【暑假预习】第07讲 有理数的混合运算 2026--2027学年苏科版数学七年级上册暑假衔接讲练

第07讲 有理数的混和运算 知识点一：有理数的混合运算 1．先乘方，再乘除，最后加减。 2．同级运算，从左到右的顺序进行。 3．如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 （1）转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． （2）凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． （3）分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． （4）巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 题型一：有理数的混合运算 【典例精讲】（2026春•南岗区校级期中）计算题： （1）； （2）． 【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可； （2）根据有理数混合运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式 ＝18﹣10 ＝8． （2）原式 ． 【变式训练1】（2026春•南岗区校级期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把除法化为乘法，再运算乘法，最后运算减法，即可作答． （2）先运算括号内，再运算乘除，即可作答． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝1． 【变式训练2】（2025秋•仁化县期末）计算： （1）（﹣7）﹣（+5）+（﹣4）﹣（﹣10）； （2）﹣（3﹣5）×6÷（﹣1）2025． 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先算乘方和括号内减法，再计算乘除即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣7﹣5﹣4+10 ＝﹣16+10 ＝﹣6； （2）原式＝﹣（﹣2）×6÷（﹣1） ＝2×6÷（﹣1） ＝12÷（﹣1） ＝﹣12． 题型二：含乘方的有理数的混合运算 【典例精讲】（2025秋•江苏期末）计算： （1）9﹣（﹣3）+（﹣7）﹣5； （2）． 【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可； （2）根据实数的运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝9+3﹣7﹣5 ＝9+3﹣（7+5） ＝12﹣12 ＝0； （2）原式 ＝﹣1+（﹣1）+4 ＝2． 【变式训练1】（2025秋•京山市月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）原式先计算乘方与绝对值运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果； （2）原式先运用乘法分配律进行计算，再计算加减运算即可得到结果． 【解答】解：（1） ＝﹣96﹣1 ＝﹣97； （2） ＝﹣1﹣（16﹣18+4） ＝﹣1﹣2 ＝﹣3． 【变式训练2】（2026•天山区校级开学）计算： （1）20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）原式先计算乘除法，再计算加减法即可得到结果； （3）原式先将除法转换为乘法，再运用乘法分配律进行计算即可； （4）原式先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后进行加减运算即可． 【解答】解：（1）原式＝20+（﹣14）+18+（﹣13） ＝11； （2）原式＝﹣6+16 ＝10； （3）原式 ＝18﹣4+15 ＝29； （4）原式 ＝﹣1﹣6﹣3 ＝﹣10． 题型三：错解复原问题 【典例精讲】（2026•沧州二模）复习课上，老师将关于“计算：”的两个错误解题过程展示如下． 解法一 解：原式第一步 ＝（﹣16）÷（﹣1）第二步 ＝16第三步 解法二 解：原式第一步 ＝﹣64﹣4第二步 ＝﹣68第三步 （1）分别写出解法一，解法二的解答过程中是从第几步开始出现错误的； （2）请把正确的解题过程写出来． 【分析】（1）按照有理数四则混合运算法则回答即可； （2）按照有理数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【解答】解：（1）根据题意可知，解法一在第二步计算乘除混合运算时出现错误，应按照从左到右顺序依次计算； 解法二在第一步计算含有括号时出现错误，应该先计算括号里面的； （2）原式 ＝（﹣16）×（﹣12）×12 ＝2304． 【变式训练1】（2025秋•浏阳市期末）错题是最好的素材，识错和辨错能有效检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．请你仔细阅读下列计算过程并完成相应的任务． 计算：． 解：原式第一步 ＝（﹣15）÷1第二步 ＝﹣15．第三步 任务： （1）上面的解题过程中，第　一　 步开始就出现了错误，错误的原因是　较小的数减去较大的数，差是负数，而解答中的结果写成正的了　 ； （2）把正确的解题过程写出来． 【分析】（1）根据题目中的解答过程可知，第一步开始出现错误，错误的原因是较小的数减去较大的数，差是负数，而解答中的结果写成正的了； （2）先算括号内的式子，再将除法转化为乘法，然后计算乘法即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 解题过程中，第一步开始出现错误，错误的原因是较小的数减去较大的数，差是负数，而解答中的结果写成正的了， 故答案为：一；较小的数减去较大的数，差是负数，而解答中的结果写成正的了； （2） ＝（﹣15）÷（）×6 ＝15×6×6 ＝540 【变式训练2】（2026•丛台区校级二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ① ＝﹣15+（﹣4）…② ＝﹣19…③ （1）在上面的计算过程中，开始出错的步骤是　②　 （填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． （2）为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是　+　 ．（填“+”或“﹣”） 【分析】（1）根据运算过程判断即可；根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）把看作是两个负数的和，可得答案． 【解答】解：（1）在上面的计算过程中，开始出错的步骤是②； 原式 ＝﹣15+（﹣5） ＝﹣20； （2）， 故方框内应填上“+”． 故答案为：+． 题型四：程序图问题 【典例精讲】（2025秋•建平县期末）如图是一个有理数混合运算的程序流程图，当输入的数为﹣2，输出的结果是（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】根据流程图可得第一次计算出的结果，根据有理数的计算法则求出的结果，若结果大于1，则输出结果，若结果小于或等于1，则把计算的结果作为新的数输入，如此往复，直至能输出结果即可，据此求解即可． 【解答】解： ＝1， ， 故选：C． 【变式训练1】根据流程图中的程序，若输入x的值为﹣1，则输出y的值为（　　） A．187 B．70 C．7 D．5 【分析】先根据题意把﹣1代入求出代数式的值，再判断出结果的符号，进而可得出结论． 【解答】解：当x＝﹣1时， （﹣1）2×3﹣5 ＝1×3﹣5 ＝3﹣5 ＝﹣2＜0， 当x＝﹣2时， （﹣2）2×3﹣5 ＝4×3﹣5 ＝12﹣5 ＝7＞0， ∴y＝7． 故选：C． 【变式训练2】（2025秋•南宁期末）如图是一个代数运算流程图，用来展示从输入到输出的计算过程．若输入“﹣2”，则输出的结果是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【分析】根据程序框图列式为（﹣2）2﹣6，先算乘方，再算减法即可． 【解答】解：若输入“﹣2”， 则（﹣2）2﹣6＝4﹣6＝﹣2， 即输出的结果是﹣2， 故选：B． 题型五：用计算器计算 【典例精讲】（2025秋•海阳市期末）用课本上的计算器进行计算，若按键顺序如下： ，则计算结果是（　　） A．1 B．2 C．4 D．9 【分析】根据计算器的按键代表的运算可得答案． 【解答】解：664， 故选：C． 【变式训练1】（2025秋•莱阳市期末）用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算时，按键顺序与显示结果不对应的是（　　） A．按键顺序为显示结果为1.69 B．按键顺序为显示结果为1 C．按键顺序为显示结果为16 D．键顺序为显示结果为﹣1 【分析】根据计算器的按键写出计算的式子，然后求值． 【解答】解：根据计算器的按键写出计算的式子，计算如下： A、按键顺序可得：（1.3）2＝1.69，故该选项正确； B、得到的式子为：64，故该选项错误； C、得到的式子为：24＝16，故该选项正确； D、得到的式子为：2×（﹣0.5）＝﹣1，故该选项正确． 故选：B． 【变式训练2】（2025秋•诸暨市期末）使用计算器计算：，其按键顺序如表第一行，计算结果是，那么根据第二行的按键顺序得到的计算结果是　﹣0.36　 ． 行 按键顺序 第一行 第二行 【分析】根据计算器的使用方法，计算即可． 【解答】解：根据第二行的按键顺序得到的是：1.8﹣3.61.8﹣2.16＝﹣0.36， 故答案为：﹣0.36． 题型六：算“24”点 【典例精讲】（2026•周口校级开学）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是﹣1，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24：　（5﹣11）×（﹣1）×4　 ． 【分析】通过对数字﹣1、4、5、11进行减法、乘法运算的组合，得到结果为24的算式． 【解答】解：（5﹣11）×（﹣1）×4＝24． 故答案为：（5﹣11）×（﹣1）×4（答案不唯一）． 【变式训练1】（2025秋•龙泉市期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是（写出一个即可）　（5÷1﹣2）×8（答案不唯一）　 ． 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【解答】解：（5÷1﹣2）×8 ＝（5﹣2）×8 ＝3×8 ＝24， 故答案为：（5÷1﹣2）×8（答案不唯一）． 【变式训练2】（2025秋•娄底校级期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式　（﹣9+7）×4×（﹣3）＝24（答案不唯一）　 ． 【分析】根据有理数的混合运算顺序进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：（﹣9+7）×4×（﹣3） ＝﹣2×4×（﹣3） ＝24， 故答案为：（﹣9+7）×4×（﹣3）＝24（答案不唯一）． 题型七：新定义问题 【典例精讲】（2025秋•东台市期末）阅读材料：对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“♦”：a♦b＝a+ab﹣b． 例如，2♦5＝2+2×5﹣5＝7． （1）求3♦（﹣2）的值； （2）若（﹣4）♦x＝6，求x的值； （3）试探究这种特别的运算“♦”是否具有交换律？ 【分析】（1）根据材料提示计算即可； （2）根据材料提示先计算等式左边，再根据解一元一次方程的方法求解即可； （3）根据提示计算即可． 【解答】解：（1）根据材料提示计算可得： ∵a♦b＝a+ab﹣b， ∴3♦（﹣2）＝3+3×（﹣2）﹣（﹣2）＝3﹣6+2＝﹣1； （2）根据材料提示先计算等式左边，再根据解一元一次方程的方法求解可得： （﹣4）♦x＝﹣4+（﹣4）x﹣x＝﹣4﹣4x﹣x＝﹣4﹣5x， ∴﹣4﹣5x＝6， 解得，x＝﹣2； （3）以a＝2，b＝5为例：∵2♦5＝2+2×5﹣5＝7，5♦2＝5+5×2﹣2＝5+10﹣2＝13，7≠13， ∴不具有交换律． 【变式训练1】（2025秋•南京校级月考）综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算： （+2）*（+4）＝+（22+42）； （﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]； （﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]； （+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]； 0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2； （+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2． 0*0＝02+02＝0 （1）【发现】归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，　同号得正，异号得负，并把两数的平方相加　 ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，　等于这个数的平方　 ． （2）【实践】计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝　17　 ． （3）【提升】是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【分析】（1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据：0*（﹣5）＝（﹣5）2；（+3）*0）＝（+3）2，可得：0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． （2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（+1）*[0*（﹣2）]的值是多少即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【解答】解：（1）根据题中的运算得到：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加． 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． 故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； （2）原式＝（+1）*（﹣2）2 ＝（+1）*4 ＝+（12+42） ＝17． 故答案为：17 （3）∵（m﹣1）*（n+2）＝0， ∴±[（m﹣1）2+（n+2）2]＝0 ∴m﹣1＝0，n+2＝0， 解得m＝1，n＝﹣2． 【变式训练2】（2025秋•岫岩县月考）阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫★（加乘）运算．”然后他写出了一些按照★（加乘）运算的法则进行运算的算式： 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的★（加乘）运算的运算法则了．” （+5）★（+2）＝+7；（﹣3）★（﹣5）＝+8；（﹣3）★（+4）＝﹣7； （+5）★（﹣6）＝﹣11；0★（+8）＝|+8|＝8；（﹣6）★0＝|﹣6|＝6． 聪明的你也看明白了吗？请完成下列问题： （1）根据上面算式的计算结果，猜想以下计算结果： [（﹣2）★（﹣3）]★（+5）＝　10　 ；（括号的作用同在有理数运算中的作用） （2）请联想回顾有理数运算法则，归纳出★（加乘）运算的运算法则； （3）我们知道加法有交换律和结合律，请你判断加法交换律在★（加乘）运算中是否适用？并举例验证． 【分析】（1）根据题中所给运算，运算分为两部分，利用有理数加法计算两数绝对值的和，利用有理数乘法判断符号的方法判断符号，再进行计算即可； （2）根据（1）中的结论，写出正确的运算法则即可； （3）先判断，然后举例说明即可． 【解答】解：（1）根据题中所给运算可得： [（﹣2）★（﹣3）]★（+5）＝（+5）★（+5）＝10； 故答案为：10； （2）①两数进行★（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；②特别地，0和任何数进行★（加乘）运算，或任何数和0进行★（加乘）运算，都等于这个数的绝对值； （3）在有理数的★（加乘）运算中适用，举例验证如下： 由★（加乘）运算的运算法则可知：（+5）★（﹣2）＝﹣7，（﹣2）★（+5）＝﹣7， 所以（+5）★（﹣2）＝（﹣2）★（+5）， 所以加法交换律在有理数的★（加乘）运算中适用． 题型八：利用分类讨论思想化简绝对值 【典例精讲】（2025秋•望城区校级月考）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则1+1+1＝3； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1． 综上所述，值为3或﹣1． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a，b是不为0的有理数，当ab＞0时，则的值是 　±2　 ； （2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 【分析】（1）根据a＞0，b＞0或a＜0，b＜0两种情况分类讨论，分别求解即可； （2）根据当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数或a，b，c都是负数，两种情况分类讨论，分别求解即可； （3）根据当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数，得出a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a求解即可． 【解答】解：（1）当ab＞0时， ①a＞0，b＞0，则， ②a＜0，b＜0，则， 故答案为：±2； （2）当abc＜0时， ①设a＞0，b＞0，c＜0，则， ②当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0，则， 故答案为：1或﹣3； （3）当abc＜0时， a，b，c一个负数，两个正数或a，b，c都是负数， ∵a+b+c＝0， ∴设当 a＞0，b＞0，c＜0，则： a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a， ， 故答案为：﹣1． 【变式训练1】（2025秋•桥西区校级月考）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题． 例：三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0， 则：， 综上：的值为3或﹣1． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，求值． （2）已知a，b、c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 【分析】（1）分四种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （2）由已知可得b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a，b，c三个有理数有两个正数一个负数，进而仿照题例解答即可求解． 【解答】解：（1）①当a＞0，b＞0时，； ②当a＜0，b＜0时，； ③当a＞0，b＜0时，； ④当a＜0，b＞0时，； 综上，的值为±2或0； （2）∵a+b+c＝0， ∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c， 又∵abc＜0， ∴a，b，c三个有理数有两个正数一个负数， 不妨设a＞0，b＞0，c＜0， ∴原式1+1﹣1＝1． 【变式训练2】（2025秋•莆田校级月考）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】已知有理数x，y，z满足xyz＞0，求的值． 【解决问题】解：由题意，得x，y，z三个都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当x，y，z都为正数，即x＞0，y＞0，z＞0时， ； ②当x，y，z中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设x＞0，y＜0，z＜0， ． 综上所述，的值为3或﹣1． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知x，y是不为0的有理数，当|xy|＝﹣xy时，　0　 ； （2）已知x，y，z是有理数，当xyz＜0时，求的值； （3）已知x，y，z是有理数，x+y+z＝0，xyz＜0，求的值． 【分析】（1）根据绝对值的意义及有理数乘法运算法则确定x，y异号，然后根据绝对值的意义进行化简即可； （2）根据有理数乘法运算法则判断x，y，z的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论即可； （3）根据有理数加法和乘法运算法则判断x，y，z的符号，然后根据绝对值的意义进行化简即可． 【解答】解：（1）由条件可知xy＜0，即x，y异号， 不妨设x＞0，y＜0， ∴， 故答案为：0； （2）由条件可知x，y，z三个有理数均为负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当x，y，z三个有理数均为负数时，即x＜0，y＜0，z＜0， ∴原式 ＝﹣1﹣1﹣1 ＝﹣3； ②当x，y，z中一个为负数，另两个为正数时， 不妨设x＜0，y＞0，z＞0， ∴原式 ＝﹣1+1+1 ＝1； 综上所述，的值为1或﹣3； （3）由条件可知x，y，z中一个为负数，另两个为正数， ∵x+y+z＝0， ∴y+z＝﹣x，x+z＝﹣y； ①当x，y均为正数，即x＞0，y＞0时， ∴原式， ②当x，y一正一负时，不妨设x＞0，y＜0， 原式； 综上所述，的值为0或2． 题型九：整体代入求值 【典例精讲】（2025秋•锦江区校级期末）如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m是最大的负整数，则代数式2ab﹣（c+d）﹣3|m|＝　﹣1　 ． 【分析】根据倒数的定义，ab＝1，根据相反数的定义，c+d＝0，m是最大的负整数，得到m＝﹣1，将相关数据代入代数式计算即可． 【解答】解：∵c、d互为相反数， ∴c+d＝0， ∵a、b互为倒数， ∴ab＝1， ∵m是最大的负整数， ∴m＝﹣1， ∴原式＝2×1﹣0﹣3×1＝2﹣0﹣3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【变式训练1】（2025秋•武侯区校级期末）已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，|m|是最小的正整数，求的值　1或﹣3　 ． 【分析】首先根据相反数的定义得到a+b＝0，倒数的定义得到cd＝1，绝对值的性质结合最小正整数的概念得到m＝±1，然后分m＝1和m＝﹣1两种情况代入代数式计算即可． 【解答】解：由条件可知a+b＝0；cd＝1； ∵|m|是最小的正整数， ∴|m|＝1，即m＝1或m＝﹣1． 当m＝1时，； 当m＝﹣1时，； 故答案为：1或﹣3． 【变式训练2】（2025秋•寿县期末）数轴上，有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位长度，若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则2a+2b﹣3cd﹣m的值为 　2或﹣6　 ． 【分析】先根据题意得出|﹣1﹣m|＝4，a+b＝0，cd＝1，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：∵有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位长度，a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴|﹣1﹣m|＝4，a+b＝0，cd＝1， ∴﹣1﹣m＝4或﹣1﹣m＝﹣4， 解得m＝﹣5或m＝3， 当m＝﹣5时， 2a+2b﹣3cd﹣m ＝2（a+b）﹣3cd﹣m ＝0﹣3﹣（﹣5） ＝﹣3+5 ＝2； 当m＝3时， 2a+2b﹣3cd﹣m ＝2（a+b）﹣3cd﹣m ＝0﹣3﹣3 ＝﹣6， 综上所述，代数式的值为2或﹣6， 故答案为：2或﹣6． 一、选择题 1．（2026•泰州模拟）计算|﹣5|+（﹣2）3的结果是（　　） A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13 【分析】先分别计算绝对值和乘方，再计算加法即可． 【解答】解：原式＝5+（﹣8）＝﹣3． 故选：B． 2．（2026•海州区校级二模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．（﹣3）2和3 B．﹣（﹣3）2和﹣32﹣32 C．﹣（+3）和﹣3 D．|﹣3|和﹣|﹣3| 【分析】根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，先化简每个选项中的两个数，再判断是否符合定义即可． 【解答】解：根据只有符号不同的两个数互为相反数．据此逐项分析判断如下： 选项A：（﹣3）2＝9，9和3不互为相反数，A错误； 选项B：﹣（﹣3）2＝﹣9，﹣32＝﹣9，两个数相等，不互为相反数，B错误； 选项C：﹣（+3）＝﹣3，两个数相等，不互为相反数，C错误； 选项D：|﹣3|＝3，﹣|﹣3|＝﹣3，3和﹣3只有符号不同，互为相反数，D正确． 故选：D． 3．（2026•东昌区校级二模）要使算式1□（﹣3）的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【分析】分别填入各运算符号后比较结果的大小即可． 【解答】解：1+（﹣3）＝﹣2，1﹣（﹣3）＝4，1×（﹣3）＝﹣3，1÷（﹣3）， ∵42＞﹣3， ∴要使算式1□（﹣3）的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为﹣， 故选：B． 4．（2025秋•惠东县期末）我们常用的十进制，如；2025＝2×103+0×102+2×101+5，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中111＝1×22+1×21+1．相当于十进制中的7，又如：11011＝1×24+1×23+0×22+1×21+1．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的（　　） A．10011 B．11001 C．11010 D．11101 【分析】根据十进制中的25相当于二进制中的1×24+1×23+0×22+0×21+1即可解答． 【解答】解：根据二进制的表示方法可知，25＝1×24+1×23+0×22+0×21+1， 故十进制中的25相当于二进制中的11001． 故选：B． 5．（2025秋•岳池县校级期末）a、b互为倒数，m、n互为相反数，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用倒数，相反数的定义求出ab＝1，m+n＝0的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：∵a和b互为倒数，m和n互为相反数， ∴ab＝1，m+n＝0， ∴． 故选：A． 6．（2026•石家庄一模）在代数式“（﹣2﹣3）□4”的“□”中填入运算符号“+”“﹣”“×”“÷”，要使运算的结果最小，则“□”中填入的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【分析】分别填入对应的运算符号计算后再比较结果的大小即可． 【解答】解：（﹣2﹣3）+4＝﹣5+4＝﹣1， （﹣2﹣3）﹣4＝﹣5﹣4＝﹣9， （﹣2﹣3）×4＝﹣5×4＝﹣20， （﹣2﹣3）÷4＝﹣5÷4＝﹣1.25， ∵﹣20＜﹣9＜﹣1.25＜﹣1， ∴要使运算的结果最小，则“□”中填入的运算符号是×， 故选：C． 7．（2025秋•马关县期末）如图是一个数值运算程序，若输入的数为﹣1，则输出的值为（　　） A．24 B．18 C．﹣6 D．﹣18 【分析】根据所给的程序图，计算公式为（x3﹣5）×（﹣3），代入求值即可． 【解答】解：由题意可得， 当x＝﹣1时，输出的值为：[（﹣1）3﹣5]×（﹣3） ＝（﹣1﹣5）×（﹣3） ＝﹣6×（﹣3） ＝18， 故选：B． 8．（2025秋•海沧区校级期末）按如图所示的程序运算，若输入x的值是15，第1次输出的结果是18，则第2026次输出的结果是（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 【分析】根据程序框图列式计算后并总结规律即可． 【解答】解：若输入x的值是15， 第1次输出的结果：15+3＝18， 第2次输出的结果：18+1＝10， 第3次输出的结果：10+1＝6， 第4次输出的结果：6+1＝4， 第5次输出的结果：4+1＝3， 第6次输出的结果：3+3＝6， 第7次输出的结果：6+1＝4， 第8次输出的结果：4+1＝3， 第9次输出的结果：3+3＝6， …， ∵（2026﹣3）÷3＝674…1， ∴第2026次输出的结果是4， 故选：B． 二、填空题 9．（2026•望奎县二模）计算：　﹣1　 ． 【分析】根据有理数乘方法则、绝对值的性质、有理数混合运算法则计算即可． 【解答】解：原式 ＝1﹣2 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 10．（2026春•南岗区校级期中）已知a*b＝2a+3b，则　7　 ． 【分析】根据新定义运算法则进行逐步计算即可． 【解答】解：根据新定义可得：原式＝27． 故答案为：7． 11．（2026•浙江模拟）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝ 　8　 ． 【分析】根据定义，得（﹣2）*2＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝8，解得即可． 【解答】解：（﹣2）*2＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝8， 故答案为：8． 12．（2025秋•邗江区期末）已知|a|＝5，|b|＝2，且ab＜0，a+b＞0，则a﹣b＝　7　 ． 【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义及有理数的加法、乘法法则确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝2， ∴a＝±5，b＝±2 ∵ab＜0， ∴a，b符号相反， ∵a+b＞0， ∴a＞0，b＜0， ∴a＝5，b＝﹣2， ∴a﹣b＝5﹣（﹣2）＝5+2＝7， 故答案为：7． 13．（2026•温江区校级模拟）已知x、y互为相反数且均不为0，a和b互为倒数，m是最大的负整数，那么代数式的值为　2　 ． 【分析】已知式子的值求代数式的值，先由x、y互为相反数且均不为0，a和b互为倒数，m是最大的负整数，分别得出x+y＝0，ab＝1，m＝﹣1，再代入进行计算，即可作答． 【解答】解：由条件可知：x+y＝0，ab＝1，m＝﹣1， 则原式2， 故答案为：2． 14．（2025秋•望花区期末）如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为﹣1时，输出的数值为 　﹣2　 ． 【分析】根据有理数的运算，把x＝﹣1代入运算程序图中，即可． 【解答】解：由题意得，﹣1×4＝﹣4，﹣4﹣2＝﹣6，﹣6÷3＝﹣2． 故答案为：﹣2． 15．（2025秋•汨罗市期末）“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是24或﹣24．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成24的算式：　（﹣7+4）×（﹣5﹣3）（答案不唯一）　 ． 【分析】根据题意，可以得到黑桃4，红桃5，梅花3，方块7分别用4，﹣5，3，﹣7表示，然后写出一个运算结果为24的算式即可． 【解答】解：由题意可得， 黑桃4，红桃5，梅花3，方块7分别用4，﹣5，3，﹣7表示， ∵（﹣7+4）×（﹣5﹣3） ＝﹣3×（﹣8） ＝24， ∴运算结果是24的算式是（﹣7+4）×（﹣5﹣3）， 故答案为：（﹣7+4）×（﹣5﹣3）（答案不唯一）． 16．（2026春•香坊区校级月考）某商场打折促销，规定单次购物金额大于200元而不超过500元的按购物总额打九折；单次购物金额超过500元的，购物总额中500元及以内部分打九折，500元以上部分打八折．某人在商场分两次购买了商品，分别花了160元和432元．如果他一起买这些商品的话，还可以节省　30　 元． 【分析】先对比200元打九折的价格与160元，确定第一次购买商品的原价；再对比500元打九折的价格与432元，确定第二次购买商品的原价；再根据商场优惠规则计算合并购买的总花费，用分开购买的总花费减去合并购买的总花费，得到节省的钱数． 【解答】解：由于售价大于200元的商品才打折，打折后的售价必然大于200×90%＝180元， ∴第一次购买商品的原价为160元，未打折， 500×90%＝450元， ∵432＜450， 第二次购买商品原价不超过500元，按九折销售，第二次商品原价为432÷0.9＝480元， 两件商品原价总和为160+480＝640元， 合并购买时，根据优惠规则计算总花费： 500×90%+（640﹣500）×80% ＝450+140×0.8 ＝562， ∴分开购买总花费为160+432＝592元， ∴节省的钱数为592﹣562＝30元． 故答案为：30． 17．（2026•扶沟县模拟）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：天干为：（2022﹣3）÷10＝201……9；地支为：（2022﹣3）÷12＝168……3；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2026年为农历　丙午　 年． 【分析】根据干支纪年法的计算规则，天干由年份减3后除以10的余数确定，地支由年份减3后除以12的余数确定． 【解答】解：由题意可得， 天干为：（2026﹣3）÷10＝2023÷10＝202……3， 地支为：（2026﹣3）÷12＝2023÷12＝168……7， 对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 故答案为：丙午． 三、解答题 18．（2026•大洼区校级开学）计算： （1）（﹣1）3×3﹣（1﹣3）÷4； （2）． 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【解答】解：（1）原式＝﹣1×3﹣（﹣2）÷4 ； （2）原式 ＝81÷9﹣3 ＝9﹣3 ＝6． 19．（2026春•安阳校级月考）计算： （1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）+（﹣7）； （2）． 【分析】（1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣20+3+5﹣7 ＝﹣19； （2）原式 ＝4﹣5+3 ＝2； 20．（2026•福绵区 一模）计算： （1）7﹣（﹣3）+（﹣10）； （2）． 【分析】（1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）先算乘方和括号内的式子，再算乘除法，然后算加减法即可． 【解答】解：（1）原式＝7+3+（﹣10） ＝0； （2）原式 ＝﹣1×（﹣4）+（﹣8） ＝4+（﹣8） ＝﹣4． 21．（2026•天山区校级开学）计算： （1）20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）原式先计算乘除法，再计算加减法即可得到结果； （3）原式先将除法转换为乘法，再运用乘法分配律进行计算即可； （4）原式先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后进行加减运算即可． 【解答】解：（1）原式＝20+（﹣14）+18+（﹣13） ＝11； （2）原式＝﹣6+16 ＝10； （3）原式 ＝18﹣4+15 ＝29； （4）原式 ＝﹣1﹣6﹣3 ＝﹣10． 22．（2026•香河县模拟）定义一种新运算“□”，即m□n＝（m﹣2）×3+n，例如2□3＝（2﹣2）×3+3＝3．根据定义解答下列问题： （1）求1□（﹣5）的值； （2）通过计算说明5□（﹣3）与（﹣3）□5的值是否相等． 【分析】（1）根据题意可得1□（﹣5）＝（1﹣2）×3+（﹣5），据此求解即可； （2）根据定义分别求出5□（﹣3）和（﹣3）□5的值即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意可得： 1□（﹣5）＝（1﹣2）×3+（﹣5）＝（﹣1）×3﹣5＝﹣3﹣5＝﹣8； （2）∵m□n＝（m﹣2）×3+n， ∴5□（﹣3）＝（5﹣2）×3+（﹣3）＝3×3﹣3＝6， （﹣3）□5＝（﹣3﹣2）×3+5＝﹣5×3+5＝﹣10， ∴5□（﹣3）≠（﹣3）□5． 23．（2026•裕华区一模）已知算式“（﹣2）×4﹣8”． （1）请你计算上式结果； （2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为﹣11，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； （3）淇淇把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 【分析】（1）先算乘法，再算减法； （2）列方程可解得答案； （3）先算出淇淇的结果，再列式计算即可． 【解答】解：（1）（﹣2）×4﹣8 ＝﹣8﹣8 ＝﹣16； （2）设嘉嘉把“8”错写成了x， 根据题意得：（﹣2）×4﹣x＝﹣11， 解得：x＝3， ∴嘉嘉把“8”错写成了3； （3）淇淇的结果为 （﹣2）+4﹣8 ＝2﹣8 ＝﹣6， ﹣6﹣（﹣16）＝10， ∴淇淇的计算结果比原题的正确结果大10． 24．（2026•邢台校级模拟）已知：|a|＝3，|b|＝5． （1）求a﹣b的最小值； （2）当a﹣b取得最小值时，若c，d互为相反数，m，n互为倒数，求的值． 【分析】（1）根据|a|＝3，|b|＝5，可得：a＝±3，b＝±5，分情况求出a﹣b，通过比较得到a﹣b的最小值； （2）根据相反数的定义可得：c+d＝0，根据倒数的定义可得：mn＝1，利用整体代入法求出代数式的值． 【解答】解：（1）∵|a|＝3，|b|＝5， ∴a＝±3，b＝±5， 当a＝3，b＝5时，a﹣b＝3﹣5＝﹣2， 当a＝3，b＝﹣5时，a﹣b＝3﹣（﹣5）＝8， 当a＝﹣3，b＝5时，a﹣b＝﹣3﹣5＝﹣8， 当a＝﹣3，b＝﹣5时，a﹣b＝﹣3﹣（﹣5）＝2， ∵8＞2＞﹣2＞﹣8， ∴a﹣b的最小值为﹣8； （2）∵c，d互为相反数， ∴c+d＝0， ∵m，n互为倒数， ∴mn＝1， 当a﹣b的最小值为﹣8时，原式 ＝0﹣1+8 ＝7． 25．（2026春•裕华区校级月考）老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子：（+2）※（+4）＝+6；（﹣3）※（﹣4）＝+7；（﹣2）※（+3）＝﹣5；（+5）※（﹣6）＝﹣11；0※（+9）＝+9；（﹣7）※0＝+7． 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了．聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳※（加乘）运算法则： （1）①归纳※（加乘）运算法则：两数进行※（加乘）运算时，同号得　正　 ，异号得　负　 ，并把绝对值　相加　 ；特别是0和任何数进行※（加乘）运算时都等于另一个数的绝对值； ②计算：﹣6※[0※（﹣3）]的值； （2）若（4﹣3b）※（|a|+1﹣b）＝0，求a+b的值． （3）用字母a、b的绝对值表示a※b． 【分析】（1）通过已知算式归纳※运算法则，再按法则计算式子的值； （2）根据※运算结果为0的条件，求解a，b的值并计算a+b； （3）用绝对值表示※运算的一般形式． 【解答】解：（1）①（+2）※（+4）＝+6， （﹣3）※（﹣4）＝+7， （﹣2）※（+3）＝﹣5， （+5）※（﹣6）＝﹣11， 故两数进行※运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加， 故答案为：正；负；相加； ②﹣6※[0※（﹣3）] ＝﹣6※|﹣3| ＝﹣6※3 ＝﹣（6+3） ＝﹣9； （2）∵（4﹣3b）※（|a|+1﹣b）＝0， ∴4﹣3 b＝0且|a|+1﹣b＝0， 解得． 当时，， 当时，， 故a+b的值为或1； （3）分情况讨论： 当a，b同号时，a※b＝+（|a|+|b|）； 当a，b异号时，a※b＝﹣（|a|+|b|）； 当a＝0时，a※b＝|b|或当b＝0时，a※b＝|a|． 26．（2026•大洼区校级开学）为倡导绿色出行，某自行车厂积极响应，计划一周生产560辆共享单车，但由于技术调试等因素，实际每日产量与计划量（每日80辆）相比有所波动．下表是这周的实际生产情况，每日超过计划量的记为“+”，不足计划量的记为“﹣”． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 ﹣16 +10 ﹣5 +12 ﹣8 +15 ﹣4 （1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产　31　 辆； （2）这一周自行车厂是否完成生产计划量？请说明理由； （3）若每生产一辆共享单车投入使用后平均可帮助减排二氧化碳3千克，则这一周的实际产量投入使用后能帮助减排二氧化碳多少千克？ 【分析】（1）用差值的最大值减最小值即可； （2）将各差值相加后根据结果的正负判断即可； （3）用计划产量加上总差值，再乘以3即可． 【解答】解：（1）用差值的最大值减最小值可得： 15﹣（﹣16）＝31辆， 故答案为：31； （2）这一周自行车厂完成了生产计划量，理由如下： ﹣16+10﹣5+12﹣8+15﹣4＝4＞0， 故这一周自行车厂完成了生产计划量； （3）（80×7+4）×3 ＝564×3 ＝1692（千克）， 答：这一周的实际产量投入使用后能帮助减排二氧化碳1692千克． 27．（2026•郑州校级开学）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：，，，，… （1）根据以上的运算规律，f（5）＝　　 ； （2）计算f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）的值． 【分析】（1）由题干所列一系列式子，归纳总结出f（n）的表达式，再计算f（5）； （2）分别代入n的具体数值，各项先通分去括号后，再约分计算即可． 【解答】解：（1）∵下：，，，，…， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由题意得，f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100） ＝5151． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 有理数的混和运算 知识点一：有理数的混合运算 1．先乘方，再乘除，最后加减。 2．同级运算，从左到右的顺序进行。 3．如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 （1）转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． （2）凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． （3）分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． （4）巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 题型一：有理数的混合运算 【典例精讲】（2026春•南岗区校级期中）计算题： （1）； （2）． 【变式训练1】（2026春•南岗区校级期中）计算： （1）； （2）． 【变式训练2】（2025秋•仁化县期末）计算： （1）（﹣7）﹣（+5）+（﹣4）﹣（﹣10）； （2）﹣（3﹣5）×6÷（﹣1）2025． 题型二：含乘方的有理数的混合运算 【典例精讲】（2025秋•江苏期末）计算： （1）9﹣（﹣3）+（﹣7）﹣5； （2）． 【变式训练1】（2025秋•京山市月考）计算： （1）； （2）． 【变式训练2】（2026•天山区校级开学）计算： （1）20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）； （3）； （4）． 题型三：错解复原问题 【典例精讲】（2026•沧州二模）复习课上，老师将关于“计算：”的两个错误解题过程展示如下． 解法一 解：原式第一步 ＝（﹣16）÷（﹣1）第二步 ＝16第三步 解法二 解：原式第一步 ＝﹣64﹣4第二步 ＝﹣68第三步 （1）分别写出解法一，解法二的解答过程中是从第几步开始出现错误的； （2）请把正确的解题过程写出来． 【变式训练1】（2025秋•浏阳市期末）错题是最好的素材，识错和辨错能有效检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．请你仔细阅读下列计算过程并完成相应的任务． 计算：． 解：原式第一步 ＝（﹣15）÷1第二步 ＝﹣15．第三步 任务： （1）上面的解题过程中，第　 　 步开始就出现了错误，错误的原因是　 　 ； （2）把正确的解题过程写出来． 【变式训练2】（2026•丛台区校级二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ① ＝﹣15+（﹣4）…② ＝﹣19…③ （1）在上面的计算过程中，开始出错的步骤是　 　 （填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． （2）为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是　　 　 ．（填“+”或“﹣”） 题型四：程序图问题 【典例精讲】（2025秋•建平县期末）如图是一个有理数混合运算的程序流程图，当输入的数为﹣2，输出的结果是（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式训练1】根据流程图中的程序，若输入x的值为﹣1，则输出y的值为（　　） A．187 B．70 C．7 D．5 【变式训练2】（2025秋•南宁期末）如图是一个代数运算流程图，用来展示从输入到输出的计算过程．若输入“﹣2”，则输出的结果是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 题型五：用计算器计算 【典例精讲】（2025秋•海阳市期末）用课本上的计算器进行计算，若按键顺序如下： ，则计算结果是（　　） A．1 B．2 C．4 D．9 【变式训练1】（2025秋•莱阳市期末）用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算时，按键顺序与显示结果不对应的是（　　） A．按键顺序为显示结果为1.69 B．按键顺序为显示结果为1 C．按键顺序为显示结果为16 D．键顺序为显示结果为﹣1 【变式训练2】（2025秋•诸暨市期末）使用计算器计算：，其按键顺序如表第一行，计算结果是，那么根据第二行的按键顺序得到的计算结果是　 　 ． 行 按键顺序 第一行 第二行 题型六：算“24”点 【典例精讲】（2026•周口校级开学）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是﹣1，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24：　 　 ． 【变式训练1】（2025秋•龙泉市期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是（写出一个即可）　　 　 ． 【变式训练2】（2025秋•娄底校级期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式　 　 ． 题型七：新定义问题 【典例精讲】（2025秋•东台市期末）阅读材料：对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“♦”：a♦b＝a+ab﹣b． 例如，2♦5＝2+2×5﹣5＝7． （1）求3♦（﹣2）的值； （2）若（﹣4）♦x＝6，求x的值； （3）试探究这种特别的运算“♦”是否具有交换律？ 【变式训练1】（2025秋•南京校级月考）综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算： （+2）*（+4）＝+（22+42）； （﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]； （﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]； （+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]； 0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2； （+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2． 0*0＝02+02＝0 （1）【发现】归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，　 　 ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，　 　 ． （2）【实践】计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝　 　 ． （3）【提升】是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【变式训练2】（2025秋•岫岩县月考）阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫★（加乘）运算．”然后他写出了一些按照★（加乘）运算的法则进行运算的算式： 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的★（加乘）运算的运算法则了．” （+5）★（+2）＝+7；（﹣3）★（﹣5）＝+8；（﹣3）★（+4）＝﹣7； （+5）★（﹣6）＝﹣11；0★（+8）＝|+8|＝8；（﹣6）★0＝|﹣6|＝6． 聪明的你也看明白了吗？请完成下列问题： （1）根据上面算式的计算结果，猜想以下计算结果： [（﹣2）★（﹣3）]★（+5）＝　 　 ；（括号的作用同在有理数运算中的作用） （2）请联想回顾有理数运算法则，归纳出★（加乘）运算的运算法则； （3）我们知道加法有交换律和结合律，请你判断加法交换律在★（加乘）运算中是否适用？并举例验证． 题型八：利用分类讨论思想化简绝对值 【典例精讲】（2025秋•望城区校级月考）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则1+1+1＝3； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1． 综上所述，值为3或﹣1． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a，b是不为0的有理数，当ab＞0时，则的值是 　 　 ； （2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 【变式训练1】（2025秋•桥西区校级月考）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题． 例：三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0， 则：， 综上：的值为3或﹣1． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，求值． （2）已知a，b、c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 【变式训练2】（2025秋•莆田校级月考）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】已知有理数x，y，z满足xyz＞0，求的值． 【解决问题】解：由题意，得x，y，z三个都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当x，y，z都为正数，即x＞0，y＞0，z＞0时， ； ②当x，y，z中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设x＞0，y＜0，z＜0， ． 综上所述，的值为3或﹣1． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知x，y是不为0的有理数，当|xy|＝﹣xy时，　 　 ； （2）已知x，y，z是有理数，当xyz＜0时，求的值； （3）已知x，y，z是有理数，x+y+z＝0，xyz＜0，求的值． 题型九：整体代入求值 【典例精讲】（2025秋•锦江区校级期末）如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m是最大的负整数，则代数式2ab﹣（c+d）﹣3|m|＝　 　 ． 【变式训练1】（2025秋•武侯区校级期末）已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，|m|是最小的正整数，求的值　 　 ． 【变式训练2】（2025秋•寿县期末）数轴上，有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位长度，若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则2a+2b﹣3cd﹣m的值为 　 　 ． 一、选择题 1．（2026•泰州模拟）计算|﹣5|+（﹣2）3的结果是（　　） A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13 2．（2026•海州区校级二模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．（﹣3）2和3 B．﹣（﹣3）2和﹣32﹣32 C．﹣（+3）和﹣3 D．|﹣3|和﹣|﹣3| 3．（2026•东昌区校级二模）要使算式1□（﹣3）的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 4．（2025秋•惠东县期末）我们常用的十进制，如；2025＝2×103+0×102+2×101+5，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中111＝1×22+1×21+1．相当于十进制中的7，又如：11011＝1×24+1×23+0×22+1×21+1．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的（　　） A．10011 B．11001 C．11010 D．11101 5．（2025秋•岳池县校级期末）a、b互为倒数，m、n互为相反数，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 6．（2026•石家庄一模）在代数式“（﹣2﹣3）□4”的“□”中填入运算符号“+”“﹣”“×”“÷”，要使运算的结果最小，则“□”中填入的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 7．（2025秋•马关县期末）如图是一个数值运算程序，若输入的数为﹣1，则输出的值为（　　） A．24 B．18 C．﹣6 D．﹣18 8．（2025秋•海沧区校级期末）按如图所示的程序运算，若输入x的值是15，第1次输出的结果是18，则第2026次输出的结果是（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 二、填空题 9．（2026•望奎县二模）计算：　 　 ． 10．（2026春•南岗区校级期中）已知a*b＝2a+3b，则　 　 ． 11．（2026•浙江模拟）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝ 　 　 ． 12．（2025秋•邗江区期末）已知|a|＝5，|b|＝2，且ab＜0，a+b＞0，则a﹣b＝　 　 ． 13．（2026•温江区校级模拟）已知x、y互为相反数且均不为0，a和b互为倒数，m是最大的负整数，那么代数式的值为　 　 ． 14．（2025秋•望花区期末）如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为﹣1时，输出的数值为 　 　 ． 15．（2025秋•汨罗市期末）“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是24或﹣24．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成24的算式：　 　 ． 16．（2026春•香坊区校级月考）某商场打折促销，规定单次购物金额大于200元而不超过500元的按购物总额打九折；单次购物金额超过500元的，购物总额中500元及以内部分打九折，500元以上部分打八折．某人在商场分两次购买了商品，分别花了160元和432元．如果他一起买这些商品的话，还可以节省　 　 元． 17．（2026•扶沟县模拟）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：天干为：（2022﹣3）÷10＝201……9；地支为：（2022﹣3）÷12＝168……3；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2026年为农历　 　 年． 三、解答题 18．（2026•大洼区校级开学）计算： （1）（﹣1）3×3﹣（1﹣3）÷4； （2）． 19．（2026春•安阳校级月考）计算： （1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）+（﹣7）； （2）． 20．（2026•福绵区 一模）计算： （1）7﹣（﹣3）+（﹣10）； （2）． 21．（2026•天山区校级开学）计算： （1）20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）； （3）； （4）． 22．（2026•香河县模拟）定义一种新运算“□”，即m□n＝（m﹣2）×3+n，例如2□3＝（2﹣2）×3+3＝3．根据定义解答下列问题： （1）求1□（﹣5）的值； （2）通过计算说明5□（﹣3）与（﹣3）□5的值是否相等． 23．（2026•裕华区一模）已知算式“（﹣2）×4﹣8”． （1）请你计算上式结果； （2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为﹣11，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； （3）淇淇把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 24．（2026•邢台校级模拟）已知：|a|＝3，|b|＝5． （1）求a﹣b的最小值； （2）当a﹣b取得最小值时，若c，d互为相反数，m，n互为倒数，求的值． 25．（2026春•裕华区校级月考）老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子：（+2）※（+4）＝+6；（﹣3）※（﹣4）＝+7；（﹣2）※（+3）＝﹣5；（+5）※（﹣6）＝﹣11；0※（+9）＝+9；（﹣7）※0＝+7． 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了．聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳※（加乘）运算法则： （1）①归纳※（加乘）运算法则：两数进行※（加乘）运算时，同号得　 　 ，异号得　 　 ，并把绝对值　 　 ；特别是0和任何数进行※（加乘）运算时都等于另一个数的绝对值； ②计算：﹣6※[0※（﹣3）]的值； （2）若（4﹣3b）※（|a|+1﹣b）＝0，求a+b的值． （3）用字母a、b的绝对值表示a※b． 26．（2026•大洼区校级开学）为倡导绿色出行，某自行车厂积极响应，计划一周生产560辆共享单车，但由于技术调试等因素，实际每日产量与计划量（每日80辆）相比有所波动．下表是这周的实际生产情况，每日超过计划量的记为“+”，不足计划量的记为“﹣”． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 ﹣16 +10 ﹣5 +12 ﹣8 +15 ﹣4 （1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产　 　 辆； （2）这一周自行车厂是否完成生产计划量？请说明理由； （3）若每生产一辆共享单车投入使用后平均可帮助减排二氧化碳3千克，则这一周的实际产量投入使用后能帮助减排二氧化碳多少千克？ 27．（2026•郑州校级开学）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：，，，，… （1）根据以上的运算规律，f（5）＝　 　 ； （2）计算f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $