12.3一次函数与二元一次方程（基础篇） 讲义 2025-2026学年沪科版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦一次函数与二元一次方程（组）的核心关联，系统梳理二元一次方程的解与一次函数图像上点的对应关系，二元一次方程组的解与图像交点的关系，以及图像法解方程组的步骤，搭建从代数到几何的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 资料以数形结合为核心，通过思维导图可视化知识联系，培养学生几何直观的数学眼光。步骤化讲解与分层练习题（如交点判断、图形面积计算），强化推理意识与模型意识，助力基础薄弱学生提升，课中辅助教学，课后便于查漏补缺。

12.3一次函数与二元一次方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二元一次方程的解与一次函数图像上的点的对应关系 · 二元一次方程 ( ax + by + c = 0 )（( a, b ) 不同时为 0）的每一组解 ( (x, y) )，都对应着一次函数（）图像上的一个点的坐标。 · 反之，一次函数 ( y = kx + b ) 图像上任意一点的坐标 ( (x, y) )，都是二元一次方程 ( kx - y + b = 0 ) 的一组解。 二元一次方程组的解与一次函数图像交点的关系 · 二元一次方程组的解，就是对应的两个一次函数（）和（）图像的交点坐标。 · 若两个一次函数的图像平行（斜率相等，截距不等），则对应的二元一次方程组无解；若两个一次函数的图像重合（斜率相等，截距相等），则对应的二元一次方程组有无数组解。 用一次函数图像解二元一次方程组的步骤 · 将方程组中的两个方程分别化为一次函数的形式：和。 · 在同一平面直角坐标系中画出这两个一次函数的图像。 · 找出两条直线的交点坐标 ( (x, y) )，该坐标即为原二元一次方程组的解。 一次函数与二元一次方程（组）的应用 · 可通过一次函数图像解决二元一次方程组的求解问题，体现“数形结合”思想。 · 利用两个一次函数图像的位置关系（相交、平行、重合），可直接判断对应的二元一次方程组解的情况。 型 习 练 题 交点与方程组的解 1．已知函数和的图像交于点，则关于的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的联系即方程组中的每个方程都可以变形为一次函数解析式．根据两个一次函数的图像交点坐标即为对应方程组的解即可求解． 【详解】∵ 方程 可变形为 ， 方程 可变形为 ， ∴ 方程组 的解即为函数 和 的图像交点坐标． 又∵ 两函数图像交于点 ， ∴ 方程组的解为 ． 故答案为：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，求两条直线的交点坐标，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．分别求出直线经过点和点时对应的值，即可得出答案． 【详解】解：把代入得：， ∴， 联立， 解得 ∴点的坐标为， 当直线经过点，则， 解得， 当直线经过点，则， 解得：， ∵直线与线段有交点， ∴的取值范围为或． 故选：D． 3．如图，直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两直线交点坐标与对应二元一次方程组解的关系是解题的关键． 根据一次函数与二元一次方程组的关系，两直线的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，因此只需确定两直线交点的坐标即可． 【详解】解：直线与直线交于点 关于的二元一次方程组的解就是点坐标 方程组的解为， 故选：D． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小； ②方程的解为； ③； ④ 其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，两直线的交点坐标的意义是解题的关键． 根据图示得到，，两直线交点坐标为，根据一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：根据图示，一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小，故①正确； ∵两直线交点坐标为， ∴方程的解为，故②正确； 一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴，故③错误，④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：B ． 5．如图，直线，的交点坐标可以看作是下列方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组成方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组． 【详解】解：由图可知：直线过，，因此直线的函数解析式为：； 直线过，，因此直线的函数解析式为：； 因此所求的二元一次方程组为：即 故选：A． 图像法解方程组 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 7．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【答案】D 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值． 8．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 9．用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 10．如图直线与直线都经过点，则方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解即为直线与直线的交点坐标进行求解即可． 【详解】解：∵直线与直线都经过点 ∴方程组的解是：． 故选择：D． 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，但是比较容易出错，正确理解“方程组的解即为直线与直线的交点坐标”是解题的关键． 求直线围成的图形面积 11．在平面直角坐标系中，将直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，直线分别与轴、轴交于点、，则的面积为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移及性质，熟练掌握一次函数的平移是解题的关键；由题意易得的解析式为，然后分别得出直线与x轴、y轴的交点坐标，进而问题可求解． 【详解】解：由直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，可知：的解析式为， ∴令时，则，解得：； 令时，则， ∴， ∴， ∴； 故选A． 12．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．4 B．2 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的图象与坐标轴的关系可知待求的三角形为直角三角形，利用一次函数图象与坐标轴的交点可求出直角三角形的两直角边，从而很容易求得面积． 【详解】解：当时，， 当时，， 直线与x轴、y轴分别交于， 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为： ． 故选：A． 13．下列关于一次函数的图象性质的说法中，不正确的是（    ） A．直线与y轴交点的坐标是 B．直线经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而减小 D．与坐标轴围成的三角形面积为2 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点、一次函数的图象与性质、一次函数的几何问题，把代入求得即可判断选项A；利用一次函数的图象与性质判断选项B、C；利用三角形的面积公式求解即可判断选项D． 【详解】解：A、∵当时，， ∴直线与y轴交点的坐标是； B、∵，， ∴直线经过第一、二、四象限； C、∵， ∴y随x的增大而减小； D、当时，， ∴直线与y轴交点的坐标为， 当时，， ∴， ∴直线与x轴交点的坐标为， ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为：． 故选：D． 14．如图，直线与坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：对于，当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴． 故选：B． 15．已知直线与轴交于点，与轴交于点，则的面积为（为坐标原点）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，先确定点和点的坐标，继而得出，，再根据三角形的面积公式即可得出结论．确定一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，得：， 当时，得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.3一次函数与二元一次方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二元一次方程的解与一次函数图像上的点的对应关系 · 二元一次方程 ( ax + by + c = 0 )（( a, b ) 不同时为 0）的每一组解 ( (x, y) )，都对应着一次函数（）图像上的一个点的坐标。 · 反之，一次函数 ( y = kx + b ) 图像上任意一点的坐标 ( (x, y) )，都是二元一次方程 ( kx - y + b = 0 ) 的一组解。 二元一次方程组的解与一次函数图像交点的关系 · 二元一次方程组的解，就是对应的两个一次函数（）和（）图像的交点坐标。 · 若两个一次函数的图像平行（斜率相等，截距不等），则对应的二元一次方程组无解；若两个一次函数的图像重合（斜率相等，截距相等），则对应的二元一次方程组有无数组解。 用一次函数图像解二元一次方程组的步骤 · 将方程组中的两个方程分别化为一次函数的形式：和。 · 在同一平面直角坐标系中画出这两个一次函数的图像。 · 找出两条直线的交点坐标 ( (x, y) )，该坐标即为原二元一次方程组的解。 一次函数与二元一次方程（组）的应用 · 可通过一次函数图像解决二元一次方程组的求解问题，体现“数形结合”思想。 · 利用两个一次函数图像的位置关系（相交、平行、重合），可直接判断对应的二元一次方程组解的情况。 型 习 练 题 交点与方程组的解 1．已知函数和的图像交于点，则关于的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 3．如图，直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小； ②方程的解为； ③； ④ 其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．如图，直线，的交点坐标可以看作是下列方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 图像法解方程组 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 8．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 9．用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 10．如图直线与直线都经过点，则方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 求直线围成的图形面积 11．在平面直角坐标系中，将直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，直线分别与轴、轴交于点、，则的面积为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 12．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．4 B．2 C．6 D．8 13．下列关于一次函数的图象性质的说法中，不正确的是（    ） A．直线与y轴交点的坐标是 B．直线经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而减小 D．与坐标轴围成的三角形面积为2 14．如图，直线与坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 15．已知直线与轴交于点，与轴交于点，则的面积为（为坐标原点）（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $