2.4 第2课时 有理数加法运算律 课件 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦有理数加法运算律，通过复习有理数加法与小学加法的联系区别，结合旧知回顾巩固“一看二定三算”步骤，再以活动探究引导学生自主归纳交换律和结合律，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于系统教授运算技巧，通过相反数结合、同号结合等方法，结合实例与变式练习培养学生运算能力和推理意识。如“相反数结合法”例题抵消简化计算，拓展的九宫格和高斯模型激发创新意识。学生提升巧算能力，教师获得分层教学资源，提高教学效率。

2.4 有理数的加法与减法（2） ——加法运算律 复习回顾 1.有理数的加法与小学学的加法有什么联系与区别？ 小学的加法是有理数加法中的一种特例，即两个正数相加或正数与0相加． 与小学不同的是，有理数由符号与绝对值两部分组成，运算时既要考虑符号，也要考虑绝对值． 一看：看两个加数是同号还是异号 二定：确定和的符号 三算：算绝对值再进行加或减 旧知回顾 计算下列各式： （1）- 8+ 1 （2）- 5+ （ - 9） 活动探究 自主归纳： 加法的交换律：                     ； 加法的结合律：                           。 实例讲解 例1、计算： （1） (-23)+(+58)+(-17)                  （2）（-2.8)+(-3.6)+(-1.5)+3.6 （3） （4）4.56+（-3.45）+ 4.44 + 2.45 和的符号 和的绝对值 和 (+4)+(+7) (-8)+(-3) (-6)+(+6) (-9)+(+5) 8+(-1) (-7)+ 0 请填写下列表格. 巩固练习 例1 计算 （1）（-15）+（-4） （2）-210+30 （3）3.14+（-3.14） （4）0+2022 典型例题 运用运算律，进行有理数加法简便运算技巧： 互为相反数的先相加； 凑整的先相加。 分母相同的先相加； 同号的先相加； 加法运算律 典型例题 1、计算： （1）(-11)+8+(-14)                       （2）(-4)+(-3)+(-4)+3     （3） （4）8+(-2)+(-4)+1+(-3) （5） （6）1+(-2)+3+(-4)+ …+2007+(-2008) 随堂练习 2、求绝对值大于3且小于6的所有整数的和。 3、世界杯比赛中，根据场上的攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记为正数，返回则记为负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位:m）+10，-2，+5，-6，+12，-9，+4，-14.（假定开始计时时，守门员正好在门线上）  （1）守门员最后是否回到门线上？ （2）守门员离开球门线的最远的距离达多少米？ 归纳小结 这节课你收获了什么？ 拓展提升 拓展练习：将-8，-6，-4，-2，0，2，4，6，8这9个数分别填入图中9个方格中，使得每行3个数、每列3个数、斜对角的三个数之和均为0。 有理数加法运算律 · 拔高提升小灶课 —— 从“会算”到“巧算”，探寻数学的简洁之美 1.7.2013 大家好，欢迎来到今天的数学小灶课。今天，我们将一起探索有理数加法运算律的更深层次应用。我们的目标不仅仅是“会算”，更是要学会“巧算”，通过掌握一些高级技巧，让复杂的计算变得简单，真正体验数学的简洁之美。准备好了吗？让我们一起开启这段奇妙的数学之旅吧！ ‹#› 复习回顾 温故知新：我们熟悉的加法运算律 01. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 符号语言：a + b = b + a 02. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变。 符号语言：(a + b) + c = a + (b + c) 🤔 思考：为什么要掌握这些运算律？ 🎯 核心目标：简化运算步骤，提升计算的速度与准确性！ 1.7.2013 在开始拔高之前，我们先来快速回顾一下上节课的核心知识。大家还记得加法交换律和结合律吗？没错，就是 'a+b = b+a' 和 '(a+b)+c = a+(b+c)'。这两个定律看似简单，但它们是我们今天所有“巧算”技巧的基础。请大家思考一下，我们费劲学习这些定律，目的是什么？对，就是为了简化运算，让我们算得更快、更准。这正是我们这节课要实现的核心目标。 ‹#› 01. 凑整巧算：(-5) + 13 + 5 思路：运用加法交换律，优先计算互为相反数的项，(-5)+5=0，再算0+13=13 02. 结合凑整：(-1.6) + (-2.4) + 3.5 思路：运用加法结合律，先结合小数部分凑整，(-1.6)+(-2.4)=-4，再算-4+3.5=-0.5 03. 同分母结合：(-3/7) + (+1/5) + (-4/7) 思路：运用交换律与结合律，先合并同分母分数，(-3/7)+(-4/7)=-1，再算-1+1/5=-4/5 热身练习 1.7.2013 好了，理论回顾完毕，让我们来做几个热身练习，唤醒大家的计算天赋。请大家快速看这三道题，尝试用我们刚回顾的运算律来简化计算。第一题，看到-5和+5，你想到了什么？对，相反数！先把它们相加得0。第二题，-1.6和-2.4，它们的小数部分可以凑整，先结合起来。第三题，两个分母是7的分数，先把它们加起来。大家都做对了吗？这些练习其实已经用到了我们接下来要系统学习的“巧算”秘籍。 ‹#› 技巧一：相反数结合法 01 / 核心思想：“正负相消” 若算式中存在互为相反数的两个数（如 a 和 -a），优先将它们结合相加，利用“互为相反数的两数和为 0”的性质，可瞬间消去一项，极大简化后续计算步骤。 02 / 经典例题演示 计算：(-2026) + (+13) + (+2026) + (-8) 解题关键：-2026 与 +2026 互为相反数 → 结合后和为 0； 计算过程：[(-2026)+(+2026)] + [(+13)+(-8)] = 0 + 5 =5 ✦ 变式挑战：分数运算中的应用 计算：(-3/4) + (-2/3) + (+3/4) + (-1/3) 思路：(-3/4) 与 (+3/4) 抵消为 0，剩余 (-2/3)+(-1/3) = -1，最终结果为-1。 ★ 避坑指南：先观察算式中的“相反数对”，不要盲目从左到右依次计算，找准结合对象是提速的关键！ 1.7.2013 现在，我们正式进入核心技巧的学习。第一个技巧，我称之为“正负相消”，也就是相反数结合法。核心思想非常简单：在一个长长的算式里，如果你发现了像 'a' 和 '-a' 这样的一对相反数，不要犹豫，立刻把它们结合在一起，它们的和是0，可以瞬间简化计算。看这个例子，-2026和+2026，它们就是一对“欢喜冤家”，加起来就没了，剩下的就简单了。下面的变式练习，大家也试试看，是不是很快就能得出答案？ ‹#› 技巧二：同号结合法 ▍核心思想：将算式中的正数归为一组、负数归为一组，分别计算各组的和，最后将两组结果相加。此方法能减少符号变换，降低计算失误率。 ▍典例示范：计算 (-8)+(+10)+(+2)+(-1) → 重组为 [(+10)+(+2)] + [(-8)+(-1)] = (+12) + (-9) = 3。 ▍即学即练：计算 (-0.5)+3.25+2.75+(-5.5) → 凑整重组为 (3.25+2.75) + [(-0.5)+(-5.5)] = 6 - 6 = 0。 1.7.2013 第二个技巧，叫做“同阵营联合”，也就是同号结合法。当一个算式里没有明显的相反数时，我们怎么办呢？很简单，让正数和正数站一队，负数和负数站一队。先把所有正数的总和算出来，再把所有负数的总和算出来，最后用这两个总和相加减。这样做的好处是，避免了频繁地变换加减符号，降低出错率。看这个例子，我们把正数和负数分开计算，是不是清晰多了？再看变式练习，正数凑成了6，负数也凑成了-6，它们又变成了相反数，是不是很奇妙？ ‹#› 技巧三：凑整结合法（“抱团取暖”） 💡 核心思想：观察算式中能凑成整数（整十、整百）或互为相反数的数，利用加法交换律和结合律优先结合，简化运算。 📝 经典例题：计算：(-2.4) + (+3.5) + (+4.6) + (-3.5) 思考：谁和谁能“抱团”凑整？谁和谁互为相反数？ 🔍 思路解析：1. 观察配对：(-2.4)与(+4.6)凑整得2.2；(+3.5)与(-3.5)互为相反数和为0。 2. 重组计算：[(-2.4)+(+4.6)] + [(+3.5)+(-3.5)] = 2.2 + 0 =2.2。 ⚡ 变式挑战：计算 (-1/2)+(-2/3)+(+3/2)+(-1/3)。 解：[(-1/2)+(+3/2)] + [(-2/3)+(-1/3)] = 1 + (-1) =0。 1.7.2013 第三个技巧，“抱团取暖”，也就是凑整结合法。这个技巧在处理小数和分数时特别有用。大家要练就一双火眼金睛，在算式中寻找那些能“凑”成整数的伙伴。比如，看到0.25就找找有没有0.75，看到1/2就找找有没有1/2。把它们先结合起来，计算就会变得非常简单。在例3中，我们一眼就看到了-2.4和+4.6能凑整，同时还有一对相反数。在变式练习中，分数也可以凑整。掌握了这个技巧，你的计算速度会大大提升。 ‹#› 技巧四：同分母结合法 ❖ 核心思想：优先结合“同分母”或“易通分”的分数，减少通分运算，口诀：“一家人，一家亲”。 ❖ 典例精析：计算 (-1/4)+(-2/3)+(+1/4)+(-1/3) 原式 = [(-1/4)+(+1/4)] + [(-2/3)+(-1/3)] （分组结合相反数与同分母） 　　 = 0 + (-1) = -1 ❖ 变式练习：(-1/6)+(+2/5)+(+1/6)+(-3/5) = [(-1/6)+(+1/6)] + [(+2/5)+(-3/5)] = 0 + (-1/5) = -1/5 1.7.2013 第四个技巧，专门针对分数运算，我叫它“一家人，一家亲”，也就是同分母结合法。分数计算最麻烦的就是通分，所以我们要尽量避免。在一个算式里，如果有几个分数的分母相同，那它们就是“一家人”，应该优先让它们相加。如果没有同分母，也要观察哪些分数的分母容易通分，比如2和4，3和6。在例4中，我们既有相反数，又有同分母分数，把它们分别结合，问题就迎刃而解了。 ‹#› 实例讲解 综合挑战：多重技巧的综合运用 真正的“巧算”高手，能够在一个复杂的算式中，灵活识别数字特征，同时运用相反数、凑整、同号结合等多种技巧，实现化繁为简。 【例5】计算：(-17) + (+59) + (-37) + (-59) + (+17) 解析：寻找并结合互为相反数的项，抵消为0 [(-17) + (+17)] + [(+59) + (-59)] + (-37) = 0 + 0 + (-37) = -37 【例6】计算：(-0.5) + (+3.25) + (+2.75) + (-5.5) 解析：运用“凑整结合”与“同号结合”技巧 [(+3.25) + (+2.75)] + [(-0.5) + (-5.5)] = (+6) + (-6) = 0 1.7.2013 掌握了单个技巧，我们就要学会综合运用。在一个复杂的题目里，往往不是只用一种方法就能解决的。看例5，这里面有两对相反数，我们把它们都找出来，问题就简化成了一个数。再看例6，这里需要我们同时运用“同号结合”和“凑整结合”两种方法，正数凑成6，负数也凑成-6，最后又变成了相反数。这就是“巧算”的魅力，层层递进，化繁为简。 ‹#› 实例讲解 💡 核心法则：加减混合运算遇括号，先去括号再运算。口诀“负负得正，正负得负”，即括号前是减号，去括号要变号；是加号，去括号不变号。 【例7】 计算：(-12) - (-15) + (-8) - (+9) Step 1 去括号转化：依据“减去一个数等于加上它的相反数”，将减法变加法。 原式 = (-12) + (+15) + (-8) + (-9) Step 2 分组凑整（同号结合）：将正数与负数分别结合，简化计算量。 = (+15) + [(-12) + (-8) + (-9)] = (+15) + (-29) Step 3 最终计算：异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用大绝对值减小绝对值。 = -14 （最终结果） 1.7.2013 有时候，题目不会直接给我们一个只有加法的算式，它会带上减法和括号。这时候怎么办呢？关键一步是“去括号”。大家一定要牢记去括号的法则：括号前是加号，去掉括号不变号；括号前是减号，去掉括号要变号。也就是我们常说的“负负得正，正负得负”。把括号去掉后，算式就变成了我们熟悉的连加形式，然后就可以运用我们学过的各种技巧了。看例7，去括号后，问题就转化成了我们熟悉的同号结合问题。 ‹#› 综合挑战：代数形式的运算律 【例8】已知有理数 a = -5，b = +3，c = -4，求代数式 a + b + (-a) + (-c) 的值。 方法一：直接代入计算 原式 = (-5) + (+3) + [-(-5)] + [-(-4)] = -5 + 3 + 5 + 4 = 7 方法二：先化简，再代入（更简便） ① 化简：原式 = [a + (-a)] + b - c = 0 + b - c = b - c ② 代入：当 b=3，c=-4 时，原式 = 3 - (-4) = 3 + 4 = 7 💡 核心思想：先化简，后求值 运算律是代数运算的“加速器”。在求值问题中，不要急于代入数字，应先利用加法交换律和结合律化简代数式，消去互为相反数的项或合并同类项，再代入数值计算。这样能极大减少计算量，有效避免因数字复杂导致的计算错误。 💡 技巧口诀：化简先行，求值更轻；运算律来帮忙，解题快又准！ 1.7.2013 我们所学的运算律不仅适用于数字，同样适用于字母。在解决代数求值问题时，我们有两种思路。第一种是直接代入数字计算，这种方法有时候会比较繁琐。第二种，也是更推荐的方法，是先利用运算律对代数式进行化简，把能合并的项合并，能抵消的项抵消，直到式子变得最简单，然后再代入数值计算。看例8，方法二通过先化简，把复杂的式子变成了简单的 'b - c'，计算量大大减少。这告诉我们一个重要的数学思想：先化简，再求值。 ‹#› 拓展提升 ▍核心思想：巧算背后的数学智慧 ①转化与化归思想：将复杂、不规则的算式，通过运算律“变身”为简单、有规律的形式，实现化繁为简。 ②整体思想：运用结合律时，把括号内的算式视作一个“整体”，简化运算步骤，直击问题本质。 📐 高斯巧算模型 1+2+...+100 = (首+尾)×对数 即：(1+100) × 50 = 5050 ★ 关键：加法交换律+结合律 💡 思考与启发 高斯的故事告诉我们：面对繁琐计算，要善于观察数字的对称性与规律性。不要被表面的复杂吓倒，试着用运算律重新组合，就能找到最巧妙的解法。 这正是数学的魅力——从无序中发现有序，在繁琐中寻找捷径！ 1.7.2013 学完了技巧，我们更要理解技巧背后的数学思想。我们今天做的所有“巧算”，本质上都是在运用“转化与化归”思想，把一个复杂问题变成一个简单问题。同时，在使用结合律时，我们也运用了“整体思想”。说到“巧算”，就不得不提一个经典的故事——高斯求和。小高斯在计算1到100的和时，正是运用了我们今天反复强调的加法交换律和结合律，将加法转化为了乘法。这告诉我们，数学的魅力就在于寻找最优的解法。 ‹#› 归纳小结 这节课你收获了什么？ 📌 核心思想：紧扣“简便计算”核心，灵活运用运算律；掌握转化与化归、整体思想两大法宝，将复杂运算拆解为简单步骤。 01 相反数结合 优先寻找和为0的数对，正负抵消可快速简化算式，是解题的首选技巧。 02 同号结合 将所有正数、负数分别归类计算，减少符号干扰，降低中间步骤出错率。 03 凑整结合 观察数字特征，拼凑出整十、整百数，利用加法结合律大幅简化计算。 04 同分母结合 分数运算中优先合并同分母分数，避免复杂通分，直击最简结果。 ⚡ 实战①：(-3) + 40 + (-32) + (-8) ⚡ 实战②：(-2/3) + (-1/6) + 1/4 + 1/3 ⚡ 实战③：(-7) - (-10) + (-8) - (+2) 1.7.2013 好了，今天的小灶课即将结束。让我们一起总结一下。我们围绕一个核心——简便计算，学习了四大技巧：相反数结合、同号结合、凑整结合和同分母结合。同时，我们还领悟了两种重要的数学思想。希望大家课后能多加练习，真正把这些技巧变成自己的本领。这里有几道练习题，大家可以挑战一下自己。数学的魅力不仅在于正确的答案，更在于寻找最优解法的过程。谢谢大家！ ‹#› 循理而行，来日再研 $