期末复习04有理数的乘法与除法讲义(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年苏科版七年级数学上册

期末复习04 有理数的乘法与除法讲义 1.两个有理数的乘法运算 2.多个有理数的乘法运算 3.有理数乘法的实际问题应用 4.倒数的概念与性质 5.有理数乘法运算律 6.有理数的除法运算规则 7.有理数除法的实际应用 8.有理数乘除混合运算 9.有理数四则混合运算 10.有理数四则混合运算的实际场景应用 11.利用数轴上的点判断式子的正负性 12.数轴上的翻折变换问题 【知识点01】有理数乘法 一.乘法法则（核心基础） 1. 两数相乘法则 符号规则：同号得正，异号得负（核心判断依据）。 数值规则：将两个数的绝对值相乘。 字母表示：设 a,b 为非零有理数： *若a与b同号（均正或均负），则ab=∣a∣×∣b∣； *若a与b异号（一正一负），则ab=−(∣a∣×∣b∣)。 示例： *3×4=∣3∣×∣4∣=12（同号得正）； *(−3)×4=−(∣−3∣×∣4∣)=−12（异号得负）； *(−3)×(−4)=∣−3∣×∣−4∣=12（同号得正）。 2. 含 0 的乘法规则 任何数与 0 相乘，积都为 0，即a×0=0（a为任意有理数）。 示例：5×0=0，(−8)×0=0。 3. 多个非零有理数相乘法则 符号规则：积的符号由负因数的个数决定： *负因数个数为偶数 → 积为正； *负因数个数为奇数 → 积为负。 数值规则：所有因数的绝对值相乘。 特殊情况：只要有一个因数为 0，积直接为 0。 示例： *(−2)×3×(−4)=+(2×3×4)=24（2 个负因数，偶数个，积正）； *(−2)×(−3)×(−4)=−(2×3×4)=−24（3 个负因数，奇数个，积负）； *(−2)×3×0×(−4)=0（含 0 因数，积为 0）。 【知识点02】乘法运算律 运算律名称 字母表示（a,b,c 为有理数） 核心作用 乘法交换律 ab=ba 交换因数位置，方便凑整 乘法结合律 (ab)c=a(bc) 改变运算顺序，优先凑整 乘法分配律 a(b+c)=ab+ac 拆括号简化计算，逆用凑整 乘法分配律逆用 ab+ac=a(b+c) 提取公因式，简化求和 【知识点03】特殊数的乘法性质(常用结论) 1.与 1 相乘：任何数乘 1，结果为原数，即a×1=a； 示例：(−9)×1=−9，0×1=0。 2.与 - 1 相乘：任何数乘 - 1，结果为原数的相反数，即a×(−1)=−a； 示例：7×(−1)=−7，(−5)×(−1)=5（相反数的相反数为原数）。 3.与倒数相乘：乘积为 1 的两个数互为倒数，即若a×b=1，则a与b互为倒数（0 无倒数）； 示例：3×=1，(−​)×(−)=1。 【知识点04】有理数乘法计算步骤 有理数乘法的计算核心是 “先定符号，后算绝对值，最后整合结果”，不同场景（两数相乘、多个数相乘、含特殊数 / 运算律）的步骤略有侧重，以下分场景详细说明： 一、通用基础步骤（所有乘法计算的核心框架） 1.判断参与运算的数的特征 *识别是否含 0：若有一个因数为 0，直接得出结果为 0，无需后续计算； *识别是否为带分数 / 小数：带分数需先化为假分数，小数需先化为分数（或整数），统一形式后再计算。 2.确定积的符号 *两数相乘：同号得正，异号得负； *多个非零数相乘：数负因数的个数 —— 偶数个负因数→积为正，奇数个负因数→积为负。 3.计算绝对值的乘积 *忽略符号，将所有因数的绝对值相乘（分数相乘：分子乘分子，分母乘分母；整数 / 小数相乘按常规乘法计算）； *能约分的先约分（分数乘法），简化计算过程。 4.整合符号与绝对值结果 将步骤 2 确定的符号与步骤 3 计算的绝对值乘积结合，得到最终结果。 二、分场景细化步骤（附示例） 场景 1：两数相乘（最基础类型） 示例：计算(−1.5)×32​ 步骤 1：统一形式 ——−1.5=−23​，无 0 因数； 步骤 2：定符号 —— 一正一负（异号），积为负； 步骤 3：算绝对值乘积 ——×=1（先约分：3 和 3 约去，2 和 2 约去）； 步骤 4：整合结果 ——−1。 场景 2：多个非零有理数相乘 示例：计算 (−2)×3×(−4)×(−21​) 步骤 1：无 0 因数，均为整数 / 分数，无需统一形式； 步骤 2：定符号 —— 负因数有 3 个（奇数个），积为负； 步骤 3：算绝对值乘积 ——2×3×4×=(2×)×(3×4)=1×12=12（用乘法结合律凑整）； 步骤 4：整合结果 ——−12。 场景 3：含 0 的乘法 示例：计算 5×(−3)×0×(−8) 步骤 1：识别含 0 因数，直接得出结果为 0（无需后续步骤）。 场景 4：带分数相乘 示例：计算 (−2)×(−) 步骤 1：统一形式 ——−2=−，无 0 因数； 步骤 2：定符号 —— 两个负数（同号），积为正； 步骤 3：算绝对值乘积 ——×=​=（先约分：9 和 3 约去得 3，4 和 2 约去得 2）； 步骤 4：整合结果 ——（或 1.5）。 场景 5：利用运算律简化计算（如分配律） 示例：计算 102×(−5) 步骤 1：拆分特殊数 ——102=100+2，无 0 因数； 步骤 2：应用分配律 ——(100+2)×(−5)=100×(−5)+2×(−5)； 步骤 3：分别计算 ——100×(−5)=−500，2×(−5)=−10； 步骤 4：求和整合 ——−500+(−10)=−510。 三、步骤执行的注意事项 1.符号优先原则：务必先定符号，再算绝对值，避免 “先算数值再补符号” 导致的错误（尤其多个数相乘时）； 2.形式统一优先：带分数、小数必须先转化为分数（或整数），否则易出现计算失误； 3.约分时机：分数乘法中，能约分的先约分（跨因数约分也可），再相乘，减少大数计算； 4.运算律适配：遇到接近整十 / 整百的数（如 99、101），优先用分配律拆分，简化计算； 5.0 的优先级：只要算式中有 0 因数，直接得 0，无需多余计算。 四、错误步骤对比（避坑参考） 错误步骤示例 正确步骤纠正 计算(−3)×(−4) 时，先算3×4=12，再随意补符号为 “-” 先定符号（同号得正），再算3×4=12，结果为 + 12 计算2×6时，直接算2×6+×6=14（方法错误） 先化为假分数×6，再算7×2=14（步骤合规） 计算(−2)×3×(−0.5)时，先算(−2)×3=−6，再算 −6×(−0.5)=−3（符号错误） 先定符号（2 个负因数，正），再算2×3×0.5=3，结果为 + 3 【知识点05】倒数 一.核心定义 乘积为1的两个数互为倒数（记：若a×b=1，则a与b互为倒数）。 二.关键性质 1.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数； 2.0没有倒数（因0乘任何数都得0，无法得1）； 3.倒数等于它本身的数是1和-1（1×1=1，(-1)×(-1)=1）。 三、求倒数的方法 1.整数（非0）：倒数为“1除以这个数” 2.分数（非0）：分子分母颠倒位置 3.带分数：先化为假分数，再颠倒分子分母 4.小数：先化为分数，再求倒数 易错点提醒 勿混淆“倒数”与“相反数”：倒数是乘积为1，相反数是和为0（如3的倒数是1/3，相反数是-3）； 求带分数、小数的倒数时，务必先统一为分数形式，再计算。 【知识点06】有理数除法 （一）除法法则 1.法则一（转化法则）：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b=a×(1/b)（b≠0）。 2.法则二（直接法则）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何不等于 0 的数，都得 0。 （二）计算步骤（以 a÷b 为例，b≠0） 1.定符号：根据法则二确定商的符号。 2.选方法：整数相除可直接用法则二求绝对值的商；分数或小数相除，常用法则一转化为乘法计算。 3.算结果：得出最终商的数值与符号。 【知识点07】有理数乘除混合运算 一、核心原则 先统一运算类型（除法转乘法），再遵循“先定符号，后算绝对值”的规则，按从左到右顺序计算（有括号先算括号内）。 二、简化计算步骤 1.转乘法：将所有除法转化为乘法（除以一个非0数=乘它的倒数），算式中不再保留“÷”； 2.查0判结果：若转化后有一个因数是0，直接得结果为0，计算结束； 3.定符号：数所有负因数的个数（偶数个得正，奇数个得负）； 4.算结果：将所有因数的绝对值相乘（分数可先约分简化），再加上确定的符号。 三.关键要点 除法无分配律：不能直接对“a÷(b+c)”用分配律，需先转乘法“a×1/(b+c)”（b+c≠0）； 优先凑整简化：转乘法后，可利用乘法交换律、结合律凑整（如2和1/2、5和1/5），减少计算量； 0的禁忌：0不能作除数，转化时需确保倒数的分母不为0。 易错点与注意事项 1.符号易错：计算时易忽略符号判断，尤其多个数相乘除时，要先确定符号。 2.0 的问题：0 不能作除数，0 没有倒数，0 乘任何数都为 0，0 除以非零数得 0。 3.运算律误用：除法没有分配律，不能直接对除法使用分配律，需先转化为乘法。 4.倒数计算：求带分数倒数时，先化为假分数再计算。 【知识点08】典型题型与解题思路 1.基础计算：严格遵循乘除法法则，先定符号，再算绝对值。 2.简便运算：观察算式特点，运用乘法交换律、结合律、分配律简化计算。 3.倒数相关：利用倒数定义求一个数的倒数，或判断两个数是否互为倒数。 4.混合运算：先统一为乘法，再按顺序计算，注意括号优先。 题型1.两个有理数的乘法运算 【典例】计算结果最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的四则运算，解题的关键是准确计算各选项的结果并比较大小． 分别计算每个选项的结果，再比较大小得出最小值． 【详解】； B、； C、； D、． ∴，故C选项的值最小． 故选：C． 【跟踪训练1】5个非零有理数两两相乘，若所有乘积中恰好有4个负数，则这5个数中负数的个数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式两数之积的正负性，合理分类讨论是解题的关键．设这非零有理数为，，，，，分类讨论解答即可． 【详解】解：设这非零有理数为，，，，， 两两相乘一共有：，，，，，，，，，，十种情况， 当有一个负数时，令为负数，则负数的情况有：，，，，四种情况，符合题意； 当有两个负数时，令a，b为负数，则负数的情况有：，，，，，，六种情况，不符合题意； 当有三个负数时，令a，b，为负数，则负数的情况有：，，，，，，六种情况，不符合题意； 当有四个负数时，令a，b，，为负数，则负数的情况有：，，，，四种情况，符合题意； 当有五个负数时，令a，b，，，为负数，则没有负数的情况，不符合题意； 综上，当有一个负数或有四个负数时符合题意， 故答案为：或． 【跟踪训练2】取一个自然数，若它是奇数，则加上，若它是偶数，则除以，按此规则经过若干步的计算最终可得到．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如，取自然数，经过下面步运算可得，如图所示．如果自然数恰好经过步运算可得到，则所有符合条件的的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，首先根据题意，应用逆推法，判断出所有符合条件的的值为多少即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：进行逆推得， ∴符合条件的的值为，，，，，共个， 故选：． 题型2.多个有理数的乘法运算 【典例】． ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法运算，需先确定积的符号，再计算数值部分，因式中有三个负因数，故结果为负，数值部分通过分数乘法约分简化后结果为1，因此最终结果为． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪训练1】若，，，则下列结论正确的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，由可知与异号；结合，可得：且；再由，结合、，可得：． 【详解】解：， 与异号， 又， ，， ，且、， ， ，，． 故选：A． 【跟踪训练2】如图，点，，在数轴上表示的有理数分别是，，，若，，则原点的位置在（   ） A．点的左边 B．点的右边 C．点与点之间 D．点与点之间 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法．根据数轴上点A、B、C的位置得出，结合得出，或，再结合可得出原点的位置在线段上． 【详解】解：∵，， ∴，或， ∵， ∴， ∴，， ∴原点的位置点与点之间． 故选：D． 题型3.有理数乘法的实际问题应用 【典例】某地居民的生活用水收费标准为：每月用水量不超过，每立方米3元；超过部分每立方米5元．若该地区某家庭上月用水量为，则应缴水费为 元． 【答案】70 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用．根据题意计算的水费加上超过部分的水费，即可求解． 【详解】解：元， 即应缴水费为70元． 故答案为：70 【跟踪训练1】如图，某学校数学兴趣小组活动室门上安装了密码锁，凡是参加兴趣活动的同学通过观察门上的小提示，输入密码便可进入活动室．李明同学要参加兴趣活动，走到门口思索了一会儿，输入密码后顺利进入活动室，他输入的密码是（　　） A．722427 B．729624 C．722724 D．722496 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法的应用，解题的关键是总结出数字规律．根据示例总结出密码规律，然后求解即可． 【详解】解：； ； ， 密码共有6位， 前两位为：， 中间两位为：， 后两位为：， 密码为722427， 故选：A． 【跟踪训练2】某甲于上午时分钟由码头划船出游，计划最迟于时返回原码头，已知河水的流速为千米小时，划船时，船在静水中的速度可达千米小时，如果甲每划分钟就需要休息分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，问甲最多能划离码头 千米远． 【答案】 【分析】此题主要考查了行程问题，小数加法、乘法的应用，根据已知得出划船周期为分钟，进而分析得出甲游划的路线即可求解，掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：甲划船的全部时间为小时分钟，他每划行分钟，休息分钟，周期为分钟， 所以甲一共可分为个分钟划行时间段，中间有个分钟休息， 如果甲开始向下游划，当他用个分钟的时间段向下游划时， 这时他离开码头的距离为：（千米）， 而返回用个分钟的时间段游划的距离和休息时水流所带距离为（千米）， 因为， 由此可见，甲如果开始向下游划，那么到点时他将无法返回出发地； 如果甲开始向上游划，那么他可以用个时间段向上游划， 这时他最远离开码头的距离为：（千米）， 又（千米）， 所以最后一个时间段，完全可以返回码头， 故答案为：． 题型4.倒数的概念和性质 【典例】下列各数中，互为倒数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查倒数的定义，解题的关键是明确“两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数，且0没有倒数”． 根据倒数的定义，依次判断每个选项中两个数的乘积是否为1，从而确定互为倒数的数． 【详解】根据倒数的定义：若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数． A、，不是互为倒数； B、，不是互为倒数； C、，是互为倒数； D、0没有倒数，不符合要求． 故选：C 【跟踪训练1】如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查倒数． 根据倒数的定义，可得1，，3，，，的乘积，即可得． 【详解】解：∵正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪训练2】下列说法正确的是（    ） A．任何一个有理数一定小于它的2倍 B．0没有倒数 C．数轴上原点两侧的两点表示的数一定互为相反数 D．正数的绝对值是负数，负数的绝对值是正数 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的性质、倒数、相反数和绝对值的概念，通过反例或定义判断各选项即可求解． 【详解】A、反例：有理数，其2倍为，但，故A选项错误，不符合题意； B、0没有倒数，故B选项正确，符合题意； C、数轴上原点两侧的点不一定互为相反数，如2和，到原点的距离不相等，故不是互为相反数，则C选项错误，不符合题意； D、根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，可知D选项错误，不符合题意； 故选：B． 题型5.有理数乘法运算律 【典例】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用乘法分配律进行计算，熟练掌握有理数运算的运算法则及运算律是解题的关键． 根据乘法分配律，将分别与括号内的各项相乘，再求和即可． 【详解】解：原式   ， 故答案为：． 【跟踪训练1】乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪训练2】计算下列各题时，运用的方法和乘法分配律一样的是(    ) A． B．计算后，用验算 C．想，得出 D．竖式计算(如图) 【答案】D 【分析】本题考查乘法分配率，根据题意，结合乘法分配律的定义：两个数的和或差与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相加或相减．据此判断即可． 【详解】解：A．，运用了乘法交换律和结合律； B．计算后，用验算，运用了乘法交换律； C．想，得出，运用了“商不变的规律”； D．竖式计算，把看作，分别用和1乘，再将两个积相加，运用了乘法分配律． 故选：D． 题型6.有理数的除法运算规则 【典例】将13转换为二进制数为 ． 【答案】1101 【分析】本本题考查进制转换，根据十进制转化为二进制的方法，即可将13转换为二进制数． 【详解】解：， ， ， ， 将余数从下往上排列得， 故答案为：1101． 【跟踪训练1】当有理数不等于0时，把2个相同的有理数的除法运算记作；把3个相同的有理数的除法运算记作；把4个相同的有理数的除法运算记作；…特别地．规定．则的值为 ． 【答案】// 【分析】本题为新定义问题，考查了有理数的除法运算等知识，理解新定义是解题关键﹒根据新运算定义，先计算，，由此即可得﹒ 【详解】解：，， ∴﹒ 故答案为： 【跟踪训练2】某同学在计算时，误将“”看成“”导致算得结果是，则的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数的除法计算，先根据题意得到，据此求出，再根据有理数除法计算法则求解即可． 【详解】解：设为， ∵误将“”看成“”， ∴， 解得， ∴正确运算为 故选：C． 题型7.有理数除法的实际应用 【典例】你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树木的年龄，把树干的横截面看成圆形的，如果一棵20年树龄的树的树干直径是，这棵树的半径平均每年增加（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数除法的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据年轮的特点即可列式求解． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 【跟踪训练1】一项工程，若甲工程队单独做，每工作2天休息1天，14天可以完工，若乙工程队单独做，每工作3天休息1天，15天可以完工，若丙工程队单独做，一直不休息，也要15天才能完工，现在让甲、乙、丙三队共同合作，且每工作1天休息1天，共需要 天完工． 【答案】7 【分析】本题主要考查了有理数的运算，单位1的应用，先求出甲、乙、丙三队的工作效率．甲队工作2天休息1天，14天完工，实际工作10天，工作效率为；乙队工作3天休息1天，15天完工，实际工作12天，工作效率为；丙队一直工作，15天完工，工作效率为．三队合作时，每工作1天休息1天，工作一天的工作量为，进而即可解题． 【详解】解：甲队周期为3天（2天工作天休息），又， 即4周期工作8天，余2天为工作天，总工作10天，效率为． 乙队周期为4天（3天工作天休息），又， 即3周期工作9天，余3天为工作天，总工作12天，效率为， 丙队一直工作，15天完工，效率为， 三队合作工作一天的工作量为． 则需要4个工作日完成工程，由于每工作1天休息1天，总天数为（天）． 故答案为：7． 【跟踪训练2】一个小数，如果小数点向右移动1位，比原数多9.45，原数是（   ） A．94.5 B．1.05 C．10.5 D．0.945 【答案】B 【分析】本题考查了小数点的移动规律，掌握小数点向右移动1位，则得到的数是原来的10倍是解题的关键．根据题意可知，小数点向右移动1位，则得到的数是原来的10倍，用除以即可求出原数是多少． 【详解】解：． 故选：B． 题型8.有理数乘除混合运算 【典例】计算的结果 ． 【答案】36 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握乘除运算的符号法则及“除以一个数等于乘它的倒数”的运算转化方法． 将除法转化为乘法，依据有理数乘法法则（同号得正、异号得负，并把绝对值相乘）依次计算． 【详解】解： ； 故答案为：36. 【跟踪训练1】下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算，掌握算理是解决问题的关键。根据运算算理逐一判断即可。 【详解】解：， ∴选项不符合题意； ， ∴B选项不符合题意； ∴C选项符合题意； ∴D选项不符合题意， 故选：C． 【跟踪训练2】一块长方形的菜地长18米，如果把它的长增加到22米，宽减少3米，面积正好不变．这块长方形菜地的面积是 平方米． 【答案】297 【分析】本题考查了长方形的面积，有理数的加减乘除混合运算的应用，熟练掌握长方形的面积及有理数的加减乘除混合运算是解题的关键．先计算变化后长方形的宽，然后求出原长方形的宽，即可求得答案． 【详解】解：变化后长方形的宽为（米）， 所以原长方形的宽为（米）， 所以长方形的面积为（平方米）． 故答案为：297． 题型9.有理数四则混合运算 【典例】现定义两种运算“”，“”．对于任意两个整数，，，则的结果是（） A．23 B．22 C．21 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查新定义下的有理数的混合运算；根据新定义的运算规则，先计算括号内的⊕运算，再进行∗运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪训练1】在“”中的每个“□”内，填入“，，，”中的某一个运算符号（不可重复使用），能得到的最大结果是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的法则、全面列举所有运算组合是解题的关键．列出所有“、、、”不重复填入两个“”的组合，分别计算结果，比较得出最大值． 【详解】解：若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“和”： 比较所有结果，最大结果是． 故答案为：． 【跟踪训练2】有下列四个算式：①；②；③；④；⑤其中正确的有（   ） A．①②⑤ B．①②③ C．④⑤ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算法则． 根据有理数的运算法则逐一计算后判断即可． 【详解】解：①，①错误； ②，②错误； ③，③错误； ④，④正确； ⑤，⑤正确； 正确的算式是④和⑤， 故选：C． 题型10.有理数四则混合运算的实际场景应用 【典例】淘气用一根跳绳测量课桌的长度，对折来量，跳绳比课桌长0.3米，三折来量，跳绳比课桌短0.2米，这根绳子长 米． 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，将绳子原长看作单位“1”，对折后每段为原长的，三折后每段为原长的．根据题意，对折量时跳绳比课桌长0.3米，三折量时跳绳比课桌短0.2米，可知原长的比多米，用差量除以分率差即可求出原长． 【详解】解：（米）． 故答案为：3． 【跟踪训练1】据记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量．如图，一位猎人在从右到左依次排列的绳子上打结，满八进一，用来记录自己捕获猎物的数量，由图可知，这位猎人捕获猎物的总数是（   ） A．7 B．14 C．16 D．49 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据“满八进一”列式计算即可得解，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故这位猎人捕获猎物的总数是， 故选：B． 【跟踪训练2】为了更好的促进学生对科学知识的兴趣，七年级(1)班组织了一次科普益智测试活动，测试共有10道选择题，每道题答对得10分，答错或不答扣2分． （1）小明答对了6道题，答错了4道题，则他的总得分为 分； （2）若该班的学生中一定有4人的得分相同，则这个班级的学生至少有 人． 【答案】 52 34 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，熟练掌握有理数运算的意义，是解题的关键． （1）根据“正负分数的和等于总积分”列式求值； （2）根据题意先求出一共有分值种类数，再根据该班的学生中至少有4人的得分相同列式求解即可． 【详解】解：（1）（分）． 故答案为：52． （2）∵最高得分为100分，最低得分为分， ∴一共有分值种类数 ． ∴参加竞赛的学生至少有（人）． 故答案为：34． 题型11.利用数轴上的点判断式子的正负性 【典例】已知，，，则在a，b，，这四个数中最大的数是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是根据已知条件判断各数的正负及绝对值的大小关系． 先根据、和，确定，再分别判断、、、的正负，进而比较大小． 【详解】，且， ，所以， ，这四个数中最大的数是． 故选：D． 【跟踪训练1】有理数在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①②③④，⑤.其中正确的个数有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值，有理数的运算法则，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据数轴确定的正负，以及绝对值的大小，结合有理数的加法和乘法运算法则进行判断即可． 【详解】解：①根据绝对值的几何意义和数轴得，， 故①正确，符合题意； ②由数轴得， ∴， 故②错误，不符合题意； ③由①②得， ∴， 故③正确，符合题意； ④由得，， 故④错误，不符合题意； ⑤由得，， ∴， 故⑤错误，不符合题意； 综上，正确的选项有①③， 故答案为：2． 【跟踪训练2】如图，下列判断正确的有（   ） ；；；；； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，有理数的大小比较，有理数的四则运算，理解数轴是解题关键． 由数轴可知：，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ，，故正确； ，故错误； ，故正确； ，，故正确； ，，故正确； ，，故错误． 综上，正确的有4个． 故选：C． 题型12.数轴上的翻折变换问题 【典例】小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面使数轴上表示6的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为12(A在B左侧)，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；设表示6的点与表示的的点的连线段的中点表示的数为，由数轴上两点之间的距离得，据此列式计算即可求解． 【详解】解：设表示6的点与表示的的点的连线段的中点表示的数为，则有： ， 解得：， 数轴上A、B两点之间的距离为12， ， 到表示1的点的距离为， 点表示的数为， 故选：A． 【跟踪训练1】如图①，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在B的右边；如图②，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边，若、B之间的距离为3，则点C表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的折叠问题，由翻折得，表示的数为，点C表示的数为，即可求解． 【详解】解：因为、B之间的距离为3， 所以， 因为以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边， ， 因为点B表示的数为7， 所以表示的数为， 所以点C表示的数为； 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，在一条可以折叠的数轴上，点、、表示的数分别是，，．以点为折点，将此数轴向右对折．若点与点重合，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．1012 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上两点的距离与点表示的数的运算关系是解答的关键．先根据A、C表示的数求得的长，再由折叠后点与点重合，求得的长，进而可确定点B表示的数． 【详解】解：，C表示的数分别是，， ， ∵以点为折点，将此数轴向右对折,点与点重合， ， ∴B点表示的数是， 故选：A． 1．探空气球的气象观测统计资料表明，高度每增加，气温降低大约．现在地面气温是，那么高空的气温大约是 ． 【答案】 【分析】根据题意，高度每增加，气温降低大约，计算高空的气温降低值，再从地面气温中减去即可． 【详解】解：由题意得：； 故答案为． 2．若，则的值为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或1 【答案】C 【分析】此题考查绝对值的化简求值，由 可知 和 同号，分两种情况讨论：都正或都负，代入计算表达式的值． 【详解】∵ ，∴ 和 同号， 当 时，，，，∴ 原式 ； 当 时，，，，∴ 原式 ， ∴ 原式的值为 或 ， 故选：C 3．有理数a，b，c在数轴的位置如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据数轴确定代数式的正负，关键根据数轴确定a、b、c的大小关系是解题的关键． 根据数轴上数的位置可得且，然后逐项判断即可 【详解】解：根据数轴上数的位置可得且， A．，，则正确，不符合题意； B．，正确，不符合题意； C．错误，符合题意； D．，，则正确，不符合题意． 故选：C． 4．如图，实数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B， C， D，若，则下列说法正确的个数有（    ）． ①；②；③；④ ；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的有理数，比较有理数的大小，绝对值的意义，有理数的加法，减法，乘法运算，先观察数轴，确定各数的大小，再得出绝对值的大小，然后进行有理数的运算即可判断． 【详解】解：∵， ∴b是正数，d是负数，且， 观察数轴可知，a是负数，c是正数，且，故①正确； ∴，，，，故③正确，②④错误； ∴，故⑤正确； 则下列说法正确的个数有3个． 故选：C． 5．对于任意均不为0的有理数a，b，定义运算“*”；，如，则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数混合运算，属于中档题．根据新运算定义，先计算内层运算 ，再计算． 【详解】解：根据题意：， ∴， 故选：B． 6．如图，数轴上从左到右有A、C、B三点，其中点A、B表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是 ． 【答案】0或6 【分析】本题考查了数轴的折叠问题与距离计算，解题的关键是设出点表示的数，根据折叠性质和距离关系分情况列方程． 【详解】解：设点表示的数为，则， 折叠后点的对应点为，则． ∵到的距离为，表示的数为， ∴表示的数为或． 当时，，解得； 当时，，解得． 故答案为：或． 7．快车和慢车分别从甲、乙两地相向而行，小时相遇．相遇后，快车继续行驶了小时到达乙地，慢车继续行了千米到达甲地．慢车的速度是 千米/小时． 【答案】 【分析】本解考查了较复杂的行程问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系，分析题中各数量之间的关系，如此快车行3小时的路程等于慢车行4小时的路程，是解答此题的关键． 快车4小时行240千米，可求出快车的速度为（千米/时)，从相遇点到乙地这段路程，快车只行3小时，而慢车需行4小时，可以求出慢车的速度． 【详解】解：快车的速度为：（千米/时）， 慢车的速度为：（千米/时）． 故答案为：45． 8．若，则自然数 ． 【答案】402 【分析】本题主要考查了估算计算．熟练掌握缩放原数据估算计算，是解决问题的关键． 设，缩放数据得到， 得到即得． 【详解】设， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：402． 9．密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．现有破译规则如下：顺时针将依次排成圈，密文中的a用于破译，b是需要破译的次数，当a是奇数时，顺时针数3位得明文；当a是偶数时，逆时针数5位得明文，并将所得明文再次破译，共破译b次得到最终明文．例如：密文，第一次破译得6，再对6进行破译得1，则破译两次后的最终明文是1．现有密文，则对应的最终明文是（   ） A．7 B．5 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算得出从第1次破译的结果开始按4，9，2，7，0，5，8，3，6，1循环是解题的关键． 根据所给破译的方式，依次求出每次破译的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 密文第1次破译得4， 第2次破译得9， 第3次破译得2， 第4次破译得7， 第5次破译得0， 第6次破译得5， 第7次破译得8， 第8次破译得3， 第9次破译得6， 第10次破译得1， 第11次破译得4， ， 由此可见，从第1次破译的结果开始按4，9，2，7，0，5，8，3，6，1循环． 因为， 所以第2025次破译得0． 故选：D． 10．有一列数：，，，，，，，，，，这列数的前4755个数的积是 ． 【答案】 4753 【分析】本题考查“有理数的乘法法则”，找到这列数的乘积的规律，发现每几个数之间的乘积为1,是解题关键． 通过观察这列数，发现第1个数是1，第2个数和第3个数的乘积为1，第4个数、第5个数和第6个数的乘积为1，从而找到这列数前几个数乘积的规律，再结合数的符号的规律和数本身的规律，将乘积为1的相邻的数进行分组，分析规律，再进行计算即可． 【详解】观察这列数，可发现 第1个数：； 第2个数和第3个数：； 第4个数、第5个数和第6个数：； 可发现，按照每n个数，n从1开始逐渐加1，其乘积为1，因此可按照这种规律分组观察规律， 时，数为； 时，数为，； 时，数为，，； 可发现，当n为奇数时，第n组数为正数，当n为偶数时，第n组数为负数，且每组数中每个数的绝对值，呈现分子从n开始，一直到1；分母从1开始，一直到n的规律排布， ∵， ∴这列数前4755个数的乘积等于97组乘积为1的数相乘，再乘第4754，4755个数， 由上文可知，第4754，4755个数对应第98组的第1个数和第2个数， 根据规律，当时，符号为负，第1个数为，第2个数为， 故乘积为， 故答案为：． 11．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算律是简便解题的关键； （1）用乘法分配律进行计算即可； （2）用加减交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 12．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产量､销量都大幅增加．小海家新购置了一辆新能源汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的用正数表示，不足的用负数表示，刚好的记为0． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)小海家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)小海家原汽油车每行驶需用汽油，汽油价格为6.8元/升，而此辆新能源汽车每行驶耗电量为15千瓦时，平均充电费用为每千瓦时1.1元．小海家换成新能源汽车后，这七天的行驶费用比原来节省多少元？ 【答案】(1) 小海家的新能源汽车这七天一共行驶了千米； (2) 这七天的行驶费用比原来节省了元． 【分析】本题主要考查了正负数意义，以及有理数计算在实际问题中的应用，理解题意根据题目描述数量间的表达含义，进行有理数的四则运算，计算出问题中的目标量是解题关键， （1）理解正负数的表示含义，即正数表示多于标准的路程数，例如第五天路程表示为，即实际行驶了千米，负数表示少于标准的路程数，例如第一天路程表示为，即实际行驶了千米； （2）利用七天行驶的总路程数，求出每百千米的耗油和耗电量，然后，乘以对应的每升油价和每千瓦时电价，计算出汽油车与新能源汽车七天的行驶费用，最后相减即可计算出结果． 【详解】（1）解：（千米） 答：小海家的新能源汽车这七天一共行驶了千米； （2）设：汽油车和新能源车行驶七天的费用分别为和， 依据题意可知， （元） （元） 节省的费用为， （元） 答：这七天的行驶费用比原来节省了元． 13．点、在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和． (1)用“>”或“<”填空：______0，______0； (2)化简：______； (3)若，，、互为相反数，、互为倒数，求的值． 【答案】(1)＜，＞ (2) (3) 【分析】本题主要考查了数轴、整式的加减运算、绝对值的意义、代数式求值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据数轴可得，再根据有理数加减确定代数式的正负即可； （2）先根据（1）得到不等式的正负化简绝对值，然后合并同类项即可； （3）根据绝对值的意义、相反数和倒数的定义得到，即，然后再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴，； 故答案为：＜，＞． （2）解：∵， ∴． 故答案为：． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵、互为相反数，、互为倒数， ∴， ∴． 14．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则运算，根据题目特点运用特殊方法是解题的关键； （1）每两项一组，转化为1002个相邻偶数的和，即可求解； （2）设，求得，再相减即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 则， 上两式相减得：， 则． .15．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使表示的点1与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点分别表示什么数； 操作三： （3）在数轴上剪下10个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，求折痕处对应的点所表示的数是什么？ 【答案】（1）2；（2）①；②A表示，B表示3；（3）或或． 【分析】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题． （1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出与2重合； （2）根据对称性找到折痕的点为，①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②因为，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为，由此得出A、B两点表示的数； （3）分三种情况：、和，先求出的长，再利用数轴的性质求出点表示的数，由此即可得． 【详解】（1）解：∵表示的点1与表示的点重合， ∴折痕为原点O， 则表示的点与2表示的点重合， 故答案为： （2）解：∵折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合， 则折痕表示的点为， ①设表示的点与数a表示的点重合， 则， ； 故答案为： ②∵数轴上A、B两点之间距离为8， ∴数轴上A、B两点到折痕的距离为4， ∵A在B的左侧， 则A、B两点表示的数分别是和； （3）解：设C表示，D表示8， 如图，当时， ∵， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 如图，当时， ∵， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 如图，当时， ∵， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 综上，折痕处对应的点所表示的数是或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习04 有理数的乘法与除法讲义 1.两个有理数的乘法运算 2.多个有理数的乘法运算 3.有理数乘法的实际问题应用 4.倒数的概念与性质 5.有理数乘法运算律 6.有理数的除法运算规则 7.有理数除法的实际应用 8.有理数乘除混合运算 9.有理数四则混合运算 10.有理数四则混合运算的实际场景应用 11.利用数轴上的点判断式子的正负性 12.数轴上的翻折变换问题 【知识点01】有理数乘法 一.乘法法则（核心基础） 1. 两数相乘法则 符号规则：同号得正，异号得负（核心判断依据）。 数值规则：将两个数的绝对值相乘。 字母表示：设 a,b 为非零有理数： *若a与b同号（均正或均负），则ab=∣a∣×∣b∣； *若a与b异号（一正一负），则ab=−(∣a∣×∣b∣)。 示例： *3×4=∣3∣×∣4∣=12（同号得正）； *(−3)×4=−(∣−3∣×∣4∣)=−12（异号得负）； *(−3)×(−4)=∣−3∣×∣−4∣=12（同号得正）。 2. 含 0 的乘法规则 任何数与 0 相乘，积都为 0，即a×0=0（a为任意有理数）。 示例：5×0=0，(−8)×0=0。 3. 多个非零有理数相乘法则 符号规则：积的符号由负因数的个数决定： *负因数个数为偶数 → 积为正； *负因数个数为奇数 → 积为负。 数值规则：所有因数的绝对值相乘。 特殊情况：只要有一个因数为 0，积直接为 0。 示例： *(−2)×3×(−4)=+(2×3×4)=24（2 个负因数，偶数个，积正）； *(−2)×(−3)×(−4)=−(2×3×4)=−24（3 个负因数，奇数个，积负）； *(−2)×3×0×(−4)=0（含 0 因数，积为 0）。 【知识点02】乘法运算律 运算律名称 字母表示（a,b,c 为有理数） 核心作用 乘法交换律 ab=ba 交换因数位置，方便凑整 乘法结合律 (ab)c=a(bc) 改变运算顺序，优先凑整 乘法分配律 a(b+c)=ab+ac 拆括号简化计算，逆用凑整 乘法分配律逆用 ab+ac=a(b+c) 提取公因式，简化求和 【知识点03】特殊数的乘法性质(常用结论) 1.与 1 相乘：任何数乘 1，结果为原数，即a×1=a； 示例：(−9)×1=−9，0×1=0。 2.与 - 1 相乘：任何数乘 - 1，结果为原数的相反数，即a×(−1)=−a； 示例：7×(−1)=−7，(−5)×(−1)=5（相反数的相反数为原数）。 3.与倒数相乘：乘积为 1 的两个数互为倒数，即若a×b=1，则a与b互为倒数（0 无倒数）； 示例：3×=1，(−​)×(−)=1。 【知识点04】有理数乘法计算步骤 有理数乘法的计算核心是 “先定符号，后算绝对值，最后整合结果”，不同场景（两数相乘、多个数相乘、含特殊数 / 运算律）的步骤略有侧重，以下分场景详细说明： 一、通用基础步骤（所有乘法计算的核心框架） 1.判断参与运算的数的特征 *识别是否含 0：若有一个因数为 0，直接得出结果为 0，无需后续计算； *识别是否为带分数 / 小数：带分数需先化为假分数，小数需先化为分数（或整数），统一形式后再计算。 2.确定积的符号 *两数相乘：同号得正，异号得负； *多个非零数相乘：数负因数的个数 —— 偶数个负因数→积为正，奇数个负因数→积为负。 3.计算绝对值的乘积 *忽略符号，将所有因数的绝对值相乘（分数相乘：分子乘分子，分母乘分母；整数 / 小数相乘按常规乘法计算）； *能约分的先约分（分数乘法），简化计算过程。 4.整合符号与绝对值结果 将步骤 2 确定的符号与步骤 3 计算的绝对值乘积结合，得到最终结果。 二、分场景细化步骤（附示例） 场景 1：两数相乘（最基础类型） 示例：计算(−1.5)×32​ 步骤 1：统一形式 ——−1.5=−23​，无 0 因数； 步骤 2：定符号 —— 一正一负（异号），积为负； 步骤 3：算绝对值乘积 ——×=1（先约分：3 和 3 约去，2 和 2 约去）； 步骤 4：整合结果 ——−1。 场景 2：多个非零有理数相乘 示例：计算 (−2)×3×(−4)×(−21​) 步骤 1：无 0 因数，均为整数 / 分数，无需统一形式； 步骤 2：定符号 —— 负因数有 3 个（奇数个），积为负； 步骤 3：算绝对值乘积 ——2×3×4×=(2×)×(3×4)=1×12=12（用乘法结合律凑整）； 步骤 4：整合结果 ——−12。 场景 3：含 0 的乘法 示例：计算 5×(−3)×0×(−8) 步骤 1：识别含 0 因数，直接得出结果为 0（无需后续步骤）。 场景 4：带分数相乘 示例：计算 (−2)×(−) 步骤 1：统一形式 ——−2=−，无 0 因数； 步骤 2：定符号 —— 两个负数（同号），积为正； 步骤 3：算绝对值乘积 ——×=​=（先约分：9 和 3 约去得 3，4 和 2 约去得 2）； 步骤 4：整合结果 ——（或 1.5）。 场景 5：利用运算律简化计算（如分配律） 示例：计算 102×(−5) 步骤 1：拆分特殊数 ——102=100+2，无 0 因数； 步骤 2：应用分配律 ——(100+2)×(−5)=100×(−5)+2×(−5)； 步骤 3：分别计算 ——100×(−5)=−500，2×(−5)=−10； 步骤 4：求和整合 ——−500+(−10)=−510。 三、步骤执行的注意事项 1.符号优先原则：务必先定符号，再算绝对值，避免 “先算数值再补符号” 导致的错误（尤其多个数相乘时）； 2.形式统一优先：带分数、小数必须先转化为分数（或整数），否则易出现计算失误； 3.约分时机：分数乘法中，能约分的先约分（跨因数约分也可），再相乘，减少大数计算； 4.运算律适配：遇到接近整十 / 整百的数（如 99、101），优先用分配律拆分，简化计算； 5.0 的优先级：只要算式中有 0 因数，直接得 0，无需多余计算。 四、错误步骤对比（避坑参考） 错误步骤示例 正确步骤纠正 计算(−3)×(−4) 时，先算3×4=12，再随意补符号为 “-” 先定符号（同号得正），再算3×4=12，结果为 + 12 计算2×6时，直接算2×6+×6=14（方法错误） 先化为假分数×6，再算7×2=14（步骤合规） 计算(−2)×3×(−0.5)时，先算(−2)×3=−6，再算 −6×(−0.5)=−3（符号错误） 先定符号（2 个负因数，正），再算2×3×0.5=3，结果为 + 3 【知识点05】倒数 一.核心定义 乘积为1的两个数互为倒数（记：若a×b=1，则a与b互为倒数）。 二.关键性质 1.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数； 2.0没有倒数（因0乘任何数都得0，无法得1）； 3.倒数等于它本身的数是1和-1（1×1=1，(-1)×(-1)=1）。 三、求倒数的方法 1.整数（非0）：倒数为“1除以这个数” 2.分数（非0）：分子分母颠倒位置 3.带分数：先化为假分数，再颠倒分子分母 4.小数：先化为分数，再求倒数 易错点提醒 勿混淆“倒数”与“相反数”：倒数是乘积为1，相反数是和为0（如3的倒数是1/3，相反数是-3）； 求带分数、小数的倒数时，务必先统一为分数形式，再计算。 【知识点06】有理数除法 （一）除法法则 1.法则一（转化法则）：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b=a×(1/b)（b≠0）。 2.法则二（直接法则）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何不等于 0 的数，都得 0。 （二）计算步骤（以 a÷b 为例，b≠0） 1.定符号：根据法则二确定商的符号。 2.选方法：整数相除可直接用法则二求绝对值的商；分数或小数相除，常用法则一转化为乘法计算。 3.算结果：得出最终商的数值与符号。 【知识点07】有理数乘除混合运算 一、核心原则 先统一运算类型（除法转乘法），再遵循“先定符号，后算绝对值”的规则，按从左到右顺序计算（有括号先算括号内）。 二、简化计算步骤 1.转乘法：将所有除法转化为乘法（除以一个非0数=乘它的倒数），算式中不再保留“÷”； 2.查0判结果：若转化后有一个因数是0，直接得结果为0，计算结束； 3.定符号：数所有负因数的个数（偶数个得正，奇数个得负）； 4.算结果：将所有因数的绝对值相乘（分数可先约分简化），再加上确定的符号。 三.关键要点 除法无分配律：不能直接对“a÷(b+c)”用分配律，需先转乘法“a×1/(b+c)”（b+c≠0）； 优先凑整简化：转乘法后，可利用乘法交换律、结合律凑整（如2和1/2、5和1/5），减少计算量； 0的禁忌：0不能作除数，转化时需确保倒数的分母不为0。 易错点与注意事项 1.符号易错：计算时易忽略符号判断，尤其多个数相乘除时，要先确定符号。 2.0 的问题：0 不能作除数，0 没有倒数，0 乘任何数都为 0，0 除以非零数得 0。 3.运算律误用：除法没有分配律，不能直接对除法使用分配律，需先转化为乘法。 4.倒数计算：求带分数倒数时，先化为假分数再计算。 【知识点08】典型题型与解题思路 1.基础计算：严格遵循乘除法法则，先定符号，再算绝对值。 2.简便运算：观察算式特点，运用乘法交换律、结合律、分配律简化计算。 3.倒数相关：利用倒数定义求一个数的倒数，或判断两个数是否互为倒数。 4.混合运算：先统一为乘法，再按顺序计算，注意括号优先。 题型1.两个有理数的乘法运算 【典例】计算结果最小的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】5个非零有理数两两相乘，若所有乘积中恰好有4个负数，则这5个数中负数的个数为 ． 【跟踪训练2】取一个自然数，若它是奇数，则加上，若它是偶数，则除以，按此规则经过若干步的计算最终可得到．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如，取自然数，经过下面步运算可得，如图所示．如果自然数恰好经过步运算可得到，则所有符合条件的的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型2.多个有理数的乘法运算 【典例】． ． 【跟踪训练1】若，，，则下列结论正确的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪训练2】如图，点，，在数轴上表示的有理数分别是，，，若，，则原点的位置在（   ） A．点的左边 B．点的右边 C．点与点之间 D．点与点之间 题型3.有理数乘法的实际问题应用 【典例】某地居民的生活用水收费标准为：每月用水量不超过，每立方米3元；超过部分每立方米5元．若该地区某家庭上月用水量为，则应缴水费为 元． 【跟踪训练1】如图，某学校数学兴趣小组活动室门上安装了密码锁，凡是参加兴趣活动的同学通过观察门上的小提示，输入密码便可进入活动室．李明同学要参加兴趣活动，走到门口思索了一会儿，输入密码后顺利进入活动室，他输入的密码是（　　） A．722427 B．729624 C．722724 D．722496 【跟踪训练2】某甲于上午时分钟由码头划船出游，计划最迟于时返回原码头，已知河水的流速为千米小时，划船时，船在静水中的速度可达千米小时，如果甲每划分钟就需要休息分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，问甲最多能划离码头 千米远． 题型4.倒数的概念和性质 【典例】下列各数中，互为倒数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪训练1】如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则 ． 【跟踪训练2】下列说法正确的是（    ） A．任何一个有理数一定小于它的2倍 B．0没有倒数 C．数轴上原点两侧的两点表示的数一定互为相反数 D．正数的绝对值是负数，负数的绝对值是正数 题型5.有理数乘法运算律 【典例】计算 ． 【跟踪训练1】乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 【跟踪训练2】计算下列各题时，运用的方法和乘法分配律一样的是(    ) A． B．计算后，用验算 C．想，得出 D．竖式计算(如图) 题型6.有理数的除法运算规则 【典例】将13转换为二进制数为 ． 【跟踪训练1】当有理数不等于0时，把2个相同的有理数的除法运算记作；把3个相同的有理数的除法运算记作；把4个相同的有理数的除法运算记作；…特别地．规定．则的值为 ． 【跟踪训练2】某同学在计算时，误将“”看成“”导致算得结果是，则的正确结果是（   ） A． B． C． D． 题型7.有理数除法的实际应用 【典例】你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树木的年龄，把树干的横截面看成圆形的，如果一棵20年树龄的树的树干直径是，这棵树的半径平均每年增加（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】一项工程，若甲工程队单独做，每工作2天休息1天，14天可以完工，若乙工程队单独做，每工作3天休息1天，15天可以完工，若丙工程队单独做，一直不休息，也要15天才能完工，现在让甲、乙、丙三队共同合作，且每工作1天休息1天，共需要 天完工． 【跟踪训练2】一个小数，如果小数点向右移动1位，比原数多9.45，原数是（   ） A．94.5 B．1.05 C．10.5 D．0.945 题型8.有理数乘除混合运算 【典例】计算的结果 ． 【跟踪训练1】下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】一块长方形的菜地长18米，如果把它的长增加到22米，宽减少3米，面积正好不变．这块长方形菜地的面积是 平方米． 题型9.有理数四则混合运算 【典例】现定义两种运算“”，“”．对于任意两个整数，，，则的结果是（） A．23 B．22 C．21 D．20 【跟踪训练1】在“”中的每个“□”内，填入“，，，”中的某一个运算符号（不可重复使用），能得到的最大结果是 ． 【跟踪训练2】有下列四个算式：①；②；③；④；⑤其中正确的有（   ） A．①②⑤ B．①②③ C．④⑤ D．③④ 题型10.有理数四则混合运算的实际场景应用 【典例】淘气用一根跳绳测量课桌的长度，对折来量，跳绳比课桌长0.3米，三折来量，跳绳比课桌短0.2米，这根绳子长 米． 【跟踪训练1】据记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量．如图，一位猎人在从右到左依次排列的绳子上打结，满八进一，用来记录自己捕获猎物的数量，由图可知，这位猎人捕获猎物的总数是（   ） A．7 B．14 C．16 D．49 【跟踪训练2】为了更好的促进学生对科学知识的兴趣，七年级(1)班组织了一次科普益智测试活动，测试共有10道选择题，每道题答对得10分，答错或不答扣2分． （1）小明答对了6道题，答错了4道题，则他的总得分为 分； （2）若该班的学生中一定有4人的得分相同，则这个班级的学生至少有 人． 题型11.利用数轴上的点判断式子的正负性 【典例】已知，，，则在a，b，，这四个数中最大的数是（   ） A．a B．b C． D． 【跟踪训练1】有理数在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①②③④，⑤.其中正确的个数有 个． 【跟踪训练2】如图，下列判断正确的有（   ） ；；；；； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型12.数轴上的翻折变换问题 【典例】小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面使数轴上表示6的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为12(A在B左侧)，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数是（    ） A． B．6 C． D． 【跟踪训练1】如图①，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在B的右边；如图②，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边，若、B之间的距离为3，则点C表示的数为 ． 【跟踪训练2】如图，在一条可以折叠的数轴上，点、、表示的数分别是，，．以点为折点，将此数轴向右对折．若点与点重合，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．1012 1．探空气球的气象观测统计资料表明，高度每增加，气温降低大约．现在地面气温是，那么高空的气温大约是 ． 2．若，则的值为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或1 3．有理数a，b，c在数轴的位置如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，实数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B， C， D，若，则下列说法正确的个数有（    ）． ①；②；③；④ ；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．对于任意均不为0的有理数a，b，定义运算“*”；，如，则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 6．如图，数轴上从左到右有A、C、B三点，其中点A、B表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是 ． 7．快车和慢车分别从甲、乙两地相向而行，小时相遇．相遇后，快车继续行驶了小时到达乙地，慢车继续行了千米到达甲地．慢车的速度是 千米/小时． 8．若，则自然数 ． 9．密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．现有破译规则如下：顺时针将依次排成圈，密文中的a用于破译，b是需要破译的次数，当a是奇数时，顺时针数3位得明文；当a是偶数时，逆时针数5位得明文，并将所得明文再次破译，共破译b次得到最终明文．例如：密文，第一次破译得6，再对6进行破译得1，则破译两次后的最终明文是1．现有密文，则对应的最终明文是（   ） A．7 B．5 C．2 D．0 10．有一列数：，，，，，，，，，，这列数的前4755个数的积是 ． 11．用简便方法计算： (1)； (2)． 12．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产量､销量都大幅增加．小海家新购置了一辆新能源汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的用正数表示，不足的用负数表示，刚好的记为0． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)小海家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)小海家原汽油车每行驶需用汽油，汽油价格为6.8元/升，而此辆新能源汽车每行驶耗电量为15千瓦时，平均充电费用为每千瓦时1.1元．小海家换成新能源汽车后，这七天的行驶费用比原来节省多少元？ 13．点、在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和． (1)用“>”或“<”填空：______0，______0； (2)化简：______； (3)若，，、互为相反数，、互为倒数，求的值． 14．计算 (1) (2) .15．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使表示的点1与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点分别表示什么数； 操作三： （3）在数轴上剪下10个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，求折痕处对应的点所表示的数是什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $