第04讲 有理数乘方及混合运算 期考讲义专项 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第04讲 有理数乘方及混合运算 （核心知识+5易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【知识点01】有理数的乘方基础 1. 乘方的定义 求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作：（n为正整数）。 其中：a是底数（相乘的相同因数），n是指数（相同因数的个数），读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 补充规则：一个数可以看作自身的一次方，指数1通常省略不写，如。 2. 乘方符号法则（核心必考） 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂为负，偶次幂为正； 0的任何正整数次幂都是0； 1的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1、偶次幂是1； 任何数的偶次幂都是非负数（），是常考隐含条件。 3. 乘方书写规范 负数作为底数，必须加括号：正确，错误； 分数作为底数，必须加括号：正确，错误。 【知识点02】科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 【知识点03】有理数混合运算规则 1. 运算优先级（黄金顺序） 先算乘方 → 再算乘除 → 最后算加减；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）；同级运算（只有加减/只有乘除）从左到右依次计算。 2. 常用运算技巧 符号优先：所有运算先定符号，再算数值，避免符号出错； 凑整简化：互为相反数、凑整、约分结合运算； 拆分运算：带分数、复杂式子拆分后分步计算。 易错点1：混淆与 核心区别：底数不同，运算逻辑完全不同 ：底数是-a，表示n个(-a)相乘； ：底数是a，表示a的n次方的相反数，负号不参与乘方。 举例对比： ，（奇次幂结果相同，偶次幂结果相反） 易错点2：分数底数漏加括号，运算失误 错误示例：（误将分子单独乘方，并非整体平方） 正确示例： 总结：分数乘方，分子分母要整体乘方，必须加括号界定底数范围。 易错点3：混合运算顺序混乱 常见错误：先算加减后算乘方、同级运算跳步颠倒顺序、括号运算遗漏层级。 错题示例：（错误，先算加法） 正确解法：（先乘方，后加减） 易错点4：特殊数乘方概念混淆 误区：0的任何次幂都是0 → 纠正：0的正整数次幂为0，0的0次幂无意义； 误区：-1的偶次幂是-1 → 纠正：，； 忽略隐含条件：任意有理数的平方一定是非负数，解题可用于判断取值范围。 易错点5：乘除同级运算符号、顺序出错 同级乘除运算必须从左到右计算，不可随意结合，负数过多时容易漏判符号。 示例：，正确结果：。 【题型一】有理数幂的概念理解 【例1】．（25-26七年级上·江苏南京·期中）根据乘方的定义，表示（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】此题考查了乘方的定义，根据乘方的定义，表示n个a相乘． 【详解】解：表示． 故选：B． 【例2】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）根据乘方的定义：______． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】此题重点考查乘方的定义，正确理解乘方的定义是解题的关键． 根据有理数乘方的定义，，于是得到问题的答案． 【详解】解：表示四个相同因数的乘积， ． 故答案为：． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）算式可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解、列代数式 【分析】本题考查列代数式，乘法和乘方的定义，分子是个2相加，等于；分母是个3相乘，等于3的次方，据此求解即可． 【详解】解：∵分子是个2相加，等于；分母是个3相乘，等于3的次方，即， ∴原式． 故选：C． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）中底数是a，指数是b， 则_______． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了有理数的乘方，正确理解乘方是解题的关键． 根据幂的定义确定出与的值，即可求出的值． 【详解】解：∵中，底数是，指数是，中底数是，指数是， ∴，， ∴． 故答案为． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）________（结果用含的式子表示）． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘法及乘方的定义，根据乘方及乘法的定义进行表示即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型二】有理数的乘方运算 【例3】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）若a是负有理数，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算． 根据有理数乘方的符号法则及运算规律逐一分析选项即可． 【详解】解：∵a是负有理数， ∴，． 选项A：任何有理数的平方都是非负数，即，A不成立； 选项B：，，则，B成立； 选项C：若，则，得，与a是负有理数矛盾，C不成立； 选项D：若，则，得，与a是负有理数矛盾，D不成立； 故选：B． 【例4】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了乘方的运算，正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，0的任何正整数次幂都等于0． （1）（2）（3）（4）根据乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1】．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）在，，，，中，是负数的有（  ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】有理数的分类、有理数的乘方运算、正负数的定义 【分析】本题主要考查了负数的定义、平方运算的性质及绝对值的性质，熟练掌握负数是小于的数是解题的关键．逐一判断各数是否小于，既不是正数也不是负数． 【详解】解：，是负数； 不是负数； ，是负数； ，不是负数； ，是负数； 故负数有个． 故选：． 【变式2】．计算的结果为______． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）回答下列问题： (1)填空：① ， ； ② ， ． (2)观察（1）结果可得，当n为正整数时， ． (3)计算：． 【答案】(1)①，；②， (2) (3) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，理解题意，归纳总结规律是解本题的关键． （1）①第1个先计算括号内的运算，再计算乘方运算，第2个先计算乘方运算，再计算乘法运算； ②第1个先计算括号内的运算，再计算乘方运算，第2个先计算乘方运算，再计算乘法运算； （2）由（1）归纳规律即可； （3）由（2）中规律进行简便运算即可． 【详解】（1）解：①，； ②，． 故答案为：①，；②，． （2）解：观察（1）可得，当n为正整数时，， 故答案为： （3）解： ． 【题型三】有理数乘方逆运算 【例5】．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 【例6】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）填空：（______） 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数乘方的运算是解题的关键． 根据有理数乘方的运算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】．，由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 【变式2】．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）已知 ，那么______． 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】．（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【知识点】有理数的乘方运算、有理数乘方逆运算 【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值； （2）根据（1）的结果即可得到答案； （3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ； ②， ； （2）； （3），理由如下： ； （4） ． 【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键． 【题型四】乘方运算的符号规律 【例7】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算 【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】A、，，不相等，故A选项错误； B、，，不相等，故B选项错误； C、，，相等，故C选项正确； D、，，不相等，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】此题考查有理数的乘方，解题的关键在于掌握运算法则． 【变式1】．这组数字的第7个数是__________． 【答案】 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】根据题意，先确定数的符号：根据数的属性与序号的关系确定，再确定分子是常数1，确定分母的规律，解答即可． 本题考查了有理数乘方的规律探索，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第1个数为：，第2个数为：， 第3个数为：，第4个数为：， 故第n个数为， 当时，第7个数是． 故答案为：． 【变式2】．（23-24七年级上·江苏·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 【变式3】．已知，，，…，． (1)填空：_____，是一个_____（填“正”或“负”）数． (2)计算：． (3)当时，的值为多少？ 【答案】(1)，正 (2) (3) 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】（1）根据有理数的乘方，偶数个负数相乘的积是正数得出答案即可； （2）根据乘方的意义，可得，，根据有理数的加法，可得答案； （3）根据乘方的意义，可得，，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：（1），是一个正数； （2）； （3） ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，掌握乘方的意义，判定负数乘方的计算结果是解决问题的关键. 【题型五】乘方的应用 【例8】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【知识点】乘方的应用 【分析】根据题意明确第n次对折后的厚度为，根据，求出n的最小整数值即可． 【详解】解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 【例9】．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】据题意，每天截取后剩余长度是前一天剩余长度的一半，逐天计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意， 第1天截取后剩余长度为：， 第2天截取后剩余长度为：， 第3天截取后剩余长度为：， 第4天截取后剩余长度为：， 第5天截取后剩余长度为：， 故第5天截取后木棍剩余长度为． 【例10】．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）如图是一卷绕紧的纸，纸卷直径为14厘米，中间有一个直径为4厘米的卷轴，已知纸厚厘米，这卷纸全部完全展开后长度大约是多少米？（数值精确到小数点后一位，取） 【答案】这卷纸展开后大约是35.3米 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据等面积法列算式进行求解即可． 【详解】解：利用体积不变可得：（厘米）， 厘米米米， 答：这卷纸展开后大约是35.3米． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合到第几次后可拉出根面条（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】乘方的应用、数字类规律探索 【分析】本题考查了规律探索，有理数的乘方，掌握相关知识是解题的关键．第一次捏合后可拉出2根面条，第二次捏合后可拉出根面条，第三次捏合后可拉出根面条，依此类推找到规律，据此解决即可． 【详解】解：根据题意，第一次捏合后可拉出2根面条， 第二次捏合后可拉出根面条， 第三次捏合后可拉出根面条， 第次捏合后可拉出根面条， 设第次后可拉出根面条， 则， 解得． 故选：C． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）某种细菌每分钟可由1个分裂成2个，将1个细菌放在培养瓶中经过64分钟就能分裂满一瓶．若将4个这种细菌放入同一个培养瓶中，分裂满一瓶的时间是_______分钟． 【答案】62 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查有理数的乘方应用，数字类规律探究．根据细菌分裂的规律以及有理数乘方的计算方法分别进行计算即可． 【详解】解：将1个细菌放在培养瓶中，第1分钟，细菌的个数为， 第2分钟，细菌的个数为， 第3分钟，细菌的个数为， 第4分钟，细菌的个数为， ……； ∴第n分钟，细菌的个数为； ∴第64分钟，细菌的个数为； 将4个细菌放在培养瓶中， 第1分钟，细菌的个数为， 第2分钟，细菌的个数为， 第3分钟，细菌的个数为， 第4分钟，细菌的个数为， ……； ∴第n分钟，细菌的个数为， ∴第62分钟，细菌的个数为； 故答案为：62． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏·期中）我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数要用10个数码：．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：．如二进制中，，相当于十进制中的7；二进制中，，相当于十进制中的27． 请你计算： (1)二进制中的10111相当于十进制中的哪个数？ (2)二进制中的什么数相当于十进制中的15？ 【答案】(1)23 (2)1111 【知识点】乘方的应用 【分析】（1）根据题意得出求出即可； （2）根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：，即二进制中的相当于十进制中的． （2）解：,即二进制中的相当于十进制中的． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，主要考查学生的理解能力，阅读能力和计算能力，是一道较好的综合题． 【题型六】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例11】．（2026·江苏无锡·一模）2025年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到23.6万亿美元．用科学记数法表示23.6万亿是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数，先将23.6万亿转化为数字形式，再根据规则确定和的值即可． 【详解】解：23.6万亿． 【例12】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）数据“”用科学记数法表示应是_____． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】绝对值大于的数用科学记数法表示的一般形式为，其中，为整数，的值等于原数的整数位数减. 【详解】解：. 【例13】．（2025七年级上·江苏·专题练习）用科学记数法表示下列各数： (1)80700000； (2)800000000000； (3)； (4)120万． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：120万． 【变式1】．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）中国信息通信研究院测算，2020~2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8000000亿元，数据8000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【详解】解：数据8000000用科学记数法表示为． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）中国邮政定于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为______． 【答案】2.668×107 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【详解】解：． 【变式3】．（24-25七年级·江苏盐城·阶段检测）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示） (1)经测量，100 张面值为 100 元的新版人民币大约厚厘米，如果将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 【答案】(1)厘米 (2)天 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、乘方的应用 【分析】本题考查了科学记数法及其计算，正确表示各数是解题的关键； （1）先求出10亿元人民币的总张数，再计算高度； （2）用10亿元人民币的张数除以1天点钞机点的张数列式求解即可． 【详解】（1）解：10 亿， 所以10亿元面值为100元的新版人民币的总张数为， （厘米）； 答：将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有厘米高． （2）解：； 答：点钞机大约要点天． 【题型七】将用科学记数法表示的数变回原数 【例14】．根据国家卫健委公布的数据，截至2021年12月5日，全国累计报告接种新冠病毒疫苗2.553×109次，则数据2.553×109表示的原数是（    ） A．25530000 B．255300000 C．2553000000 D．25530000000 【答案】C 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：2.553×109=2553000000． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【变式1】．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知：是19位数，那么n的值为_______． 【答案】18 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了将用科学记数法表示的数还原，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．据此即可解答． 【详解】解：∵是19位数， ∴， 故答案为：18． 【变式2】．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）一个整数6250…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为______． 【答案】7 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】把用科学记数法表示的大数还原，即可得出结果. 【详解】用科学记数法表示为的原数为6250000000，所以原数中“0”的个数为7， 故答案为：7 【点睛】此题考查了科学记数法，把用科学记数法表示的大数还原是解答此题的关键. 【变式3】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题主要考查了把科学记数法表示的数变为原数，熟知科学记数法是解题的关键． （1）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可； （2）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可； （3）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可； （4）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型八】程序流程图与有理数计算 【例15】．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）按如图所示的运算程序，若输入的值是，则输出的结果是（     ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的四则运算； 根据运算程序，直接代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴输出的结果是， 故选：D． 【例16】．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）如图是一个数值运算程序框图，若输入数，则输出的结果是___________． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查与程序框图有关的有理数混合运算，看懂程序框图，按照框图流程进行有理数运算是解决问题的关键． 由数值运算程序框图的运算规则，将代入列出式子计算即可得到答案． 【详解】解：根据数值运算程序框图的运算步骤，当输入数时，得到， 输出的结果是， 故答案为：． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图是一个程序图，若输入的，则输出的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，先根据已知条件中的，按照程序图的步骤进行计算，直到满足输出条件即可． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴最后输出的结果是15， 故选：C． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的为2，则第1次输出的结果是0，第2次输出的结果是，第3次输出的结果是3，…，以此类推，第次输出的结果是___________． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：设输出的数为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得每6次输出的结果循环一次， 又，与的数字一致， ∴2026次输出结果为， 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）【阅读材料】 在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门禁、密码认证等．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘上的字母顺序排列，如，这个字母依次对应，这个自然数（见下表）．设明文的任一字母所对应的自然数为，通过某种规定的运算程序把转化为对应的自然数，对应的字母为密文． 运算程序为： 例如：将明文转换成密文：（被除余）→→，即的密文为；将密文转换成明文，，即的明文为． 【解决问题】 （）按照以上程序加密次，明文对应的密文为_______；明文对应的密文为______； （）按照以上程序加密次的密文为“新城加油”的首字母“”，则其对应的明文为_______； （）加密可以重复进行，按照以上程序加密次，明文对应的密文为______． 【答案】（）；；（）；（） 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】（）根据将明文转换成密文的方法计算即可求解； （）根据将密文转换成明文的方法计算即可求解； （）根据将明文转换成密文的方法计算出前几项，找到规律，根据规律即可求解； 本题考查了有理数的混合运算的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）明文对应的密文为(被整除)， (被除余)， (被除余)， (被整除)， (被除余)， ∴明文对应的密文为；明文对应的密文为， 故答案为：；； （）， ， ， ， ∴“”对应的明文为， 故答案为：； （）(被除余)， (被整除)， (被除余)， (被除余)， (被整除)， (被除余)， (被除余)， ， ∴密文以为一组重复出现， ∵， ∴加密次，明文对应的密文为， 故答案为：． 【题型九】算“24”点 【例17】．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【知识点】算“24”点 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏·期中）不改变数的顺序，请用“”“”运算符号把数，，，组成一个算式：__________，使其运算结果为． 【答案】 【知识点】算“24”点 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，通过为数字之间的运算符号选择减号或加号，调整每个数字在算式中的实际符号，使代数和为24． 【详解】解：数字顺序固定为，，，． 在6与之间插入减号 算式为； 在与之间插入加号， 算式为； 与之间插入减号，算式为． 故答案为：． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）有4张写着不同数字的卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式_______． 【答案】 【知识点】算“24”点 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是__________； (2)取4张卡片，用学过的运算方法，写出一个运算式使结果为24． 【答案】(1) (2)(答案不唯一) 【知识点】多个有理数的乘法运算、算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． （1）根据3张卡片上数字乘积最小的数就是找一个负数和两正数且三数的绝对值较大的特征求解即可； （2）用加减乘除运算，只要答数是24即可． 【详解】（1）解：从中抽出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是： 故答案为：； （2）解：由题意可得(答案不唯一). 【题型十】含乘方的有理数混合运算 【例18】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）下列四个算式中，值与的值最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．根据有理数混合运算的运算法则计算判断即可． 【详解】解： ， 接近， 非常接近， 的值最接近的是， 故选：C 【例19】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）_______ ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 先算乘方，再算乘法，最后算加法即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【例20】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)2 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）有一列数，任意相邻的三个数中，第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差．例如三个数依次为m、n、p，则．若这列数为，a，，b，…，则第6个数为（　　） A．114 B．128 C．56 D．42 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据题目给出的数列规则，先通过已知的前三个数求出a的值，再依次求出第四、第五、第六个数，利用相邻三个数的关系逐步推导即可． 【详解】解：∵数列中任意相邻三个数满足第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差， 且前三个数为，a， ∴， 即 解得 由a、、b的关系得： ∴第五个数为 则第六个数为， ∴第6个数为． 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算：___________． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】利用幂的运算法则计算即可. 【详解】解：原式 ． 【变式3】．（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）先算乘方与括号内运算，再算除法，得出结果； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 1. 两个核心定义 乘方是特殊的乘法运算（相同因数连乘），结果叫幂；分清底数、指数，牢记书写括号规则（负数、分数底数必加括号）。 2. 一条符号铁律 正数幂恒正，负数幂“奇负偶正”，0的正整数次幂为0，偶次幂非负是高频考点。 3. 一套运算顺序 先乘方、再乘除、后加减，括号优先、从左到右，先定符号、再算数值是解题关键。 4. 避坑核心口诀 有无括号定底数，奇偶指数定符号；乘方优先不跳步，同级运算依次算；分数负数加括号，特殊数值记周全。 一、单选题 1．截至2021年12月29日，31个省（自治区，直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过281000万次，用科学记数法表示281000是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“的偶次幂为、奇次幂为”的性质，分别计算后求和，结果为． 【详解】解：∵是偶数，负数的偶次幂为正数， ∴， ∵是奇数，负数的奇次幂为负数， ∴， ∴原式． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，有理数加法运算，有理数的减法运算，有理数四则混合运算，解题关键是掌握运算顺序与相应的运算法则． 根据有理数的减法法则计算，可判断A； 先计算乘法，再计算加法，即可判断B； 根据有理数的加法法则计算，即可判断C； 先乘方，再乘除，后加减，即可判断D． 【详解】解∶A．，故A错误，该选项不符合题意； B．，故B错误，该选项不符合题意； C．，故C正确，该选项符合题意； D．，故D错误，该选项不符合题意． 故选：C． 4．如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是（  ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，关键是根据输入值的类型(整数或分数)选择对应的运算，再判断运算结果是否为奇数，若不是则循环执行，直到结果为奇数时输出． 【详解】解：输入，是整数，执行运算， 是分数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； 是分数，执行运算， 是整数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； ∵是整数，执行运算， 是整数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； 是整数，执行运算， 是奇数，满足“结果为奇数”的条件，输出结果； 故选：A． 5．已知，，且，则的值等于（    ） A．或11 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是绝对值的定义、有理数的加法，根据，得，或，．进行分类讨论是解题的关键．先由绝对值的性质求得、的值，再根据，得，或，．然后分类讨论，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵， ∴，或，． 当，时，， 当，时．， 故选． 6．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键． 先把拆成，再把和合并为，最后算出结果． 【详解】解：原式 ， ． 故选：． 8．一条数轴上有从左至右5个点、、、、，其中点表示的数为4，点表示的数为，且，则数对应的点所在线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，由题意得，推出，进而得点表示的数为；即可求解； 【详解】解：∵点表示的数为4，点表示的数为， ∴； ∵， ∴； ∴点表示的数为； ∵， ∴数对应的点所在线段是； 故选：A 9．若的个位数字是3，则a的值可能是（    ） A．13 B．24 C．35 D．37 【答案】D 【分析】本题主要考查了尾数特征问题，熟练掌握通过找规律的方法确定幂次的个位数字是解题的关键．先找出个位数字的规律，再根据结果的个位数字是3，确定结果的个位数字，最后据此找出可能的值． 【详解】解：的个位数字是4， 的个位数字是6（）， 的个位数字是4（）， 的个位数字是6（）， 可以发现当n为奇数时，个位数字是4；当n为偶数时，个位数字是6． ∴个位数字是6． 结果的个位数字是3， ∴结果的个位数字是7． ∵个位数字是3（的幂次个位数字以3、9、7、1循环，，余数为1时个位是3）， 个位数字是4（4的幂次个位数字以4、6循环，，余数为1时个位是4）， 个位数字是5（5的任何正整数次幂个位数字都是5）， 个位数字是7（7的幂次个位数字以7、9、3、1循环，，余数为1时个位是7）． 的值可能是37． 故选：D． 二、填空题 10．计算： ____________． 【答案】 【详解】解：原式． 11．玩“24点”游戏时，小明抽到“”四张牌，请写出运算结果为24的算式：___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意结合有理数的混合运算法则写出式子即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为（答案不唯一）． 12．如图是一个“数值转换机”的示意图，若输入的数是，则输出数是________． 【答案】 【分析】依据程序图中的程序，利用有理数的混合运算的法则解答即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，正确理解程序图中的程序并依据程序列式计算是解题的关键． 【详解】解：若输入的数是，则， 所以， 此时输入的数是，则， 则， 所以输出， 故答案为：． 13．2025年1月上映的电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年7月22日总票房亿元，请将亿元用科学记数法表示为______元． 【答案】 【分析】科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定． 【详解】解：亿元元， 则． 14．已知是一个正整数，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查了乘方运算，先结合是一个正整数，得出是一个奇数，根据负数的奇数次幂是负数，则，即可作答． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个偶数，是一个奇数， ∵负数的奇数次幂是负数， 即， 故答案为： 15．有一面积为1平方米的正方形纸，第一次剪掉一半，第二次剪掉剩下的一半，如此下去，第6次剪完后，余下的纸面积是______平方米；剪下去的纸面积共是______平方米． 【答案】 【分析】此题考查图形的变化规律．根据题意依次进行计算即可求解． 【详解】解：有一面积为1平方米的正方形纸板，第一次剪掉一半，剩下的纸的面积是； 第二次剪掉剩下的一半，余下的纸的面积是； 第三次剪掉剩下的一半，余下的纸的面积是； 第6次剪完后，剩下的纸的面积是； 剪下去的纸面积共是； 故答案为：，． 16．为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，利用错位相消法解题． 仿照题干中的方法，设和为S，乘以5后相减，消去中间项，即可得到结果． 【详解】解：设， 则， 两式相减得：， 即， 所以， 故答案为：． 三、解答题 17．比较用科学记数法表示的两个数的大小： (1)与． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是比较有理数的大小和科学记数法的应用，掌握此类问题的比较方法是解题的关键． （1）将和化成原数比较即可判断出； （2）根据即可判断出． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴； （2）解：∵， ， ∴． 18．请判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)负 (2)负 (3)负 (4)正 【分析】题目主要考查有理数的乘方运算，判断计算结果的正负，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）（2）（3）（4）分别根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （2）解：是的相反数， 因为是正数，所以其相反数为负数， 故的结果为负； （3）解：∵的指数是7，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （4）解：∵的指数是8，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正． 19．将下列有理数填入适当的集合内：，5，，，，，0，，8，． 正有理数集合：{____________…}； 整数集合：{____________…}； 负分数集合：{____________…}； 非负整数集合：{____________…}． 【答案】5，，，8；，5，0，，8；，，；5，0，8 【分析】考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．按照有理数的分类填写即可． 【详解】解：正有理数集合：，，，； 整数集合：，5，0，，； 负分数集合：，，； 非负整数集合：，0，． 故答案为：5，，，8；，5，0，，8；，，；5，0，8． 20．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．阅读计算： 阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4… 回答下列三个问题： (1)验证：（4×0.25）100＝　　；4100×0.25100＝　　． (2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝　　；（ ）n＝　　． (3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014． 【答案】(1)1，1； (2)ab，anbn，abc，anbncn； (3)﹣0.125 【分析】（1）先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法． （2）根据有理数乘方的定义求出即可； （3）根据根据阅读材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：（4×0.25）100＝1100＝1； 4100×0.25100＝1， 故答案为：1，1． （2）解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn， 故答案为：ab，anbn，abc，anbncn． （3）解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125） ＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125） ＝（﹣1）2014×（﹣0.125） ＝1×（﹣0.125） ＝﹣0.125 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，主要考查学生的计算能力，理解阅读材料是解题的关键． 22．泰泰有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：用学过的“，，，”用四张卡片运算，使结果为24．请写出2个运算式：①________②________ 【答案】(1)30 (2) (3)，． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． （1）根据乘积最大的就是找符号相同且绝对值最大的数，即可求解； （2）根据2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，应选择被除数为绝对值尽可能大、除数绝对值尽可能小； （3）用加减乘除只要得数是24即可． 【详解】（1）解：由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是：， 故答案为：30； （2）解：由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，最小值是：， 故答案为：； （3）解：由题意可得，① ② 故答案为：，． 23．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小亮输入1，3这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)当小亮输入数时，求出输出的结果； (3)若小亮操作时输出结果是2，请你判断：小亮输入的正整数有可能是（   ）． A．　B．　C．　D． 【答案】(1)1， (2)0 (3)A 【分析】本题考查程序流程图（数值转换机）的理解与应用，有理数的运算，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据流程图，分别将输入值1和3按照流程计算即可； （2）将输入值按照流程图逐步计算； （2）设输入正整数为，减5至不大于2后的数记为，则之后取相反数并判断：由题意，若，则输出为，若，则输出为，根据输出为2，分类讨论并结合选项判断即可． 【详解】（1）解：当输入为1时， ，取相反数得， 非正，取绝对值得1， 故输出为1； 当输入为3时，， 执行， ，取相反数得2， 2为正，取倒数得， 故输出为． 故答案为：1， ； （2）解：当输入为时，， ， ， ， 取相反数得0， 0非正，取绝对值得0， 故输出为0； （3）解：设输入正整数为，减5至不大于2后的数记为，则之后取相反数并判断： 若，由题意则输出为， 若，由题意则输出为． 由题意输出为2： 若，则，即经过数次减5后等于2，故（为非负整数）． 若，则，解得，不是整数，舍去． ∴输入满足， 选项中的数除以5的余数分别为： ， ， ， ， 只有满足条件． 故选：A． 24．桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下． (1)如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过______次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． (2)现在将问题中的8个茶杯改为7个，能否经过若干次翻转每次4个把它们全部翻成杯口朝下？直接写出结果：______填“能”或“不能” (3)请利用有理数运算说明得到（2）中结论的理由． 【答案】(1)3 (2)不能 (3)见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的实际应用，理解题意，设置合理的运算法则是解问题的关键． （1）用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，找出最少翻转次数能使杯口全部朝下的情况即可得答案； （2）通过设定杯口朝上为、朝下为，分析初始乘积、每次翻转的乘积变化及全部朝下的乘积，判断是否能实现转换． （3）杯口朝上和朝下用和，则初始状态为：，结合每改变一个就相当于乘以，而每次改变4个，即乘以4个，其乘积仍为，从而可得答案． 【详解】（1）六只杯子的初始状态是全部杯口朝上， 用“”、“”分别表示杯口“朝上”、“朝下”， 所以初始状态为：、、、、、， 第一次翻转前四个杯子，状态为：、、、、、， 第二次翻转第2、3、4、5个杯子，状态为：、、、、、， 第三次翻转第2、3、4、6个杯子，状态为：、、、、、， 故答案为：3； （2）现在将问题中的8只茶杯改为7只，不能经过若干次翻转每次4个把它们全部翻成杯口朝下， 理由：用“”、“”分别表示杯口“朝上”、“朝下”， 所以初始状态为：、、、、、、， 因为开始是7杯口全部朝上，即7个，其乘积为， 每改变一个就相当于乘以， 而每次改变4个， 即乘以4个，其乘积仍为， 7个杯口朝下，即7个， 其乘积为，由于， 故不可能把它们全部翻成杯口朝下， 故答案为：不能； （3）用“”、“”分别表示杯口“朝上”、“朝下”， 所以初始状态为：、、、、、、， 每改变一个就相当于乘以，而每次改变4个， 则，即乘积始终不变， 7个杯口朝下，即7个，其乘积为， 由于， 故不可能把它们全部翻成杯口朝下. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 有理数乘方及混合运算 （核心知识+5易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【知识点01】有理数的乘方基础 1. 乘方的定义 求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作：（n为正整数）。 其中：a是底数（相乘的相同因数），n是指数（相同因数的个数），读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 补充规则：一个数可以看作自身的一次方，指数1通常省略不写，如。 2. 乘方符号法则（核心必考） 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂为负，偶次幂为正； 0的任何正整数次幂都是0； 1的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1、偶次幂是1； 任何数的偶次幂都是非负数（），是常考隐含条件。 3. 乘方书写规范 负数作为底数，必须加括号：正确，错误； 分数作为底数，必须加括号：正确，错误。 【知识点02】科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 【知识点03】有理数混合运算规则 1. 运算优先级（黄金顺序） 先算乘方 → 再算乘除 → 最后算加减；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）；同级运算（只有加减/只有乘除）从左到右依次计算。 2. 常用运算技巧 符号优先：所有运算先定符号，再算数值，避免符号出错； 凑整简化：互为相反数、凑整、约分结合运算； 拆分运算：带分数、复杂式子拆分后分步计算。 易错点1：混淆与 核心区别：底数不同，运算逻辑完全不同 ：底数是-a，表示n个(-a)相乘； ：底数是a，表示a的n次方的相反数，负号不参与乘方。 举例对比： ，（奇次幂结果相同，偶次幂结果相反） 易错点2：分数底数漏加括号，运算失误 错误示例：（误将分子单独乘方，并非整体平方） 正确示例： 总结：分数乘方，分子分母要整体乘方，必须加括号界定底数范围。 易错点3：混合运算顺序混乱 常见错误：先算加减后算乘方、同级运算跳步颠倒顺序、括号运算遗漏层级。 错题示例：（错误，先算加法） 正确解法：（先乘方，后加减） 易错点4：特殊数乘方概念混淆 误区：0的任何次幂都是0 → 纠正：0的正整数次幂为0，0的0次幂无意义； 误区：-1的偶次幂是-1 → 纠正：，； 忽略隐含条件：任意有理数的平方一定是非负数，解题可用于判断取值范围。 易错点5：乘除同级运算符号、顺序出错 同级乘除运算必须从左到右计算，不可随意结合，负数过多时容易漏判符号。 示例：，正确结果：。 【题型一】有理数幂的概念理解 【例1】．（25-26七年级上·江苏南京·期中）根据乘方的定义，表示（  ） A． B． C． D． 【例2】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）根据乘方的定义：______． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）算式可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）中底数是a，指数是b， 则_______． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）________（结果用含的式子表示）． 【题型二】有理数的乘方运算 【例3】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）若a是负有理数，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【例4】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）在，，，，中，是负数的有（  ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】．计算的结果为______． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）回答下列问题： (1)填空：① ， ； ② ， ． (2)观察（1）结果可得，当n为正整数时， ． (3)计算：． 【题型三】有理数乘方逆运算 【例5】．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【例6】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）填空：（______） 【变式1】．，由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【变式2】．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）已知 ，那么______． 【变式3】．（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【题型四】乘方运算的符号规律 【例7】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】．这组数字的第7个数是__________． 【变式2】．（23-24七年级上·江苏·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式3】．已知，，，…，． (1)填空：_____，是一个_____（填“正”或“负”）数． (2)计算：． (3)当时，的值为多少？ 【题型五】乘方的应用 【例8】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【例9】．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 【例10】．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）如图是一卷绕紧的纸，纸卷直径为14厘米，中间有一个直径为4厘米的卷轴，已知纸厚厘米，这卷纸全部完全展开后长度大约是多少米？（数值精确到小数点后一位，取） 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合到第几次后可拉出根面条（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）某种细菌每分钟可由1个分裂成2个，将1个细菌放在培养瓶中经过64分钟就能分裂满一瓶．若将4个这种细菌放入同一个培养瓶中，分裂满一瓶的时间是_______分钟． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏·期中）我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数要用10个数码：．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：．如二进制中，，相当于十进制中的7；二进制中，，相当于十进制中的27． 请你计算： (1)二进制中的10111相当于十进制中的哪个数？ (2)二进制中的什么数相当于十进制中的15？ 【题型六】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例11】．（2026·江苏无锡·一模）2025年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到23.6万亿美元．用科学记数法表示23.6万亿是（　　） A． B． C． D． 【例12】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）数据“”用科学记数法表示应是_____． 【例13】．（2025七年级上·江苏·专题练习）用科学记数法表示下列各数： (1)80700000； (2)800000000000； (3)； (4)120万． 【变式1】．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）中国信息通信研究院测算，2020~2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8000000亿元，数据8000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）中国邮政定于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为______． 【变式3】．（24-25七年级·江苏盐城·阶段检测）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示） (1)经测量，100 张面值为 100 元的新版人民币大约厚厘米，如果将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 【题型七】将用科学记数法表示的数变回原数 【例14】．根据国家卫健委公布的数据，截至2021年12月5日，全国累计报告接种新冠病毒疫苗2.553×109次，则数据2.553×109表示的原数是（    ） A．25530000 B．255300000 C．2553000000 D．25530000000 【变式1】．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知：是19位数，那么n的值为_______． 【变式2】．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）一个整数6250…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为______． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数： (1)； (2)； (3)． (4) 【题型八】程序流程图与有理数计算 【例15】．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）按如图所示的运算程序，若输入的值是，则输出的结果是（     ） A． B．3 C． D． 【例16】．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）如图是一个数值运算程序框图，若输入数，则输出的结果是___________． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图是一个程序图，若输入的，则输出的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的为2，则第1次输出的结果是0，第2次输出的结果是，第3次输出的结果是3，…，以此类推，第次输出的结果是___________． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）【阅读材料】 在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门禁、密码认证等．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘上的字母顺序排列，如，这个字母依次对应，这个自然数（见下表）．设明文的任一字母所对应的自然数为，通过某种规定的运算程序把转化为对应的自然数，对应的字母为密文． 运算程序为： 例如：将明文转换成密文：（被除余）→→，即的密文为；将密文转换成明文，，即的明文为． 【解决问题】 （）按照以上程序加密次，明文对应的密文为_______；明文对应的密文为______； （）按照以上程序加密次的密文为“新城加油”的首字母“”，则其对应的明文为_______； （）加密可以重复进行，按照以上程序加密次，明文对应的密文为______． 【题型九】算“24”点 【例17】．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式1】．（25-26七年级上·江苏·期中）不改变数的顺序，请用“”“”运算符号把数，，，组成一个算式：__________，使其运算结果为． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）有4张写着不同数字的卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式_______． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是__________； (2)取4张卡片，用学过的运算方法，写出一个运算式使结果为24． 【题型十】含乘方的有理数混合运算 【例18】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）下列四个算式中，值与的值最接近的是（　　） A． B． C． D． 【例19】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）_______ ． 【例20】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）计算： (1) (2) 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）有一列数，任意相邻的三个数中，第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差．例如三个数依次为m、n、p，则．若这列数为，a，，b，…，则第6个数为（　　） A．114 B．128 C．56 D．42 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算：___________． 【变式3】．（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)． 1. 两个核心定义 乘方是特殊的乘法运算（相同因数连乘），结果叫幂；分清底数、指数，牢记书写括号规则（负数、分数底数必加括号）。 2. 一条符号铁律 正数幂恒正，负数幂“奇负偶正”，0的正整数次幂为0，偶次幂非负是高频考点。 3. 一套运算顺序 先乘方、再乘除、后加减，括号优先、从左到右，先定符号、再算数值是解题关键。 4. 避坑核心口诀 有无括号定底数，奇偶指数定符号；乘方优先不跳步，同级运算依次算；分数负数加括号，特殊数值记周全。 一、单选题 1．截至2021年12月29日，31个省（自治区，直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过281000万次，用科学记数法表示281000是（    ） A． B． C． D． 2．的值是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是（  ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．已知，，且，则的值等于（    ） A．或11 B．或 C． D． 6．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 8．一条数轴上有从左至右5个点、、、、，其中点表示的数为4，点表示的数为，且，则数对应的点所在线段是（   ） A． B． C． D． 9．若的个位数字是3，则a的值可能是（    ） A．13 B．24 C．35 D．37 二、填空题 10．计算： ____________． 11．玩“24点”游戏时，小明抽到“”四张牌，请写出运算结果为24的算式：___________． 12．如图是一个“数值转换机”的示意图，若输入的数是，则输出数是________． 13．2025年1月上映的电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年7月22日总票房亿元，请将亿元用科学记数法表示为______元． 14．已知是一个正整数，那么__________． 15．有一面积为1平方米的正方形纸，第一次剪掉一半，第二次剪掉剩下的一半，如此下去，第6次剪完后，余下的纸面积是______平方米；剪下去的纸面积共是______平方米． 16．为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算______________． 三、解答题 17．比较用科学记数法表示的两个数的大小： (1)与． (2)与． 18．请判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．将下列有理数填入适当的集合内：，5，，，，，0，，8，． 正有理数集合：{____________…}； 整数集合：{____________…}； 负分数集合：{____________…}； 非负整数集合：{____________…}． 20．计算： (1) (2) (3) (4) 21．阅读计算： 阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4… 回答下列三个问题： (1)验证：（4×0.25）100＝　　；4100×0.25100＝　　． (2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝　　；（ ）n＝　　． (3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014． 22．泰泰有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：用学过的“，，，”用四张卡片运算，使结果为24．请写出2个运算式：①________②________ 23．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小亮输入1，3这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)当小亮输入数时，求出输出的结果； (3)若小亮操作时输出结果是2，请你判断：小亮输入的正整数有可能是（   ）． A．　B．　C．　D． 24．桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下． (1)如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过______次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． (2)现在将问题中的8个茶杯改为7个，能否经过若干次翻转每次4个把它们全部翻成杯口朝下？直接写出结果：______填“能”或“不能” (3)请利用有理数运算说明得到（2）中结论的理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $