专题12.5 用一次函数解决问题（举一反三讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦“用一次函数解决问题”核心知识点，前承一次函数的概念、表达式及图象性质，后通过行程、分配、调运等12类实际问题，构建从理论到应用的完整学习支架，系统培养问题转化与模型建立能力。 资料以“题型归纳+知识点解析+变式训练”为特色，精选生活实例如阶梯电价、最佳租车方案等，引导学生用数学眼光抽象数量关系，用数学思维推理函数模型，用数学语言解决实际问题。课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

专题12.5 用一次函数解决问题（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 利用一次函数解决行程问题】 2 【题型2 利用一次函数解决分配问题】 8 【题型3 利用一次函数解决调运问题】 13 【题型4 利用一次函数解决工程问题】 17 【题型5 利用一次函数解决计时问题】 21 【题型6 利用一次函数解决体积问题】 27 【题型7 利用一次函数解决梯度计价问题】 32 【题型8 利用一次函数解决最佳方案问题】 37 【题型9 利用一次函数解决费用最少问题】 41 【题型10 利用一次函数解决利润最大问题】 45 【题型11 利用一次函数解决几何图形问题】 52 【题型12 利用一次函数解决其他问题】 58 考点1 利用一次函数解决实际问题 知识点1 一次函数的应用 在运用一次函数解决实际问题时，首先要判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所需要的结果． 在解决现实生活中的数量关系的问题时，可以应用函数知识，解题的关键是建立函数表达式． 在具体数学问题中，数据较多，反映的内容也比较多，把众多的信息有机地组合在一起是解题的关键，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径． 知识点2 用图象法解决实际问题 在解决有关“选择方案”问题时，可以采用图象法，这种方法是解决许多实际问题的重要手段．读图时，一定要明确横、纵坐标所代表的意义． 从两个相交的一次函数图象中获取信息 看图象 获取信息 两个一次函数，，当自变量的值为时，函数值都为或当函数值为时，自变量的值都为 当自变量的值时，函数值，即对同一自变量x的值，图象在上面的函数值大 当自变量的值时，函数值，即对同一自变 量x的值，图象在下面的函数值小 【题型1 利用一次函数解决行程问题】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（）与虚线（）表示，那么在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用问题，解题的关键是看懂函数图象并掌握待定系数法求一次函数解析式的方法， 先求出第一次相遇的时间，再求出直线的解析式，联立直线的解析式即可得出第二次相遇的时间． 【详解】解：根据甲15-33分钟运动了2千米， 所以可得甲这段时间的速度为：/分， 故从5千米运动至6千米需要9分钟， 即6千米对应的时间为24分钟， 可得：第一次相遇的时间是第24分钟， 故乙的速度为：/分 的解析式为 点B的坐标为，点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 即直线的解析式为， 联立直线与直线的解析式可得：， 解得：， 即第二次相遇的时间是第38分钟， 所以乙领先甲时的x的取值范围是． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，且甲车的速度比乙车快．两车相遇时原地休息了，又各自按原速前往目的地．甲、乙两车之间的距离与乙所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论不正确的是（     ） A．A、B之间的距离为 B．的值为 C．甲行驶的速度是乙的倍 D．的值为 【答案】B 【分析】根据时，可判断A选项；再由甲车行驶的时间和路程可求解甲车的速度，由相遇时可得甲乙的速度和，进而可求解乙车的速度，由此可判断C选项；再根据甲乙行驶的路程和速度求解和的值，由此可判断BD选项． 【详解】解：A选项，当时，， 可知A、B之间的距离为，故A选项正确； C选项，由图象可知，在时，甲车到达目的地，此时只有乙车还在行驶， ∴甲行驶的速度为， ∴乙行驶的速度为， ∵， ∴甲行驶的速度是乙的倍，故C选项正确； D选项，当时，且乙行驶的速度为， 此时乙行驶了，故，故D选项正确； B选项，后，乙行驶的路程为，且乙行驶的速度为， ∴乙又行驶了， ∴，即的值为，故B选项错误 ． 【变式1-2】（25-26八年级下·河北保定·期末）问题情境：年世界机器人运动大会竞速项目中，甲、乙两款机器人在的直线跑道上进行比赛．它们从同一起点同时出发，跑到终点，然后沿原路返回起点． 问题探究：机器人实时位置到起点的距离（单位：）与时间（单位：）的函数图象（不完整）如图所示，其中折线是甲款机器人的图象，线段是乙款机器人的部分图象，已知对应的函数关系式为． 问题解决： (1)①点的坐标为________． ②求线段对应的函数关系式． (2)乙款机器人到达终点后，因故障耽误了，然后以原来的速度返回起点，请你在图中画出乙款机器人返回时的大致函数图象（线段），用字母标注两个端点，并写出两个端点的坐标． (3)乙款机器人返回过程中，两款机器人到起点的距离之差为时，的值为________． 【答案】(1)①；② (2)乙款机器人返回时的大致函数图象如图所示： ，， (3) 【分析】（1）①把点M的纵坐标代入函数关系式为，解出即可获解；②已知点O，点P的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）因故障耽误了，代表纵坐标不变，横坐标增加5，以原来的速度返回起点，代表返回时用的时间相同，根据题意则可画出图象； （3）分别求出线段和线段对应的函数关系式，进而根据甲乙不同的位置情况分类讨论列关系式求解即可． 【详解】（1）解：①∵对应的函数关系式为，观察图象知点M的纵坐标为120， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②设线段对应的函数关系式为， 把点代入，得， 解得， 线段对应的函数关系式为； （2）解：根据题意画出图象略 乙款机器人到达终点后，因故障耽误了， 点的横坐标为， ， 因为是以相同的速度返回起点， 所以返回所用的时间与来时用的时间相同，为， 点的横坐标为， ； （3）解：设线段对应的函数关系式为， ，， ，解得， ∴线段对应的函数关系式为，， 设线段对应的函数关系式， ，， ，解得， ∴线段对应的函数关系式，， 根据题意，当时，， 解得，又因为乙返回的时间范围是， 不符合题意． 当时，， 解得，符合乙返回的时间范围是， 故的值为50． 【变式1-3】（25-26七年级下·山东烟台·期末）甲、乙两地相距，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶后，快车才开始行驶，快车到达乙地后，慢车降速以的速度行驶至乙地．已知快车的速度是，以快车开始行驶时开始计时，两车都到达乙地停止计时．设时间为，两车之间的距离为，如图是y与x之间的函数关系的部分图象． 请解答下列问题： (1)a的值为________，b的值为________，慢车在降速前的速度为________； (2)从两车相遇到快车到达乙地时，求y与x的函数关系式； (3)请在图中补全y与x之间的函数图象． 【答案】(1)40，80，80； (2)； (3)． 【分析】（1）由题意即可得出，设慢车在降速前的速度为，根据题意列出关于的一元一次方程，计算即可得出结果； （2）利用待定系数法计算即可得出结果； （3）求出当快车到达乙地后，慢车到达乙地还需要，待定系数法求出当快车到达乙地后，y与x的函数表达式，补全图象即可． 【详解】（1）解：∵慢车先行驶后，快车才开始行驶， ∴由题意可得， 设慢车在降速前的速度为， 由题意可得， 解得， ∴慢车的速度为， ∵， ∴， （2）解：设从两车相遇到快车到达乙地时，y与x的函数表达式． 将，代入得， 解得， ∴从两车相遇到快车到达乙地时，y与x的函数表达式为； （3）解：当快车到达乙地后，慢车降速以的速度行驶至乙地，此时两车相距， ∴当快车到达乙地后，慢车到达乙地还需要， ∴， 设当快车到达乙地后，y与x的函数表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴当快车到达乙地后，y与x的函数表达式为， 图略． 【题型2 利用一次函数解决分配问题】 【例2】我市某水果种植生产基地产销两旺，采摘的水果部分加工销售，剩下的部分直接销售，且当天都能销售完，直接销售是4000元/吨，加工销售是10000元/吨（不计损耗）．已知基地雇佣30名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘0.4吨或加工0.3吨．设安排x名工人采摘水果，剩下的工人加工水果． (1)将表格补充完整： 项目 采摘 加工 人数/人 x 销售数量/吨 ______ 销售收入/元 ______ (2)若基地一天的总销售收入为y元，求y与x的函数关系式； (3)瑞瑞和蓉蓉对人员分配和销售收入情况进行了讨论，请判断他们的说法是否正确，并说明理由． 瑞瑞：若30人全部采摘，则一天的总销售收入最少，最少为48000元； 蓉蓉：若合理分配这30人进行采摘和加工，则一天的总销售收入最多可达51400元． 【答案】(1)0.7x-9，2800x-36000 (2)y=-200x+54000 (3)瑞瑞和蓉蓉的说法都正确．理由见解析 【分析】（1）根据题中数量关系填空； （2）分别表示直接销售的收入和加工销售的收入，再求和即可； （3）分别计算两种情况下的收入，再比较后判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：x人采摘，每天可采摘：0.4x（吨）， 销售：0.4x-0.3（30-x）=（0.7x-9）吨． 销售收入为：4000×（0.7x-9）=（2800x-36000）元． 故答案为：0.7x-9，2800x-36000． （2）解：由题意得：y=2800x-36000+10000×0.3（30-x） =-200x+54000； （3）解：由题意得：0.7x-9≥0，30-x≥0， ∴12≤x≤30． ∵x是整数， ∴x的最小值是13， ∵y=-200x+54000中，-200＜0， ∴y随x的增大而减小． ∴当x=30时，y最小=-200×30+54000=48000（元）． 当x=13时，y最大=-200×13+54000=51400（元）． ∴瑞瑞和蓉蓉的说法都正确． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． 【变式2-1】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）王叔叔准备将一块面积为亩的土地全部种植甲，乙两种农作物，甲种农作物的种子成本元与其种植面积亩的函数关系如图所示，其中，乙种农作物的种子成本为每亩元． (1)求与的函数解析式； (2)若甲种农作物的种植面积不超过乙种农作物种植面积的倍，王叔叔应该如何分配两种农作物的种植面积才能使两种农作物种子的总成本最少？并求出该费用． 【答案】(1) (2)当甲种农作物的种植亩，乙种农作物的种植亩时才能使两种农作物种子的总成本最少，该费用为元 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出与的函数解析式； （2）根据题意，可以写出总的成本与甲种农作物种植面积的函数关系式，再根据甲种农作物的种植面积不超过乙种农作物种植面积的倍，可以求得甲种农作物种植面积的取值范围，最后根据一次函数的性质，可以求得最低费用及此时如何分配两种农作物的种植面积． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即与的函数解析式为； （2）解：设甲种农作物的种植面积为亩，则乙种农作物的种植面积为亩，总的成本为元， 由题意可得，， 随的增大而减小， 甲种农作物的种植面积不超过乙种农作物种植面积的倍， ， 解得， 当时，取得最小值，此时，， 答：当甲种农作物的种植亩，乙种农作物的种植亩时才能使两种农作物种子的总成本最少，该费用为元． 【变式2-2】某厂家在甲、乙两家商场销售同一商品所获利润分别为y甲，y乙（单位：元），y甲，y乙与销售数量x（单位：件）的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题： （1）分别求出y甲，y乙与x的函数关系式； （2）现厂家分配该商品给甲、乙两商场共计1200件，当甲、乙商场售完这批商品，厂家可获得总利润为1080元，问厂家如何分配这批商品？ 【答案】（1）y甲=0.8x；y乙=；（2）厂家分配该商品给甲商场1100件乙商场100件或甲商场800件乙商场400件时，厂家可获得总利润的1080元． 【分析】（1）设y甲=kx（k≠0），y乙=mx+n，由图象可知，点（600，480）在y甲=kx的图象上，代入求得k值，即可求得y甲与x的函数关系式；由图象可知，y乙=mx+n图象分0≤x≤200时和x＞200两部分，分别求得y乙与x的函数关系式即可；（2）设分配给乙商场x件，则分配给甲商场（1200﹣x）件，根据y甲+y乙=1080即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设y甲=kx（k≠0），y乙=mx+n， 将（600，480）代入y甲=kx， 480=600k，解得：k=0.8， ∴y甲与x的函数关系式为y甲=0.8x； 当0≤x≤200时，将（0，0）、（200，400）代入y乙=mx+n中， ，解得： ∴此时y乙=2x； 当x＞200时，将（200，400）、（600，480）代入y乙=mx+n中， ，解得：， ∴此时y乙=0.2x+360． ∴y乙与x的函数关系式为y乙=． （2）设分配给乙商场x件，则分配给甲商场（1200﹣x）件， 当0≤x≤200时，有0.8×（1200﹣x）+2x=1080， 解得：x=100， 此时1200﹣x=1100； 当x＞200时，有0.8×（1200﹣x）+0.2x+360=1080， 解得：x=400， 此时1200﹣x=800． 答：厂家分配该商品给甲商场1100件乙商场100件或甲商场800件乙商场400件时，厂家可获得总利润的1080元． 【点睛】本题考查了一次函数图象和性质，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能正确用待定系数法求出函数解析式是解本题的关键． 【变式2-3】（25-26九年级上·新疆阿克苏·期末）加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：）的函数关系如图所示，其中，乙种蔬菜的种植成本为元． (1)求甲种蔬菜种植成本与其种植面积之间的函数解析式； (2)设年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？ 【答案】(1) (2)甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植，W最小为元． 【分析】（）利用待定系数法求一次函数解析式，图像经过两个已知点和，将两点坐标代入解析式得到二元一次方程组，解方程组求出和的值，即可确定函数解析式； （）二次函数的最值应用，先根据甲、乙两种蔬菜的种植面积和各自的种植成本，列出总种植成本关于甲种植面积的二次函数表达式，再通过二次函数的性质(开口向上，对称轴处取最小值)，结合的取值范围，求出的最小值及对应的种植方案． 【详解】（1）解：设甲种蔬菜种植成本与其种植面积之间的函数解析式：， 由图象经过点和可得：， 解得， ∴； （2）解：∵甲种蔬菜种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：）的函数关系为； ∴ ∴当时，取最小值元，， 即：甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植，W最小为元． 【题型3 利用一次函数解决调运问题】 【例3】某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 【答案】(1)元，千克 (2) (3)从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意直接得出结论； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到与的函数关系式； （3）根据（2）中的函数关系式和的取值范围，利用一次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省． 【详解】（1）解：从甲养殖场调运鸡蛋千克，则从乙养殖场调运鸡蛋千克， 则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为：， 故答案为：元，千克； （2）解：根据题意得：， 与的函数关系式为：； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， ，， ， 当时，取得最小值， 此时， 答：当从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋时，每天的总运费最省． 【变式3-1】A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D市8台．已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为200元和400元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和250元． (1)设A市运往D市机器x台，求总运费w关于x的函数关系式； (2)若要求总运费不超过5000元，共有几种调运方案？ (3)求总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？ 【答案】(1) (2)有三种调运方案 (3)总运费最低的调运方案是：市运往市0台，运往市6台；市运往市10台，运往市2台；最低运费4300元 【分析】本题考查的是不等式的应用和用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数随的变化，结合自变量的取值范围确定最值． （1）从A市运往D市机器x台，从市往市运送台，从市运往市台，那么从市运往市台，根据题中运费即可得到总运费关于的函数关系式； （2）根据运费单价列出函数关系式，根据每次运出台数为非负数，列不等式组求的范围． （3）因为所求一次函数解析式中，一次项系数越小，越小，为使总运费最低，应取最小值． 【详解】（1）解：设A市运往D市机器x台， 由题意可知：， 化简得：． （2）由题意得， 解得：， 又∵从市运往市台， ， 综上，， 可取2，3，4． ∴有三种调运方案； （3）∵从B市最多运6台， ∴，且随的值增大而增大， 当时，的值最小，最小值元． 此时的调运方案是：市运往市0台，运往市6台；市运往市10台，运往市2台． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽池州·期末）为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【答案】(1) (2)总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【分析】（1）设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨，再根据每吨的运费列出总运费y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围即可； （2）根据一次函数的性质和x的取值范围，求出最低的调运方案及最低运费即可； 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组的实际应用问题，用x表示运往各地的吨数是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨， 则总费用 整理得： ∵， 解得， 即总运费y关于x的函数关系式为； （2）∵ ， ∴ y随x的增大而减小 ∵， ∴当时，最低运费为：， 此时从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨． 答：总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C，D两乡．从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t．现C乡需要肥料，D乡需要肥料， (1)设从A城调运x吨肥料到C乡（），补充完整下列表格 A地 B地 C地 x ② D地 ① ③ ①     ②     ③ (2)怎样调运，可使总运费最少？请写出具体方案及计算过程 【答案】(1)①；②；③ (2)从A城乡运往C乡吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡吨，运往D乡吨，此时总运费最少为元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格结合题意求解即可； （2）先求出运费关于的函数关系式，再由一次函数的性质分析求解． 【详解】（1）解：由题意得A地向D地调运，则乡还需要，则地调运到C地，则地剩余调运到D地， 故答案为：①；②；③； （2）解：设总运费为y元，由题意得： （）， ∵在函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∴时，总运费y有最小值， 此时，，，， 答：从A城乡运往C乡吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡吨，运往D乡吨，此时总运费最少，最小值为元． 【题型4 利用一次函数解决工程问题】 【例4】2020年8月底，天府新区根据鹿溪河全流域水环境治理工程建设总体安排，启动了兴隆湖水生态综合提升工程，其中一项工程计划工期10个月，工程总长度为10千米，由甲、乙两个工程队负责施工已知甲工程队每月改造1.2千米，乙工程队每月改造0.8千米，已知甲工程队每千米的施工费用为80万元，乙工程队每千米的施工费用为60万元，设完成此项工程所需施工总费用为w万元，甲工程队完成的工程长度为x千米． （1）写出w与x的函数表达式； （2）由于受场地施工限制，甲、乙两工程队不能同时施工，在保证不超过计划工期内完成此项工程的情况下，甲工程队需改造多少千米才能使两工程队完成此项工程所需施工总费用最低？最低费用为多少？ 【答案】（1）；（2）甲工程队需改造6千米才能使两工程队完成此项工程所需施工总费用最低，最低费用为万元． 【分析】（1）甲工程队完成的工程长度为x千米，则乙工程队完成的工程长度为(10-x)千米，根据题意列式即可求解； （2）根据题意列不等式，求得的取值范围，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）已知甲工程队完成的工程长度为x千米，则乙工程队完成的工程长度为(10-x)千米， 根据题意可得：， 整理得：； （2）根据题意可得， 整理得：， 解得：， 由（1）知：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 的最小值为， 故甲工程队需改造6千米才能使两工程队完成此项工程所需施工总费用最低，最低费用为万元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理清题中熟练关系，利用一次函数的性质是解题的关键． 【变式4-1】某项工程由甲、乙两个工程队合作完成，先由甲队单独做3天，剩下的工作由甲、乙两工程队合作完成，工程进度满足如图所示的函数关系： （1）求出图象中②部分的解析式，并求出完成此项工程共需的天数； （2）该工程共支付8万元，若按完成的工作量所占比例支付工资，甲工程队应得多少元？ 【答案】（1），完成此工程共需9天；（2）6万元． 【分析】（1）设一次函数的解析式（合作部分）是y=kx+b,将（3，），（5，）代入，可求得函数解析式，令y=1，即可求得完成此项工程一共需要多少天. （2）根据甲的工作效率是，于是得到甲9天完成的工作量是9×=，即可得到结论． 【详解】解：（1）设一次函数的解析式（合作部分）是y=kx+b（k≠0，k，b是常数）． ∵（3，），（5，）在图象上． 代入得 解得： ∴一次函数的表达式为y=x-． 当y=1时，x-=1，解得x=9， ∴完成此房屋装修共需9天； （2）由图象知，甲的工作效率是， ∴甲9天完成的工作量是：9×=， ∴×8=6万元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，数学公式（工作效率=工作总量÷工作时间）的灵活运用，能根据图象提供的数据进行计算是解此题的关键，题型较好． 【变式4-2】（24-25八年级下·上海崇明·期末）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）之间的关系如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费． 【答案】(1)y关于x的函数关系式为 (2)现计划平均每天的修建费为万元． 【分析】本题考查的是一次函数的应用，分式方程的应用； （1）设y关于x的函数关系式为，再把，代入计算即可； （2）设现计划修建的时间为m天，则原计划修建的时间为天．根据题意，得，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：设y关于x的函数关系式为， 根据题意，得， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为； （2）解： 设现计划修建的时间为m天，则原计划修建的时间为天． 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， ∴， ∴， 答：现计划平均每天的修建费为万元． 【变式4-3】（24-25八年级下·吉林白山·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘松长高速某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务．甲、乙两组挖掘的长度之和甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)甲组每天挖掘_______米，乙组每天挖掘_______米； (2)求乙组停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 【答案】(1)3，4 (2) (3)10天 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． （1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，结合工作量除以工作时间等于工作效率，进行列式计算即可； （2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围； （3）先计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等，列方程计算即可． 【详解】（1）解：由图象得，甲组每天挖（米）， 甲乙合作每天挖（米）， ∴乙组每天挖（米）， ∴甲组每天挖掘3米，乙组每天挖掘4米； （2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为， 将和两个点代入， 可得， 解得， ∴； （3）解：由（1）得甲组每天挖米，乙组每天挖米， 则乙组挖掘的总长度为（米） 设乙组已停工的天数为a， 则， 解得， 答：乙组已停工的天数为10天． 【题型5 利用一次函数解决计时问题】 【例5】（25-26八年级上·四川成都·期末）水钟也叫“漏刻”或“漏壶”，在我国的古代被许多民族和地区用于计时．小明在充分了解水钟的原理后，也设计出一款水钟．如图是他设计的水钟的示意图，水从上面的贮水壶（ 内含补偿装置）慢慢漏入下方透明玻璃制成的受水壶中．经过反复实验，可以确定漏水量是均匀的，当受水壶存有高的初始水量时，其后水面随着贮水壶的水的漏入，其高度也均匀地升高，在某次实验中，当受水壶的水面高度为时，小明开始计时，2小时后，测得水面高度为． (1)请你用恰当的数学形式描述出受水壶水面高度与高度变化所经历的时间之间的关系； (2)某天晚上时，小明开始入睡，此时水钟从初始状态开始计时，第二天小明醒来时，观察到水钟受水壶水面高度为，请问小明是何时醒来的？ 【答案】(1) (2)次日 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设受水壶水面高度与经历时间的函数关系式为，代入数值计算即可； （2）根据水面高度变化量计算出时间，进而解题． 【详解】（1）解：设受水壶水面高度与经历时间的函数关系式为， 当时，，代入得； 当时，，代入得， 解得； ∴函数关系式为：； （2）解：水面高度变化量为， 每小时升高，所需时间， 从开始计时，经过后到了次日． 答：小明是次日醒来的． 【变式5-1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，沙漏在古代不仅是一种实用的计时工具，承载着古人对时间的精准把握和对生活的有序安排，更蕴含着古人对时光流逝的哲思．某餐厅为营造高效服务氛围，提升顾客消费满意度，推出一种“沙漏计时”免单活动，即顾客点餐完成后，服务员会将沙漏倒置在桌面，并承诺在沙子漏完之前，顾客所点的菜品需全部上齐，若上不齐，超时的菜品免费，某数学小组观察发现：该沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量y（克）与流入时间（沙子从上面玻璃球流入下面玻璃球所经过的时间）t（分钟）成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间为2分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为克，当流入时间为10分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为48克． (1)求y与t之间的函数解析式； (2)求顾客点餐完成后，最晚多长时间菜品全部上齐？ 【答案】(1) (2)最晚25分钟菜品全部上齐． 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数关系式是解题的关键． （1）设上面玻璃球所剩沙子质量克与流入时间分钟之间的函数解析式为，利用待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，令，再进一步即可求解． 【详解】（1）解：设上面玻璃球所剩沙子质量克与流入时间分钟之间的函数解析式为， 由题知当时，；时，， ， 解得：， 与t的函数解析式为． （2）解：当时，， 解得：， 答：最晚25分钟菜品全部上齐． 【变式5-2】（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，兴趣小组每分钟记录一次水位的读数，得到下表： 记录时间 0 1 2 3 4 5 6 … 水位读数 3 3.4 3.8 4.2 4.6 5.0 5.4 … 在本次实验中，当水位读数为时，此时记录时间为______． 【答案】20 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．观察表格中记录时间和水位读数的数据，可以发现水位读数随着时间的增加而均匀增加，相邻时间间隔（1分钟）内水位读数的差值是固定的，所以它们之间是一次函数关系．我们可以设函数关系式为（为斜率，为截距），然后利用表格中的两组数据求出和的值，进而得到函数关系式，最后将代入函数关系式求出的值． 【详解】解：由表格数据可设，将和分别代入可得： ， 将代入，可得， 函数关系式为， 当时，代入函数关系式可得： ， 解得：． 故答案为：20． 【变式5-3】（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 【项目介绍】图1是我国古代的计时工具吕才漏刻，我们能不能也制作一个计时工具，让“1分钟”看得见． 【实践操作I】图2是数学实践小组甲利用日常生活中的物品制作的计时仪器，水流分别经过纸杯1、2、3，最后流入纸杯4，小组记录了流入纸杯4的水面高度与流水时间的数据（如表1所示），同时又记录了流入纸杯4的水的体积与流水时间的数据（如表2所示）． 表1 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 水面高度 0.3 0.7 1.05 1.35 1.6 1.8 1.95 表2 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 水的体积 6 10.8 15.6 20.4 25.2 30 34.8    【任务一】通过对表1和表2中数据的分析，小组同学发现______与流水时间t是一次函数关系； 【实践操作II】通过对小组甲数据的分析，为让时间“看得见”，数学实践小组乙改进了实验装置，将水的体积直接转化为仪表盘的刻度，如图所示，小组乙记录了仪表盘刻度值y与流水时间的数据（如表3所示）． 表3 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 仪表盘刻度值y 0.5 0.9 1.3 1.7 2.1 2.5 2.9    【任务二】（1）根据表3数据求仪表盘刻度值y与流水时间的函数解析式； （2）求时，仪表盘的刻度值； （3）自实验开始，在液面不超过纸杯4的高度时，先后两次测量时差为，所得的两次仪表盘的刻度值之和为11.4，则这两次测量的仪表盘的刻度值分别是__________和__________． 【答案】任务一：水的体积V；任务二：（1），（2）仪表盘的刻度值为4.1；（3）1.7，9.7 【分析】本题考查一次函数的应用． 任务一：根据一次函数变量之间的变化特点判断即可； 任务二：（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）当时，求出对应y的值即可； （3）设分钟时，仪表盘的刻度值为，分钟时，仪表盘的刻度值为，根据题意得①，②，②①，得，进而可得，再结合两次仪表盘的刻度值之和为11.4，可得，的二元一次方程，解方程即可． 【详解】解：任务一：通过对表1和表2中数据的分析，小组同学发现水的体积V与流水时间t是一次函数关系， 故答案为：水的体积V； 任务二：（1）设仪表盘刻度y与流水时间t的函数解析式为， 将和代入， 得 解得， ； （2）当时，， 即仪表盘的刻度值为4.1； （3）设分钟时，仪表盘的刻度值为，分钟时，仪表盘的刻度值为． 则①，②， ②①，得， ， ， ， ， 解得， 故答案为：1.7；9.7． 【题型6 利用一次函数解决体积问题】 【例6】（2026·河北石家庄·模拟预测）摄氏温度和热力学温度是两种不同的温度计量方法，二者成一次函数关系，与之间的部分对应数值如下表所示． 摄氏温度 热力学温度 (1)求与之间的函数解析式： (2)是热力学温度中的绝对零度，则绝对零度是_________； (3)一定质量的理想气体，在压强不变时，气体体积与气体的热力学温度成正比，即常数．在压强不变时，将的氮气加热到时，求此时氮气的体积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出与之间的函数解析式； （2）代入，求出值即可； （3）根据题意分别求得，，将，代入，即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为，将代入表达式， 得：． 所以，一次函数表达式． （2）当时，， 解得：， ∴绝对零度是； （3）将代入表达式，得：，对应的热力学温度． 由，根据，得： 所以，此时氮气的体积为． 【变式6-1】（2024·江苏泰州·二模）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积V（cm³），绘制了如图所示的函数图像（图中为一线段），则72g该种液体的体积为__________________cm3． 【答案】80 【分析】本题考查了一次函数的应用，设，将，代入解析式求得，进而可得烧杯的质量为140g，72g该种液体和烧杯的总质量为，求出的值即可． 【详解】解：由图象可得：液体和烧杯的总质量与液体的体积为一次函数关系， 设， 将，代入解析式得：， 解得：， ， 当时，，即烧杯的质量为 当该种液体时，时，即， 解得：． 故答案为：． 【变式6-2】有甲乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以每小时立方米的速度注入乙池，甲乙两个蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数图象如图所示，若要使甲乙两个蓄水池的蓄水量（指蓄水的体积）相同，则注水的时间应为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用，首先由函数图象可知甲、乙两个函数图象经过的点的坐标，利用待定系数法分别求出两个函数的解析式，把两个解析式联立得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出注水的时间． 【详解】解：设甲蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数关系式为， 由函数图象可知，甲的函数图象经过点和， 可得：， 解方程组得：， 甲蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数关系式为； 设乙蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数关系式为， 由函数图象可知，乙的函数图象经过点，， 可得：， 解得：， 乙蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数关系式为， 解方程组， 可得：， 当注水小时，两个蓄水池的蓄水量相同． 【变式6-3】（24-25八年级下·福建泉州·期末）项目式学习：饮水机中的数学建模 项目主题 探究高铁站饮水机接水策略中的数学问题 项目背景 新课标倡导“跨学科学习”理念，生活中常见的饮水机接水问题蕴含物理热传递原理与数学建模思想．小明在接水时发现：温水与开水混合时，开水放出的热量等于温水吸收的热量（不计热损失），可简化为数学关系：开水体积开水降低的温度温水体积×温水升高的温度．请通过数学建模及项目素材，探索解决以下问题． 项目素材 类型 温水 开水 实物照片 水流速度    初始温度 目标容量 水杯 最佳饮用温度 （含端点） 物理原理 若混合后水温为，则有：其中、分别为开水和温水的体积． 问题解决 项目一 接水时间计算：小明先接温水20秒，再继续接开水直至水杯接满还需______秒． 项目二 温度与接水时间的函数关系：设接温水时间为秒，接开水时间为秒，水杯总容量为，则__________（用含的代数式表示） 项目三 优化接水策略：若想在最短时间内接满水且水温达到最佳饮用温度，应如何安排接温水和接开水的时间？ 【答案】项目一：20；项目二：；项目三：安排接温水32秒，接开水4秒 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求一次函数解析式，解题的关键是理解题意，求出一次函数解析式． 项目一：根据接水速度和接水总量列式计算即可； 项目二：根据接开水速度和接温水速度，接水总量为，列出函数解析式即可； 项目三：根据，得出，求出，根据，得出，求出，根据，结合一次函数增减性进行求解即可． 【详解】解：项目一：∵小明先接温水20秒， ∴再继续接开水直至水杯接满还需的时间为： （秒）； 项目二：设接温水时间为秒，接开水时间为秒，水杯总容量为，则： ； 项目三：， ， 即， ， 水温达到最佳饮用温度，即， ， 解得， ∵， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，有最小值，最小值为36秒， 此时，y＝4， 所以应安排接温水32秒，接开水4秒． 【题型7 利用一次函数解决梯度计价问题】 【例7】（25-26七年级下·广东深圳·期末）深圳居民生活用电主要施行“阶梯电价”计费方式，定价标准按夏季和非夏季分时段调整，阶梯电价具体收费标准如下： 档位 夏季标准（5-10月） 非夏季标准（11月-次年4月） 电费单价（元/度） 第一档 0-260度 0-200度 约0.66 第二档 261-600度 201-400度 约0.71 第三档 601度及以上 401度及以上 约0.96 电费计算示例：假设在1月（非夏季）用电450度，其中200度（0-200度部分）按第一档0.66元/度计价；200度（201-400度部分）按第二档0.71元/度计价；剩余50度（401度以上部分）按第三档0.96元/度计价． (1)设深圳市某户居民5月用电量为度，当月的电费为元，请分别写出用电量在第一档与第二档时与的关系式； (2)如果该用户在5月用电量为200度，请计算当月电费； (3)如果该用户在6月电费为200元，请计算当月用电量． 【答案】(1)； (2)该用户5月电费为132元 (3)该用户6月用电量为300度 【分析】（1）根据题中所给计费标准进行求解即可； （2）根据题意可把代入（1）中进行求解即可； （3）根据题意可知6月用电量处于第二档，然后可把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：设深圳市某户居民5月用电量为x度，电费为y元， 第一档：； 第二档：； （2）解：因为，所以5月用电量属于第一档． 所以把代入（1）中得：； 答：该用户5月电费为132元． （3）解：因为，， 所以6月用电量处于第二档． 当时，，解得， 答：该用户6月用电量为300度． 【变式7-1】（25-26八年级下·全国·期末）自来水公司采用分段收费标准收水费，每月收取水费y（元）与用水量之间的函数关系如图所示，琪琪家5月份用水，应收水费（     ） A．33元 B．39元 C．42元 D．46元 【答案】B 【分析】设当时，y关于x的函数关系式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后代入求解即可 【详解】解：设当时，y关于x的函数关系式为， 将、代入中， 则， 解得， ∴当时，y关于x的函数关系式为， ∴当时，． 【变式7-2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）项目学习 项目主题：燃气费的计算 项目背景：在“双碳”目标引领与建设节约型社会的时代浪潮下，某市居民生活用气实施了分档计费．为了更好地帮助居民树立科学用气、节约用气的意识，“数学与生活”兴趣组开展了项目学习活动． 驱动问题：如何利用数学工具，为居民解读燃气消费清单、预测用气消费开支？ 以下是“数学与生活”兴趣组的活动过程．请你和他们一起解决问题． 解决问题： (1)信息解码与模型构建： 首先收集了该市某户居民的一张居民生活年用气消费明细． 居民生活用气消费明细 计费日期2025-01-01至2025-12-31 上期抄见数 本期抄见数 加原表用气量/m³ 本期用气量/m³ 1212 1814 602 用气量/m³ 单价/（元/m³） 金额/元 第一档：300             2.73                         819 第二档：300             3.28                         984 第三档：2               3.82                         7.64 本期实付金额（大写） 壹仟捌佰壹拾元陆角肆分  ¥1810.64 认真观察此明细并进行如下分析： 设本市居民年用气量为，燃气费为元． ①当时，y与之间的关系式为______； ②当时，y与之间的关系式为______； ③当时，y与之间的关系式为______． (2)模型应用与问题解决 通过分析发现，这样的分档计费中档次越高其单价越高，目的是鼓励人们要节约资源．该户居民准备在2026年实施节气措施，预计一年的燃气费为1475元，则该户居民2026年的用气量需为______． 【答案】(1)①②③ (2)500 【分析】本题考查了一次函数的应用，求出函数的解析式是解题的关键； （1）根据表格分段列出函数关系式即可； （2）将代入中，求出的值即可． 【详解】（1）解：①当时： ∵元， ∴y与之间的关系式为； ②当时： ∵前的费用为元， 超过的部分为，按第二档单价元/计算， ∴，化简得； ③当时： 前的费用为元， 超过的部分为，按第三档单价元/计算， ∴，化简得； （2）解：把代入中，得，解得， ∴该户居民2026年的用气量需为， 故答案为：． 【变式7-3】某市出租车收费标准分白天和夜间分别计费，计费方案见下列表格及图象（其中a，b，c为常数）． 行驶路程 收费标准 白天 夜间(22时至次日5时) 不超过的部分 起步价6元 起步价a 元 超过不超出的部分 每公里2元 每公里b元 超出的部分 每公里3元 每公里b元 设行驶路程为时，白天的运价为（元），夜间的运价为（元），如图，折线表示与x之间的函数关系式，线段表示当时，与x的函数关系式，根据图表信息，完成下列各题： (1)填空：________，________，________； (2)当时，求的函数表达式； (3)若幸福小区到阳光小区的路程为，小明从幸福小区乘出租车去阳光小区，白天收费比夜间收费少多少元？ 【答案】(1)7；；； (2)； (3)白天收费比夜间收费少5.4元． 【分析】（1）观察图象，的值可直接得到，再根据单价总价路程，即可得到、的值； （2）设，根据点，得到，即可得到的函数表达式； （3）根据收费标准分段计算得到，，作差即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，， ， ， 故答案为：7；；； （2）解：当时， 设，过点， 则，解得：， ； （3）解：， （元） （元） （元） 即白天收费比夜间收费少5.4元． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 【题型8 利用一次函数解决最佳方案问题】 【例8】某校组织八年级师生到新罗区研学基地参加社会实践活动，准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租用2辆）．A型车每辆租金600元，B型车每辆租金400元．若4辆A型和3辆B型车坐满后共载客290人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客270人．一个车载座位只能坐一人． (1)求每辆A、B型车的车载座位数； (2)若该年级计划租用A、B型两种客车共15辆，且A型车的数量不少于B型车的数量的2倍．请你设计一种最佳租车方案，使得租车的总租金最少，并求出对应的最少租金． 【答案】(1)每辆型车坐满后载客50人，型车坐满后载客30人； (2)租型车10辆，则租型车5辆，租金最少，最少租金是元． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一次函数的性质，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式组． （1）设每辆型车坐满后载客人，型车坐满后载客人，可得，即可解得每辆型车坐满后载客50人，型车坐满后载客30人； （2）设租型车辆，则租B型车辆，根据“要求A型车的数量不少于B型车的数量的2倍”， ，设租金为，则，结合一次函数的性质，即可作答． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，型车坐满后载客人， 根据题意得， 解得， 每辆型车坐满后载客50人，型车坐满后载客30人； （2）解：设租型车辆，则租型车辆， ∵要求A型车的数量不少于B型车的数量的2倍， ∴ ， 解得， 设租金为，则， ∵， ∴随的增大而增大， 当，则有最小值，且为， 即租型车10辆，则租型车5辆，租金最少，最少租金是元． 【变式8-1】某商场篮球、足球这两种商品的进价和售价如下：篮球、足球进货价分别为80元/个、100/个；篮球足球售出价分别为160元/个、240元/个．该商场打算购进这两种球共200个，但在实际进货时，生产厂家对每个足球的出厂价优惠n（45＜n＜75）元，若商场保持每种球类的售价不变，设商场购进足球x个，售完这200个球的总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）若n＝50且足球数x满足100≤x≤120时，请设计出该商场的最佳进货方案并求出最大利润． 【答案】（1）y=(n﹣60)x+28000(0＜x＜200)；（2）购买100个足球和100个篮球时利润最大，最大利润27000元 【分析】（1）依据题意列出x与y的函数关系式即可； （2）利用一次函数的性质求解即可. 【详解】解：（1）依题意，有 y=[160﹣(80﹣n)]x+(240﹣100)(200﹣x)． =(n﹣60)x+28000．(0＜x＜200)， ∴y=(n﹣60)x+28000．(0＜x＜200)； （2）当n=50时， y=﹣10x+28000，100≤x≤120， 由于﹣10＜0，则y随x增大而减小， ∴x=100时，y有最大值，最大值为：y=﹣10×100+28000=27000． 最优进货方案是：购买100个足球和100个蓝球时利润最大，最大利润27000元. 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，函数关系式，解题的关键在于能够准确找到等量关系，列出关系式. 【变式8-2】某通讯公司就手机流量套餐推出A，B，C三种方案（如表），三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数图象如图．结合表格和图象解答下列问题： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n (1)填空：表中m＝ ，n＝ ； (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式； (3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？ 【答案】(1)3072，0.3 (2)y关于x的函数关系式为； (3)当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）利用待定系数法解答即可； （3）利用B方案当每月使用的流量不少于3072兆时的函数关系式即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得，； 故答案为：3072，0.3； （2）解：设在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式为， 把代入，得：， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：在B方案中，当每月使用的流量不少于3072兆时， 根据题意得：， 令， 解得， 由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算． 【变式8-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）某化妆品公司每月付给销售人员的薪酬有两种方案． 方案一：没有底薪，只拿销售提成； 方案二：底薪加销售提成． 设（件）是销售商品的数量，（元）是销售人员的月薪酬．如图所示，为方案一的函数图象，为方案二的函数图象．根据图中信息解答如下问题： (1)方案二中每月付给销售人员的底薪是______元； (2)求，图象的函数解析式； (3)小丽应选择哪种薪酬方案，才能使月工资更多？ 【答案】(1)600 (2)的解析式为，的解析式为 (3)当销售数量件时选方案一，时两种方案均可，件时选方案二 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，一次函数与不等式的关系，是解题的关键． （1）依据题意，结合函数的图象可得，当销售数量时，薪酬y即为底薪，结合函数的图象可以判断得解； （2）依据题意，结合函数的图象通过待定系数法计算可以得解； （3）依据题意，结合（2）得，的解析式为：，的解析式为，从而分三种情况分析可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，结合函数的图象可得，当销售数量时，薪酬y即为底薪， 又由的图象可知，时， 方案二的底薪是600元． 故答案为：600； （2）解：由题意，设的解析式为， 图象过点， 的解析式为： 又设的解析式为， 图象过点，， ，且 的解析式为 （3）解：由题意，结合（2）得，的解析式为：，的解析式为 当，即时，方案一工资更多； 当，即时，两种方案工资相同； 当，即时，方案二工资更多． 【题型9 利用一次函数解决费用最少问题】 【例9】（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）孝敬父母是中华民族的传统美德．母亲节来临之际，某花店购进百合和康乃馨共100束，其中百合价格为每束25元，购进康乃馨的费用y（元）与其购买的数量x（束）（）的函数关系图象如图所示． (1)求康乃馨的费用y（元）与康乃馨的数量x（束）的函数关系式； (2)若康乃馨的数量不少于百合的数量，请设计一个方案，使购进百合和康乃馨的总费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1) (2)当购进40束百合花，60束康乃馨时，总费用最少，最少费用是2000元 【分析】本题主要考查一次函数，一元一次不等式的运用，理解图示，掌握待定系数法，不等式求解的方法是关键． （1）根据图示，运用待定系数法求解即可； （2）运用不等式得到购买康乃馨的数量的取值范围，运用一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：当时，设购进康乃馨的费用y（元）与康乃馨购买的数量x（束）的函数关系式为， 将代入得：， 解得：， ∴； 当时，设购进康乃馨的费用y（元）与康乃馨购买的数量x（束）的函数关系式为， 将代入得：， 解得：， ∴， ∴购进康乃馨的费用y（元）与康乃馨购买的数量x（束）的函数关系式为； （2）解：∵购买康乃馨的数量不少于百合的数量， ∴， 解得：， ∵， ∴， 设购买百合和康乃馨的总费用为w元，则， 即， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，最小值为， 此时， 答：当购进40束百合花，60束康乃馨时，总费用最少，最少费用是2000元． 【变式9-1】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）为了落实“五育并举”，全面发展素质教育，某中学准备开展丰富多彩的课后特色延时服务，计划购买排球及足球若干．某兴趣小组进行市场调查，发现购买3个足球和4个排球共需430元；购买7个足球所需的费用与购买5个排球所需的费用相同． (1)足球和排球的单价各是多少？ (2)该校根据需求打算购买足球和排球共30个，且足球数量不超过排球数量的．某商场店庆促销，足球打九折，排球打八折，请问学校如何购买所需费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)足球的单价为50元，排球的单价为70元 (2)当购买7个足球、23个排球时，所需费用最少，最少费用为1603元 【分析】题目主要考查方程组及不等式的应用，一次函数的应用，理解题意，列出相应式子是解题关键． （1）设足球的单价为元，排球的单价为元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购买所需的费用为元，购买排球个，则购买足球个，根据题意列出不等式确定，再确定，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设足球的单价为元，排球的单价为元． 由题意，得， 解得． 答：足球的单价为50元，排球的单价为70元． （2）设购买所需的费用为元，购买排球个，则购买足球个． ∵足球数量不超过排球数量的， ∴， 解得． 由题意，得． ∴随的增大而增大． ∵为整数， ∴当时，最小，最小值为1603． 此时． 答：当购买7个足球、23个排球时，所需费用最少，最少费用为1603元． 【变式9-2】（25-26八年级下·云南昆明·期末）根据素材，解决问题． 【背景】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗． 素材：某超市在端午节前购进甲、乙两种粽子共袋进行销售，甲、乙两种粽子均需购进，且购进乙种粽子的数量不少于甲种粽子数量的倍． 素材2：已知甲种粽子的进价为元/袋，乙种粽子的进价为元/袋． 【解决问题】 购买甲种粽子多少袋时，所需费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】购买甲种粽子袋时，所需费用最少，最少费用为元 【分析】设购买甲种粽子袋，则购买乙种粽子袋，根据乙种粽子的数量不少于甲种粽子数量的倍确定的取值范围，根据总费用的函数是一个一次函数得到当时，总费用最少，代入计算即可． 【详解】解：设购买甲种粽子袋，则购买乙种粽子袋， 总费用设为元，根据进价可得：， 根据题意可得：，且，， 解得：，（且为整数） ∵总费用的函数为一次函数，其中的系数， ∴总费用随着的增大而减小， ∴当时，总费用最少，（元）． 答：购买甲种粽子袋时，所需费用最少，最少费用为元． 【变式9-3】（24-25八年级下·河南安阳·期末）安阳殷墟作为中国商朝后期都城遗址，是甲骨文的故乡，青铜器的宝库，承载着厚重的历史文化．某校准备组织八年级师生共570人前往殷墟参加研学活动，计划租用12辆大客车，现有甲，乙两种型号的大客车，它们的载客量和租车费用如下表： 甲型号大客车 乙型号大客车 载客量（座/辆） 55 35 租车费用（元/辆） 1000 600 (1)设租用甲型号大客车辆，租车总费用为元．求出(元)与(辆)的函数表达式； (2)如何租车能保证八年级所有师生能参加研学活动且租车总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1) (2)租用甲型号大客车8辆，乙型号大客车4辆时，能保证八年级所有师生参加研学活动且租车总费用最少，最少费用为10400元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，建立函数解析式是解题的关键． （1）租用甲型号大客车辆，则租用乙型号大客车辆，再乘以每辆租车费用，即可建立函数解析式； （2）从总载客人数大于等于550，建立一元一次不等式，求出的取值范围，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由题意，得 即（元）与（辆）的函数表达式是； （2）解：由题意，得 解得 为整数 随着的增大而增大 当时，取得最小值，最小值为 此时， 答：租用甲型号大客车8辆，乙型号大客车4辆时，能保证八年级所有师生参加研学活动且租车总费用最少，最少费用为10400元． 【题型10 利用一次函数解决利润最大问题】 【例10】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）临近2026年春节，合肥长丰草莓，迎来草莓产销旺季，某农产品运输公司通过多轮竞标获得60吨长丰草莓的节日转运权，负责从长丰县运往合肥市区各大农贸市场．该公司转运草莓的转运初始费用为800元/吨．已知该公司安排了、、型货车20辆用于装运草莓，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示： 车型 A B C 最大装载量（吨/辆） 5吨 3吨 2吨 运输费用（元/辆） 2000 1500 800 要求所有草莓一次性同时发货，且每辆车均需满载（冷藏车满载可保证草莓新鲜度），应公司要求，运输货物时型车的装载量不超过型车和型车的装载量总和，同时型车的数量不超过辆，设这次运输使用型车辆，型车辆，根据以上信息回答下列问题： (1)求与之间的函数关系式； (2)设此次转运的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利润转运初始总费用运输总费用） (3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆型车的运输费用要增加元，该公司在本次转运中获得的最大利润为元，请求出的值． 【答案】(1)（，且为整数） (2)（，且为整数），当使用型车辆、型车辆、型车辆时，获得最大利润元 (3) 【分析】（1）根据总车辆数为辆，以及总装载量为吨，列出关于、的方程组，消元后得到与的函数关系式． （2）先根据利润转运初始总费用运输总费用列出利润关于的函数表达式，再根据题目中的车辆数量限制条件，求出的取值范围，最后根据一次函数的性质求出最大利润及对应的车辆安排方案． （3）在第(2)问的基础上，将型车的运输费用增加元，重新列出利润关于的函数表达式，根据一次函数的单调性及最大利润为元的条件，列方程求解的值． 【详解】（1）解：∵总车辆数为20辆， ∴C型车数量为， ∵总装载量为60吨， ∴， ， ， ∴； （2）解：∵转运初始总费用为元，运输总费用为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∵B型车装载量不超过A型车和C型车装载量总和， ∴即， 解得， ∵为整数， ∴， ∵，， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 此时，， 最大利润元， ∴（，且为整数），当使用A型车6辆、B型车2辆、C型车12辆时，获得最大利润23400元； （3）解：∵每辆A型车运输费用增加元，， ∴ ， ∴，， ∵最大利润为17400元，且， ∴随的增大而减小， ∴，即， ∴当时，取得最大值17400， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用、二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法以及一次函数的最值问题，熟练掌握根据实际问题建立函数模型，并利用函数性质求解最值是解题的关键． 【变式10-1】（25-26八年级下·云南昭通·期末）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 受国际油价持续上涨影响，某新能源汽车工厂计划用甲、乙两种原材料生产，两款新能源车共30辆． 素材 素材一 每生产一辆款车需甲种原材料5吨、乙种原材料4吨，每辆款车可获利润700元； 素材二 每生产一辆款车需甲种原材料3吨、乙种原材料6吨，每辆款车可获利润900元． 素材三 该工厂现有甲种原材料120吨、乙种原材料154吨． (1)任务一：设生产A款车辆（为正整数），生产这30辆车可获利润共元，求关于的函数解析式； (2)任务二：生产A，B两款车的方案有几种？哪种方案利润最大？求出最大利润． 【答案】(1) (2)共有3种方案，利润最大的方案是生产A款车13辆，B款车17辆，最大利润为24400元． 【分析】（1）根据款车的利润加上款车的利润等于总利润，得到函数解析式； （2）根据甲、乙两种原材料列出不等式组确定的取值范围，再根据一次函数的增减性确定利润最大值． 【详解】（1）解：设生产款车辆，则生产款车辆， ． （2）原材料限制， ， 解得：． 是正整数， 或或， 共有三种生产方案，分别为： 方案一，生产款车13辆，款车17辆； 方案二，生产款车14辆，款车16辆； 方案三，生产款车15辆，款车15辆． 中， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值： ， 答：利润最大的方案是生产款车13辆，款车17辆，最大利润为24400元． 【变式10-2】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）某科技公司销售智能跑步机和智能单车两款健身设备，每台智能跑步机的利润为元，每台智能单车的利润为元．该公司计划一次性采购这两种设备共台，且智能单车的采购量不超过智能跑步机的倍．设采购智能跑步机台，这台设备的销售总利润为元． (1)直接写出与的函数关系式； (2)该公司采购智能跑步机、智能单车各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际采购时，智能跑步机的进价因芯片技术升级下调（）元，智能单车的进价不变，且限定公司最多采购智能跑步机台，若公司保持两款设备售价不变，怎样采购可使销售这台设备的总利润最大？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)采购智能跑步机27台，智能单车53台时总利润最大，最大利润为58600元 (3)当时，采购智能跑步机27台，智能单车53台时总利润最大；当时，任意满足条件的采购方案总利润都相等；当时，采购智能跑步机50台，智能单车30台时总利润最大 【分析】（1）求出智能单车的利润和智能跑步机的利润，二者求和可得对应的函数关系式，再根据智能单车的采购量不超过智能跑步机的倍，且智能单车的数量非负建立不等式组求出x的取值范围即可； （2）根据一次函数的性质求解即可； （3）同（1）列出y关于x的函数关系式，结合题意求出x的取值范围，再讨论m的取值范围，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵智能单车的采购量不超过智能跑步机的倍， ∴， ∴，且x为整数； （2）解：在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵，且x为整数， ∴当时，y有最大值，最大值为，此时， 答：采购智能跑步机27台，智能单车53台时总利润最大，最大利润为58600元； （3）解：由题意得，， ∵限定公司最多采购智能跑步机台， ∴由（1）可得，且x为整数， 当时，，此时y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，此时； 当时，； 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，此时； 综上所述，当时，采购智能跑步机27台，智能单车53台时总利润最大；当时，任意满足条件的采购方案总利润都相等；当时，采购智能跑步机50台，智能单车30台时总利润最大． 【变式10-3】年月日时分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售，已知“天宫”模型的利润元/个，“神舟”模型的利润元/个．该店计划购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元． (1)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对“神舟”模型出厂价下调元，且限定航模店最多购“神舟”模型台，若航模店保持同种模型的售价不变，求出这个模型利润最大时的的值． 【答案】(1)（ 且为整数） (2)当购进“神舟”模型和“天宫”模型各和个时利润最大，最大利润是元 (3)当时，获得利润最大；当时，购进“神舟”模型数量在内取任意整数值，均获得利润最大；当时，获得利润最大． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）单个利润乘数量等于总利润列式即可得出函数关系式，再根据题意列一元一次不等式组，求解即可得出的取值范围． （2）根据一次函数的性质，即可得出随的增大而减小，当时为最小值，为最大值，代入函数关系式即可求解． （3）由出厂价下调元，算出下调后的函数关系式和的取值范围，在根据一次函数的性质，分成、、分别分析即可． 【详解】（1）解：依题意，可列函数关系式为：， 即， ∵购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且购进这两种模型共个， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为（ 且为整数）． （2）解：∵在中，， ∴在中，随的增大而减小， ∴当时，， 此时， ∴当购进“神舟”模型和“天宫”模型各和个时利润最大，最大利润是元． （3）依题意，得， 即（ 且为整数）， ①当时，， ∴随的增大而减小， ∴当时，值最大． ②当时，在内取任意整数值，值恒为． ③当时，， ∴随的增大而增大， ∴当时，值最大． 综上所述，当时，获得利润最大；当时，购进“神舟”模型数量在内取任意整数值，均获得利润最大；当时，获得利润最大． 【题型11 利用一次函数解决几何图形问题】 【例11】某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体的无盖纸盒． （1）现有正方形纸板150张，长方形纸板300张，若这些纸板恰好用完，对可制作横式、竖式两种纸盒各多少个？ （2）若有正方形纸板30张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，其中竖式纸盒做了b个，请用含a的代数式表示b． （3）在（2）的条件下，当a不超过65张时，最多能做多少个竖式纸盒？ 【答案】（1）可以制作横式纸盒60个，竖式纸盒30个；（2）；（3）当a不超过65张时，最多能做8个竖式纸盒． 【分析】（1）设可以制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个，根据制作两种纸盒共需正方形纸板150张、长方形纸板300张，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由竖式纸盒做了b个且正方形纸板共用了30张，可得出横式纸盒做了个，根据长方形纸板的张数＝4×制作竖式纸盒的个数＋3×制作横式纸盒的个数，即可得出a关于b的函数关系式，变形后即可用含a的代数式表示出b值； （3）利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：（1）设可以制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个， 依题意，得：， 解得：， 答：可以制作横式纸盒60个，竖式纸盒30个； （2）∵竖式纸盒做了b个，且正方形纸板共用了30张， ∴横式纸盒做了个， ∴a=4b+3×=b+45， ∴b=a﹣18； （3）∵＞0， ∴b随a的增大而增大， ∴当a=65时，b取得最大值，最大值=×65﹣18=8． 答：当a不超过65张时，最多能做8个竖式纸盒． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出b；（3）牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”． 【变式11-1】如图1，在长方形中，点为长方形边上一动点，点以每秒cm的速度从的路径匀速移动，移动到处后以每秒 cm的速度从的路径匀速移动，运动到点时停止．在整个移动的过程中，设点移动的时间为秒，点到的距离为cm，时间与距离的关系图象如图2所示．若cm，根据图象信息回答下列问题： (1)线段 _______cm，_______cm/s； (2)图2中的值是________； (3)当cm时，求移动时间的值． 【答案】(1)10，2 (2)10.5 (3)4或8.5 【分析】（1）由函数图象直接可得的长，根据速度＝路程÷时间，即可得到的值； （2）由（1）可得，根据时间＝路程÷速度，计算出所花时间，从而即可得到答案； （3）用待定系数法分别求出第一段和第三段函数的解析式，再令，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可得：函数图象第一段为点在上运动，第二段为点在上运动，第三段为点在上运动， ，， 故答案为：10，2； （2）解：， ， ， 故答案为：10.5； （3）解：设第一段的函数解析式为：， 将代入解析式得，， 解得：， 第一段的函数解析式为，此时， 设第三段的函数解析式为：， 将代入解析式得，， 解得：， 第三段的函数解析式为，此时， 当时，有或， 解得：或， 当cm时，移动时间的值为：4或8.5． 【点睛】本题主要考查了从函数中获取信息，一次函数的应用，正比例函数的应用，从图像中获得求解题目所需信息，是解题的关键． 【变式11-2】如图1，在底面为正方形且高为的长方体的容器底部，放入一个小长方体铁块，现在以均匀的速度往容器中注水，图2是容器内水面高度随时间改变的函数关系图象，观察图中所提供的信息，解答下列问题：    (1)从开始注水到水面恰好淹没小长方体铁块，共用了___________分钟，铁块的高为___________cm； (2)求直线的函数关系式： (3)①求该容器注满水需多少分钟？②直接写出长方体铁块的体积与容器的容积之比． 【答案】(1)3，18 (2) (3)①② 【分析】（1）由图象得表示在第分钟恰好淹没小长方体铁块，即可求解； （2）设直线为，把，代入得，即可求解； （3）①将代入得，即可求解；②可求容器不放铁块时注水的速度为（），从而可求容器不放铁块时注满所需时间，再注满与铁块的体积相同的容器所需时间，即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象得 表示在第分钟恰好淹没小长方体铁块， 故答案：，； （2）解：设直线为， 把，代入得， ， 解得， 所以直线的解析式为； （3）解：①由（2）知直线的解析式为， 由图1知，当容器注满水时，水面的高度为， ∴把代入得， ， 解得， 答：该容器注满水需要分钟 ②容器不放铁块时注水的速度为（）， 容器不放铁块时，注满容器所需时间： ， 注满与铁块的体积相同的容器所需时间：， 长方体铁块的体积与容器的容积之比为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解自变量、应变量的实际意义是解题的关键． 【变式11-3】（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm.                  素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3:1，其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 【答案】任务1  10cm 任务2  有四种分配方案：76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖，79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖 任务3  76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元 【分析】本题考查了方程组及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． 任务1：根据“底面长与宽之比为”列方程求解； 任务2：根据“制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍”列不等式组求解； 任务3：根据题意理出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【详解】解：任务1：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； 任务2：设张木板制作无盖的收纳盒， 则：， 解得：， 的整数解有：76，77，78，79， 共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖； ②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖； ③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖； ④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖； 任务3：设：张木板制作无盖的收纳盒，则张制作盒盖，利润为元， 由题意得： 即：， 的整数解有：76，77，78，79， 当时，有最大值，为：， 答：76张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元． 【题型12 利用一次函数解决其他问题】 【例12】（25-26八年级下·福建福州·期末）北宋学者洪刍在《香谱·卷下》“百刻香”中记载：“近世尚奇者，作香篆，其文准十二辰，分一百刻，凡燃一昼夜已”．香篆（又称百刻香）是我国古代利用匀速燃烧的香体计量时间的重要发明，是中华传统科技与文化的结合． 某校数学实践小组仿照香篆计时原理，用一根粗细均匀的直线型计时线香进行实验，香沿长度方向匀速燃烧，每隔15分钟测量一次香的剩余长度，得到如下数据： 燃烧时间x（分钟） 0 15 30 45 60 75 剩余长度y（厘米） 30 24 18 12 6 0 (1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示燃烧时间x，纵轴表示剩余长度y，请描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)观察所描各点的分布规律，判断y与x满足我们学过的哪类函数关系，并结合表格数据，求出该函数解析式； (3)应用上述规律计算：如果本次实验从上午8∶30开始点燃，那么当香的剩余长度为3厘米时是当天的什么时刻？ 【答案】(1)解：如图所示即为所画图象， (2) (3)当天上午9点37分30秒 【分析】（1）先从表格提取六组对应坐标，在平面直角坐标系里逐一标出对应点，再用线段顺次连接所有描出的点，得到表示香燃烧过程的函数图象． （2）观察数据发现燃烧时间均匀增加时，剩余长度均匀减少，由此判定二者为一次函数关系；设一次函数一般式，代入表格两组坐标求出函数系数，同时结合香完全燃尽的时间确定自变量取值范围，得到完整解析式． （3）把剩余长度代入已求出的一次函数解析式，算出对应的燃烧总时长，再将起始点燃时间加上该时长，换算得出对应的具体时刻． 【详解】（1）略 （2）观察可知香沿长度方向匀速燃烧，均匀增加15，均匀减少6，符合一次函数特征，故为一次函数． 设解析式： 代入，得 ； 再代入： 解得：； ∵香最多燃烧75分钟，超出无实际意义 ∴ 函数解析式： （3）令，代入解析式： 解得：， 燃烧时长分钟=1小时7分30秒． 起始时间上午，加1小时7分30秒，得到上午分30秒． 因此，当香剩余长度为3厘米时，是当天上午9点37分30秒． 【变式12-1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）【问题背景】 由于新能源汽车依靠电能驱动，可减少二氧化碳等有害气体排放，达到节能环保的目的，从而成为现代家庭的优先选择． 【实验操作】 为了解汽车电池充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组开展综合与实践活动，记录如下． 任务一：采集数据 探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系（不考虑其它因素情况下），数据记录如下表： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） … … 显示电量（） … … 任务二：建立模型    根据表中的数值描点，通过描点，连线，分析数据和图象，确定是的一次函数． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求出与之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)求出的值； 【解决问题】 (3)某电动汽车在显示电量为的状态下出发，电动汽车行驶千米后，仪表盘显示是否有电，电量为多少？ 【答案】(1) (2)40 (3)仪表盘显示有电，电量为 【分析】（1）利用待定系数法求表达式即可． （2）由（1）可知表达式，代入数据即可求出值． （3）利用一次函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 将，代入解析式，得           解得 ∴一次函数解析式为． （2）解：由（1）知一次函数表达式， 当时，代入， 解得． （3）解：当显示电量为％的状态时，令，代入解析式得 ， 电动汽车行驶千米后，可得电动车共行驶（千米），          ∴令并代入解析式，得解得， 答：仪表盘显示有电，电量为． 【变式12-2】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）聪聪同学运用所学的一次函数知识探究水龙头关闭不严造成漏水的问题．为了调查漏水量与漏水时间的关系，用可以显示水量的容器做试验，探究容器内盛水量与滴水时间的关系，并根据试验数据制作了一个表格，结合表格中的相关数据解答下列问题．    时间 水量 (1)容器内原有水_____________． (2)已知与之间满足一次函数的关系，请求出与之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天（24小时）的滴水量最少可以装满多少瓶容量为的矿泉水瓶． 【答案】(1) (2)；13瓶 【分析】（1）根据表格即可回答问题； （2）设w与t之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解；将代入即可求解． 【详解】（1）解：观察表格知，时，， 即容器内原有水 ． （2）解：设w与t之间的函数关系式为， 将代入，得：， 解得：， 故w与t之间的函数关系式为； 一天小时是分钟， 当时，一天的滴水量， ， 即这种滴水状态下一天（24小时）的滴水量最少可以装满瓶容量为的矿泉水瓶． 【变式12-3】（25-26八年级下·广东广州·期末）刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图．如图所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验： 先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 观察值 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但根据表中的数据绘制散点图．观察各点的分布特征，发现其大致分布在一条直线附近，表明与之间存在近似的一次函数关系．基于此，综合实践小组将表中的观察值取近似值保留整数位后，用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系． 【解决问题】根据以上信息，解答下列问题： (1)依照综合实践小组的方法，求水面高度与流水时间的函数表达式； (2)当甲容器的水刚好放完时，求流水时间； (3)小天同学用这个装置也进行了实验，记录了以下一组数据，结合（1）中的函数表达式，判断这组数据的准确性并说明原因． 观察值 【答案】(1) (2) (3)准确性较高 原因：这组数据的水面高度h与流水时间t的函数表达式为，与综合实践小组的实验的水流速度相等，因此数据准确性较高 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式； （2）当时，，解方程求出的值即可； （3）这组数据的水面高度h与流水时间t的函数表达式为，与综合实践小组的实验的水流速度相等，因此数据准确性较高． 【详解】（1）解：由题可知，水面高度h与流水时间t可近似为一次函数关系，设一次函数解析式是， ，，时，， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：当时，， 解得：， 甲容器的水刚好放完时，流水时间为； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.5 用一次函数解决问题（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 利用一次函数解决行程问题】 2 【题型2 利用一次函数解决分配问题】 3 【题型3 利用一次函数解决调运问题】 5 【题型4 利用一次函数解决工程问题】 6 【题型5 利用一次函数解决计时问题】 8 【题型6 利用一次函数解决体积问题】 10 【题型7 利用一次函数解决梯度计价问题】 13 【题型8 利用一次函数解决最佳方案问题】 15 【题型9 利用一次函数解决费用最少问题】 17 【题型10 利用一次函数解决利润最大问题】 18 【题型11 利用一次函数解决几何图形问题】 20 【题型12 利用一次函数解决其他问题】 22 考点1 利用一次函数解决实际问题 知识点1 一次函数的应用 在运用一次函数解决实际问题时，首先要判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所需要的结果． 在解决现实生活中的数量关系的问题时，可以应用函数知识，解题的关键是建立函数表达式． 在具体数学问题中，数据较多，反映的内容也比较多，把众多的信息有机地组合在一起是解题的关键，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径． 知识点2 用图象法解决实际问题 在解决有关“选择方案”问题时，可以采用图象法，这种方法是解决许多实际问题的重要手段．读图时，一定要明确横、纵坐标所代表的意义． 从两个相交的一次函数图象中获取信息 看图象 获取信息 两个一次函数，，当自变量的值为时，函数值都为或当函数值为时，自变量的值都为 当自变量的值时，函数值，即对同一自变量x的值，图象在上面的函数值大 当自变量的值时，函数值，即对同一自变 量x的值，图象在下面的函数值小 【题型1 利用一次函数解决行程问题】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（）与虚线（）表示，那么在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是__________． 【变式1-1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，且甲车的速度比乙车快．两车相遇时原地休息了，又各自按原速前往目的地．甲、乙两车之间的距离与乙所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论不正确的是（     ） A．A、B之间的距离为 B．的值为 C．甲行驶的速度是乙的倍 D．的值为 【变式1-2】（25-26八年级下·河北保定·期末）问题情境：年世界机器人运动大会竞速项目中，甲、乙两款机器人在的直线跑道上进行比赛．它们从同一起点同时出发，跑到终点，然后沿原路返回起点． 问题探究：机器人实时位置到起点的距离（单位：）与时间（单位：）的函数图象（不完整）如图所示，其中折线是甲款机器人的图象，线段是乙款机器人的部分图象，已知对应的函数关系式为． 问题解决： (1)①点的坐标为________． ②求线段对应的函数关系式． (2)乙款机器人到达终点后，因故障耽误了，然后以原来的速度返回起点，请你在图中画出乙款机器人返回时的大致函数图象（线段），用字母标注两个端点，并写出两个端点的坐标． (3)乙款机器人返回过程中，两款机器人到起点的距离之差为时，的值为________． 【变式1-3】（25-26七年级下·山东烟台·期末）甲、乙两地相距，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶后，快车才开始行驶，快车到达乙地后，慢车降速以的速度行驶至乙地．已知快车的速度是，以快车开始行驶时开始计时，两车都到达乙地停止计时．设时间为，两车之间的距离为，如图是y与x之间的函数关系的部分图象． 请解答下列问题： (1)a的值为________，b的值为________，慢车在降速前的速度为________； (2)从两车相遇到快车到达乙地时，求y与x的函数关系式； (3)请在图中补全y与x之间的函数图象． 【题型2 利用一次函数解决分配问题】 【例2】我市某水果种植生产基地产销两旺，采摘的水果部分加工销售，剩下的部分直接销售，且当天都能销售完，直接销售是4000元/吨，加工销售是10000元/吨（不计损耗）．已知基地雇佣30名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘0.4吨或加工0.3吨．设安排x名工人采摘水果，剩下的工人加工水果． (1)将表格补充完整： 项目 采摘 加工 人数/人 x 销售数量/吨 ______ 销售收入/元 ______ (2)若基地一天的总销售收入为y元，求y与x的函数关系式； (3)瑞瑞和蓉蓉对人员分配和销售收入情况进行了讨论，请判断他们的说法是否正确，并说明理由． 瑞瑞：若30人全部采摘，则一天的总销售收入最少，最少为48000元； 蓉蓉：若合理分配这30人进行采摘和加工，则一天的总销售收入最多可达51400元． 【变式2-1】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）王叔叔准备将一块面积为亩的土地全部种植甲，乙两种农作物，甲种农作物的种子成本元与其种植面积亩的函数关系如图所示，其中，乙种农作物的种子成本为每亩元． (1)求与的函数解析式； (2)若甲种农作物的种植面积不超过乙种农作物种植面积的倍，王叔叔应该如何分配两种农作物的种植面积才能使两种农作物种子的总成本最少？并求出该费用． 【变式2-2】某厂家在甲、乙两家商场销售同一商品所获利润分别为y甲，y乙（单位：元），y甲，y乙与销售数量x（单位：件）的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题： （1）分别求出y甲，y乙与x的函数关系式； （2）现厂家分配该商品给甲、乙两商场共计1200件，当甲、乙商场售完这批商品，厂家可获得总利润为1080元，问厂家如何分配这批商品？ 【变式2-3】（25-26九年级上·新疆阿克苏·期末）加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：）的函数关系如图所示，其中，乙种蔬菜的种植成本为元． (1)求甲种蔬菜种植成本与其种植面积之间的函数解析式； (2)设年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？ 【题型3 利用一次函数解决调运问题】 【例3】某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 【变式3-1】A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D市8台．已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为200元和400元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和250元． (1)设A市运往D市机器x台，求总运费w关于x的函数关系式； (2)若要求总运费不超过5000元，共有几种调运方案？ (3)求总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？ 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽池州·期末）为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C，D两乡．从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t．现C乡需要肥料，D乡需要肥料， (1)设从A城调运x吨肥料到C乡（），补充完整下列表格 A地 B地 C地 x ② D地 ① ③ ①     ②     ③ (2)怎样调运，可使总运费最少？请写出具体方案及计算过程 【题型4 利用一次函数解决工程问题】 【例4】2020年8月底，天府新区根据鹿溪河全流域水环境治理工程建设总体安排，启动了兴隆湖水生态综合提升工程，其中一项工程计划工期10个月，工程总长度为10千米，由甲、乙两个工程队负责施工已知甲工程队每月改造1.2千米，乙工程队每月改造0.8千米，已知甲工程队每千米的施工费用为80万元，乙工程队每千米的施工费用为60万元，设完成此项工程所需施工总费用为w万元，甲工程队完成的工程长度为x千米． （1）写出w与x的函数表达式； （2）由于受场地施工限制，甲、乙两工程队不能同时施工，在保证不超过计划工期内完成此项工程的情况下，甲工程队需改造多少千米才能使两工程队完成此项工程所需施工总费用最低？最低费用为多少？ 【变式4-1】某项工程由甲、乙两个工程队合作完成，先由甲队单独做3天，剩下的工作由甲、乙两工程队合作完成，工程进度满足如图所示的函数关系： （1）求出图象中②部分的解析式，并求出完成此项工程共需的天数； （2）该工程共支付8万元，若按完成的工作量所占比例支付工资，甲工程队应得多少元？ 【变式4-2】（24-25八年级下·上海崇明·期末）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）之间的关系如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费． 【变式4-3】（24-25八年级下·吉林白山·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘松长高速某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务．甲、乙两组挖掘的长度之和甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)甲组每天挖掘_______米，乙组每天挖掘_______米； (2)求乙组停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 【题型5 利用一次函数解决计时问题】 【例5】（25-26八年级上·四川成都·期末）水钟也叫“漏刻”或“漏壶”，在我国的古代被许多民族和地区用于计时．小明在充分了解水钟的原理后，也设计出一款水钟．如图是他设计的水钟的示意图，水从上面的贮水壶（ 内含补偿装置）慢慢漏入下方透明玻璃制成的受水壶中．经过反复实验，可以确定漏水量是均匀的，当受水壶存有高的初始水量时，其后水面随着贮水壶的水的漏入，其高度也均匀地升高，在某次实验中，当受水壶的水面高度为时，小明开始计时，2小时后，测得水面高度为． (1)请你用恰当的数学形式描述出受水壶水面高度与高度变化所经历的时间之间的关系； (2)某天晚上时，小明开始入睡，此时水钟从初始状态开始计时，第二天小明醒来时，观察到水钟受水壶水面高度为，请问小明是何时醒来的？ 【变式5-1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，沙漏在古代不仅是一种实用的计时工具，承载着古人对时间的精准把握和对生活的有序安排，更蕴含着古人对时光流逝的哲思．某餐厅为营造高效服务氛围，提升顾客消费满意度，推出一种“沙漏计时”免单活动，即顾客点餐完成后，服务员会将沙漏倒置在桌面，并承诺在沙子漏完之前，顾客所点的菜品需全部上齐，若上不齐，超时的菜品免费，某数学小组观察发现：该沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量y（克）与流入时间（沙子从上面玻璃球流入下面玻璃球所经过的时间）t（分钟）成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间为2分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为克，当流入时间为10分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为48克． (1)求y与t之间的函数解析式； (2)求顾客点餐完成后，最晚多长时间菜品全部上齐？ 【变式5-2】（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，兴趣小组每分钟记录一次水位的读数，得到下表： 记录时间 0 1 2 3 4 5 6 … 水位读数 3 3.4 3.8 4.2 4.6 5.0 5.4 … 在本次实验中，当水位读数为时，此时记录时间为______． 【变式5-3】（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 【项目介绍】图1是我国古代的计时工具吕才漏刻，我们能不能也制作一个计时工具，让“1分钟”看得见． 【实践操作I】图2是数学实践小组甲利用日常生活中的物品制作的计时仪器，水流分别经过纸杯1、2、3，最后流入纸杯4，小组记录了流入纸杯4的水面高度与流水时间的数据（如表1所示），同时又记录了流入纸杯4的水的体积与流水时间的数据（如表2所示）． 表1 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 水面高度 0.3 0.7 1.05 1.35 1.6 1.8 1.95 表2 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 水的体积 6 10.8 15.6 20.4 25.2 30 34.8    【任务一】通过对表1和表2中数据的分析，小组同学发现______与流水时间t是一次函数关系； 【实践操作II】通过对小组甲数据的分析，为让时间“看得见”，数学实践小组乙改进了实验装置，将水的体积直接转化为仪表盘的刻度，如图所示，小组乙记录了仪表盘刻度值y与流水时间的数据（如表3所示）． 表3 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 仪表盘刻度值y 0.5 0.9 1.3 1.7 2.1 2.5 2.9    【任务二】（1）根据表3数据求仪表盘刻度值y与流水时间的函数解析式； （2）求时，仪表盘的刻度值； （3）自实验开始，在液面不超过纸杯4的高度时，先后两次测量时差为，所得的两次仪表盘的刻度值之和为11.4，则这两次测量的仪表盘的刻度值分别是__________和__________． 【题型6 利用一次函数解决体积问题】 【例6】（2026·河北石家庄·模拟预测）摄氏温度和热力学温度是两种不同的温度计量方法，二者成一次函数关系，与之间的部分对应数值如下表所示． 摄氏温度 热力学温度 (1)求与之间的函数解析式： (2)是热力学温度中的绝对零度，则绝对零度是_________； (3)一定质量的理想气体，在压强不变时，气体体积与气体的热力学温度成正比，即常数．在压强不变时，将的氮气加热到时，求此时氮气的体积． 【变式6-1】（2024·江苏泰州·二模）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积V（cm³），绘制了如图所示的函数图像（图中为一线段），则72g该种液体的体积为__________________cm3． 【变式6-2】有甲乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以每小时立方米的速度注入乙池，甲乙两个蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数图象如图所示，若要使甲乙两个蓄水池的蓄水量（指蓄水的体积）相同，则注水的时间应为___________． 【变式6-3】（24-25八年级下·福建泉州·期末）项目式学习：饮水机中的数学建模 项目主题 探究高铁站饮水机接水策略中的数学问题 项目背景 新课标倡导“跨学科学习”理念，生活中常见的饮水机接水问题蕴含物理热传递原理与数学建模思想．小明在接水时发现：温水与开水混合时，开水放出的热量等于温水吸收的热量（不计热损失），可简化为数学关系：开水体积开水降低的温度温水体积×温水升高的温度．请通过数学建模及项目素材，探索解决以下问题． 项目素材 类型 温水 开水 实物照片 水流速度    初始温度 目标容量 水杯 最佳饮用温度 （含端点） 物理原理 若混合后水温为，则有：其中、分别为开水和温水的体积． 问题解决 项目一 接水时间计算：小明先接温水20秒，再继续接开水直至水杯接满还需______秒． 项目二 温度与接水时间的函数关系：设接温水时间为秒，接开水时间为秒，水杯总容量为，则__________（用含的代数式表示） 项目三 优化接水策略：若想在最短时间内接满水且水温达到最佳饮用温度，应如何安排接温水和接开水的时间？ 【题型7 利用一次函数解决梯度计价问题】 【例7】（25-26七年级下·广东深圳·期末）深圳居民生活用电主要施行“阶梯电价”计费方式，定价标准按夏季和非夏季分时段调整，阶梯电价具体收费标准如下： 档位 夏季标准（5-10月） 非夏季标准（11月-次年4月） 电费单价（元/度） 第一档 0-260度 0-200度 约0.66 第二档 261-600度 201-400度 约0.71 第三档 601度及以上 401度及以上 约0.96 电费计算示例：假设在1月（非夏季）用电450度，其中200度（0-200度部分）按第一档0.66元/度计价；200度（201-400度部分）按第二档0.71元/度计价；剩余50度（401度以上部分）按第三档0.96元/度计价． (1)设深圳市某户居民5月用电量为度，当月的电费为元，请分别写出用电量在第一档与第二档时与的关系式； (2)如果该用户在5月用电量为200度，请计算当月电费； (3)如果该用户在6月电费为200元，请计算当月用电量． 【变式7-1】（25-26八年级下·全国·期末）自来水公司采用分段收费标准收水费，每月收取水费y（元）与用水量之间的函数关系如图所示，琪琪家5月份用水，应收水费（     ） A．33元 B．39元 C．42元 D．46元 【变式7-2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）项目学习 项目主题：燃气费的计算 项目背景：在“双碳”目标引领与建设节约型社会的时代浪潮下，某市居民生活用气实施了分档计费．为了更好地帮助居民树立科学用气、节约用气的意识，“数学与生活”兴趣组开展了项目学习活动． 驱动问题：如何利用数学工具，为居民解读燃气消费清单、预测用气消费开支？ 以下是“数学与生活”兴趣组的活动过程．请你和他们一起解决问题． 解决问题： (1)信息解码与模型构建： 首先收集了该市某户居民的一张居民生活年用气消费明细． 居民生活用气消费明细 计费日期2025-01-01至2025-12-31 上期抄见数 本期抄见数 加原表用气量/m³ 本期用气量/m³ 1212 1814 602 用气量/m³ 单价/（元/m³） 金额/元 第一档：300             2.73                         819 第二档：300             3.28                         984 第三档：2               3.82                         7.64 本期实付金额（大写） 壹仟捌佰壹拾元陆角肆分  ¥1810.64 认真观察此明细并进行如下分析： 设本市居民年用气量为，燃气费为元． ①当时，y与之间的关系式为______； ②当时，y与之间的关系式为______； ③当时，y与之间的关系式为______． (2)模型应用与问题解决 通过分析发现，这样的分档计费中档次越高其单价越高，目的是鼓励人们要节约资源．该户居民准备在2026年实施节气措施，预计一年的燃气费为1475元，则该户居民2026年的用气量需为______． 【变式7-3】某市出租车收费标准分白天和夜间分别计费，计费方案见下列表格及图象（其中a，b，c为常数）． 行驶路程 收费标准 白天 夜间(22时至次日5时) 不超过的部分 起步价6元 起步价a 元 超过不超出的部分 每公里2元 每公里b元 超出的部分 每公里3元 每公里b元 设行驶路程为时，白天的运价为（元），夜间的运价为（元），如图，折线表示与x之间的函数关系式，线段表示当时，与x的函数关系式，根据图表信息，完成下列各题： (1)填空：________，________，________； (2)当时，求的函数表达式； (3)若幸福小区到阳光小区的路程为，小明从幸福小区乘出租车去阳光小区，白天收费比夜间收费少多少元？ 【题型8 利用一次函数解决最佳方案问题】 【例8】某校组织八年级师生到新罗区研学基地参加社会实践活动，准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租用2辆）．A型车每辆租金600元，B型车每辆租金400元．若4辆A型和3辆B型车坐满后共载客290人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客270人．一个车载座位只能坐一人． (1)求每辆A、B型车的车载座位数； (2)若该年级计划租用A、B型两种客车共15辆，且A型车的数量不少于B型车的数量的2倍．请你设计一种最佳租车方案，使得租车的总租金最少，并求出对应的最少租金． 【变式8-1】某商场篮球、足球这两种商品的进价和售价如下：篮球、足球进货价分别为80元/个、100/个；篮球足球售出价分别为160元/个、240元/个．该商场打算购进这两种球共200个，但在实际进货时，生产厂家对每个足球的出厂价优惠n（45＜n＜75）元，若商场保持每种球类的售价不变，设商场购进足球x个，售完这200个球的总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）若n＝50且足球数x满足100≤x≤120时，请设计出该商场的最佳进货方案并求出最大利润． 【变式8-2】某通讯公司就手机流量套餐推出A，B，C三种方案（如表），三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数图象如图．结合表格和图象解答下列问题： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n (1)填空：表中m＝ ，n＝ ； (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式； (3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？ 【变式8-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）某化妆品公司每月付给销售人员的薪酬有两种方案． 方案一：没有底薪，只拿销售提成； 方案二：底薪加销售提成． 设（件）是销售商品的数量，（元）是销售人员的月薪酬．如图所示，为方案一的函数图象，为方案二的函数图象．根据图中信息解答如下问题： (1)方案二中每月付给销售人员的底薪是______元； (2)求，图象的函数解析式； (3)小丽应选择哪种薪酬方案，才能使月工资更多？ 【题型9 利用一次函数解决费用最少问题】 【例9】（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）孝敬父母是中华民族的传统美德．母亲节来临之际，某花店购进百合和康乃馨共100束，其中百合价格为每束25元，购进康乃馨的费用y（元）与其购买的数量x（束）（）的函数关系图象如图所示． (1)求康乃馨的费用y（元）与康乃馨的数量x（束）的函数关系式； (2)若康乃馨的数量不少于百合的数量，请设计一个方案，使购进百合和康乃馨的总费用最少，并求出最少费用． 【变式9-1】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）为了落实“五育并举”，全面发展素质教育，某中学准备开展丰富多彩的课后特色延时服务，计划购买排球及足球若干．某兴趣小组进行市场调查，发现购买3个足球和4个排球共需430元；购买7个足球所需的费用与购买5个排球所需的费用相同． (1)足球和排球的单价各是多少？ (2)该校根据需求打算购买足球和排球共30个，且足球数量不超过排球数量的．某商场店庆促销，足球打九折，排球打八折，请问学校如何购买所需费用最少？最少费用为多少元？ 【变式9-2】（25-26八年级下·云南昆明·期末）根据素材，解决问题． 【背景】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗． 素材：某超市在端午节前购进甲、乙两种粽子共袋进行销售，甲、乙两种粽子均需购进，且购进乙种粽子的数量不少于甲种粽子数量的倍． 素材2：已知甲种粽子的进价为元/袋，乙种粽子的进价为元/袋． 【解决问题】 购买甲种粽子多少袋时，所需费用最少？最少费用是多少元？ 【变式9-3】（24-25八年级下·河南安阳·期末）安阳殷墟作为中国商朝后期都城遗址，是甲骨文的故乡，青铜器的宝库，承载着厚重的历史文化．某校准备组织八年级师生共570人前往殷墟参加研学活动，计划租用12辆大客车，现有甲，乙两种型号的大客车，它们的载客量和租车费用如下表： 甲型号大客车 乙型号大客车 载客量（座/辆） 55 35 租车费用（元/辆） 1000 600 (1)设租用甲型号大客车辆，租车总费用为元．求出(元)与(辆)的函数表达式； (2)如何租车能保证八年级所有师生能参加研学活动且租车总费用最少，最少费用是多少？ 【题型10 利用一次函数解决利润最大问题】 【例10】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）临近2026年春节，合肥长丰草莓，迎来草莓产销旺季，某农产品运输公司通过多轮竞标获得60吨长丰草莓的节日转运权，负责从长丰县运往合肥市区各大农贸市场．该公司转运草莓的转运初始费用为800元/吨．已知该公司安排了、、型货车20辆用于装运草莓，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示： 车型 A B C 最大装载量（吨/辆） 5吨 3吨 2吨 运输费用（元/辆） 2000 1500 800 要求所有草莓一次性同时发货，且每辆车均需满载（冷藏车满载可保证草莓新鲜度），应公司要求，运输货物时型车的装载量不超过型车和型车的装载量总和，同时型车的数量不超过辆，设这次运输使用型车辆，型车辆，根据以上信息回答下列问题： (1)求与之间的函数关系式； (2)设此次转运的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利润转运初始总费用运输总费用） (3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆型车的运输费用要增加元，该公司在本次转运中获得的最大利润为元，请求出的值． 【变式10-1】（25-26八年级下·云南昭通·期末）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 受国际油价持续上涨影响，某新能源汽车工厂计划用甲、乙两种原材料生产，两款新能源车共30辆． 素材 素材一 每生产一辆款车需甲种原材料5吨、乙种原材料4吨，每辆款车可获利润700元； 素材二 每生产一辆款车需甲种原材料3吨、乙种原材料6吨，每辆款车可获利润900元． 素材三 该工厂现有甲种原材料120吨、乙种原材料154吨． (1)任务一：设生产A款车辆（为正整数），生产这30辆车可获利润共元，求关于的函数解析式； (2)任务二：生产A，B两款车的方案有几种？哪种方案利润最大？求出最大利润． 【变式10-2】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）某科技公司销售智能跑步机和智能单车两款健身设备，每台智能跑步机的利润为元，每台智能单车的利润为元．该公司计划一次性采购这两种设备共台，且智能单车的采购量不超过智能跑步机的倍．设采购智能跑步机台，这台设备的销售总利润为元． (1)直接写出与的函数关系式； (2)该公司采购智能跑步机、智能单车各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际采购时，智能跑步机的进价因芯片技术升级下调（）元，智能单车的进价不变，且限定公司最多采购智能跑步机台，若公司保持两款设备售价不变，怎样采购可使销售这台设备的总利润最大？ 【变式10-3】年月日时分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售，已知“天宫”模型的利润元/个，“神舟”模型的利润元/个．该店计划购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元． (1)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对“神舟”模型出厂价下调元，且限定航模店最多购“神舟”模型台，若航模店保持同种模型的售价不变，求出这个模型利润最大时的的值． 【题型11 利用一次函数解决几何图形问题】 【例11】某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体的无盖纸盒． （1）现有正方形纸板150张，长方形纸板300张，若这些纸板恰好用完，对可制作横式、竖式两种纸盒各多少个？ （2）若有正方形纸板30张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，其中竖式纸盒做了b个，请用含a的代数式表示b． （3）在（2）的条件下，当a不超过65张时，最多能做多少个竖式纸盒？ 【变式11-1】如图1，在长方形中，点为长方形边上一动点，点以每秒cm的速度从的路径匀速移动，移动到处后以每秒 cm的速度从的路径匀速移动，运动到点时停止．在整个移动的过程中，设点移动的时间为秒，点到的距离为cm，时间与距离的关系图象如图2所示．若cm，根据图象信息回答下列问题： (1)线段 _______cm，_______cm/s； (2)图2中的值是________； (3)当cm时，求移动时间的值． 【变式11-2】如图1，在底面为正方形且高为的长方体的容器底部，放入一个小长方体铁块，现在以均匀的速度往容器中注水，图2是容器内水面高度随时间改变的函数关系图象，观察图中所提供的信息，解答下列问题：    (1)从开始注水到水面恰好淹没小长方体铁块，共用了___________分钟，铁块的高为___________cm； (2)求直线的函数关系式： (3)①求该容器注满水需多少分钟？②直接写出长方体铁块的体积与容器的容积之比． 【变式11-3】（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm.                  素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3:1，其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 【题型12 利用一次函数解决其他问题】 【例12】（25-26八年级下·福建福州·期末）北宋学者洪刍在《香谱·卷下》“百刻香”中记载：“近世尚奇者，作香篆，其文准十二辰，分一百刻，凡燃一昼夜已”．香篆（又称百刻香）是我国古代利用匀速燃烧的香体计量时间的重要发明，是中华传统科技与文化的结合． 某校数学实践小组仿照香篆计时原理，用一根粗细均匀的直线型计时线香进行实验，香沿长度方向匀速燃烧，每隔15分钟测量一次香的剩余长度，得到如下数据： 燃烧时间x（分钟） 0 15 30 45 60 75 剩余长度y（厘米） 30 24 18 12 6 0 (1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示燃烧时间x，纵轴表示剩余长度y，请描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)观察所描各点的分布规律，判断y与x满足我们学过的哪类函数关系，并结合表格数据，求出该函数解析式； (3)应用上述规律计算：如果本次实验从上午8∶30开始点燃，那么当香的剩余长度为3厘米时是当天的什么时刻？ 【变式12-1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）【问题背景】 由于新能源汽车依靠电能驱动，可减少二氧化碳等有害气体排放，达到节能环保的目的，从而成为现代家庭的优先选择． 【实验操作】 为了解汽车电池充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组开展综合与实践活动，记录如下． 任务一：采集数据 探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系（不考虑其它因素情况下），数据记录如下表： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） … … 显示电量（） … … 任务二：建立模型    根据表中的数值描点，通过描点，连线，分析数据和图象，确定是的一次函数． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求出与之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)求出的值； 【解决问题】 (3)某电动汽车在显示电量为的状态下出发，电动汽车行驶千米后，仪表盘显示是否有电，电量为多少？ 【变式12-2】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）聪聪同学运用所学的一次函数知识探究水龙头关闭不严造成漏水的问题．为了调查漏水量与漏水时间的关系，用可以显示水量的容器做试验，探究容器内盛水量与滴水时间的关系，并根据试验数据制作了一个表格，结合表格中的相关数据解答下列问题．    时间 水量 (1)容器内原有水_____________． (2)已知与之间满足一次函数的关系，请求出与之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天（24小时）的滴水量最少可以装满多少瓶容量为的矿泉水瓶． 【变式12-3】（25-26八年级下·广东广州·期末）刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图．如图所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验： 先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 观察值 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但根据表中的数据绘制散点图．观察各点的分布特征，发现其大致分布在一条直线附近，表明与之间存在近似的一次函数关系．基于此，综合实践小组将表中的观察值取近似值保留整数位后，用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系． 【解决问题】根据以上信息，解答下列问题： (1)依照综合实践小组的方法，求水面高度与流水时间的函数表达式； (2)当甲容器的水刚好放完时，求流水时间； (3)小天同学用这个装置也进行了实验，记录了以下一组数据，结合（1）中的函数表达式，判断这组数据的准确性并说明原因． 观察值 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $