专题11.4 整式的除法（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制七年级上册

专题11.4 整式的除法（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 同底数幂的除法】 1 【题型2 同底数幂的除法的逆用】 3 【题型3 单项式除以单项式的计算】 4 【题型4 单项式除以单项式的应用】 5 【题型5 多项式除以单项式的计算】 8 【题型6 多项式除以单项式的应用】 9 【题型7 整式的混合运算】 11 【题型8 整式的化简求值】 12 【题型9 利用整式的除法综合求值】 14 【题型10 整式的除法与几何图形的应用】 16 【题型11 整式除法的新定义问题】 21 考点1 同底数幂的除法 知识点1 同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【题型1 同底数幂的除法】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期中）若，，则____________________ ． 【答案】 【分析】先根据同底数幂的除法法则、幂的乘方法则将所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： 将，代入，得原式． 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法的法则，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，故A选项错误； 选项B：，故B选项错误； 选项C：，故C选项错误； 选项D： 等式成立，故D选项正确． 【变式1-2】（25-26七年级下·浙江台州·期末）若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先由已知得，，再根据同底数幂的乘法的逆运算将所求式子变形为，代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 【变式1-3】（25-26六年级下·山东烟台·期末）已知，则______． 【答案】 【分析】由得出，将化简为，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ． 【题型2 同底数幂的除法的逆用】 【例2】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知，则n的值为______． 【答案】 【分析】先把所有底数统一为2，再利用幂的运算法则计算即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得． 【变式2-1】（25-26七年级下·福建宁德·期中）若，则的值是_______． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式2-2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知正整数满足，则代数式的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的运算，掌握同底数幂的乘除法的逆运算解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 【变式2-3】（25-26七年级下·河北沧州·期末）若，则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用逆用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方法则，结合题干给出的结论：若（且）则，对所求式子进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴ ， ∴，解得． （3）解：∵， ∴． 考点2 单项式除以单项式 知识点2 单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 【题型3 单项式除以单项式的计算】 【例3】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）化简：______． 【答案】 【详解】解：． 【变式3-1】计算：______． 【答案】 【详解】解： 【变式3-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如果，则______． 【答案】5 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，根据指数运算法则，先计算分母的平方，再将除法转化为分数形式，分别比较x和y的指数得出方程，求解a和b的值即可 【详解】解： 化简得：， 简化得： 两边除以2： ，， 解得：，解得 ， 故答案为：5． 【变式3-3】（2026·安徽阜阳·三模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式． 【详解】解：． 【题型4 单项式除以单项式的应用】 【例4】（25-26七年级下·广东梅州·期中）某科技馆“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是________． 账号：shu li shi jie 密码 【答案】 【分析】根据题意可知其密码由最终表达式中x，y，z的指数依次拼接而成的，再根据幂的乘方，及单项式除以单项式进行运算，然后根据指数得出答案． 【详解】解：由，， ∴密码是由表达式中x，y，z的指数依次拼接而成的， ∴． 【变式4-1】小汽车在一段坡路上来回行驶，已知上坡的速度是，下坡的速度是，则小车这段路行驶的平均速度是______． 【答案】 【分析】根据平均速度的定义，平均速度等于总路程除以总时间，先设出坡路单趟路程，表示出上坡与下坡的总时间，计算得到以为单位的平均速度，再换算单位得到以为单位的结果． 【详解】解：设这段坡路的单趟路程为，则来回行驶的总路程为， ∴上坡所用时间，下坡所用时间， ∴总时间， ∴平均速度． 【变式4-2】如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，则三个球的体积之和占整个盒子容积的________（） 【答案】 【分析】设球的半径为r，分别求出三个球的体积和盒子的体积，即可求解． 【详解】解：设球的半径为r， 则三个球的体积和为， 盒子的体积为， 故三个球的体积之和占整个盒子容积的． 【变式4-3】某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为______． 【答案】 【分析】设青黄瓜的亩产量为x，则白黄瓜的亩产量为，白黄瓜的种植面积为，青黄瓜的种植面积为，水果黄瓜的种植面积为，据此求出水果黄瓜的产量是，进而得到水果黄瓜的亩产量为，再根据种植面积的比值即可得到答案． 【详解】解：设青黄瓜的亩产量为x，则白黄瓜的亩产量为，白黄瓜的种植面积为，青黄瓜的种植面积为，水果黄瓜的种植面积为， ∴青黄瓜的产量为，白黄瓜的产量为， ∴水果黄瓜的产量是， ∴水果黄瓜的亩产量为， ∴当种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，单项式除以单项式，正确根据题意求出水果黄瓜的亩产量为是解题的关键． 考点3 多项式除以单项式 知识点3 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【题型5 多项式除以单项式的计算】 【例5】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则代表的整式是___________． 【答案】 【详解】 解：根据题意得代表的整式是 ． 【变式5-1】（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】将多项式的每一项分别除以单项式，再合并结果即可． 【详解】解：． 【变式5-2】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）某同学在计算加上一个多项式时错将加法算成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解题关键． 先根据题意算出这个多项式，再与相加即可． 【详解】解：由题意可知这个多项式为， 则正确计算结果为， 故答案为：． 【变式5-3】（25-26七年级上·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案，掌握多项式除以单项式的法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 【题型6 多项式除以单项式的应用】 【例6】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）七（1）班墙上的“学习园地”是一个长方形，它的面积是，宽为，则这个“学习园地”的长为_______． 【答案】 【分析】用长方形的面积除以其宽即可得到答案． 【详解】解： ， ∴这个“学习园地”的长为． 【变式6-1】（25-26六年级下·山东烟台·期末）某智能芯片研发公司需要对一种新型芯片的电路布线设计进行优化．已知芯片电路的一种原始布线规律可以表示为，现在需要将其按照一定的规则进行重新布局，相当于将其除以，则新的电路布线规律可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用多项式除以单项式的运算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴新的电路布线规律可以表示为． 【变式6-2】（2025八年级上·全国·专题练习）五一假期期间，王浩和爸爸去爬山．王浩在上山时，第一阶段的平均速度为，所用时间为；第二阶段的平均速度为，所用时间为．下山时，王浩的平均速度保持为．已知王浩上山的路程和下山的路程是相同的，那么王浩下山用时为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查列代数式，多项式除以单项式，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题考查速度×时间=路程这个等量关系．直接利用已知求出总路程进而求出下山的时间． 【详解】解：∵第一阶段的平均速度为，所用时间为；第二阶段的平均速度为，所用时间为， ∴总路程为：， ∵王浩上山的路程和下山的路程是相同的， ∴王浩下山用时：． 故选：D． 【变式6-3】（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）如图，图1的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2这样的杯子中，那么一共需要（   ）个这样的杯子． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式除法的应用，列代数式，解本题的关键在熟练掌握圆柱的体积公式．圆柱的体积公式．首先算出图（1）中瓶子的体积，然后再算出图（2）中杯子的体积，即可得出结论． 【详解】解：图（1）瓶子的上半部分的体积为 ； 图（1）瓶子的下半部分的体积为 ； ∴图（1）瓶子的体积为 ； 图（2）杯子的体积为 ； ∴一共需要杯子为个 故选：A． 【题型7 整式的混合运算】 【例7】（2026·陕西宝鸡·一模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式7-1】一多项式除以，所得商式是，余式是，则这个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，设该多项式为A，根据题意列出等式即可求出答案． 【详解】解：设多项式为A， ∴ 故选：A． 【变式7-2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算：． 【答案】 【分析】先根据多项式除以单项式法则、多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式7-3】（25-26八年级上·天津·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算： （1）先根据完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，再合并同类项，即可求解； （2）先运算单项式乘以多项式，然后合并，最后运算除法计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型8 整式的化简求值】 【例8】（25-26八年级上·重庆北碚·期末）化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式法则对中括号内的式子进行化简，再进行多项式除以单项式的运算，最后将x、y的值代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴． 【变式8-1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，整式的加减运算，准确运用公式和合并同类项法则是解题关键． 先利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项，最后用括号内的每一项分别除以，化简后代入数值计算． 【详解】解： ， 当，， ． 【变式8-2】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）化简求值：，其中，． 【答案】 【详解】解：原式 其中，. 原式 【变式8-3】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：． (1)求所表示的代数式； (2)求当，时，所表示的代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：当，时，． 【题型9 利用整式的除法综合求值】 【例9】若被除后余2，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据被除后余2，判断出为的一个因式，再根据特殊值法求得k的值． 【详解】 被除后余2， 可被整除， 为的一个因式， 当 = 0时，= 0， 将代入= 0，得： ， 解得: k =-7， 故答案为：-7． 【点睛】本题主要考查了整式的除法，理解被除式、除式、商、余式之间的关系是解题的关键． 【变式9-1】若（n为常数），则n的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的计算法则得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知，其中n是正整数，那么的值是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多项式与单项式的除法，多项式除以单项式用多形式的每一项分别与单项式相除即可．先根据多项式与单项式的除法法则把等式左边化简求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 故选C． 【变式9-3】（阅读题）阅读下列材料： 因为，所以，这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为．另外，当时，多项式的值为0． (1)根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式、多项式能被整除之间存在着一种什么样的关系呢？ (2)探求规律：如果一个关于字母x的多项式M，当时，M的值为0，那么M与式子之间有何种关系？ (3)应用：利用上面的结果求解．已知能被整除，求k的值． 【答案】(1)若多项式有因式，则此多项式能被整除．另外，当时，此多项式的值为0 (2)M能被整除 (3) 【分析】（1）根据题意和多项式有因式，说明多项式能被整除，当时，多项式的值为0； （2）根据（1）得出的关系，能直接写出当时，M的值为0，M与代数式之间的关系； （3）根据上面得出的结论，当时，，再求出k的值即可． 【详解】（1）若多项式有因式，则此多项式能被整除．另外，当时，此多项式的值为0． （2）根据（1）可得，M能被整除． （3）因为能整除， 所以当时，， 即，解得． 【点睛】本题考查了整式的除法，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键． 【题型10 整式的除法与几何图形的应用】 【例10】（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出（没重叠不留空隙）一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为__________________． (2)类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则需A类卡片________张，B类卡片_________张，C类卡片_________张； (3)类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则除需A类卡片、C类卡片若干张外，还需B类卡片_________张；（用m、n、p、q的代数式表示，其中m、n、p、q都是正整数） (4)如图4将12张长为b，宽为a（）的B类卡片，按如图方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，求此时B类卡片的长b与宽a的比值． 【答案】(1) (2)5，46，9 (3) (4)B类卡片的长b与宽a的比值为4 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、多项式除以单项式，完全平方公式，整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答； （3）计算，求出前的系数，即为类卡片的数量； （4）可得大长方形的长为，宽为，继而得到面积，根据阴影部分的面积是大长方形面积的，则空白面积占大长方形面积的，而空白面积为，即可建立等式，逆用完全平方公式化简即可． 【详解】（1）解：由． 故答案为：． （2）解：∵， ∴需用A类卡片5张，类卡片46张，类卡片9张． 故答案为：5，46，9； （3）解：长方形面积：， B类卡片面积为， 所以，需要张， 故答案为：； （4）解：由题意得，大长方形的面积为， ∵阴影部分的面积是大长方形面积的， ∴空白部分的面积为：， 整理得：， ∴， ∴ ∴， ∴B类卡片的长b与宽a的比值为4． 【变式10-1】如图，某新建高铁站广场前有一块长，宽的长方形空地，现计划在空地中间留一个长方形喷泉池（图中阴影部分），喷泉池四周是宽度均为的人行通道． (1)求喷泉池的占地面积（用含、的代数式表示）． (2)喷泉池建成后，需给人行通道铺上地砖以方便旅客通行，若每块地砖的面积是，则刚好铺满且不留缝隙时，需要多少块这样的地砖？ 【答案】(1) (2)块 【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式及多项式除以单项式的应用，理解题意，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据题意目中的数据和图形，结合长方形的面积公式列代数式，再根据多项式乘多项式法则展开即可； （2）根据（1）中的结果和题意，结合长方形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：喷泉的占地面积 ； （2）解： （块） 答：需要块这样的地砖． 【变式10-2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，现有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒．如果该长方体纸盒的容积为，底面的一边的长为． (1)求的长； (2)求原长方形的面积． 【答案】(1) (2)原长方形的面积为． 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据题意列式为，将其计算即可； （2）结合（1）中所求结果及已知条件，分别表示出，，然后相乘即可． 【详解】（1）解：长方体纸盒的容积为，底边，高为， 则， 即的长为； （2）解：，， 则 ， 即原长方形的面积为． 【变式10-3】（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 所以① 所以② 所以③ 所以④ 【理解应用】 (1)请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：； (2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； (3)如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加a得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （i）求的值；（用含的代数式表示） （ii）长方形B的面积和另一个边长为的长方形C的面积相等，则长方形C已知边长的邻边长为___________．（用含x的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)（i），（ii） 【分析】（1）由题中乘法运算的竖式运算方法求解即可； （2）由题中除法运算的竖式运算方法求解即可； （3）（i）用大长方形的周长减去小长方形的周长求解即可； （ii）首先求出长方形B的面积，然后利用题中除法运算的竖式运算方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ∴； （2）解：根据题意得， ∴另一个多项式为； （3）解：（i）根据题意得，， 解得； （ii）长方形B的长为，宽为， 长方形B的面积， ∵长方形C的一个边长为， ∴长方形C已知边长的邻边长为． 【题型11 整式除法的新定义问题】 【例11】（24-25七年级下·河南郑州·阶段检测）定义一种新的运算“？” (1)仔细观察，归纳“？”运算法则：两数进行“？”运算时，_____________；特别的，0与任何数进行“？”运算，或任何数与0进行“？”运算，结果为_____________； (2)计算：； (3)已知，求的值 【答案】(1)同号相乘、异号相除；0． (2)3 (3) 【分析】本题主要考查有理数的运算，整式运算等知识点，解审清题意、归纳出“？”运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的例子可以总结出“？”运算的运算法则即可； （2）根据（1）中的结论求解即可； （3）根据（1）中的结论先分别运算M和N，然后再进行整式的加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，“？”运算法则：两数进行“？”运算时，同号相乘，异号相除； 0与任何数进行“？”运算，或任何数与0进行“？”运算，结果为0． 故答案为：同号相乘、异号相除，0． （2）解： （3）解：∵， ∴，，， ， ， ∴ 【变式11-1】（24-25七年级下·福建宁德·期中）若定义表示，表示，则运算的结果为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整单项式除法运算，根据新定义列出整式是解答本题的关键．先根据定义列出代数式，然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可． 【详解】解：根据新定义，可得． 故答案为：． 【变式11-2】（24-25八年级上·福建厦门·阶段检测） 规定一种新运算“”，对于任意实数，如． (1)则 (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的除法，定义新运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，运用单项式除以单项式进行计算即可； （2）根据新定义的运算，运用多项式除以单项式，再合并同类项进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ． 【变式11-3】（24-25八年级下·四川达州·期中）定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”． (1)若，直接写出a，b的“如意数”c； (2)如果，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数” (3)已知，且a，b的“如意数”，则_____（用含x的式子表示） 【答案】(1)5 (2) 解：当时， ； ∵， ∵， ∴． (3) 【分析】本题考查代数式求值，整式的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）把代入代数式进行求解即可； （2）根据新定义，结合整式的运算法则进行计算，利用完全平方公式的非负性进行证明即可； （3）根据新定义，列式计算即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）略 （3）∵，， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.4 整式的除法（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 同底数幂的除法】 1 【题型2 同底数幂的除法的逆用】 1 【题型3 单项式除以单项式的计算】 2 【题型4 单项式除以单项式的应用】 2 【题型5 多项式除以单项式的计算】 3 【题型6 多项式除以单项式的应用】 4 【题型7 整式的混合运算】 5 【题型8 整式的化简求值】 5 【题型9 利用整式的除法综合求值】 5 【题型10 整式的除法与几何图形的应用】 6 【题型11 整式除法的新定义问题】 8 考点1 同底数幂的除法 知识点1 同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【题型1 同底数幂的除法】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期中）若，，则____________________ ． 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·浙江台州·期末）若，，则的值为__________． 【变式1-3】（25-26六年级下·山东烟台·期末）已知，则______． 【题型2 同底数幂的除法的逆用】 【例2】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知，则n的值为______． 【变式2-1】（25-26七年级下·福建宁德·期中）若，则的值是_______． 【变式2-2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知正整数满足，则代数式的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式2-3】（25-26七年级下·河北沧州·期末）若，则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值． 考点2 单项式除以单项式 知识点2 单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 【题型3 单项式除以单项式的计算】 【例3】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）化简：______． 【变式3-1】计算：______． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如果，则______． 【变式3-3】（2026·安徽阜阳·三模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型4 单项式除以单项式的应用】 【例4】（25-26七年级下·广东梅州·期中）某科技馆“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是________． 账号：shu li shi jie 密码 【变式4-1】小汽车在一段坡路上来回行驶，已知上坡的速度是，下坡的速度是，则小车这段路行驶的平均速度是______． 【变式4-2】如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，则三个球的体积之和占整个盒子容积的________（） 【变式4-3】某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为______． 考点3 多项式除以单项式 知识点3 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【题型5 多项式除以单项式的计算】 【例5】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则代表的整式是___________． 【变式5-1】（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_____． 【变式5-2】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）某同学在计算加上一个多项式时错将加法算成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是______． 【变式5-3】（25-26七年级上·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为______． 【题型6 多项式除以单项式的应用】 【例6】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）七（1）班墙上的“学习园地”是一个长方形，它的面积是，宽为，则这个“学习园地”的长为_______． 【变式6-1】（25-26六年级下·山东烟台·期末）某智能芯片研发公司需要对一种新型芯片的电路布线设计进行优化．已知芯片电路的一种原始布线规律可以表示为，现在需要将其按照一定的规则进行重新布局，相当于将其除以，则新的电路布线规律可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025八年级上·全国·专题练习）五一假期期间，王浩和爸爸去爬山．王浩在上山时，第一阶段的平均速度为，所用时间为；第二阶段的平均速度为，所用时间为．下山时，王浩的平均速度保持为．已知王浩上山的路程和下山的路程是相同的，那么王浩下山用时为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）如图，图1的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2这样的杯子中，那么一共需要（   ）个这样的杯子． A． B． C． D． 【题型7 整式的混合运算】 【例7】（2026·陕西宝鸡·一模）计算：． 【变式7-1】一多项式除以，所得商式是，余式是，则这个多项式是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算：． 【变式7-3】（25-26八年级上·天津·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【题型8 整式的化简求值】 【例8】（25-26八年级上·重庆北碚·期末）化简求值：，其中，． 【变式8-1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式8-2】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）化简求值：，其中，． 【变式8-3】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：． (1)求所表示的代数式； (2)求当，时，所表示的代数式的值． 【题型9 利用整式的除法综合求值】 【例9】若被除后余2，则的值为______． 【变式9-1】若（n为常数），则n的值为__________． 【变式9-2】（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知，其中n是正整数，那么的值是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式9-3】（阅读题）阅读下列材料： 因为，所以，这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为．另外，当时，多项式的值为0． (1)根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式、多项式能被整除之间存在着一种什么样的关系呢？ (2)探求规律：如果一个关于字母x的多项式M，当时，M的值为0，那么M与式子之间有何种关系？ (3)应用：利用上面的结果求解．已知能被整除，求k的值． 【题型10 整式的除法与几何图形的应用】 【例10】（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出（没重叠不留空隙）一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为__________________． (2)类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则需A类卡片________张，B类卡片_________张，C类卡片_________张； (3)类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则除需A类卡片、C类卡片若干张外，还需B类卡片_________张；（用m、n、p、q的代数式表示，其中m、n、p、q都是正整数） (4)如图4将12张长为b，宽为a（）的B类卡片，按如图方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，求此时B类卡片的长b与宽a的比值． 【变式10-1】如图，某新建高铁站广场前有一块长，宽的长方形空地，现计划在空地中间留一个长方形喷泉池（图中阴影部分），喷泉池四周是宽度均为的人行通道． (1)求喷泉池的占地面积（用含、的代数式表示）． (2)喷泉池建成后，需给人行通道铺上地砖以方便旅客通行，若每块地砖的面积是，则刚好铺满且不留缝隙时，需要多少块这样的地砖？ 【变式10-2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，现有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒．如果该长方体纸盒的容积为，底面的一边的长为． (1)求的长； (2)求原长方形的面积． 【变式10-3】（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 所以① 所以② 所以③ 所以④ 【理解应用】 (1)请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：； (2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； (3)如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加a得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （i）求的值；（用含的代数式表示） （ii）长方形B的面积和另一个边长为的长方形C的面积相等，则长方形C已知边长的邻边长为___________．（用含x的代数式表示） 【题型11 整式除法的新定义问题】 【例11】（24-25七年级下·河南郑州·阶段检测）定义一种新的运算“？” (1)仔细观察，归纳“？”运算法则：两数进行“？”运算时，_____________；特别的，0与任何数进行“？”运算，或任何数与0进行“？”运算，结果为_____________； (2)计算：； (3)已知，求的值 【变式11-1】（24-25七年级下·福建宁德·期中）若定义表示，表示，则运算的结果为________． 【变式11-2】（24-25八年级上·福建厦门·阶段检测） 规定一种新运算“”，对于任意实数，如． (1)则 (2)计算： 【变式11-3】（24-25八年级下·四川达州·期中）定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”． (1)若，直接写出a，b的“如意数”c； (2)如果，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数” (3)已知，且a，b的“如意数”，则_____（用含x的式子表示） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $