专题11.3 乘法公式（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制七年级上册

本讲义聚焦平方差公式与完全平方公式，先系统梳理公式定义、几何探究及特点，再通过12类题型（如基础计算、简便运算、变形求值、几何应用等）构建从概念到综合应用的学习支架。 亮点在于融合几何直观与逻辑推理，通过图形面积验证公式（如剪拼正方形推导平方差公式）培养数学眼光，题型分层设计提升推理能力，实际应用案例（如菜地面积计算）强化应用意识。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺。

专题11.3 乘法公式（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 利用平方差公式进行计算】 2 【题型2 利用平方差公式进行简便计算】 2 【题型3 利用平方差公式变形求值】 3 【题型4 平方差公式与几何图形的应用】 3 【题型5 利用完全平方公式进行计算】 5 【题型6 利用完全平方公式进行简便计算】 5 【题型7 利用完全平方公式变形求值】 5 【题型8 完全平方公式与几何图形的应用】 6 【题型9 根据完全平方式求字母的值】 7 【题型10 与乘法公式有关的证明】 7 【题型11 利用乘法公式求最值】 8 【题型12 乘法公式的实际应用】 9 考点1 平方差公式 知识点1 平方差公式 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 平方差公式的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 【题型1 利用平方差公式进行计算】 【例1】（25-26八年级下·四川成都·期末）已知，则代数式_________． 【变式1-1】（25-26七年级下·河南驻马店·期末）计算_____． 【变式1-2】化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 【题型2 利用平方差公式进行简便计算】 【例2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）计算：__________． 【变式2-1】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）课堂上老师出了一道题：计算．嘉嘉和琪琪的计算过程如下，下列说法正确的是（    ） 嘉嘉： = = = = 琪琪： = = = = A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．两个同学都正确 D．两个同学都错误 【变式2-2】（25-26七年级下·广西贵港·期末）计算的结果是（     ） A． B．0 C．1 D． 【变式2-3】（25-26七年级下·山东聊城·期末）计算：________． 【题型3 利用平方差公式变形求值】 【例3】若的值是，则的值是（    ） A． B． C． D．16 【变式3-1】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）若，那么的值为____． 【变式3-2】当时，的值为，则的值为____． 【变式3-3】（25-26七年级下·安徽亳州·期中）若，且，，则的值为______． 【题型4 平方差公式与几何图形的应用】 【例4】（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）图1是将边长为的正方形纸片裁剪掉边长为的正方形后的剩余纸片，将纸片沿虚线剪开拼成图2的形式．由此可以得到的等式为_____． 【变式4-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，将剩下的部分对折、剪裁，拼接成一个如图2所示的梯形，则利用面积恒等能验证的公式是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】将边长为的正方形的左上角剪掉一个边长为的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含、的式子表示和； (2)用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ (3)利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·期末）从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 考点2 完全平方公式 知识点2 完全平方公式 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 完全平方公式的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 【题型5 利用完全平方公式进行计算】 【例5】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）新定义：对于任意的代数式，，，，我们规定一种新运算：，根据这一规定，计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． 【变式5-2】（2026·陕西·二模）化简：． 【变式5-3】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）已知，，则与的大小关系是______． 【题型6 利用完全平方公式进行简便计算】 【例6】（25-26六年级下·山东烟台·期末）简便运算_______． 【变式6-1】（2026·广东佛山·三模）计算：的结果________； 【变式6-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）利用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【变式6-3】计算：________． 【题型7 利用完全平方公式变形求值】 【例7】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则_____． 【变式7-1】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）已知，，则的值为（     ） A．12 B．8 C．10 D．20 【变式7-2】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如果，那么的值为（     ） A．10 B．12 C．16 D．25 【变式7-3】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知，则的值为（     ） A．6 B． C．7 D． 【题型8 完全平方公式与几何图形的应用】 【例8】（25-26七年级下·广东梅州·期中）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，如下图，可以得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，用正方形卡片类4张、B类9张和长方形卡片类张拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为_____．（用含的式子表示） 【变式8-2】（25-26七年级下·江西吉安·期中）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分），观察图形，解答下列问题： (1)用两种方法表示阴影部分的面积，从中你可以得到等式__________； (2)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【变式8-3】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为__________；（用含，的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的，，三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点、分别在、的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之和． 【题型9 根据完全平方式求字母的值】 【例9】（25-26六年级下·山东泰安·期末）如果是一个完全平方式，那么的值为____________． 【变式9-1】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）当__________时，关于的二次三项式是完全平方式． 【变式9-2】（2026·重庆大足·一模）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是（　　） A．4 B．1 C． D． 【变式9-3】（25-26八年级下·山西晋中·期中）若多项式加上一个单项式______，使它可以利用完全平方公式因式分解． 【题型10 与乘法公式有关的证明】 【例10】阅读下列材料： 若，则，得或； 若，则，得或； 若，则，得； …… 下列问题： (1)，求证； (2)，求证． 【变式10-1】（25-26八年级上·吉林·期末）已知是正整数，求证：能被4整除． 【变式10-2】（2026·江苏南通·二模）已知，其中为实数． (1)求的值； (2)若整式满足，求证：． 【变式10-3】（1）求证：； （2）已知，求证：2173可以化为两个数的平方和． 【题型11 利用乘法公式求最值】 【例11】老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ∵，∴， 当时，的值最小，最小值是1，∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为______； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 【变式11-1】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若定义：，则代数式的最小值为______． 【变式11-2】（2025·河南周口·三模）若实数，满足，则的最大值为______． 【变式11-3】在学习了乘法公式“”的应用后，李老师提出问题： 求代数式的最大值.同学们经过探索、合作交流，最后得到如下的解法： 解： ∵，∴ 当时，的值最大，最大值为3 ∴的最大值是3． 请你根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式的最大值. (2)求代数式的最大值． (3)若，求的最大值． 【题型12 乘法公式的实际应用】 【例12】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）现有如图所示的甲、乙两种边长不同的正方形纸片和丙种长方形纸片若干张，小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需要取丙纸片的张数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式12-1】（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知甲、乙两位同学家菜地都是正方形，甲同学家菜地的周长比乙同学家菜地的周长长96米，他们两家的菜地的面积相差960平方米，则甲同学家菜地的边长为_______米． 【变式12-2】如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm，下底都是ym，高都是（y﹣x）m，请你帮小刚家算一算菜地的面积是_______平方米．当x=20m，y=30m时，面积是____平方米． 【变式12-3】如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用型绿化方案，对正中间的长方形采用型绿化方案． (1)用含的代数式表示采用型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用型绿化方案的长方形的另一边长是______米； (2)已知采用型绿化方案比型绿化方案的面积大，求型绿化方案比型绿化方案的面积大了多少平方米？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.3 乘法公式（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 利用平方差公式进行计算】 2 【题型2 利用平方差公式进行简便计算】 3 【题型3 利用平方差公式变形求值】 5 【题型4 平方差公式与几何图形的应用】 6 【题型5 利用完全平方公式进行计算】 10 【题型6 利用完全平方公式进行简便计算】 11 【题型7 利用完全平方公式变形求值】 12 【题型8 完全平方公式与几何图形的应用】 13 【题型9 根据完全平方式求字母的值】 16 【题型10 与乘法公式有关的证明】 18 【题型11 利用乘法公式求最值】 20 【题型12 乘法公式的实际应用】 23 考点1 平方差公式 知识点1 平方差公式 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 平方差公式的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 【题型1 利用平方差公式进行计算】 【例1】（25-26八年级下·四川成都·期末）已知，则代数式_________． 【答案】 【分析】逆用平方差公式，再将已知代入，逐步化简即可求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式1-1】（25-26七年级下·河南驻马店·期末）计算_____． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1-2】化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式逐步计算多项式乘积，再去括号合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： ． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式变形为，再将看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）把看成一个整体，利用平方差公式计算，最后解方程即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ， ． 令， ， ． 又，即， ， ． 【题型2 利用平方差公式进行简便计算】 【例2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式将每个分解为，然后通过“约分”消去中间项，直接得到首尾相乘的结果即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2-1】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）课堂上老师出了一道题：计算．嘉嘉和琪琪的计算过程如下，下列说法正确的是（    ） 嘉嘉： = = = = 琪琪： = = = = A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．两个同学都正确 D．两个同学都错误 【答案】C 【详解】解：嘉嘉和琪琪的计算过程都正确． 【变式2-2】（25-26七年级下·广西贵港·期末）计算的结果是（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】观察算式中三个数的特点，可将2027和2025变形为含2026的式子，运用平方差公式简化计算，即可得到结果． 【详解】解： 原式 ， ， ． 【变式2-3】（25-26七年级下·山东聊城·期末）计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 【题型3 利用平方差公式变形求值】 【例3】若的值是，则的值是（    ） A． B． C． D．16 【答案】C 【分析】把看成一个整体，利用平方差公式进行化简，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查平方差公式和整体思想．解题的关键是熟练掌握平方差公式． 【变式3-1】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）若，那么的值为____． 【答案】 【分析】根据平方差公式得出，再求得a的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式3-2】当时，的值为，则的值为____． 【答案】-15 【分析】首先根据当x=1时，ax+b+1=-3，求出a+b的值是多少，然后把它代入（a+b+1）（1-a-b），求出算式的值是多少即可． 【详解】解：∵当x=1时，ax+b+1的值为-3， ∴a+b+1=-3， ∴a+b=-4， ∴（a+b+1）（1-a-b） =[（a+b）+1][1-（a+b）] =1-（a+b）2 =1-（-4）2 =1-16 =-15． 故答案为：-15． 【点睛】此题考查平方差公式，运用整体代入法是解决问题的关键． 【变式3-3】（25-26七年级下·安徽亳州·期中）若，且，，则的值为______． 【答案】1 【分析】两式作差后，利用因式分解进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【题型4 平方差公式与几何图形的应用】 【例4】（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）图1是将边长为的正方形纸片裁剪掉边长为的正方形后的剩余纸片，将纸片沿虚线剪开拼成图2的形式．由此可以得到的等式为_____． 【答案】 【分析】理解题意，由大正方形的面积小正方形的面积图2的图形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：依题意，图1的图形的面积=大正方形的面积小正方形的面积， 图2的图形的面积， 故． 【变式4-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，将剩下的部分对折、剪裁，拼接成一个如图2所示的梯形，则利用面积恒等能验证的公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，图2梯形的高为， 左图中阴影部分的面积是，右图中梯形的面积是， ． 【变式4-2】将边长为的正方形的左上角剪掉一个边长为的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含、的式子表示和； (2)用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ (3)利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1)， (2) (3)①4；②750000 【分析】本题考查平方差公式的应用，代数式求值，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据图像利用长方形与正方形的面积公式进行列式即可； （2）根据和的面积相等可以验证平方差公式； （3）利用平方差公式进行变形，再进行计算即可． 【详解】（1）解：根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得： ，． （2）以上结果可以验证的乘法公式是． （3）①，， ． ② ． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·期末）从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用平方差公式分解因式，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，将前后两个图形的阴影面积表示出来即可； （2）由，可得，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：图1中，边长为a的正方形的面积为：， 边长为b的正方形的面积为：， ∴图1 的阴影部分面积为：， 图2中长方形的长为：， 长方形的宽为：， ∴图2长方形的面积为：， ∴验证的等式是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 考点2 完全平方公式 知识点2 完全平方公式 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 完全平方公式的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 【题型5 利用完全平方公式进行计算】 【例5】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）新定义：对于任意的代数式，，，，我们规定一种新运算：，根据这一规定，计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】读懂新运算规则，按规则列出算式后，展开合并同类项即可得到结果． 【详解】解：根据新运算规则，得： ． 【变式5-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：． 【变式5-2】（2026·陕西·二模）化简：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式5-3】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）已知，，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】利用作差法比较两个多项式的大小，得到的代数式，即可得到． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵， ∴． 【题型6 利用完全平方公式进行简便计算】 【例6】（25-26六年级下·山东烟台·期末）简便运算_______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：． 【变式6-1】（2026·广东佛山·三模）计算：的结果________； 【答案】 【详解】解：． 【变式6-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）利用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)11025 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-3】计算：________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行简算即可. 【详解】解：原式 ． 【题型7 利用完全平方公式变形求值】 【例7】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则_____． 【答案】 【分析】利用完全平方公式将变形，代入已知条件求出的值，再开平方即可得到的值． 【详解】根据完全平方公式可得：， 整理得：， 将，代入得：， 对等式两边开平方得：． 【变式7-1】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）已知，，则的值为（     ） A．12 B．8 C．10 D．20 【答案】C 【分析】将已知两个等式利用完全平方公式展开后相加，消去含的项，即可求出的值. 【详解】解：①， ②， 得：， . 【变式7-2】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如果，那么的值为（     ） A．10 B．12 C．16 D．25 【答案】A 【分析】本题利用换元思想结合完全平方公式的变形求解，无需展开解方程求，可简化计算，用到完全平方公式的变形公式． 【详解】解：设，， 由完全平方公式可得，变形得 ， ， 由题意得 ， 将，代入公式得：， 即． 【变式7-3】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知，则的值为（     ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】将所求的设为新未知数，把原方程转化为关于新未知数的式子，再利用完全平方公式展开化简，即可求出结果． 【详解】解：设， ，， 代入原方程得：， 展开得：， 合并同类项得：， 整理得 ， 开平方得 ， 即． 【题型8 完全平方公式与几何图形的应用】 【例8】（25-26七年级下·广东梅州·期中）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，如下图，可以得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据图形（大正方形面积等于两个小正方形与两个长方形面积之和）可得公式 ． 【变式8-1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，用正方形卡片类4张、B类9张和长方形卡片类张拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为_____．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，解题的关键是掌握完全平方公式． 利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴大正方形的边长为，负值已舍， 故答案为：． 【变式8-2】（25-26七年级下·江西吉安·期中）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分），观察图形，解答下列问题： (1)用两种方法表示阴影部分的面积，从中你可以得到等式__________； (2)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2)①30；② 【分析】（1）根据图示，分别表示出阴影部分的面积即可求解； （2）①根据乘法公式的变形计算即可求解；②根据乘法公式的变形计算即可求解． 【详解】（1）解：阴影部分的面积可以表示为：，或者表示为， ∴； （2）解：① ，， ； ②设，，则，， ， 答：的值为． 【变式8-3】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为__________；（用含，的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的，，三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点、分别在、的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之和． 【答案】(1) (2)种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张 (3) 【分析】（1）根据等积法，列出等式即可； （2）将利用多项式乘以多项式的法则展开，即可得出结果； （3）设，根据题意易得，，再根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积， 故； （2）解：， 由图2可知，的面积为，的面积为，的面积为， 故需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张； （3）解：设，，不妨设，将图形补成边长为的大正方形，如图： 由题意，，， ， ． 【题型9 根据完全平方式求字母的值】 【例9】（25-26六年级下·山东泰安·期末）如果是一个完全平方式，那么的值为____________． 【答案】 11或 【分析】完全平方公式为，完全平方式有两种不同的形式，将给定多项式和完全平方公式对比即可求出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴该多项式可以写成的形式， ∴， ∴， ∴或 ． 【变式9-1】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）当__________时，关于的二次三项式是完全平方式． 【答案】 【分析】根据完全平方公式的结构特征，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解：， 设该完全平方式为， 展开得， 将其与对比系数，得 ， 解得， ． 【变式9-2】（2026·重庆大足·一模）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是（　　） A．4 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】解：多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以根据一次项系数的一半的平方来确定，所以加上的单项式是． 【变式9-3】（25-26八年级下·山西晋中·期中）若多项式加上一个单项式______，使它可以利用完全平方公式因式分解． 【答案】或或 【分析】分情况讨论待添加的单项式，使原式符合完全平方公式的形式，即可得到结果． 【详解】解：分情况讨论如下： ①若和为完全平方公式中的两个平方项， 由，，可得中间项为 ． 添加单项式后，可得： ， ，均可利用完全平方公式因式分解，符合要求； ②若为完全平方公式中的中间项，可得：， 添加单项式后，也可利用完全平方公式因式分解，符合要求． 【题型10 与乘法公式有关的证明】 【例10】阅读下列材料： 若，则，得或； 若，则，得或； 若，则，得； …… 下列问题： (1)，求证； (2)，求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）运用完全平方公式将变形为，即可证明； （2）先将已知等式利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质证明． 【详解】（1）解：证明：， ， ， ， ； （2）， ， ， ，，， ． 【点睛】此题考查了完全平方公式的运用，非负数的性质，解题的关键是掌握完全平方公式，根据非负数的性质解题． 【变式10-1】（25-26八年级上·吉林·期末）已知是正整数，求证：能被4整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式展开，再合并同类项，得出，根据是正整数即可得结论． 【详解】证明： ． 是正整数， 能被4整除． 能被4整除． 【变式10-2】（2026·江苏南通·二模）已知，其中为实数． (1)求的值； (2)若整式满足，求证：． 【答案】(1) (2)证明： ． 【分析】（1）将 与 代入 ，合并同类项化简即可； （2）由 代入化简得 ，根据平方非负性得 ． 【详解】（1）． （2）略． 【变式10-3】（1）求证：； （2）已知，求证：2173可以化为两个数的平方和． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查整式的乘法和完全平方公式，掌握相关公式和运算法则和将41与53化为两数的平方和是解题的关键． （1）根据整式的乘法法则和完全平方公式，将左右两边计算，所得结果一样即可； （2）将41和53化为两数的平方和再根据（1）中的等式给a、b、c、d赋上对应的值代入化简即可． 【详解】（1）证明：左边 ， 右边 ， ∴左边右边，即； （2）证明：∵，即可令， ∴， ∴2173可以化为两个数的平方和． 注意：拆成的平方和结果不唯一． 例：． 【题型11 利用乘法公式求最值】 【例11】老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ∵，∴， 当时，的值最小，最小值是1，∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为______； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键． （1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）首先将用含的代数式表示出来，再按照题中的方法求最小值即可． 【详解】（1）解：依题意，∵，∴， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解：， ∵，∴， 则当时，有最小值，是， 则代数式的最小值是 8 ； （3）解：∵， ， ， ∴的最小值是． 【变式11-1】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若定义：，则代数式的最小值为______． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了完全平方公式、非负数的性质．解决本题的关键是将代数式转化为非负数与常数项的和的形式．根据新定义、完全平方公式将原式变形为，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ， ， 代数式的最小值为． 故答案为：． 【变式11-2】（2025·河南周口·三模）若实数，满足，则的最大值为______． 【答案】 【分析】题主要考查了完全平方公式，整式的乘法，二次函数的最值，设，则，进而得出，即可得出原式，利用二次函数的性质即可求出答案 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式11-3】在学习了乘法公式“”的应用后，李老师提出问题： 求代数式的最大值.同学们经过探索、合作交流，最后得到如下的解法： 解： ∵，∴ 当时，的值最大，最大值为3 ∴的最大值是3． 请你根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式的最大值. (2)求代数式的最大值． (3)若，求的最大值． 【答案】(1)的最大值为11 (2)的最大值为5 (3)的最大值为11 【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可； （3）由，可得，再将等式右边利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）， ， ． 的最大值是11． （2）， ， ． 的最大值是5． （3）， ， ， ． 的最大值是11． 【点睛】此题考查了运用完全平方公式进行计算，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【题型12 乘法公式的实际应用】 【例12】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）现有如图所示的甲、乙两种边长不同的正方形纸片和丙种长方形纸片若干张，小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需要取丙纸片的张数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个． 先分别求出甲、乙、丙纸片的面积，再根据完全平方式求出答案即可． 【详解】解：取甲纸片1张，取乙纸片9张， 面积为， 小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为，， 还需6张丙纸片． 【变式12-1】（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知甲、乙两位同学家菜地都是正方形，甲同学家菜地的周长比乙同学家菜地的周长长96米，他们两家的菜地的面积相差960平方米，则甲同学家菜地的边长为_______米． 【答案】32 【分析】本题考查了运用平方差和完全平方公式的计算，熟练掌握平方差和完全平方公式是解题的关键； 设甲同学家菜地的边长分别是x米，则乙同学家菜地的边长，列式运用平方差和完全平方公式解答即可． 【详解】解：设甲同学家菜地的边长分别是x米，则乙同学家菜地的边长，根据题意，得 故答案为：32． 【变式12-2】如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm，下底都是ym，高都是（y﹣x）m，请你帮小刚家算一算菜地的面积是_______平方米．当x=20m，y=30m时，面积是____平方米． 【答案】 y2﹣x2 500 【分析】结合图形，根据梯形的面积公式=（上底+下底）×高，列出菜地的面积，再运用平方差公式计算． 【详解】解：由题意得菜地的面积为2×（x+y）（y﹣x）=y2﹣x2． 当x=20，y=30时， y2﹣x2=302﹣202=900﹣400=500m2．故答案为y2﹣x2；500． 【点评】本题考查了平方差公式的几何表示，熟练运用梯形的面积公式以及平方差公式是解题的关键． 【变式12-3】如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用型绿化方案，对正中间的长方形采用型绿化方案． (1)用含的代数式表示采用型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用型绿化方案的长方形的另一边长是______米； (2)已知采用型绿化方案比型绿化方案的面积大，求型绿化方案比型绿化方案的面积大了多少平方米？ 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据题意表示出、绿化方案的边长或另一边长即可； （）设型绿化方案的面积为，型绿化方案的面积为，分别计算，然后作差值计算即可； 本题考查了整式的加减，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）采用绿化方案的四个正方形边长， 采用型绿化方案的长方形的另一边长是， 故答案为：，； （2）设型绿化方案的面积为，型绿化方案的面积为， ∴，， 则， 答：B型绿化方案比A型绿化方案的面积大了平方米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $