专题11.2 整式的乘法（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制七年级上册

本讲义聚焦整式的乘法核心知识点，系统梳理单项式乘单项式（系数、同底数幂分别相乘，单独字母连乘）、单项式乘多项式（乘每一项再相加）、多项式乘多项式（每一项乘每一项再相加）的法则，构建从基础运算到转化应用的学习支架，为后续代数学习奠定基础。 资料亮点在于12类题型分层设计，涵盖运算、求参数、代数式求值及图形面积应用，例题与变式题结合，培养运算能力和推理意识。几何直观题（如长方形镶边、正方形叠合面积）发展空间观念，助力课中教师分层教学，课后学生举一反三查漏补缺。

专题11.2 整式的乘法（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 单项式乘单项式的运算】 2 【题型2 利用单项式乘单项式求参数】 3 【题型3 利用单项式乘单项式求代数式的值】 4 【题型4 单项式乘多项式的运算】 6 【题型5 利用单项式乘多项式降次求值】 7 【题型6 单项式乘多项式的应用】 9 【题型7 利用单项式乘多项式求参数】 11 【题型8 利用单项式乘多项式求代数式的值】 13 【题型9 多项式乘多项式的计算】 15 【题型10 利用多项式乘多项式求参数】 16 【题型11 利用多项式乘多项式求代数式的值】 18 【题型12 多项式乘多项式与图形面积】 20 考点1 整式的乘法 知识点 整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 【题型1 单项式乘单项式的运算】 【例1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）化简：_________． 【答案】 【分析】先根据积的乘方运算法则化简乘方项，再根据单项式乘单项式的运算法则计算，即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式1-1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则的值为_____________． 【答案】 【分析】先利用单项式乘单项式法则和同底数幂的乘法法则化简所求代数式，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解： 当时，原式． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）“三角”表示，“方框”表示，则________． 【答案】 【分析】考查新定义和单项式与单项式相乘相结合，按照法则计算即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为____________dm． 【答案】3ab 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 通过计算长方体的体积，并利用正方体体积公式求解棱长． 【详解】解：长方体的体积为 ， ∵ ∴则该正方体水池的棱长为． 故答案为：． 【题型2 利用单项式乘单项式求参数】 【例2】（25-26七年级下·陕西渭南·阶段检测）若单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式，则的值为_______． 【答案】3 【分析】先根据单项式乘单项式法则计算两个单项式的乘积，再根据单项式次数的定义列方程求解即可． 【详解】解：， ∵单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式， ∴是一个十次单项式， ∴， ∴． 【变式2-1】（24-25六年级下·山东淄博·期末）已知，则________，________． 【答案】 9 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则得到，再结合题中条件列方程求解． 【详解】，， ， ， 解得， 故答案为：；9． 【变式2-2】若，则适合此等式的______， _____． 【答案】 【分析】根据单项式的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加的性质计算，再根据系数相等，指数相等列式求解即可．主要考查单项式的乘法，同底数的幂的乘法的性质，根据系数与系数相等，指数与指数相等列出方程比较关键． 【详解】解：∵， ∴ 解得：． 故答案为：，． 【变式2-3】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 【题型3 利用单项式乘单项式求代数式的值】 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，代数式求值，根据单项式乘以单项式的运算法则求出积，再根据单项式相等可得对应字母的指数相等，可得关于的等式，进而可得的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ，， 解得，， ∴， 故选：． 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）若，则__________． 【答案】11 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到，结合得到，，求出的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ，， ． 故答案为：11． 【变式3-2】（24-25七年级下·宁夏中卫·阶段检测），求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】若，则的值为________. 【答案】2 【分析】先把左边根据单项式的乘法法则化简，再与右边比较，求出m、n的值，然后代入计算即可. 【详解】∵， ∴， ∴， 解之得 ， ∴=1+1=2. 【点睛】本题考查了单项式的乘法，以及二元一次方程组的解法，根据题意列出关于m、n的二元一次方程组是解答本题的关键. 【题型4 单项式乘多项式的运算】 【例4】（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式乘多项式的运算，运用单项式乘多项式法则，将单项式分别乘多项式的每一项，再计算结果即可，注意符号运算． 【详解】解： 【变式4-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值为__________ 【答案】0 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴原式 ． 【变式4-2】（25-26七年级下·甘肃白银·期末）已知单项式M，N满足，则_______． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则，展开等式左边后，分情况比较等式两边对应项，再将两个单项式相乘从而求解． 【详解】解：， ∵M，N为单项式， ∴，， ∴． 【变式4-3】（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方的逆用． 先计算单项式乘以多项式，再逆用积的乘方将各项化为的形式，进而根据计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型5 利用单项式乘多项式降次求值】 【例5】若，则等于（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．－2020 【答案】C 【分析】将变形为，，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ =2018． 故选：C 【点睛】本题考查了根据已知代数式的值求新代数式的值，将已知条件适当变形，代入所求代数式求解是解题关键． 【变式5-1】（24-25八年级上·北京·期中）若，则___________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式的计算，根据题意可得，则可求出，则，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26七年级上·海南海口·期中）已知的值是，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知式子的值代入求值，解决此题的关键是正确的变形；先把要求的式子变成已知式子的形式通过整体代换代入计算即可； 【详解】解：∵ ， ∴， 则 ． 故答案为：． 【变式5-3】（2026·重庆巴南·模拟预测）已知，则_______． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 【题型6 单项式乘多项式的应用】 【例6】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）“垃圾分类，从你我做起”．我校积极倡导垃圾分类，响应国家政策．计划制作一块长方形的宣传展板，宣传、倡导学生们化身“环保小卫士”．如图，这块宣传展板的长为，宽为，则此宣传展板的总面积为__________． 【答案】 【详解】解：． ∴此宣传展板的总面积为． 【变式6-1】（24-25八年级下·山西运城·期末）如图是一幅边长为的正方形书法作品，计划在其四周镶一圈宽度均为的花边．现有一张镶边用的长方形花纸，恰好可以完成镶边任务且没有剩余，则这张长方形花纸相邻两边的长可能是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查几何图形的面积计算及代数表达式的应用，需要学生理解镶边后整体图形的结构，并通过面积相等建立方程． 首先确定镶边后的总面积，再逐一验证选项，排除不符合面积条件的选项即可． 【详解】解：原正方形面积为，镶边后大正方形边长为， 面积为：， 花边面积为大正方形减去原正方形： ， 选项A：，不等于，排除； 选项B：，不等于，排除； 选项C：，不等于，排除； 选项D：，与花边面积相等，符合条件． 故选：D． 【变式6-2】（2026·上海徐汇·二模）如图，用24米铝型线材做成一个窗框（含内框、），窗框上方是两个全等的正方形和，下方是矩形．如果正方形的边长为米，那么下方矩形的面积为__________平方米．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】根据窗框上方是两个全等的正方形和，得到，求出，，即可求出矩形的面积． 【详解】解：∵窗框上方是两个全等的正方形和， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴矩形的面积为． 【变式6-3】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【答案】30 【分析】由正方形和长方形的面积公式得出 和，再由可以得出，再用割补法求出，再整体代入求值即可； 【详解】解：由题意得， ，， ， ， ， ． 【题型7 利用单项式乘多项式求参数】 【例7】（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）若的展开式中不含项，则______． 【答案】 【分析】原式利用单项式乘多项式法则计算，合并同类项后，根据展开式不含项得到项的系数为0，即可求出的值． 【详解】解： ∵展开式中不含项， ∴ 解得． 【变式7-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）要使成立，则__________，__________． 【答案】 2 【分析】此题考查了单项式乘多项式，涉及的知识有：去括号法则，合并同类项法则，以及多项式相等的条件，熟练掌握法则是解本题的关键． 将等式左边展开并整理后，比较两边多项式的对应系数 【详解】解：左边表达式展开： = =， 与右边 比较，得系数方程：一次项系数 ，常数项 ， 解得 , ． 故答案为：，． 【变式7-2】已知，，，且的值与无关，则_______． 【答案】 【分析】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】解： ， 的值与无关， ， ． 故答案为：． 【变式7-3】若a3(3an-2am+4ak)=3a9-2a6+4a4，则m，n，k的值分别为（    ） A．6，3，1 B．3，6，1 C．2，1，3 D．2，3，1 【答案】B 【分析】先根据单项式与多项式相乘的运算法则进行计算，根据题意列出算式，计算即可． 【详解】a3（3an-2am+4ak）=3a3+n-2am+3+4a3+k， 则3+n=9，3+m=6，3+k=4， 解得，n=6，m=3，k=1， 故选B． 【点睛】本题考查的是单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【题型8 利用单项式乘多项式求代数式的值】 【例8】若恒成立，则______． 【答案】0 【分析】将等式左边按照单项式乘以多项式，再合并同类项，整理后形式和等式右边一致，即可求出a ，b 的值，代入求值即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得： ∵等式左边， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0 【点睛】本题主要考查的是整式的运算，掌握单项式与多项式的乘法运算，合并同类项即可求出结果，也是解题的关键． 【变式8-1】（2026七年级下·江苏·专题练习）已知等式成立，求的值． 【答案】2 【分析】先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：， ∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴ ． 【变式8-2】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则__________． 【答案】 【分析】根据整式乘法法则，计算乘积后，令所有项的系数为1，建立方程求解即可；本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 由条件得， 解得， 则； 故答案为：． 【变式8-3】若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】根据得到，则，求出，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式相等，熟练掌握单项式乘多项式乘法法则是解题的关键． 【题型9 多项式乘多项式的计算】 【例9】（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图，则长方形花园的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：长方形花园的面积为 【变式9-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【变式9-2】计算：． 【答案】 【分析】先计算多项式乘以多项式，再去括号，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式9-3】（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）在一次单元测验中，嘉嘉在计算一道整式乘法式子时，由于抄错了第一个多项式中常数项的符号，实际计算了，得到的计算结果是． 根据以上信息，解决下面的问题． (1)求出整式乘法式子中b的值． (2)计算出这道整式乘法式子的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，再根据计算结果是作答即可； （2）写出正确的式子，计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵计算结果是， ∴， 解得：； （2）解： ． 【题型10 利用多项式乘多项式求参数】 【例10】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】先按照多项式乘法运算法则求出，再根据乘积不含x的一次项，得到一次项系数为0，即可求解m的值． 【详解】∵， 又乘积中不含x的一次项， 一次项系数为0，即， 解得：． 【变式10-1】（25-26七年级下·广东河源·期中）如果多项式与的乘积化简后的系数为6，则m的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算法则，先根据法则展开两个多项式的乘积，合并同类项后，根据项的系数为列出关于的一元一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：展开并化简多项式乘积： ， ， ， 乘积化简后项的系数为， ，化简得，解得． 【变式10-2】设a为常数，多项式除以所得的余式为，则________． 【答案】2 【分析】根据多项式除法的性质，被除式减去余式可被除式整除，据此设出整式乘积，展开后对比对应项系数即可求解a的值． 【详解】解：∵多项式除以所得的余式为． ∴可设，其中为常数． ∴ ， 根据多项式相等则对应项系数相等，可得 ， ∴． 【变式10-3】（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，则_________． 【答案】6 【分析】根据因式分解的定义，多项式乘以多项式等知识﹒设另一个因式为一次式，即可得到，变形为，从而得到，即可求出﹒ 【详解】解：设另一个因式为，则， ∵， ∴， ∴， ∴﹒ 故答案为：6 【题型11 利用多项式乘多项式求代数式的值】 【例11】若关于x的二次三项式，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，多项式相等的条件，代数式求值． 按照运算法则计算，根据对应项系数相等，可得和，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 【变式11-1】（2025·四川南充·模拟预测）设，，为整数，且对一切实数都有恒成立，则_____________． 【答案】20或28 【分析】本题主要考查多项式乘多项式和因式分解变形，有一定难度．此题若直接求a，b，c的值不易，需另辟蹊径，这种解题思想很常用，需要特别注意，等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式和；消去a，再因式分解得到，进而或，分别计算出a，b，c的值即可得出答案． 【详解】解：，，且恒成立， ，， 消去得，即， ,都是整数， ，或，， 解得或， 当时，； 当时，， 故或． 故答案为：20或28． 【变式11-2】若关于的二次三项式，则的值是_____． 【答案】21 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则将等式左边展开，进而求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：21． 【变式11-3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若的展开式中不含和项，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减中，不含某项的计算，解方程组，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键． 根据题意，得，结合展开式中不含和项，得，解方程组即可． 【详解】解：根据题意，得 ， ∵展开式中不含和项， ∴， 解得． ∴ 故答案为：． 【题型12 多项式乘多项式与图形面积】 【例12】（25-26七年级下·四川成都·期末）用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要________张． 【答案】 15 【分析】根据长方形的面积公式，利用多项式乘多项式法则展开，根据展开式中，，的系数确定各类卡片的数量，最后求和即可． 【详解】解：由图可知，类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为 长方形的长为，宽为， 长方形的面积： 需要类卡片1张，类卡片6张，类卡片8张 ，，类卡片一共需要（张）． 【变式12-1】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为5的小正方形（正方形和正方形），3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为______． 【答案】77 【分析】设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积. 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为. 【变式12-2】（25-26七年级下·浙江·阶段检测）现有，，三种型号的纸片共8张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则另一边长为_______． 【答案】或或 【分析】先明确三种纸片的面积，根据拼成的长方形面积等于8张纸片的面积和，设拼成的大长方形另一边长为（为正整数），设一共用了x张A型、y张B型、z张C型纸片，根据题意得，，表示出拼成一个长方形的面积，求出，即可求解． 【详解】解：由题意得：A型正方形的面积为；B型长方形的面积为；C型正方形的面积为， 设拼成的大长方形另一边长为（为正整数）， 则大长方形总面积为 ， 设一共用了x张A型、y张B型、z张C型纸片， 根据题意得，， 总面积也可表示为， ∴， ∴， 解得， ∴或或， ∴另一边长为或或． 【变式12-3】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，当边长与在大小允许的情况下发生变化，始终为，则与的关系是_____（用含，的代数式表示）． 【答案】 【分析】设，得出，，再得到，即可求解． 【详解】解：设， 则 ， ， ∴ ， ∵始终为， ∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.2 整式的乘法（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 单项式乘单项式的运算】 2 【题型2 利用单项式乘单项式求参数】 2 【题型3 利用单项式乘单项式求代数式的值】 2 【题型4 单项式乘多项式的运算】 2 【题型5 利用单项式乘多项式降次求值】 3 【题型6 单项式乘多项式的应用】 3 【题型7 利用单项式乘多项式求参数】 4 【题型8 利用单项式乘多项式求代数式的值】 4 【题型9 多项式乘多项式的计算】 5 【题型10 利用多项式乘多项式求参数】 5 【题型11 利用多项式乘多项式求代数式的值】 5 【题型12 多项式乘多项式与图形面积】 6 考点1 整式的乘法 知识点 整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 【题型1 单项式乘单项式的运算】 【例1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）化简：_________． 【变式1-1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则的值为_____________． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）“三角”表示，“方框”表示，则________． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为____________dm． 【题型2 利用单项式乘单项式求参数】 【例2】（25-26七年级下·陕西渭南·阶段检测）若单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式，则的值为_______． 【变式2-1】（24-25六年级下·山东淄博·期末）已知，则________，________． 【变式2-2】若，则适合此等式的______， _____． 【变式2-3】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型3 利用单项式乘单项式求代数式的值】 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）若，则__________． 【变式3-2】（24-25七年级下·宁夏中卫·阶段检测），求的值_______． 【变式3-3】若，则的值为________. 【题型4 单项式乘多项式的运算】 【例4】（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值为__________ 【变式4-2】（25-26七年级下·甘肃白银·期末）已知单项式M，N满足，则_______． 【变式4-3】（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． 【题型5 利用单项式乘多项式降次求值】 【例5】若，则等于（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．－2020 【变式5-1】（24-25八年级上·北京·期中）若，则___________． 【变式5-2】（25-26七年级上·海南海口·期中）已知的值是，则的值为__________． 【变式5-3】（2026·重庆巴南·模拟预测）已知，则_______． 【题型6 单项式乘多项式的应用】 【例6】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）“垃圾分类，从你我做起”．我校积极倡导垃圾分类，响应国家政策．计划制作一块长方形的宣传展板，宣传、倡导学生们化身“环保小卫士”．如图，这块宣传展板的长为，宽为，则此宣传展板的总面积为__________． 【变式6-1】（24-25八年级下·山西运城·期末）如图是一幅边长为的正方形书法作品，计划在其四周镶一圈宽度均为的花边．现有一张镶边用的长方形花纸，恰好可以完成镶边任务且没有剩余，则这张长方形花纸相邻两边的长可能是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式6-2】（2026·上海徐汇·二模）如图，用24米铝型线材做成一个窗框（含内框、），窗框上方是两个全等的正方形和，下方是矩形．如果正方形的边长为米，那么下方矩形的面积为__________平方米．（用含的代数式表示） 【变式6-3】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【题型7 利用单项式乘多项式求参数】 【例7】（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）若的展开式中不含项，则______． 【变式7-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）要使成立，则__________，__________． 【变式7-2】已知，，，且的值与无关，则_______． 【变式7-3】若a3(3an-2am+4ak)=3a9-2a6+4a4，则m，n，k的值分别为（    ） A．6，3，1 B．3，6，1 C．2，1，3 D．2，3，1 【题型8 利用单项式乘多项式求代数式的值】 【例8】若恒成立，则______． 【变式8-1】（2026七年级下·江苏·专题练习）已知等式成立，求的值． 【变式8-2】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则__________． 【变式8-3】若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【题型9 多项式乘多项式的计算】 【例9】（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图，则长方形花园的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，则的值是___________． 【变式9-2】计算：． 【变式9-3】（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）在一次单元测验中，嘉嘉在计算一道整式乘法式子时，由于抄错了第一个多项式中常数项的符号，实际计算了，得到的计算结果是． 根据以上信息，解决下面的问题． (1)求出整式乘法式子中b的值． (2)计算出这道整式乘法式子的正确结果． 【题型10 利用多项式乘多项式求参数】 【例10】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【变式10-1】（25-26七年级下·广东河源·期中）如果多项式与的乘积化简后的系数为6，则m的值为_________． 【变式10-2】设a为常数，多项式除以所得的余式为，则________． 【变式10-3】（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，则_________． 【题型11 利用多项式乘多项式求代数式的值】 【例11】若关于x的二次三项式，则的值是______． 【变式11-1】（2025·四川南充·模拟预测）设，，为整数，且对一切实数都有恒成立，则_____________． 【变式11-2】若关于的二次三项式，则的值是_____． 【变式11-3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若的展开式中不含和项，则的值为______． 【题型12 多项式乘多项式与图形面积】 【例12】（25-26七年级下·四川成都·期末）用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要________张． 【变式12-1】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为5的小正方形（正方形和正方形），3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为______． 【变式12-2】（25-26七年级下·浙江·阶段检测）现有，，三种型号的纸片共8张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则另一边长为_______． 【变式12-3】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，当边长与在大小允许的情况下发生变化，始终为，则与的关系是_____（用含，的代数式表示）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $