2026年九年级数学秋季开学分班学情自测卷01（辽宁专用）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数，融合文化传承（如《四元玉鉴》问题）与现实应用（草莓种植、吉祥物销售等），梯度设计适配开学学情精准评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|根的判别式（第1题）、二次函数定义（第7题）|基础概念辨析，如第3题配方法操作| |填空题|5/15|函数图像与不等式（第13题）、二次函数最值（第14题）|几何直观与代数推理结合，如第15题多结论判断| |解答题|8/75|方程应用（第19题草莓产量增长）、函数建模（第20题投篮轨迹）、新定义探究（第23题友好方程）|问题链设计，如第19题三任务整合增长率、几何、利润模型；第23题通过新定义考查逻辑推理与迁移能力|

2026年秋季九年级开学分班·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：九年级上册第25-26章一元二次方程及二次函数 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 2．关于的一元二次方程的一根为0，则的值是（  ） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（    ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（    ） A．1 B．9 C．9或1 D．无法确定 6．若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（      ） A．4 B． C． D． 7．如果函数是二次函数，那么m的值一定是（   ） A．0 B．3 C．0或3 D．1或2 8．把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（   ）． A． B． C． D． 9．二次函数图象的性质，下列叙述正确的是（ ） A．抛物线与x轴没有交点 B．抛物线有最低点 C．当时，y随x增大而减小 D．当时，y随x增大而增大 10．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 11．方程无实数根，则点位于第______象限． 12．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 13．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 14．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 三．解答题（本题共8小题，第16题10分，第17-21题每题8分，第22题12分，第23题13分） 16．解方程 (1)； (2)． 17．已知抛物线． (1)将配方成的形式； (2)写出该抛物线的开口方向和对称轴； (3)当时，求的取值范围． 18．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 19．丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤：若每斤降低1元，则可多售出60斤． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率： (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； (3)任务3：某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润可达到1450元？若设每斤草莓降价m元，则可列方程为______． 20．一名运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)该运动员身高，在这次跳投过程中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 21．2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与抛物线：组成图象，图象与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，点是图象上动点，设点的横坐标是． (1)求抛物线的顶点坐标和线段的长； (2)当点在抛物线上，过点作轴，与抛物线相交于点，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； (3)若图象G位于P，A两点之间部分（包括P，A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求m的取值范围． 23．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”：_____． (2)已知一元二次方程的两根为，，则它的“友好方程”的两根为，_____；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_____，证明你的结论． (3)已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，写出关手的方程的两根为_____． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学分班·学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】需分方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，结合方程有实数根的条件求解，再合并结果得到的取值范围． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当，即时， ∵原方程化为，是一元一次方程，有实数根， ∴符合题意； ②当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式，， 解得：，且； 综上，的取值范围是． 2．关于的一元二次方程的一根为0，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 把代入方程得到一个关于的方程，再结合一元二次方程的定义即可确定的值． 【详解】解：把代入方程得：，即， 解得：， ， ， 故选：B． 3．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．通过移项和添加一次项系数一半的平方完成配方，即可求解． 【详解】解：∵ 移项得， 配方：两边加1（一次项系数2的一半的平方），得 即 故选B． 4．下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：∵一元二次方程的根可以根据计算， ∴， ∴对应方程为：； 故选B． 5．若，则的值为（    ） A．1 B．9 C．9或1 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用换元法解一元二次方程求出，然后可得的值． 【详解】解：令，则可得， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，（舍）， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，整体求出的值是解题的关键． 6．若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（      ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵m、n是关于x的方程的两个根， ∴，， ∴， 故选A 7．如果函数是二次函数，那么m的值一定是（   ） A．0 B．3 C．0或3 D．1或2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．先根据二次函数的定义可得，且，再解一元二次方程即可得． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， 解得或（舍去）， 故选：A． 8．把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移口诀“左加右减，上加下减”进行判断即可． 【详解】解：根据题意，平移后的抛物线的解析式为． 9．二次函数图象的性质，下列叙述正确的是（） A．抛物线与x轴没有交点 B．抛物线有最低点 C．当时，y随x增大而减小 D．当时，y随x增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 通过计算判别式判断与x轴的交点；由二次项系数为负判断开口向下，有最高点；通过对称轴分析函数的增减性． 【详解】解：∵二次函数， ∴， 判别式， ∴抛物线与x轴有两个交点，故A错误； ， ∴抛物线开口向下，有最高点，无最低点，故B错误； 对称轴为直线， ∵开口向下， ∴当时，y随x增大而减小，故C正确，D错误， 故选：C． 10．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据题意，每株椽的价钱为文，少拿一株后剩余株，运费为文，运费等于一株椽的价钱，由此列出方程． 【详解】解：∵每株椽的价钱为文，少拿一株后，运费为文，且运费等于一株椽的价钱， ∴， 两边乘以得：， 即选项B正确． 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分． 11．方程无实数根，则点位于第______象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，点的坐标所在的象限．分类讨论，由方程无实数根的条件，通过判别式求得m的取值范围，再根据点P的坐标符号判断其所在象限，即可． 【详解】解：当时，即时， 方程为， 有实数根，不符合题意， 故； 当时，方程化为一般形式：， ∵方程无实数根， ∴， 解得， ∴，， ∴点位于第四象限． 故答案为：四 12．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 13．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 14．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【答案】/米 【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为． 15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 三．解答题（本题共8小题，第16题10分，第17-21题每题8分，第22题12分，第23题13分） 16．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）先去括号，移项，合并同类项，再开平方即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ，； （2）解： ， ， ，． 17．已知抛物线． (1)将配方成的形式； (2)写出该抛物线的开口方向和对称轴； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴为直线 (3)当时，的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求最值，化为顶点式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）利用配方法即可化为顶点式； （2）根据顶点式即可写出对称轴，根据即可判断开口方向； （3）二次函数的图象与性质求解的取值范围． 【详解】（1）解： （2）解：由，得， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 （3）解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，取最小值 将代入，得 将代入，得 ∵，且函数在时随着的增大而减小，在时随着的增大而增大 ∴的取值范围为． 18．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 19．丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤：若每斤降低1元，则可多售出60斤． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率： (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； (3)任务3：某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润可达到1450元？若设每斤草莓降价m元，则可列方程为______． 【答案】(1)草莓产量的年平均增长率为 (2)此时纸盒的高为 (3) 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可； （3）若设每斤草莓降价元，由题意得每斤草莓获利元，每天可售出斤，根据日利润为1450元列方程即可； 本题考查了一元二次方程的应用，年平均增长率，长方形的面积和营销问题，正确理解题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设草莓产量的年平均增长率为，由题意得： ， 解得，（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为； （2）设此时纸盒的高为， ， 解得，（舍去）， 则此时纸盒的高为； （3）若设每斤草莓降价元，则每斤草莓获利元，每天可售出斤， 由日利润为1450元得． 故答案为：． 20．一名运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)该运动员身高，在这次跳投过程中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，确定二次函数的解析式是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值． （2）设球出手时，他跳离地面的高度为，则可得，再解方程即可． 【详解】（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 由图知图象过以下点：， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）设球出手时，他跳离地面的高度为， 因为（1）中求得， 则球出手时，球的高度为， ∴， ∴， 答：球出手时，他跳离地面的高度为． 21．2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为； (2)当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 【分析】（1）根据题目给出销售量y与销售单价x的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式为，代入数据解出k和b，从而得到函数关系式； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”，结合（1）中得到的销量表达式，列出总利润W关于x的二次函数，再利用二次函数的顶点式，求出利润最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 把，；，代入得， ， 解得． ∴y与x的函数关系式为． （2）解：设销售这种吉祥物玩具的利润为W元，则 ∵，∴抛物线开口向下，W有最大值， ∴当时，W最大，W最大（元）． 答：当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与抛物线：组成图象，图象与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，点是图象上动点，设点的横坐标是． (1)求抛物线的顶点坐标和线段的长； (2)当点在抛物线上，过点作轴，与抛物线相交于点，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； (3)若图象G位于P，A两点之间部分（包括P，A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求m的取值范围． 【答案】(1)顶点为， (2)m的值是1或3 (3)或 【分析】（1）将函数一般式化为顶点式，即可得顶点，令，则，当时，，解得，即可求得； （2）将抛物线函数化为顶点式得对称轴为直线，由对称性即可知，结合平行四边形的性质得，即，解方程即可； （3）①当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可；②当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 ， 顶点为． 令，则， 当时，， 解得，，， ∴， ； （2）解：如图， ∵抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 轴 点与点关于直线对称， ． 以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ， 即，解得：， 的值是1或3； （3）解：①当点在抛物线上时，即， 抛物线的顶点为点坐标为， 图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， 最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为， 当时，，解得：，（舍去） ； ②当点在抛物线上时，即 抛物线的顶点为，点坐标为，， 图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， 最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为1， 当时，，解得：，， 综上，或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质，绝对值的意义，以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉二次函数的性质． 23．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”：_____． (2)已知一元二次方程的两根为，，则它的“友好方程”的两根为，_____；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_____，证明你的结论． (3)已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，写出关手的方程的两根为_____． 【答案】(1) (2)，互为倒数，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、解的概念，熟练掌握“友好方程”的定义是解题的关键． （1）根据给出的定义进行求解即可； （2）根据根与系数的关系求出的解，根据求根公式证明两根的关系即可； （3）对方程式进行整理，根据整体思想和“友好方程”的两根的数量关系进行求解即可． 【详解】（1）解：的“友好方程”为， 故答案为：； （2）解：根据一元二次方程根与系数的关系得， ， ∴， 则， ∴； ，与互为倒数，证明如下： 当时，根据求根公式得， ，； ，； ， ； ∴原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：，互为倒数； （3）解： 根据“友好方程”的两根的数量关系得出的根为 ， ∴的两个根为， 整理得， 故答案为：． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学分班·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：九年级上册第25-26章一元二次方程及二次函数 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 2．关于的一元二次方程的一根为0，则的值是（  ） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（    ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（    ） A．1 B．9 C．9或1 D．无法确定 6．若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（      ） A．4 B． C． D． 7．如果函数是二次函数，那么m的值一定是（   ） A．0 B．3 C．0或3 D．1或2 8．把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（   ）． A． B． C． D． 9．二次函数图象的性质，下列叙述正确的是（ ） A．抛物线与x轴没有交点 B．抛物线有最低点 C．当时，y随x增大而减小 D．当时，y随x增大而增大 10．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 11．方程无实数根，则点位于第______象限． 12．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 13．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． （第13题） （第14题） 14．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 三．解答题（本题共8小题，第16题10分，第17-21题每题8分，第22题12分，第23题13分） 16．解方程 (1)； (2)． 17．已知抛物线． (1)将配方成的形式； (2)写出该抛物线的开口方向和对称轴； (3)当时，求的取值范围． 18．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 19．丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤：若每斤降低1元，则可多售出60斤． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率： (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； (3) 任务3：某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润可达到1450元？若设每斤草莓降价m元，则可列方程为______． 20．一名运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)该运动员身高，在这次跳投过程中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 21．2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与抛物线：组成图象，图象与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，点是图象上动点，设点的横坐标是． (1)求抛物线的顶点坐标和线段的长； (2)当点在抛物线上，过点作轴，与抛物线相交于点，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； (3)若图象G位于P，A两点之间部分（包括P，A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求m的取值范围． 23．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”：_____． (2)已知一元二次方程的两根为，，则它的“友好方程”的两根为，_____；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_____，证明你的结论． (3)已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，写出关手的方程的两根为_____. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学分班·学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B A A A C C B 二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分． 11．四 12． 13． 14． 15．①③⑤ 三．解答题（本题共8小题，第16题10分，第17-21题每题8分，第22题12分，第23题13分） 16．(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）先去括号，移项，合并同类项，再开平方即可． 【详解】（1）解： ， ，（2分） ， ，；（5分） （2）解： ， ，（8分） ，．（10分） 17．(1) (2)开口向上，对称轴为直线 (3)当时，的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求最值，化为顶点式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）利用配方法即可化为顶点式； （2）根据顶点式即可写出对称轴，根据即可判断开口方向； （3）二次函数的图象与性质求解的取值范围． 【详解】（1）解：（2分） （2）解：由，得， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线（4分） （3）解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，取最小值 将代入，得 将代入，得（6分） ∵，且函数在时随着的增大而减小，在时随着的增大而增大 ∴的取值范围为．（8分） 18．(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，（3分） 解得；（4分） （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴，（6分） 解得，， 由（1）可知：， ∴．（8分） 19．(1)草莓产量的年平均增长率为 (2)此时纸盒的高为 (3) 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可； （3）若设每斤草莓降价元，由题意得每斤草莓获利元，每天可售出斤，根据日利润为1450元列方程即可； 本题考查了一元二次方程的应用，年平均增长率，长方形的面积和营销问题，正确理解题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设草莓产量的年平均增长率为，由题意得： ，（2分） 解得，（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为；（4分） （2）设此时纸盒的高为， ，（5分） 解得，（舍去）， 则此时纸盒的高为；（6分） （3）若设每斤草莓降价元，则每斤草莓获利元，每天可售出斤， 由日利润为1450元得． 故答案为：．（8分） 20．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，确定二次函数的解析式是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值． （2）设球出手时，他跳离地面的高度为，则可得，再解方程即可． 【详解】（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 由图知图象过以下点：，（2分） ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为；（4分） （2）设球出手时，他跳离地面的高度为， 因为（1）中求得， 则球出手时，球的高度为， ∴，（6分） ∴， 答：球出手时，他跳离地面的高度为．（8分） 21．(1)y与x的函数关系式为； (2)当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 【分析】（1）根据题目给出销售量y与销售单价x的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式为，代入数据解出k和b，从而得到函数关系式； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”，结合（1）中得到的销量表达式，列出总利润W关于x的二次函数，再利用二次函数的顶点式，求出利润最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 把，；，代入得， ，（2分） 解得． ∴y与x的函数关系式为．（4分） （2）解：设销售这种吉祥物玩具的利润为W元，则 （6分） ∵，∴抛物线开口向下，W有最大值， ∴当时，W最大，W最大（元）． 答：当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元．（8分） 22．(1)顶点为， (2)m的值是1或3 (3)或 【分析】（1）将函数一般式化为顶点式，即可得顶点，令，则，当时，，解得，即可求得； （2）将抛物线函数化为顶点式得对称轴为直线，由对称性即可知，结合平行四边形的性质得，即，解方程即可； （3）①当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可；②当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 ， 顶点为． 令，则， 当时，，（2分） 解得，，， ∴， ；（4分） （2）解：如图， ∵抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 轴 点与点关于直线对称， ．（6分） 以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ， 即，解得：， 的值是1或3；（8分） （3）解：①当点在抛物线上时，即， 抛物线的顶点为点坐标为， 图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， 最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为，（10分） 当时，，解得：，（舍去） ；（11分） ②当点在抛物线上时，即 抛物线的顶点为，点坐标为，， 图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， 最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为1， 当时，，解得：，， 综上，或．（12分） 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质，绝对值的意义，以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉二次函数的性质． 23．(1)（3分） (2)，（5分） 互为倒数，（6分） 解：根据一元二次方程根与系数的关系得， ， ∴， 则， ∴；（8分） ，与互为倒数，证明如下： 当时，根据求根公式得， ，； ，； ， ；（10分） ∴原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数；（11分） (3)（13分） ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年九年级数学秋季开学分班学情自测卷01（辽宁专用） 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] ◆ 一、单项选择题：本题共10小题， 每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9A][B][C][D] 2.[A][B][CJ[D] 6.[A][BJ[C][D] 10.[A][B][C][DJ 3[A][B][C][D] 7.IA][B][C][D] 4.[AJ[B][C][D] 8.[AJ[B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 12. 13. 14. 15 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) 18. (8分) 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) (0,3.5) 3.05m ←2.5m0 4m- 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（12分) (备用图) 23.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！: 2026年秋季九年级开学分班·学情自测卷 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：120分) : 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：九年级上册第25-26章一元二次方程及二次函数 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上， 1. 关于x的方程(a-1)x2+3x-2=0有实数根，则a的取值范围是() : : A.a> 8 B.a28 : 1 C.a>- 且a≠1 D.a2- : 2.关于x的一元二次方程(m-1)x2+3.x+m2-1=0的一根为0，则m的值是() A.1 B.-1 C.±2 D.-2 3.用配方法解一元二次方程x2+2x-2=0,配方正确的是() : A.(x+1)2=1B.(x+1)2=3 C.(x-1)}2=2 D.(x-1)2=3 : : 4.下列一元二次方程的根可以根据=3土B4x2x(可计算出的是（) 2×2 : 拟 : .: A.2x2+3x+1=0B.2x2+3x-1=0C.3x2+x-2=0 D.-2x2-x+3=0 .: 5.若(Vx+y)+2+y=3,则x+y的值为() A.1 B.9 C.9或1 D.无法确定 6.若心、n是关于x的方程2x-4x+1=0的两个根，则m+”的值为（ ) nin 的 A.4 B.-4 C. D.-1 7.如果函数y=（m-3)xm-3m+2是二次函数，那么m的值一定是(（) : A.0 B.3 C.0或3 D.1或2 : 试题第1页（共8页） : 6学科网·上好课 8.把抛物线y=x向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为(). A.y=(x-1)-3B.y=(x+1)-3C.y=(x-1)+3D.y=(x+1)+3 9.二次函数y=-x2+2x+1图象的性质，下列叙述正确的是() A.抛物线与x轴没有交点 B.抛物线有最低点 C.当x>1时，y随x增大而减小 D.当x>1时，y随x增大而增大 10.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文 足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的 数量为x株，则符合题意的方程是() A.3(x-1)=6210 B.3x(x-1)=6210 C.(3x-1)x=6210 D.3.x=6210 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分： 11.方程(m+1)x2-4x=2无实数根，则点P(-3-,-1)位于第象限. 12.己知二次函数y=x2+4x+5,当-3≤x≤0时，y的取值范围为 l3.如图，二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与直线y=mx+n(n≠O)有两个交点，交点横坐标分别为 1、3,则关于x的不等式ax+(b-m)x+c-n≥0的解集为 (第13题) (第14题) B 14.某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA的长为1.5m,水流在各个方向上沿 形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到点O的距离为3.建 立平面直角坐标系，水流喷出的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间近似满足函数关系式 y=m2+x+c(a≠0)，则水流喷出的最大高度为 15.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0),与y轴的交点B在(0，-2)和 (0,-1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1.下列结论：①abc>0;②4a+2b+c>0:③4a-b2<-4a; 试题第2页（共8页） 6学科网·上好课 3a 2:⑤b>C.其中正确结论有 (填写所有正确结论的序号). 三.解答题（本题共8小题，第16题10分，第17-21题每题8分，第22题12分，第23题13分） 16.解方程 (1)x2-4x=8: (2)(x-1)2=21-x）. 17.已知抛物线y=x2-4x+6. (1)将y=x2-4x+6配方成y=a(x-h)2+k的形式： (2)写出该抛物线的开口方向和对称轴： (3)当-1<x<4时，求y的取值范围. 18.己知关于x的一元二次方程x2-4x-m+5=0有两个实数根. (1)求实数m的取值范围； (2)若x1,6是该方程的两个根，且满足x+x号=m2-2,求m的值. 试题第3页（共8页） 19.丹东草莓是丹东市的特产之一，请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题， : 信息及素材 : 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得 素材一 到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9 千克，每年的增长率基本相同 卡 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖. : 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示： 素材三 张 若每斤草莓15元，每天可售出200斤：若每斤降低1元，则可多售出60斤. (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率： 扣 (2)任务2：现有长80cm,宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1)，折成无盖长方体纸 擗 游 盒（如图2）.为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为3300cm的纸盒，计算此时纸盒的高： 游 (3)任务3：某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润可 达到1450元？若设每斤草莓降价m元，则可列方程为 75 O 80 (图1) (图2) : S S .: 性 : 20.一名运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到 ·: O 最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05m (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式. : (0,3.5) .: (2)该运动员身高1.82m,在这次跳投过程中，球在头顶上方0.2m处出手，球出手时， 他跳离地面的高度是多少？ 3.05m ←2.5m0 ←-4m : 试题第4页（共8页） : 21.2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相—骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基 因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气 象.某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量 y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单 价为40元时，平均每天可售出50件， 骐骐 骥骥 驰驰 骋骋 (I)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式： (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润 。: 为多少元？ : : 22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线G:y=-x2-2x+1(x≤0)与抛物线G2:y=一 +3-1020) : 组成图象G,图象G与y轴交于点A,过点A作AB‖x轴交抛物线G于点B,点P是图象G上动点，设点 P的横坐标是m. (1)求抛物线G的顶点坐标和线段AB的长； 鱂 (2)当点P在抛物线G上，过点P作PQ∥x轴，PQ与抛物线G,相交于点Q,当以A,B,P,Q为顶点的 四边形是平行四边形时，求的值； (3)若图象G位于P,A两点之间部分（包括P,A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求m的取值 : 范围. : : (备用图) : : 试题第5页（共8页） .: : 6学科网·上好课 23.定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2+br+a=0(ac≠0，a≠c)称为一对“友好方 程”.如2x2-7x+3=0的“友好方程”是3x2-7x+2=0. (1)写出一元二次方程x2+2x-8=0的“友好方程”：一 (②已知一元二次方程x2+2x-8=0的两根为=2，为=-4，则它的友好方程”的两根为6=2，=一： 根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1,与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根，x4之间存在的一 种特殊关系为，证明你的结论. ③)已知关于x的方程2023x2+m-1=0的两根是5=-1,52023.请利用(2)中的结论，写出关手x的 方程(x--x+b=2023的两根为一 试题第6页（共8页） 11 2026年九年级数学秋季开学分班学情自测卷01（辽宁专用） 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 13. _________________ 14. __________________ 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16.10分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（8分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 23．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $