第02章 有理数 单元复习 2026-2027学年苏科版七年级数学上册期末复习讲义

第02章 有理数 单元复习+小测 （核心知识+8易错辨析+13典例精讲） 【知识点01】正数与负数 1. 正数：大于0的数；负数：在正数前加负号，小于0的数。 2. 0的特殊性：0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界点。 3. 相反意义的量：可用正、负数表示生活中具有相反意义的同类量，如上升与下降、收入与支出、向东与向西等。 注意：相反意义的量必须是同类量，不同类量不能构成相反意义的量。 【知识点02】有理数 1. 定义：整数和分数统称为有理数。 整数包含：正整数、0、负整数；分数包含：正分数、负分数。有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数。 2. 有理数两种分类方式 （1）按定义分类： （2）按符号分类： 3. 关键区分：圆周率π、无限不循环小数不属于有理数。 【知识点03】数轴 1. 三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2. 核心性质：数轴上右边的数总比左边的数大，即正数＞0＞负数。 3. 对应关系：所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都代表有理数（还可表示无理数）。 【知识点04】相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 2. 代数表示：数a的相反数是-a，0的相反数是0。 3. 几何意义：数轴上互为相反数的两个点（0除外），分居原点两侧，且到原点的距离相等。 4. 多重符号化简规则：负号个数为偶数，结果为正；负号个数为奇数，结果为负。 【知识点05】绝对值 1. 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|。 2. 绝对值化简法则： 3. 核心性质 （1）非负性：|a|≥0，绝对值永远大于或等于0； （2）若|a|=|b|，则a=b或a=-b； （3）负数比较大小：绝对值越大，负数的值越小。 【知识点06】有理数的运算 （1）有理数加法 法则：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值，互为相反数的两数相加得0；一个数加0，仍得原数。 运算律：加法交换律 a+b=b+a；加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。 （2）有理数减法 核心法则：，减去一个数等于加上这个数的相反数。 （3）有理数乘法 法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘得0。 多个数相乘：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负；只要有一个因数为0，积为0。 运算律：乘法交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac。 （4）有理数除法 法则：；两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何非0数都得0。 （5）有理数乘方 1. 定义：aⁿ中，a是底数，n是指数，表示n个a相乘。 2. 符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂为负、偶次幂为正；0的正整数次幂为0；1ⁿ=1，(-1)的奇次幂=-1，(-1)的偶次幂=1。 （6）有理数混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，从左到右依次计算； 3. 有括号时，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 【知识点07】科学记数法 把绝对值大于10的数表示为 （，n为正整数），其中n=原数的整数位数-1。 易错1：有理数概念混淆 ❌ 错误认知：整数就是正数和负数；所有小数都是分数。 ✅ 正确辨析：整数包含0；无限不循环小数（如圆周率π）不是分数，不属于有理数。 ❌ 错误认知：不带负号的数就是正数。 ✅ 正确辨析：0不带负号，也不是正数。 易错2：相反意义的量判断错误 ❌ 错误认知：任意上升、下降类词语都是相反意义的量。 ✅ 正确辨析：相反意义的量必须是同类、带数量的量，身高变化与体重变化不属于相反意义的量。 易错3：数轴认知误区 ❌ 错误认知：数轴上的点一定表示有理数。 ✅ 正确辨析：有理数都能在数轴上表示，但数轴上的点还可以表示无理数，并非只对应有理数。 易错4：相反数与多重符号化简 ❌ 错误认知：-a一定是负数。 ✅ 正确辨析：a为负数时，-a是正数；a=0时，-a=0。 ❌ 错误认知：只要符号不同的两个数就是相反数。 ✅ 正确辨析：互为相反数的两个数必须只有符号不同，数字绝对值完全相等。 易错5：绝对值核心易错点（本章最大易错点） ❌ 错误认知：若|a|=4，则a=4。 ✅ 正确辨析：绝对值为4的数有两个，a=±4。 ❌ 错误认知：|a|=a ⇒ a>0 ✅ 正确辨析：|a|=a ⇒ a≥0；|a|=-a ⇒ a≤0，极易遗漏0的情况。 ❌ 错误认知：绝对值相等的两个数一定相等。 ✅ 正确辨析：两数绝对值相等，两数相等或互为相反数。 易错6：负数大小比较失误 ❌ 错误比较：-8>-5（单纯比较数字大小）。 ✅ 正确规则：两个负数比较大小，绝对值越大，数值越小，故-8<-5。 易错7：有理数运算符号与顺序误区 ❌ 典型错误：-3²=9 ✅ 正确计算：-3²=-(3×3)=-9，(-3)²=9，有无括号，底数完全不同。 ❌ 运算顺序错误：2÷×3=2÷1=2 ✅ 正确规则：同级运算从左往右依次计算，原式=6×3=18，不可随意优先计算后侧运算。 ❌ 定律乱用：12÷(+)=12÷+12÷ ✅ 正确辨析：乘法有分配律，除法没有分配律，需先算括号内加法，再算除法。 易错8：科学记数法书写不规范 ❌ 错误书写：5600=56×10² ✅ 正确书写：科学记数法要求1≤a<10，原式正确形式为5.6×10³。 【题型一】 正数与负数 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列各数中为负数的是（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正数和负数的定义，负数是指小于零的数，通过判断每个选项的符号和数值即可确定，熟练掌握正数和负数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，故不符合题意； B、3大于零，为正数，故不符合题意； C、小于零，为负数，故符合题意； D、大于零，为正数，故不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）在中国古代数学著作《九章算术》中，用“负数”表示负债或亏损．若“收入20元”记为，那么“支出15元”应记为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相反意义的量 【分析】此题考查正负数的意义，根据负数表示负债或亏损的含义，收入记为正，支出记为负，即可求解． 【详解】解：∵“收入20元”记为， ∴支出15元应记为元． 故选D． 3．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）在中，非负有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查了非负有理数的定义，解题的关键是熟练掌握非负有理数的定义．利用非负有理数即正有理数和0，一一判断即可． 【详解】解：非负有理数有， 故选：B． 4．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）某种新能源电动汽车在充电站充电50千瓦∙时记作千瓦∙时，那么行驶一段路程耗电30千瓦∙时记作___________． 【答案】千瓦∙时 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数的意义，充电表示电量增加记为正数，耗电表示电量减少记为负数． 【详解】解：由题意，充电50千瓦∙时记作千瓦∙时，则耗电30千瓦∙时应记作千瓦∙时， 故答案为：千瓦∙时． 5．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 【答案】①⑤/⑤① 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】根据有理数的分类，整数的定义，偶数和自然数的定义，逐一判断每个说法的正误，即可得到结果． 【详解】解：①根据正有理数的分类，正有理数包括正整数和正分数，该说法正确； ②整数是正整数、0、负整数的统称，原说法漏掉0，故该说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，其中整数包含0， ∴有理数包括正整数、0、负整数、正分数、负分数，原说法漏掉0，故该说法错误； ④0是偶数，也是自然数，原说法错误； ⑤根据偶数的定义，偶数包括正偶数、负偶数和0，该说法正确． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）某同学学籍号为201103051， 表示他是2011年入学的3 班5号男生（男生用“1”表示， 女生用“2”表示），那么2024年入学的11班23号女生的学籍号是___________． 【答案】202411232 【知识点】正负数的定义 【分析】本题主要考查用数字表示事件，根据题中记录的方法， 掌握各位数字表示的意义，判断即可． 【详解】解：根据题意得：2024年入学的11班23号女生的学籍号是202411232． 故答案为：202411232 7．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）把下列各数填入相应的数集合中： ，，，，，，，（相邻两个1之间依次增加一个2）． 整数集合： ； 正数集合： ； 分数集合： ； 有理数集合： ． 【答案】见解析 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类和定义，熟练掌握有理数的两种分类方式是解答本题的关键． 有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数，据此求解即可． 【详解】整数集合：{，0，2025}； 正数集合：{3.14159，，2025，，1.1212212221...}； 分数集合：{3.14159，，}； 有理数集合：{，3.14159，0，2025，，}． 8．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请从下列各数中选出合适的数，填入其所属集合圈内的恰当位置． ，，，，，，，，． 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】此题考查了有理数的分类，掌握负数、分数的定义与特点是解题的关键 根据负数和分数的定义进行分类即可，注意小数也是分数． 【详解】解：如图， 9．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号里． ，，，，0，（每两个1之间增加一个2），，，． 整数：； 负分数：； 正有理数：； 非负整数：． 【答案】， ， 0；， ；， ， ； ， 0． 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 根据有理数的分类逐个解答即可． 【详解】解：，，，， 整数：{， ， 0}； 负分数：{， }； 正有理数集：{， ， }； 非负整数集：{， 0} 故答案为：， ， 0；， ；， ， ； ， 0． 10．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为七年级某班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 【答案】(1)102个 (2)192分 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键； （1）根据表格可直接进行求解； （2）先求出该班的总积分，然后问题可求解； 【详解】（1）由题意得：因为， 所以平均每人跳绳个， 答：这个班42人一分钟内平均每人跳绳102个． （2）（分） 答：这个班跳绳总共获得192分． 【题型二】 数轴及其综合应用 11．下列所画的数轴中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】根据数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，再结合各个选项中的数轴的特点，可以判断哪个选项是正确的，从而可以解答本题． 【详解】解：选项A中的数轴单位长度不一样，故选项A错误； 选项B中原点左侧的数据标错，应该是从左到右按照从小到大的顺序排列，故选项B错误； 选项C中的数轴正确； 选项D中的数轴没有正方向，故选项D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴的定义，解答本题的关键是明确数轴的特点，知道数轴的三要素：原点、正方向和单位长度． 12．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）数轴上表示与的点之间的整数共有（ 　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小比较，根据题意找出满足条件的所有整数即可求解． 【详解】解：数轴上表示与2.1的点之间的整数有，，，0，1，2，共6个． 故选：B． 13．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）数轴上点表示的数是，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴上点的平移，熟悉掌握移动的方法是解题的关键． 根据左减右加进行运算求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 14．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上整点覆盖问题 【分析】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【详解】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． 15．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上点表示有理数，点与点的距离为，则点表示的有理数为______． 【答案】或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，设点表示的有理数为，则，解得或，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设点表示的有理数为，则， 解得或， 故答案为：或． 16．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图，数轴上的数a，b，c，d中，小于的是______． 【答案】a 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，解题的关键是通过数轴上数的位置，直接与 对比大小． 根据数轴上、、、与的位置关系，判断出小于的数． 【详解】解：由数轴位置可知，在左侧，、、均在右侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，故小于的数是． 故答案为：． 17．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）某一电子昆虫落在数轴上的原点，从原点开始跳动，第1次向左跳1个单位长度到，第2次由向右跳2个单位长度到，第3次由向左跳3个单位长度到，第4次由向右跳4个单位长度到…依此规律跳下去，当它跳第次落下时，电子昆虫在数轴上的落点表示的数是____________． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上的规律探究 【分析】本题考查数轴及规律探索等知识点，解题的关键是理解题意，找出所求问题需要的条件． 根据题意，可以发现题目中各个数的变化规律，从而可以求得所表示的数． 【详解】解：1次向左跳1个单位长度表示的数是，第2次由向右跳2个单位长度表示的数是1，第3次由向左跳3个单位长度表示的数是，第4次由向右跳4个单位长度表示的数是2，由此可知令昆虫在数轴上跳的次数为n，则当n为偶数时， 当n为奇数时， ∴ 故答案为：． 18．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 【答案】(1)略 (2)略 【知识点】数轴的三要素及其画法、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】（1）根据数轴三要素画图即可； （2）将5个数在数轴上表示出来，然后根据数轴左边的数小于右边的数用“”号把这些数连接起来． 【详解】（1）解：如图所示，数轴即为所求； （2）解：如图所示， ∴． 【题型三】 绝对值及其综合应用 19．（25-26七年级上·江苏常州·期中）绝对值小于4的正整数的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查绝对值；根据正整数绝对值等于本身，因此绝对值小于4的正整数即小于4的正整数，解答即可． 【详解】解：∵正整数绝对值等于本身， ∴绝对值小于4的正整数为1、2、3， ∴个数为3． 故选：B． 20．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，解题的关键是利用非负性求出、的值． 通过分析等式中各项的非负性，得出绝对值项和平方项均为零，进而求出和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵，且左边各项非负， ， ， 代入方程得， 两边减去得， ， 且， ∴， ． 故答案为：A． 21．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）若有理数，，满足，，则的值为（ ） A．4 B．5 C．4或6 D．4或5 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】此题考查了绝对值的几何意义， 根据绝对值的几何意义，表示数轴上点之间的距离．通过分析b和c相对于a的位置关系，计算的值． 【详解】∵，， ∴点b与点a的距离为1，点c与点a的距离为5． 当点b和点c在点a的同侧时，； 当点b和点c在点a的异侧时，． ∴的值为4或6． 故选：C． 22．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）计算：____________． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义，一个数的绝对值表示该数到原点的距离，总是非负的；负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：． 故答案为：． 23．若，则a的取值范围是______． 【答案】 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数，可知a的取值范围． 【详解】 又 一个负数的绝对值是它的相反数 故答案： 【点睛】本题考查绝对值的性质，正数、零的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反的数，掌握该性质是解题的关键． 24．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）若为有理数，则式子的最小值为______ 　． 【答案】2025 【知识点】绝对值非负性 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．利用绝对值的性质得出的最小值为0，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴当时，取最小值，最小值为2025． 故答案为：2025． 25．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或； （2）解：∵，，， ∴， ∴或， ∴，或，， ∴或， ∴的值或． 26．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 27.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 【答案】(1)点M表示的数为50 (2)①当点Q运动40秒时，点Q追上点P．②点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点” 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的其他应用 【分析】本题考查绝对值，数轴，数轴上两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）设点M表示的数为m，，根据题意，得到或，分别求解即可． （2）①追及问题中，Q追上P时两者位置相同，列出位置相等的方程，解得，即可解答； ②点A是P、Q的“快乐点”，分两种情况：A到P的距离是A到Q距离的3倍（），或A到Q的距离是A到P距离的3倍（），分类求解即可． 【详解】（1）解：设点M表示的数为m， ， 或， 或， 或， 或， 解得 或（舍去）， 答：点M表示的数为50． （2）①， ， ， ． 答：当点Q运动40秒时，点Q追上点P． ②点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点A是点P、Q的“快乐点”， ∴或 情况1：当时， 当时， ， 解得， 当时， ， 解得， 情况2：当时， 当时， ， 解得，不符合题意，舍去； 当时， ， 解得． 答：点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点”． 【题型四】 有理数大小比较与实际应用 28．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）下表记录了1月份某日我国四个城市10点时的气温： 城市 北京 哈尔滨 盐城 上海 气温（） 3 7 此时气温最低的城市是（   ） A．北京 B．哈尔滨 C．盐城 D．上海 【答案】B 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查有理数的大小比较． 比较四个城市的气温即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴气温最低的城市是哈尔滨． 故选：B． 29．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）比较大小： （1）_________； （2）_________； 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】（1）根据负数小于的性质直接判断； （2）先求两个负数的绝对值并通分比较大小，再根据绝对值大的负数反而小判断． 【详解】解：（1）∵负数都小于， ∴； （2）∵，，， ∴． 30．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 【答案】(1)③ (2)样品①③④ 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的大小比较； （1）直接比较各个选项数据的绝对值，找出最接近标准的即可． （2）找出绝对值大于的不是正品，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，，，，， 而， ∴最符合要求是样品③； （2）∵规定零件误差的绝对值在之内是正品， 而，， ∴②⑤不符合题意； ∴正品是样品①③④． 31．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）我们规定：如果，那么表示与中较小的数，“”表示与中较大的数；如果，那么． (1)______ (2)求的值（运算顺序为从左到右）； (3)若，且、均为正整数，求的所有可能的值． 【答案】(1)5 (2) (3)1、2、3、8、9 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的大小比较、新定义、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据新定义计算即可． （2）根据新定义可以发现当时，根据这个规律计算即可． （3）根据新定义得，，，所以，然后分类讨论即可． 【详解】（1）解：根据新定义可得， 故答案为：5； （2）解：根据新定义可得当时，， 所以 ； （3）解：∵，，，且， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， 当时，，， ∴，，符合题意； 当时，，， ∴，，符合题意； 当时， ∵，， ∴， ∴， 当时，，， ∴，， ∴或，符合题意； 当时，，， ∴，， ∴，符合题意； 综上所述，的所有可能的值1、2、3、8、9． 【题型五】 相反数及其应用 32．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）实数2026的相反数是（     ） A． B． C．2026 D． 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义，对于实数a，其相反数为作答即可. 【详解】解：实数2026的相反数是， 故选：A. 33．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与0.3 【答案】C 【知识点】相反数的定义、化简多重符号 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），分别计算各选项中两个数的值，并判断是否满足条件即可． 【详解】解：A、，，两者相等，不互为相反数； B、，，两者相等，不互为相反数； C、，，与互为相反数； D、的相反数是，而，故不互为相反数， 故选：C． 34．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如果a与互为相反数，那么_______． 【答案】 【知识点】相反数的定义 【分析】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键；根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，然后问题可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴； 故答案为． 35．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）化简：______． 【答案】 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了去括号法则，解题的关键是掌握去括号法则进行解题． 由去括号法则进行运算，即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 36．（25-26七年级上·江苏常州·期中）已知两数，判断与是否互为相反数，并说明理由． 【答案】是互为相反数，理由见解析 【知识点】相反数的定义、相反数的应用 【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握互为相反数的两个数之和为0． 通过计算与的和，根据相反数的定义判断它们是否互为相反数． 【详解】是互为相反数， 理由：因为， 所以与互为相反数． 37．（23-24七年级上·江苏南通·阶段检测）已知m是6的相反数，n比的相反数大3. (1)直接写出______，______. (2)求的值. 【答案】(1)， (2)16 【详解】（1）解： m是6的相反数， ，， 的相反数是， n比的相反数大3， ， 故答案为：，； （2）解：由（1）知，， ． 【题型六】 有理数的加法与减法 38．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）今年冬季某天测得的最高气温是，最低气温是，则当日温差是__________． 【答案】17 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键． 温差是最高气温与最低气温的差，依据有理数减法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：17． 39．计算的结果是______________． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律 【分析】根据加法的结合律计算，即可作答． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，掌握加法的结合律，是解答本题的关键． 40．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则_________． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加减计算，熟练掌握新定义是解题的关键． 先根据新定义求出，再根据代入计算即可． 【详解】解：因为表示不超过的最大整数， 所以． ． 故答案为：． 41．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是正确去括号，灵活运用加法运算律简化计算． 先根据去括号法则去掉括号；再将整数部分与分数部分分别结合，进行加减运算． 【详解】解：      42．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)35 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数加法运算律 【分析】（1）先化简绝对值与去括号，再利用加法运算律将互为相反数的项合并，最后计算剩余部分即可得到结果； （2）先化简绝对值与去括号，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数与小数分别分组计算，最后求和即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）观察下列各式： ；；； (1)写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查分数运算规律的应用． （1）根据题中所给规律并结合分数运算法则即可得到答案； （2）根据题中所给规律将每个乘法“化”为加法进行运算即可． 【详解】（1）解：第n个等式为； （2）解：原式． 【题型七】 有理数的乘法与除法 44．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知，，且，则的值是（　　） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：，， ，， ， ，或， 或． 故选：D． 45．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）若、互为倒数，则、之间的关系可以写成__________． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积等于1． 本题考查倒数的概念，正确理解概念是解题的关键． 【详解】解：因为a和b互为倒数，所以它们的乘积等于1，即． 故答案为：． 46．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律简化计算即可； （2）根据乘法交换律和结合律简化计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 47．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法________是错误的．在正确的解法中，你认为解法________较简便．（填“一”、“二”或“三”） (2)请用你认为简便的方法计算：． 【答案】(1)一，三； (2)． 【知识点】有理数的加减混合运算、倒数、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）通过有理数运算法则即可求解； （）根据阅读材料解法三先算出，然后算减法即可． 【详解】（1）解：上述解法中，解法一是错误的，在正确的解法中，解法三较简便， 故答案为：一，三； （2）解：的倒数为 ， ∴， ∴原式 ． 【题型八】有理数四则混合运算的实际应用 48．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）为了迎接体育节，温州市某小学买了8个足球和11个篮球共花费了1152元，如果买16个足球和6个篮球所花费的钱一样多，那么一个篮球的价格是（   ） A．70元 B．71元 C．72元 D．73元 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键．先根据8个足球和11个篮球的花费与16个足球和6个篮球的花费一样多，得出8个足球的价格等于5个篮球的价格，再列式计算即可． 【详解】解：∵8个足球和11个篮球的花费与16个足球和6个篮球的花费一样多， ∴8个足球的价格等于5个篮球的价格， ∴一个篮球的价格为： （元）， 故选：C． 49．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图①，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，即得2788．如图②，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（    ） A．b的值为6 B．乘积结果可以表示为 C．a的值大于3 D．a为奇数 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数四则混合运算、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的乘法和二元一次方程的应用，解题的关键是理解“铺地锦”计算两个数相乘的方法，建立二元一次方程组．根据“铺地锦”的方法将图2补充，由此得到，，求解，逐一判断即可． 【详解】解：根据“铺地锦”的计算方法可得如图表格， 因此，故A正确，不符合题意， ，解得，故C错误，符合题意，B正确，不符合题意， 因此为奇数，故D正确，不符合题意， 故选：C． 50．（25-26七年级上·江苏南通·期末）小明用铁丝制作了如图所示的楼梯模型，则模型总共用的铁丝长为_____厘米． 【答案】26 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查的是有理数的运算，熟练掌握长方形的周长公式是解题的关键； 经过平移楼梯模型可变为长方形； 根据长方形的周长公式计算即可． 【详解】解：根据平移性质，楼梯模型周长等于矩形周长， ∴模型总共用的铁丝长为（）． 故答案为：26． 51．（25-26七年级上·江苏南京·期末）根据《国务院关于渐进式延迟法定退休年龄的办法》，从2025年1月1日起，男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，逐步从60周岁延迟至63周岁． 男职工延迟法定退休年龄对照表（部分） 出生时间 改革后法定退休年龄 改革后退休时间 出生时间 改革后法定退休年龄 改革后退休时间 1965年1月 60岁1个月 2025年2月 1965年5月 60岁2个月 2025年7月 1965年2月 2025年3月 1965年6月 2025年8月 1965年3月 2025年4月 1965年7月 2025年9月 1965年4月 2025年5月 … … 王强，李斌两位男职工谈论自己的法定退休年龄，王强说：“我可以在61周岁前退休．” 李斌说：“我比你小1个月，要延迟至61周岁退休．”则李斌的出生年月是______________． 【答案】1968年9月 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键．需先根据退休年龄确定两人延迟退休的月数，再结合“每四个月延迟一个月”的规则，确定各自的出生年月范围，最后根据两人的年龄差求解． 【详解】解：由题意可知，李斌的退休年龄为61周岁，即延迟退休了12个月，王强的退休年龄小于61周岁，则其延迟退休月数小于12个月，又因李斌比王强小1个月，且二人的延迟退休月数不同，故他们处于相邻的两个4个月份的计算区间内，故王强的延迟退休月数为11个月． 因为男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，所以延迟11个月的出生年月为1968年5月月，延迟12个月的出生年月为1968年9月月． 又因为李斌比王强小1个月，所以李斌的出生年月是1968年9月． 故答案为：1968年9月． 52．国庆黄金周（七天）期间，小敏每天上午10点观察了这一周家里的电表读数，并记录如下： （单位∶千瓦时） 日期（号） 1 2 3 4 5 6 7 电表读数 32 33 34 41 42 48 57 (1)请你求出小敏家这几天每天的平均用电量； (2)若一个月按30天计算，请估算一下这个月小敏家的用电量． 【答案】(1) (2)125 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）把6天的用电量除以天数即可； （2）每天的用电量，即可求出这个月小敏家的电费． 【详解】（1）解：平均用电量为：(千瓦时)； （2）解：这个月小敏家的用电量为(千瓦时)． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，有理数乘法，解题的关键是理解题意，并列出算式． 【题型九】 有理数的乘方 53．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）的值是（   ） A． B．49 C． D．14 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，先根据乘方运算的优先级计算即可． 【详解】解：∵， ∴值为 49． 故选：B． 54．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）计算 的结果（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查乘法的意义，乘方的意义，熟练掌握乘法的意义和乘方的意义是解题的关键． 第一部分是m个3相加，等于3乘以m；第二部分是n个4相乘，等于4的n次方，然后求和即可． 【详解】解：∵ ， ∵ ， ∴ 原式 ． 故选：A． 55．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在，，，中，结果是负数的有_________个． 【答案】1 【知识点】正负数的定义、有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】分别计算四个数的结果，判断正负性，统计负数的个数． 【详解】解：逐个计算各数并判断正负： ，结果为正数，不是负数； ，结果为负数，是符合要求的数； ，结果为正数，不是负数； ，结果为正数，不是负数； 统计可得，结果是负数的共有个． 56．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数______． 【答案】4或 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据得到要填写的数与1的和为，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴填写的数为4或， 故答案为；4或． 57．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）当________时，有最大值是________． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】此题主要考查偶次方的非负性，根据的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴当时，有最大值是， 故答案为：，． 58．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）我们称M为“美好数”，记，， ，…（其中n为正整数）． (1)计算：_______． (2)求的值． (3)猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与互为相反数， 理由如下： ， ， 故与互为相反数． 【知识点】有理数的乘方运算、乘方的应用 【分析】本题考查了数字类变化规律、乘方的应用，掌握变化规律是解此题的关键． （1）根据（其中为正整数）可得和，计算即可得出答案； （2）根据（其中为正整数）可得和，计算即可得出答案； （3）分别求出与，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ； （3）略 【题型十】 用科学记数法表示绝对值大于1的数 59．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线10天后达到了1600万．将1600用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的形式． 科学记数法的形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 60．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我国“奋斗者”号载人潜水器最大下潜深度约为 10900 米，用科学记数法表示 10900 正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】科学记数法的表示方法为：，其中，为整数，确定与的值即可. 【详解】解：. 61．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）2025年11月1日，在首届江苏省城市足球联赛决赛现场，62329名球迷齐聚南京奥体中心，共同见证了该项赛事的完美收官，数据“62329”用科学记数法表示为___________． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数；确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据“62329”用科学记数法表示为． 故答案为：． 62．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算． (1)一粒大米重约 克； (2)按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米按每吨四千元的价格卖成钱，再按每人每年5000元的标准资助给贫困学生，那么每年可资助多少名贫困学生？ 【答案】(1)0.02； (2)一年大约能节约大米3.066×107千克； (3)可供24528名失学儿童上一年学． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查有理数混合运算的实际应用，科学记数法．读懂题意，列出相应的算式是解题关键． （1）根据一粒大米重量=总重量÷粒数，求解即可； （2）根据每人每餐节约的质量×天数=总量，列式计算即可； （3）根据单价×数量=总价，再根据人数＝总价÷每人每年的学费，列式计算即可． 【详解】（1）解：克， 答：一粒大米重约0.02克； （2）解：千克千克， 答：一年大约能节约大米千克； （3）解：千克吨 元， 名， 答：可供24528名失学儿童上一年学． 【题型十一】含乘方的有理数混合运算 63．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）观察下面三行数： ；① 设分别为第①②③行的第100个数，则的值为（   ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 【答案】D 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查数字规律的探索，掌握数字成固定倍数增长变化是解题的关键． 通过观察可知第①行后面一个数是前面一个数的倍，第②行是第①行对应数加2，第③行是第②行对应数除以3，根据规律求出第100个数a、b、c的值，代入表达式计算得到结果． 【详解】解： 第①行第n个数为 ， ； 第二行第n个数为第一行第n个数加2，； 第三行第n个数为第二行第n个数除以3，； 代入得 ． 故选：D． 64．计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、求一个数的绝对值 【分析】按照先算乘方、再算乘除、最后算加减的顺序计算，结合绝对值的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 65．计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、求一个数的绝对值 【详解】解： ． 66．计算：． 【答案】6 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】解： ． 67．计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】解：原式 ． 68．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解： （2）解： 【题型十二】程序流程图与有理数计算 69．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查运算程序，代数式的值，规律探索，根据运算程序先判断输入的数是奇数还是偶数，是奇数选择运算，是偶数选择计算，直到从第4次开始偶数次输出结果为6，奇数次输出结果为3，根据2025为奇数，即可得出第2025次结果． 【详解】解：第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， ， 从第次开始，以，依次循环， 因为， 所以第次输出的结果为． 故选：A． 70．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是___________． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数与程序运算，先理解题意，再列式，进行计算，即可作答． 【详解】解：观察计算机程序，则， ∴最后输出的结果是， 故答案为：． 71．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）按如图所示的流程图操作，若输入x的值是，则输出的结果是______． 【答案】49 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据流程图，列出算式，进行计算，直至结果大于5即可． 【详解】解：输入的x的值是， 则，返回继续运算； ，输出结果； 故答案为： 72．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图所示是计算机程序计算，若输入，则输出的值为______． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算和减法计算． 先根据题意得到算式，计算出其结果，若结果小于负5则输出，若大于等于负5，则把结果看作新数输入进行求解判断即可． 【详解】解：， ， ∴输出的结果为， 故答案为：． 73．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以加上，若它是偶数，则除以．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到．例如：如图所示，输入自然数，最少经过次运算后可得到．如果一个自然数恰好经过次运算后得到，则所有符合条件的的值的和为____________． 【答案】172 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 依据题中给出的自然数5的运算结果，运算结果是16时，前一个运算结果可以是奇数5或偶数（），由此前继续推算，找出符合要求的数． 【详解】解：因为， 得数为64之前的数为偶数时，； 得数为64之前的数为奇数时，则，则； 当得数为16之前输入的数为奇数时，第一次计算的结果为10，则或，则． 综上所述a的值为128，21，20，3，则． 故答案为：172． 【题型十三】算“24”点 74．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）现有张写着不同数的卡片（如图），从中抽取张卡片，用学过的运算方法，使结果为．运算式子为________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据有理数混合运算法则并利用点游戏规则进行解答． 【详解】解：抽取四张卡分别是， 列式为： 故答案为：（答案不唯一）． 75．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【答案】（答案不唯一）. 【知识点】算“24”点 【详解】解：由题意得： （答案不唯一）． 76．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）小明有五张写着不同数的卡片（如图），请你按要求选择卡片，回答下列问题∶ (1)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的乘积最大，则这两张卡片上的数分别是？ (2)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的商最小，则最小商是多少？ (3)从中选择四张卡片，每张卡片的数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可）． 【答案】(1)， (2) (3)（答案不唯一） 【知识点】算“24”点、有理数的除法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）找出两个数字，要使其积最大，必须是同号相乘，即可作答； （2）找出两个数字，要使其商最小，必须是异号，即可作答； （3）利用24点游戏规则判断即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵ ∴这两张卡片上的数字分别是，此时积最大； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：找出两个数字，要使其商最小，必须是异号， ∴，， ，， ∵， ∴这个最小的商为； （3）解：由题意得： ． 77．学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 1. 知识主线 实际相反意义量→正负数→有理数定义与分类→数轴（数形结合核心工具）→相反数、绝对值（有理数核心几何概念）→有理数四则运算、乘方运算→混合运算、科学记数法、近似数。 2. 核心数学思想方法 （1）数形结合思想：借助数轴直观理解相反数、绝对值的几何意义，快速比较有理数大小，简化抽象问题。 （2）分类讨论思想：去绝对值、已知绝对值求原数、判断乘方符号时，需分正数、0、负数三种情况讨论，避免漏解。 （3）转化思想：将减法转化为加法、除法转化为乘法，把陌生运算转化为熟悉的基础运算。 （4）非负性思想：绝对值具有非负性（|a|≥0），若多个绝对值相加和为0，则每一个绝对值内的数均为0。 3. 学习重点警示 本章是初中代数的入门基础，符号问题是贯穿全章的核心易错点，绝大多数计算失误均源于正负号判断错误、运算顺序混乱、括号范围辨析不清。解题时需养成“先定符号、再算数值”的习惯，遇到绝对值、乘方运算优先观察式子结构，规避易错陷阱，为后续整式、方程学习筑牢基础。 一、单选题 1．比大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查的知识点是有理数比较大小和绝对值的性质，根据负数的绝对值越大则负数越小，负数的绝对值越小则负数越大即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴比大的数是 故选：C． 2．在，0，，和2024这五个有理数中，正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】有理数的定义、正负数的定义 【分析】本题考查正数的定义，找出所有的正数即可得解，掌握正数的定义是解题的关键． 【详解】正数有：和2024，有2个正数． 故选B． 3．若盈余3万元记作+3万元，则-3万元表示（    ） A．亏损3万元 B．盈余3万元 C．亏损-3万元 D．不盈余也不亏损 【答案】A 【知识点】相反意义的量 【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量解答即可． 【详解】解：∵盈余3万元记作+3万元， ∴-3万元表示亏损3万元， 故选：A． 【点睛】本题考查了正数和负数的意义及其实际应用，熟练掌握正数与负数的意义是解题的关键． 4．计算的最后结果是（    ） A．3 B．－3 C．－5 D．5 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的减法运算 【分析】先根据绝对值的性质化简，再计算减法，即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的减法运算，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列式子成立的是（    ） A．a＋b＞0 B．﹣a＜0 C．a﹣b＜0 D．﹣a＜b 【答案】C 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数加法中的符号问题 【分析】观察数轴得到a<0，b>0，|a|>b，则有a+b<0；-a＞0； -a>b，a﹣b=a+(-b)＜0，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得，a<0，b>0，|a|>b， ∴a+b<0； 故选项A不正确； ∵a<0， ∴-a＞0； 故选项B不正确； ∵-b＜0，a<0， ∴a﹣b=a+(-b)＜0， 故选项C正确； ∵|a|>b，|a|=-a, ∴−a>b， 故选项D不正确． 故选:C． 【点睛】考查实数与数轴，观察数轴，得到a<0，b>0，|a|>b是解题的关键． 6．下列各式成立的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则， D．若，则、 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】根据绝对值的定义判断A选项；根据有理数的加法判断B选项；根据有理数的加法，掌握两数相乘判断C选项；根据有理数的除法法则判断D选项． 【详解】解：A．若，则或，故该选项不符合题意； B．若，，则不一定成立，故该选项不符合题意； C．若，，则同为负号，，成立，故该选项符合题意； D．若，则，或，，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值，有理数的乘法，有理数的加法，解题的关键是掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 二、填空题 7．计算： ________． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算．熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键． 先化成分数，然后进行除法运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．计算：______． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，先运算括号内的减法，再运算乘方，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 9．截至2021年10月20日，电影《长津湖》的累计黑房达到大约5036000000元，数据5036000000用科学记数法表示为___________． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 10．如图，数轴的单位长度为1，若点表示的数与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____________． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义 【分析】本题主要考查数轴上数的表示及相反数，根据A、B所表示的数互为相反数可得原点的位置，然后求解C即可． 【详解】由数轴的单位长度为1，点、所表示的数互为相反数，可得数轴的原点在点A和点B的中点处，如图所示， 点C表示的数为； 故答案为：． 11．我们常用的数是十进制数，如十进制中的数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，而在电子计算机中用的二进制的数只用两个数码：0和1，如果二进制中的等于十进制的11，二进制中的数等于十进制的13，那么二进制中的数转换为十进制的数是_____． 【答案】5 【知识点】含乘方的有理数混合运算、乘方的应用 【分析】根据题目给出的二进制转十进制的规则，将二进制数按位展开后计算乘方与加法，即可得到结果． 【详解】解：根据二进制转十进制的规则展开， 得， 即二进制中的数转换为十进制的数是． 12．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是5，第1次输出的结果是2，第2次输出的结果是，依次继续下去……第2025次输出的结果是 __________． 【答案】1 【知识点】程序流程图与有理数计算、程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了程序运算中的循环规律探究，解题的关键是找出运算结果的循环周期． 先按程序依次计算输出结果，找出循环规律；再计算第2025次在循环中的位置，确定对应结果． 【详解】解：按程序计算后续输出第3次：（负数），输出； 第4次：（非负数），输出； 第5次：（负数），输出； 第6次：（非负数），输出； 可知从第3次起，循环周期为3：． 计算，即第2025次对应循环的第1个结果． 故答案为：． 13．“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24．现有3，，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中“24点”的游戏规则，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键．根据“24点”的游戏规则组合成结果为24的算式即可解答． 【详解】解：通过观察数字，发现，，则， 因此可列算式． 故答案为：（答案不唯一）． 14．已知，，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的是_______．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①③④ 【知识点】有理数的乘方运算、绝对值非负性、绝对值的几何意义 【分析】①根据，得到x=y，得到，推出，故正确； ②根据，得到a=b，举例a=b=2，x=2，y=-2，x-y=4，故不正确； ③根据，且，，得到a=b=0，得到x=y=0，故正确； ④根据，得到，得到，推出a=b，故正确 【详解】①若，则x=y，，∴，故正确； ②若，则a=b，例如a=b=2，x=2，y=-2，x-y=4，故不正确； ③若，∵，，∴a=b=0，x=y=0，故正确； ④若，则，，∴a=b，故正确 故答案为①③④ 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解决问题的关键是熟练运用整数绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数，互为相反数的绝对值相等 15．设有理数a，b，c满足，，则a，b，c中正数的个数为______． 【答案】2 【知识点】有理数加法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】根据题意，利用有理数的乘法法则判断即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴a，b，c中有一个负数或三个负数， ∵， ∴a，b，c中负数只有一个，即正数的个数为2个， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了有理数的乘法，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【分析】（1）利用乘法运算律计算即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算、有理数乘法运算律 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式的倒数为：， ∴原式． 19．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘除混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．对于任意有理数，，我们规定：． 例如：；． (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解：； （2）解：． 21．在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小杰的视力最差，理由见解析 (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【知识点】有理数大小比较的实际应用、正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：小杰的视力最差． ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 22．小红爸爸上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 (1)通过上表你认为星期三收盘时，每股是多少？ (2)本周内每股最高是多少？最低是多少元？ (3)已知小红爸爸买进股票时付了的手续费，卖出时还需付成交额的的手续费和的交易税，如果小红爸爸在星期六收盘时将全部股票卖出，你对他的收益情况怎样评价？ 【答案】(1)星期三收盘时，每股是元 (2)本周内最高价是元；最低价是26元 (3)赚了元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）根据表格中数据列出算式进行计算即可； （2）根据表格求出本周内最高价和最低价即可； （3）求出买入的总花费，卖出的总钱数，然后相减即可． 【详解】（1）解：， 答：星期三收盘时，每股是元； （2）解：本周内最高价是（元）； 最低价是（元）； 答：本周内最高价是元；最低价是26元． （3）解：买入时，（元）， 卖出时每股：（元）， 所以卖出时的总钱数为（元）． 所以小红爸爸的收益为（元）， 答：赚了元． 23．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）“算24”的扑克牌游戏曾经风靡许多国家，深受青少年朋友的喜爱．这种游戏将两张王牌去掉，规定扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1．从扑克牌中按要求抽取若干张牌，将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算（每张牌用且只用一次），算得“24”即可． 【问题情境】 假设已抽取如下的牌，能不能根据牌面所表示的数算“24”呢？如果能，怎么算？ 可列算式：． 根据上图中4张牌，还可以列出不同的算式 ． 【思考探究】 （1）用两张牌算“24”：①；②；③；④用三张牌算“24”：可以将其中两张牌整合，转化为（1）中情况来思考，例如：抽到的牌为2、3、4，可以列式为，转化为（1）中的①．问题：抽到的牌为2、3、4，还可以转化为（1）中的③，即列式为 ． （2）用四张牌算“24”：可以一三分组，也可以两两分组，例如：抽到的牌为8、9、12、13，我们可以一三分组，列式为，转化为（1）中的①；请你用8、9、12、13四张牌进行有理数的加、减、乘、除运算再列一个算式，使得算式结果为24． （3）用五张牌算“24”：请你考虑这九个数字中，若恰巧五张牌的数字都相同（五个1，五个2，…五个9），会有哪些情况可以算出“24”． 【答案】问题情境：；思考探究：（1）；（2）；（3）5个数字2，5个数字3，5个数字4，5个数字5，5个数字6和5个数字8可以算出24点． 【知识点】算“24”点 【详解】解：问题情境：， 故答案为：； 思考探究：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）5个1不能算出24点； ，则5个2可以算出24点； ，则5个3可以算出24点； ，则5个4可以算出24点； ，则5个5可以算出24点； ，则5个6 可以算出24点； 5个7不可以算出24点， ，则5个8可以算出24点； 5个9不可以算出24点； 综上所述，5个数字2，5个数字3，5个数字4，5个数字5，5个数字6和5个数字8可以算出24点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02章 有理数 单元复习+小测 （核心知识+8易错辨析+13典例精讲） 【知识点01】正数与负数 1. 正数：大于0的数；负数：在正数前加负号，小于0的数。 2. 0的特殊性：0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界点。 3. 相反意义的量：可用正、负数表示生活中具有相反意义的同类量，如上升与下降、收入与支出、向东与向西等。 注意：相反意义的量必须是同类量，不同类量不能构成相反意义的量。 【知识点02】有理数 1. 定义：整数和分数统称为有理数。 整数包含：正整数、0、负整数；分数包含：正分数、负分数。有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数。 2. 有理数两种分类方式 （1）按定义分类： （2）按符号分类： 3. 关键区分：圆周率π、无限不循环小数不属于有理数。 【知识点03】数轴 1. 三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2. 核心性质：数轴上右边的数总比左边的数大，即正数＞0＞负数。 3. 对应关系：所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都代表有理数（还可表示无理数）。 【知识点04】相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 2. 代数表示：数a的相反数是-a，0的相反数是0。 3. 几何意义：数轴上互为相反数的两个点（0除外），分居原点两侧，且到原点的距离相等。 4. 多重符号化简规则：负号个数为偶数，结果为正；负号个数为奇数，结果为负。 【知识点05】绝对值 1. 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|。 2. 绝对值化简法则： 3. 核心性质 （1）非负性：|a|≥0，绝对值永远大于或等于0； （2）若|a|=|b|，则a=b或a=-b； （3）负数比较大小：绝对值越大，负数的值越小。 【知识点06】有理数的运算 （1）有理数加法 法则：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值，互为相反数的两数相加得0；一个数加0，仍得原数。 运算律：加法交换律 a+b=b+a；加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。 （2）有理数减法 核心法则：，减去一个数等于加上这个数的相反数。 （3）有理数乘法 法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘得0。 多个数相乘：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负；只要有一个因数为0，积为0。 运算律：乘法交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac。 （4）有理数除法 法则：；两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何非0数都得0。 （5）有理数乘方 1. 定义：aⁿ中，a是底数，n是指数，表示n个a相乘。 2. 符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂为负、偶次幂为正；0的正整数次幂为0；1ⁿ=1，(-1)的奇次幂=-1，(-1)的偶次幂=1。 （6）有理数混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，从左到右依次计算； 3. 有括号时，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 【知识点07】科学记数法 把绝对值大于10的数表示为 （，n为正整数），其中n=原数的整数位数-1。 易错1：有理数概念混淆 ❌ 错误认知：整数就是正数和负数；所有小数都是分数。 ✅ 正确辨析：整数包含0；无限不循环小数（如圆周率π）不是分数，不属于有理数。 ❌ 错误认知：不带负号的数就是正数。 ✅ 正确辨析：0不带负号，也不是正数。 易错2：相反意义的量判断错误 ❌ 错误认知：任意上升、下降类词语都是相反意义的量。 ✅ 正确辨析：相反意义的量必须是同类、带数量的量，身高变化与体重变化不属于相反意义的量。 易错3：数轴认知误区 ❌ 错误认知：数轴上的点一定表示有理数。 ✅ 正确辨析：有理数都能在数轴上表示，但数轴上的点还可以表示无理数，并非只对应有理数。 易错4：相反数与多重符号化简 ❌ 错误认知：-a一定是负数。 ✅ 正确辨析：a为负数时，-a是正数；a=0时，-a=0。 ❌ 错误认知：只要符号不同的两个数就是相反数。 ✅ 正确辨析：互为相反数的两个数必须只有符号不同，数字绝对值完全相等。 易错5：绝对值核心易错点（本章最大易错点） ❌ 错误认知：若|a|=4，则a=4。 ✅ 正确辨析：绝对值为4的数有两个，a=±4。 ❌ 错误认知：|a|=a ⇒ a>0 ✅ 正确辨析：|a|=a ⇒ a≥0；|a|=-a ⇒ a≤0，极易遗漏0的情况。 ❌ 错误认知：绝对值相等的两个数一定相等。 ✅ 正确辨析：两数绝对值相等，两数相等或互为相反数。 易错6：负数大小比较失误 ❌ 错误比较：-8>-5（单纯比较数字大小）。 ✅ 正确规则：两个负数比较大小，绝对值越大，数值越小，故-8<-5。 易错7：有理数运算符号与顺序误区 ❌ 典型错误：-3²=9 ✅ 正确计算：-3²=-(3×3)=-9，(-3)²=9，有无括号，底数完全不同。 ❌ 运算顺序错误：2÷×3=2÷1=2 ✅ 正确规则：同级运算从左往右依次计算，原式=6×3=18，不可随意优先计算后侧运算。 ❌ 定律乱用：12÷(+)=12÷+12÷ ✅ 正确辨析：乘法有分配律，除法没有分配律，需先算括号内加法，再算除法。 易错8：科学记数法书写不规范 ❌ 错误书写：5600=56×10² ✅ 正确书写：科学记数法要求1≤a<10，原式正确形式为5.6×10³。 【题型一】 正数与负数 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列各数中为负数的是（    ） A．0 B．3 C． D． 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）在中国古代数学著作《九章算术》中，用“负数”表示负债或亏损．若“收入20元”记为，那么“支出15元”应记为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）在中，非负有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）某种新能源电动汽车在充电站充电50千瓦∙时记作千瓦∙时，那么行驶一段路程耗电30千瓦∙时记作___________． 5．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）某同学学籍号为201103051， 表示他是2011年入学的3 班5号男生（男生用“1”表示， 女生用“2”表示），那么2024年入学的11班23号女生的学籍号是___________． 7．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）把下列各数填入相应的数集合中： ，，，，，，，（相邻两个1之间依次增加一个2）． 整数集合： ； 正数集合： ； 分数集合： ； 有理数集合： ． 8．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请从下列各数中选出合适的数，填入其所属集合圈内的恰当位置． ，，，，，，，，． 9．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号里． ，，，，0，（每两个1之间增加一个2），，，． 整数：； 负分数：； 正有理数：； 非负整数：． 10．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为七年级某班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 【题型二】 数轴及其综合应用 11．下列所画的数轴中，正确的是（  ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）数轴上表示与的点之间的整数共有（ 　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 13．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）数轴上点表示的数是，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上点表示有理数，点与点的距离为，则点表示的有理数为______． 16．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图，数轴上的数a，b，c，d中，小于的是______． 17．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）某一电子昆虫落在数轴上的原点，从原点开始跳动，第1次向左跳1个单位长度到，第2次由向右跳2个单位长度到，第3次由向左跳3个单位长度到，第4次由向右跳4个单位长度到…依此规律跳下去，当它跳第次落下时，电子昆虫在数轴上的落点表示的数是____________． 18．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 【题型三】 绝对值及其综合应用 19．（25-26七年级上·江苏常州·期中）绝对值小于4的正整数的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 20．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 21．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）若有理数，，满足，，则的值为（ ） A．4 B．5 C．4或6 D．4或5 22．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）计算：____________． 23．若，则a的取值范围是______． 24．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）若为有理数，则式子的最小值为______ 　． 25．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 26．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 27.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 【题型四】 有理数大小比较与实际应用 28．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）下表记录了1月份某日我国四个城市10点时的气温： 城市 北京 哈尔滨 盐城 上海 气温（） 3 7 此时气温最低的城市是（   ） A．北京 B．哈尔滨 C．盐城 D．上海 29．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）比较大小： （1）_________； （2）_________； 30．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 31．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）我们规定：如果，那么表示与中较小的数，“”表示与中较大的数；如果，那么． (1)______ (2)求的值（运算顺序为从左到右）； (3)若，且、均为正整数，求的所有可能的值． 【题型五】 相反数及其应用 32．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）实数2026的相反数是（     ） A． B． C．2026 D． 33．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与0.3 34．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如果a与互为相反数，那么_______． 35．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）化简：______． 36．（25-26七年级上·江苏常州·期中）已知两数，判断与是否互为相反数，并说明理由． 37．（23-24七年级上·江苏南通·阶段检测）已知m是6的相反数，n比的相反数大3. (1)直接写出______，______. (2)求的值. 【题型六】 有理数的加法与减法 38．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）今年冬季某天测得的最高气温是，最低气温是，则当日温差是__________． 39．计算的结果是______________． 40．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则_________． 41．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算 42．计算： (1)； (2)． 43．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）观察下列各式： ；；； (1)写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算：． 【题型七】 有理数的乘法与除法 44．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知，，且，则的值是（　　） A． B． C．3 D． 45．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）若、互为倒数，则、之间的关系可以写成__________． 46．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 47．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法________是错误的．在正确的解法中，你认为解法________较简便．（填“一”、“二”或“三”） (2)请用你认为简便的方法计算：． 【题型八】有理数四则混合运算的实际应用 48．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）为了迎接体育节，温州市某小学买了8个足球和11个篮球共花费了1152元，如果买16个足球和6个篮球所花费的钱一样多，那么一个篮球的价格是（   ） A．70元 B．71元 C．72元 D．73元 49．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图①，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，即得2788．如图②，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（    ） A．b的值为6 B．乘积结果可以表示为 C．a的值大于3 D．a为奇数 50．（25-26七年级上·江苏南通·期末）小明用铁丝制作了如图所示的楼梯模型，则模型总共用的铁丝长为_____厘米． 51．（25-26七年级上·江苏南京·期末）根据《国务院关于渐进式延迟法定退休年龄的办法》，从2025年1月1日起，男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，逐步从60周岁延迟至63周岁． 男职工延迟法定退休年龄对照表（部分） 出生时间 改革后法定退休年龄 改革后退休时间 出生时间 改革后法定退休年龄 改革后退休时间 1965年1月 60岁1个月 2025年2月 1965年5月 60岁2个月 2025年7月 1965年2月 2025年3月 1965年6月 2025年8月 1965年3月 2025年4月 1965年7月 2025年9月 1965年4月 2025年5月 … … 王强，李斌两位男职工谈论自己的法定退休年龄，王强说：“我可以在61周岁前退休．” 李斌说：“我比你小1个月，要延迟至61周岁退休．”则李斌的出生年月是______________． 52．国庆黄金周（七天）期间，小敏每天上午10点观察了这一周家里的电表读数，并记录如下： （单位∶千瓦时） 日期（号） 1 2 3 4 5 6 7 电表读数 32 33 34 41 42 48 57 (1)请你求出小敏家这几天每天的平均用电量； (2)若一个月按30天计算，请估算一下这个月小敏家的用电量． 【题型九】 有理数的乘方 53．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）的值是（   ） A． B．49 C． D．14 54．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）计算 的结果（    ） A． B． C． D． 55．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在，，，中，结果是负数的有_________个． 56．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数______． 57．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）当________时，有最大值是________． 58．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）我们称M为“美好数”，记，， ，…（其中n为正整数）． (1)计算：_______． (2)求的值． (3)猜想与的关系，并说明理由． 【题型十】 用科学记数法表示绝对值大于1的数 59．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线10天后达到了1600万．将1600用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 60．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我国“奋斗者”号载人潜水器最大下潜深度约为 10900 米，用科学记数法表示 10900 正确的是（    ） A． B． C． D． 61．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）2025年11月1日，在首届江苏省城市足球联赛决赛现场，62329名球迷齐聚南京奥体中心，共同见证了该项赛事的完美收官，数据“62329”用科学记数法表示为___________． 62．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算． (1)一粒大米重约 克； (2)按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米按每吨四千元的价格卖成钱，再按每人每年5000元的标准资助给贫困学生，那么每年可资助多少名贫困学生？ 【题型十一】含乘方的有理数混合运算 63．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）观察下面三行数： ；① 设分别为第①②③行的第100个数，则的值为（   ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 64．计算： 65．计算： 66．计算：． 67．计算：． 68．计算： (1) (2)． 【题型十二】程序流程图与有理数计算 69．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 70．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是___________． 71．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）按如图所示的流程图操作，若输入x的值是，则输出的结果是______． 72．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图所示是计算机程序计算，若输入，则输出的值为______． 73．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以加上，若它是偶数，则除以．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到．例如：如图所示，输入自然数，最少经过次运算后可得到．如果一个自然数恰好经过次运算后得到，则所有符合条件的的值的和为____________． 74．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）现有张写着不同数的卡片（如图），从中抽取张卡片，用学过的运算方法，使结果为．运算式子为________． 75．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 76．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）小明有五张写着不同数的卡片（如图），请你按要求选择卡片，回答下列问题∶ (1)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的乘积最大，则这两张卡片上的数分别是？ (2)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的商最小，则最小商是多少？ (3)从中选择四张卡片，每张卡片的数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可）． 77．学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 1. 知识主线 实际相反意义量→正负数→有理数定义与分类→数轴（数形结合核心工具）→相反数、绝对值（有理数核心几何概念）→有理数四则运算、乘方运算→混合运算、科学记数法、近似数。 2. 核心数学思想方法 （1）数形结合思想：借助数轴直观理解相反数、绝对值的几何意义，快速比较有理数大小，简化抽象问题。 （2）分类讨论思想：去绝对值、已知绝对值求原数、判断乘方符号时，需分正数、0、负数三种情况讨论，避免漏解。 （3）转化思想：将减法转化为加法、除法转化为乘法，把陌生运算转化为熟悉的基础运算。 （4）非负性思想：绝对值具有非负性（|a|≥0），若多个绝对值相加和为0，则每一个绝对值内的数均为0。 3. 学习重点警示 本章是初中代数的入门基础，符号问题是贯穿全章的核心易错点，绝大多数计算失误均源于正负号判断错误、运算顺序混乱、括号范围辨析不清。解题时需养成“先定符号、再算数值”的习惯，遇到绝对值、乘方运算优先观察式子结构，规避易错陷阱，为后续整式、方程学习筑牢基础。 一、单选题 1．比大的数是（   ） A． B． C． D． 2．在，0，，和2024这五个有理数中，正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若盈余3万元记作+3万元，则-3万元表示（    ） A．亏损3万元 B．盈余3万元 C．亏损-3万元 D．不盈余也不亏损 4．计算的最后结果是（    ） A．3 B．－3 C．－5 D．5 5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列式子成立的是（    ） A．a＋b＞0 B．﹣a＜0 C．a﹣b＜0 D．﹣a＜b 6．下列各式成立的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则， D．若，则、 二、填空题 7．计算： ________． 8．计算：______． 9．截至2021年10月20日，电影《长津湖》的累计黑房达到大约5036000000元，数据5036000000用科学记数法表示为___________． 10．如图，数轴的单位长度为1，若点表示的数与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____________． 11．我们常用的数是十进制数，如十进制中的数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，而在电子计算机中用的二进制的数只用两个数码：0和1，如果二进制中的等于十进制的11，二进制中的数等于十进制的13，那么二进制中的数转换为十进制的数是_____． 12．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是5，第1次输出的结果是2，第2次输出的结果是，依次继续下去……第2025次输出的结果是 __________． 13．“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24．现有3，，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可） 14．已知，，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的是_______．（把你认为正确结论的序号都填上） 15．设有理数a，b，c满足，，则a，b，c中正数的个数为______． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)． 17．计算 (1)； (2) 18．计算 (1)； (2)． 19．计算： (1) (2) (3) (4) 20．对于任意有理数，，我们规定：． 例如：；． (1)计算： ； (2)计算：． 21．在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 22．小红爸爸上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 (1)通过上表你认为星期三收盘时，每股是多少？ (2)本周内每股最高是多少？最低是多少元？ (3)已知小红爸爸买进股票时付了的手续费，卖出时还需付成交额的的手续费和的交易税，如果小红爸爸在星期六收盘时将全部股票卖出，你对他的收益情况怎样评价？ 23．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）“算24”的扑克牌游戏曾经风靡许多国家，深受青少年朋友的喜爱．这种游戏将两张王牌去掉，规定扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1．从扑克牌中按要求抽取若干张牌，将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算（每张牌用且只用一次），算得“24”即可． 【问题情境】 假设已抽取如下的牌，能不能根据牌面所表示的数算“24”呢？如果能，怎么算？ 可列算式：． 根据上图中4张牌，还可以列出不同的算式 ． 【思考探究】 （1）用两张牌算“24”：①；②；③；④用三张牌算“24”：可以将其中两张牌整合，转化为（1）中情况来思考，例如：抽到的牌为2、3、4，可以列式为，转化为（1）中的①．问题：抽到的牌为2、3、4，还可以转化为（1）中的③，即列式为 ． （2）用四张牌算“24”：可以一三分组，也可以两两分组，例如：抽到的牌为8、9、12、13，我们可以一三分组，列式为，转化为（1）中的①；请你用8、9、12、13四张牌进行有理数的加、减、乘、除运算再列一个算式，使得算式结果为24． （3）用五张牌算“24”：请你考虑这九个数字中，若恰巧五张牌的数字都相同（五个1，五个2，…五个9），会有哪些情况可以算出“24”． 1 学科网（北京）股份有限公司 $