关于直线对称， .BC'=BC=BA=2,C'N'=CN=1, ∴当CW'边上的高最小时，△MCW'面积取得最小值， ∴.当点C与点A重合，此时点E与点D重合， ∴.CN边上的高就是AM的长， 六△MCN面积的最小值为2×1×2=1. 62/62