第1、2章 数学与我们同行、有理数 单元测试-2026-2027学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

**基本信息** 本单元卷聚焦“数学与我们同行、有理数”核心内容，以真实情境创设和分层能力考查为特色，适配初中数学单元复习，全面覆盖有理数概念及应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/16|绝对值、正负数意义、科学记数法|结合气象观测、物理压强情境，考查数感与符号意识| |填空|10/20|数轴表示、新定义运算、单位分数|融入外卖员收入统计、十六进制转换，体现数据意识| |解答|9/64|有理数运算、数轴综合、铺地锦规律|设置“割尾法”验证、铺地锦代数规律探究等大题，发展推理能力与创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第1、2章 数学与我们同行、有理数 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 2．气象观测中常用正负数表示气温升降，若某地中午气温上升记为，则夜间气温下降 应记作（     ） A． B． C． D． 3．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．物理学中的压强单位“兆帕”，帕是指牛顿的力均匀作用在平方米的面积上所产生的压强，兆帕帕，那么“兆帕”换算成“帕”为单位，结果用科学记数法表示正确的是（     ） A． B． C． D． 5．实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 6．如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 8．决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（   ） A．0     B．1      C．4      D．5        E．6 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．计算：___________． 10．绝对值小于的所有整数的和是_____． 11．如图，数轴上有，两点，点表示的数为，若，则点表示的数为______． 12．检测甲、乙、丙、丁四个排球，超过标准质量的克数记为正数，质量表示如下表： 球 甲 乙 丙 丁 相对于标准质量的克数（单位：克） 其中，最接近标准质量的球是______球． 13．如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 14．外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于公里 大于公里 占比 送餐费 元/单 元/单 则小李年月份的送餐收入为_____元． 15．对于有理数、，定义运算“※”如下：（其中），则______ 16．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫做“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为________． 17．日常生活中主要运用“十进制”数，而“十六进制”广泛应用于电子技术、计算机编程等领域．十六进制在数学中是一种“逢16进1”的进位制，一般用数字0到9和字母A到F表示，其中用A，B，C，D，E，F分别表示10，11，12，13，14，15．如表示十六进制数，将它转换成十进制形式是，那么将十六进制数转换成十进制数为___． 18．以下图形中的圆点按照一定规律摆放．第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，…，以此类推，计算前个图形中圆点个数的倒数之和，即的值为________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（4分）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 20．（8分）把下列各数分别填在相应的大括号里，将各数用逗号分开∶ ． 正数：{_____________________________}； 负分数∶ {____________________________________} 负整数：{______________________}； 整数∶ {____________________________________} 21．（6分）计算： (1)； (2)． 22．（6分）计算． (1)； (2) 23．（6分）某公司天内货品进出仓库的吨数如下：（“”表示进库，“”表示出库） ，，，，． (1)经过这天，仓库里的货品是______（填“增多了”还是“减少了”）． (2)经过这天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品吨，那么天前仓库里存有货品多少吨? (3)如果进出货的装卸费都是每吨元，那么这天一共要付多少元装卸费? 24．（6分）如图，在单位长度为1的数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，相邻两点之间的距离均为n（n为正整数），点B表示的数为． (1)若，则表示原点的是点________，点E所表示的数是________； (2)若点E所表示的数是10，求n的值及点D所表示的数． 25．（8分）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除． 方法：三位数割掉末位数字c得两位数，再用减去c的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】 (1)试用“割尾法”判断：735_____被7整除（填“能”或“不能”）； 【推理验证】 (2)已知三位数，现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证． 26．（10分）探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：，先将乘数和分别写在大方格的上面和右面，然后用的每位数字分别乘以的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算的过程，格子中___________； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则___________． 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第条斜线，设表示铺地锦表格中第条斜线上所有数字之和；为第条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则．如图①中，，． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算乘积的过程，___________，___________； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下的过程，格子中___________，___________；它们的乘积等于___________． 27．（10分）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1、2章 数学与我们同行、有理数 单元测试 总分：100分（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D C C D B 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9.2 10. 0 11. 12. 丁 13. 14. 15. 16. 17.2026 18. 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（4分） 【答案】，见解析 【详解】解：, 如图 ．（4分） 20．（8分） 【答案】；；； 【分析】根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：正数：{}；（2分） 负分数∶ {}；（4分） 负整数：{}；（6分） 整数∶ {}．（8分） 21．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得出结果； （2）先计算乘除，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ；（3分） （2）解： ．（6分） 22．（6分） 【答案】(1)60 (2)2 【详解】（1）解： （3分） （2）解∶ （6分） 23．（6分） 【答案】(1)减少了； (2)天前仓库里存有货品吨； (3)这天一共要付元装卸费． 【分析】（）求出这天的进出货的总和，根据总和的结果，判断货品的增多或减少； （）根据现在的货品的吨数，逆推出天前的货品的吨数； （）计算进出货的绝对值的和，再乘以即可． 【详解】（1）解：（吨）， ∴经过这天，仓库里的货品是减少了；（2分） （2）解：由（）得， ∴（吨）， 答：天前仓库里存有货品吨；（4分） （3）解： （元）， 答：这天一共要付元装卸费．（6分） 24．（6分） 【答案】(1)；4 (2)；点D所表示的数是6 【分析】（1）根据点表示的数为，得出原点是点和点表示的数； （2）当点所表示的数是10时，，即可求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点表示的数是， ∴原点是点． ∴点表示的数为．（3分） （2）解：由题意，当点所表示的数是10时，， ∴点所表示的数为．（6分） 25．（8分） 【答案】(1)能 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题干举例进行解答即可； （2）先设，将表示成即可证明． 【详解】（1）解：对于三位数735，割掉末位数字5得73，， ∵63是7的倍数， ∴735能被7整除．（4分） （2）证明：对于三位数，割掉末位数字c得， 若是7的倍数，则设（k为整数）， 即：， ∴， ∴， ∵k、c为整数， ∴为整数， ∴能被7整除， ∴能被7整除．（8分） 26．（10分） 【答案】（1）0；（2）3；（3）6，1；（4）2，3，1103 【分析】（本题主要考查了铺地锦乘法算法、十进制与五进制的数的运算、进位规则等知识点，熟练掌握铺地锦的计算规则和不同进制下的进位方法是解题的关键． （1）利用“铺地锦”的方法计算即可； （2）根据铺地锦规则，列出关于的方程，求解并检验的取值合理性． （3）先确定第3条斜线包含的数字，求和得到；再根据的值和满十进一规则，计算 （4）在五进制下，先计算得到，计算并转换为五进制得到；再按五进制满五进一规则计算斜线和，最终得到乘积． 【详解】（1）解：如图， ；（2分） （2）解：如图， 解得；（4分） （3）解：如图， ∴， ， ；（7分） （4）解：如图， 格子中，；它们的乘积等于．（10分） 27．（10分） 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5．（2分） ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2．（4分） （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5．（7分） （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1、2章 数学与我们同行、有理数 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 2．气象观测中常用正负数表示气温升降，若某地中午气温上升记为，则夜间气温下降 应记作（     ） A． B． C． D． 3．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．物理学中的压强单位“兆帕”，帕是指牛顿的力均匀作用在平方米的面积上所产生的压强，兆帕帕，那么“兆帕”换算成“帕”为单位，结果用科学记数法表示正确的是（     ） A． B． C． D． 5．实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 6．如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 8．决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（   ） A．0     B．1      C．4      D．5        E．6 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．计算：___________． 10．绝对值小于的所有整数的和是_____． 11．如图，数轴上有，两点，点表示的数为，若，则点表示的数为______． 12．检测甲、乙、丙、丁四个排球，超过标准质量的克数记为正数，质量表示如下表： 球 甲 乙 丙 丁 相对于标准质量的克数（单位：克） 其中，最接近标准质量的球是______球． 13．如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 14．外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于公里 大于公里 占比 送餐费 元/单 元/单 则小李年月份的送餐收入为_____元． 15．对于有理数、，定义运算“※”如下：（其中），则______ 16．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫做“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为________． 17．日常生活中主要运用“十进制”数，而“十六进制”广泛应用于电子技术、计算机编程等领域．十六进制在数学中是一种“逢16进1”的进位制，一般用数字0到9和字母A到F表示，其中用A，B，C，D，E，F分别表示10，11，12，13，14，15．如表示十六进制数，将它转换成十进制形式是，那么将十六进制数转换成十进制数为___． 18．以下图形中的圆点按照一定规律摆放．第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，…，以此类推，计算前个图形中圆点个数的倒数之和，即的值为________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（4分）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 20．（8分）把下列各数分别填在相应的大括号里，将各数用逗号分开∶ ． 正数：{_____________________________}； 负分数∶ {____________________________________} 负整数：{______________________}； 整数∶ {____________________________________} 21．（6分）计算： (1)； (2)． 22．（6分）计算． (1)； (2) 23．（6分）某公司天内货品进出仓库的吨数如下：（“”表示进库，“”表示出库） ，，，，． (1)经过这天，仓库里的货品是______（填“增多了”还是“减少了”）． (2)经过这天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品吨，那么天前仓库里存有货品多少吨? (3)如果进出货的装卸费都是每吨元，那么这天一共要付多少元装卸费? 24．（6分）如图，在单位长度为1的数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，相邻两点之间的距离均为n（n为正整数），点B表示的数为． (1)若，则表示原点的是点________，点E所表示的数是________； (2)若点E所表示的数是10，求n的值及点D所表示的数． 25．（8分）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除． 方法：三位数割掉末位数字c得两位数，再用减去c的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】 (1)试用“割尾法”判断：735_____被7整除（填“能”或“不能”）； 【推理验证】 (2)已知三位数，现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证． 26．（10分）探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：，先将乘数和分别写在大方格的上面和右面，然后用的每位数字分别乘以的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算的过程，格子中___________； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则___________． 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第条斜线，设表示铺地锦表格中第条斜线上所有数字之和；为第条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则．如图①中，，． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算乘积的过程，___________，___________； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下的过程，格子中___________，___________；它们的乘积等于___________． 27．（10分）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1、2章 数学与我们同行、有理数 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．气象观测中常用正负数表示气温升降，若某地中午气温上升记为，则夜间气温下降 应记作（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵气温上升记为，即上升记为正， ∴与上升意义相反的下降记为负， ∴气温下降应记作． 3．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先对各数进行化简，再根据负数的定义统计负数的个数即可． 【详解】解：依次判断各数： ∵ ，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， ，是负数， ，是正数， 既不是正数也不是负数， ∴负数共有个． 4．物理学中的压强单位“兆帕”，帕是指牛顿的力均匀作用在平方米的面积上所产生的压强，兆帕帕，那么“兆帕”换算成“帕”为单位，结果用科学记数法表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据换算关系得到兆帕对应的帕数，再将结果改写为符合要求的科学记数法形式． 【详解】解：∵兆帕帕帕， ∴兆帕帕． 5．实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的分布特征，原点右侧表示正数，左侧表示负数，且数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，据此判断即可． 【详解】解：由数轴图示可知： ． ． 对比各选项，只有 C 选项成立． 6．如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据运算程序示意图，将代入代数式进行计算，若结果大于等于1则输出，否则将结果重新代入计算． 【详解】解：当输入时，， ， 输出结果为． 7．一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：点在线段上和点在的延长线上，根据和点B表示的数求出点表示的数，再根据折叠可得点C为的中点，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，∵，且点B表示的数为10， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 当点在的延长线上时，∵，且点B表示的数为10， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数为或． 8．决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（   ） A．0     B．1      C．4      D．5        E．6 【答案】B 【分析】用分别方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为，根据题意列出相应的式子即可求解． 【详解】解：如图，用分别方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为， ∵四个可能的正方形内的各数的总和相同， ∴，即， ∴， 同理，，即， ∴， ∴第四个角落的单元格里的数为1． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．计算：___________． 【答案】2 【详解】解：原式． 10．绝对值小于的所有整数的和是_____． 【答案】0 【分析】先根据绝对值的性质找出绝对值小于的所有整数，再根据有理数加法法则计算求和即可． 【详解】解：绝对值小于的所有整数为， ． 11．如图，数轴上有，两点，点表示的数为，若，则点表示的数为______． 【答案】 【分析】由图可见在右侧，用代表的数长度即可算出表示的数． 【详解】解：由数轴可知，点在点的右侧， 已知点表示的数是，， 点表示的数：． 12．检测甲、乙、丙、丁四个排球，超过标准质量的克数记为正数，质量表示如下表： 球 甲 乙 丙 丁 相对于标准质量的克数（单位：克） 其中，最接近标准质量的球是______球． 【答案】 丁 【详解】解：∵，，，，且 ， ∴最小，即丁球偏离标准质量的偏差最小，因此最接近标准质量的球是丁． 13．如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 【答案】 【分析】根据数轴中点的定义，由是线段的中点，则点表示的数满足，再结合数轴上数的正负性判断与的大小关系． 【详解】解：， 点是线段的中点， 根据中点公式：， 等式两边同时乘以，得：， 由数轴可知：， ，即． 14．外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于公里 大于公里 占比 送餐费 元/单 元/单 则小李年月份的送餐收入为_____元． 【答案】 【分析】先根据总订单数和对应占比分别算出两类送餐距离的订单量，再结合各自单餐费用，列式计算求出小李月份的送餐总收入． 【详解】解：由表格数据可得，总送餐收入为 （元）． 15．对于有理数、，定义运算“※”如下：（其中），则______ 【答案】 【分析】根据题中给出的新定义运算规则，将对应数值代入公式计算即可得到结果． 【详解】解：根据定义的新运算，将，代入得：． 16．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫做“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为________． 【答案】 【分析】利用分数的基本性质变形原分数，拆分分子后得到两个分子为1的单位分数． 【详解】解：． 17．日常生活中主要运用“十进制”数，而“十六进制”广泛应用于电子技术、计算机编程等领域．十六进制在数学中是一种“逢16进1”的进位制，一般用数字0到9和字母A到F表示，其中用A，B，C，D，E，F分别表示10，11，12，13，14，15．如表示十六进制数，将它转换成十进制形式是，那么将十六进制数转换成十进制数为___． 【答案】2026 【分析】根据十六进制转换为十进制的规则，将十六进制数每一位上的数字乘以的对应幂次，再求和即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，表示，表示，可得： ． 18．以下图形中的圆点按照一定规律摆放．第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，…，以此类推，计算前个图形中圆点个数的倒数之和，即的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律、数字规律，根据图示找出规律，结合分数的计算方法是关键； 根据图形找到规律，利用有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为，…， 以此类推， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（4分）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 【答案】，见解析 【详解】解：, 如图 ．（4分） 20．（8分）把下列各数分别填在相应的大括号里，将各数用逗号分开∶ ． 正数：{_____________________________}； 负分数∶ {____________________________________} 负整数：{______________________}； 整数∶ {____________________________________} 【答案】；；； 【分析】根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：正数：{}；（2分） 负分数∶ {}；（4分） 负整数：{}；（6分） 整数∶ {}．（8分） 21．（6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得出结果； （2）先计算乘除，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ；（3分） （2）解： ．（6分） 22．（6分）计算． (1)； (2) 【答案】(1)60 (2)2 【详解】（1）解： （3分） （2）解∶ （6分） 23．（6分）某公司天内货品进出仓库的吨数如下：（“”表示进库，“”表示出库） ，，，，． (1)经过这天，仓库里的货品是______（填“增多了”还是“减少了”）． (2)经过这天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品吨，那么天前仓库里存有货品多少吨? (3)如果进出货的装卸费都是每吨元，那么这天一共要付多少元装卸费? 【答案】(1)减少了； (2)天前仓库里存有货品吨； (3)这天一共要付元装卸费． 【分析】（）求出这天的进出货的总和，根据总和的结果，判断货品的增多或减少； （）根据现在的货品的吨数，逆推出天前的货品的吨数； （）计算进出货的绝对值的和，再乘以即可． 【详解】（1）解：（吨）， ∴经过这天，仓库里的货品是减少了；（2分） （2）解：由（）得， ∴（吨）， 答：天前仓库里存有货品吨；（4分） （3）解： （元）， 答：这天一共要付元装卸费．（6分） 24．（6分）如图，在单位长度为1的数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，相邻两点之间的距离均为n（n为正整数），点B表示的数为． (1)若，则表示原点的是点________，点E所表示的数是________； (2)若点E所表示的数是10，求n的值及点D所表示的数． 【答案】(1)；4 (2)；点D所表示的数是6 【分析】（1）根据点表示的数为，得出原点是点和点表示的数； （2）当点所表示的数是10时，，即可求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点表示的数是， ∴原点是点． ∴点表示的数为．（3分） （2）解：由题意，当点所表示的数是10时，， ∴点所表示的数为．（6分） 25．（8分）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除． 方法：三位数割掉末位数字c得两位数，再用减去c的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】 (1)试用“割尾法”判断：735_____被7整除（填“能”或“不能”）； 【推理验证】 (2)已知三位数，现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证． 【答案】(1)能 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题干举例进行解答即可； （2）先设，将表示成即可证明． 【详解】（1）解：对于三位数735，割掉末位数字5得73，， ∵63是7的倍数， ∴735能被7整除．（4分） （2）证明：对于三位数，割掉末位数字c得， 若是7的倍数，则设（k为整数）， 即：， ∴， ∴， ∵k、c为整数， ∴为整数， ∴能被7整除， ∴能被7整除．（8分） 26．（10分）探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：，先将乘数和分别写在大方格的上面和右面，然后用的每位数字分别乘以的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算的过程，格子中___________； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则___________． 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第条斜线，设表示铺地锦表格中第条斜线上所有数字之和；为第条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则．如图①中，，． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算乘积的过程，___________，___________； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下的过程，格子中___________，___________；它们的乘积等于___________． 【答案】（1）0；（2）3；（3）6，1；（4）2，3，1103 【分析】（本题主要考查了铺地锦乘法算法、十进制与五进制的数的运算、进位规则等知识点，熟练掌握铺地锦的计算规则和不同进制下的进位方法是解题的关键． （1）利用“铺地锦”的方法计算即可； （2）根据铺地锦规则，列出关于的方程，求解并检验的取值合理性． （3）先确定第3条斜线包含的数字，求和得到；再根据的值和满十进一规则，计算 （4）在五进制下，先计算得到，计算并转换为五进制得到；再按五进制满五进一规则计算斜线和，最终得到乘积． 【详解】（1）解：如图， ；（2分） （2）解：如图， 解得；（4分） （3）解：如图， ∴， ， ；（7分） （4）解：如图， 格子中，；它们的乘积等于．（10分） 27．（10分）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5．（2分） ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2．（4分） （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5．（7分） （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层．（10分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $