精品解析： 辽宁省丹东市第五中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷

2025-2026学年辽宁省丹东五中九年级（上）开学 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年4月24日17时17分，神舟二十号载人飞船发射成功，标志着我国向航天强国的目标又迈进了坚实的一步．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则x的值为　　 A. 3 B. C. 3或 D. 0 3. 如图，在中，，，将沿向右平移2个单位得到，连接，则阴影部分的周长为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 12 4. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 若一个多边形的内角和等于外角和的5倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 如图，在中，是边上的两点，，，，分别为的中点，直线与直线相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 某社区招募了成年志愿者和青少年志愿者共80人参与垃圾分类宣传活动．成年志愿者平均每人向25位居民宣传垃圾分类知识，青少年志愿者平均每人向10位居民宣传垃圾分类知识．为了保证向1200位居民宣传垃圾分类知识，至少需要成年志愿者多少人？设需要成年志愿者人，则根据题意所列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 10. 如图，在中，，过点A作于点D，过点B作于点E，交于点F．若，，则长为（　　） A. B. C. 5 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分式化简的结果为______． 12. 如图，直线与直线相交于点，其纵坐标为1，则关于的不等式的解集是______． 13. 如图，为等边三角形，于D，，点E为边的中点，点P为上一个动点，则的最小值为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，将绕坐标原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为______． 15. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，若，，，则的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）因式分解：； （2）解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，在图中画出； （2）在图中作出关于原点O成中心对称的，并直接写出A点对应点的坐标 ； （3）在平面直角坐标系中存在一点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D的坐标． 19. 某城市的一条主干道排水管道改造工程由甲、乙两个工程队承担．已知甲工程队每天改造管道的长度是乙工程队的1.2倍，甲工程队改造720米管道所用的天数比乙工程队改造300米管道所用的天数多6天．求乙工程队每天改造多少米管道？ 20. 如图，在中，D、E分别是、的中点，，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形的菱形 （2）若，，求菱形的面积． 21. 某文具店购进A，B两款笔记本，购进A款笔记本花费960元，购进B款笔记本花费400元，其中A款笔记本的数量是B款笔记本的2倍，每本A款笔记本的进价比每本B款笔记本的进价多1元． （1）每本A款笔记本和每本B款笔记本的进价分别是多少元？ （2）该文具店计划购进A，B两款笔记本共320本，购进B款笔记本的数量不超过A款笔记本数量的3倍．如果购进的这两款笔记本均以每本10元全部售出，设购进A款笔记本本，当为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润． 22. 因式分解是整式的一种重要恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系，是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础．下图是小华对“整式乘法与因式分解”这部分知识的梳理： （1）图中有一处空白，根据本章所学知识，你认为空白处应填的内容是 ． （2）下列习题为新知识学习能力测试题，提供一个例题讲解和三个闯关问题，请同学们认真解答每一个闯关问题： 新知学习 【例题讲解】当k取何值时，是一个完全平方式？ 解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． 问题1 ①若是完全平方式，则m的值为 ； ②若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； 问题2 ③已知：，则b的值为 ； 问题3 ④如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（） Ⅰ．若利用甲，乙，丙矩形纸片拼出来的正方形面积为，则正方形边长为 ；（有含a、b的代数式表示） Ⅱ．小新要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片 张． 23. 如图1，在中，延长至点D，使，P是线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点，连接． （1）求证：； （2）如图2，将线段绕点C逆时针旋转，使点D落在上的点E处．交于点F，连接．若，，求证： ①四边形是平行四边形； ②； （3）如图3，将线段绕点C逆时针旋转，使点D落在上的点E处．与相交于点G．若，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年辽宁省丹东五中九年级（上）开学 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年4月24日17时17分，神舟二十号载人飞船发射成功，标志着我国向航天强国的目标又迈进了坚实的一步．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可. 【详解】解：根据中心对称图形的定义，只有C选项绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形． 故选C． 2. 若分式的值为0，则x的值为　　 A. 3 B. C. 3或 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】由分式的值为零的条件得x-3=0，且x+3≠0， 解得x=3． 故选A． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 3. 如图，在中，，，将沿向右平移2个单位得到，连接，则阴影部分的周长为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质得到，，进而得到，即可求出阴影部分的周长． 【详解】解：∵将沿向右平移2个单位得到， ∴，， ∵， ∴， ∴阴影部分的周长为， 故选：C． 4. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质． 根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．仅当时原说法成立，故错误； B． 若，则，原说法成立，故正确； C． 仅当时原说法成立，故错误； D． 仅当，时原说法成立，故错误； 故选：B． 6. 若一个多边形的内角和等于外角和的5倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角．根据多边形的内角和公式和外角和定理列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得，， 解得． 故这个多边形的边数是12． 故选：D． 7. 如图，在中，是边上的两点，，，，分别为的中点，直线与直线相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，多边形内角和． 先根据等边对等角和三线合一得到，，是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，根据三角形内角和求出，根据四边形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵，，分别为的中点， ∴，，是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴，， 由三角形内角和可知：， ∴， ∴， 由四边形内角和可知：， 即， ∴， 故选：A． 8. 某社区招募了成年志愿者和青少年志愿者共80人参与垃圾分类宣传活动．成年志愿者平均每人向25位居民宣传垃圾分类知识，青少年志愿者平均每人向10位居民宣传垃圾分类知识．为了保证向1200位居民宣传垃圾分类知识，至少需要成年志愿者多少人？设需要成年志愿者人，则根据题意所列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列不等式． 设成年志愿者有人，则青少年志愿者为人，根据宣传总人数至少为1200，建立不等式即可． 【详解】解：设成年志愿者有人， ∵成年志愿者和青少年志愿者共80人， ∴青少年志愿者为人， ∵成年志愿者平均每人向25位居民宣传垃圾分类知识，青少年志愿者平均每人向10位居民宣传垃圾分类知识 ∴成年志愿者和青少年志愿者共向位居民宣传垃圾分类知识， ∵保证向1200位居民宣传垃圾分类知识， ∴， 故选B． 9. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定， 先根据矩形的定义判断A，再根据正方形的判定说明B，然后根据对边相等的平行四边形是否是菱形解答C，最后根据正方形的判定说明D即可． 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 则A正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等是矩形是正方形）． 则B正确； ∵四边形是平行四边形，就有， ∴加上条件，不能说明四边形是菱形． 则C不正确； ∵，四边形是菱形， ∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 则D正确． 故选：C． 10. 如图，在中，，过点A作于点D，过点B作于点E，交于点F．若，，则长为（　　） A. B. C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，先求出，连用两次30度角的性质即可求出长． 【详解】解：在中，，于点D，于点E，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分式化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了约分，解题的关键是约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． 将分子与分母的公因式约去即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，直线与直线相交于点，其纵坐标为1，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，由图象得到直线落在直线的上方对应的的取值即为所求． 【详解】解：把代入，得． 所以， 所以直线与直线相交于点， 所以关于的不等式的解集是， 故答案为：． 13. 如图，为等边三角形，于D，，点E为边的中点，点P为上一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当P、B、E共线时，最小，即最小，最小值为的长． 又∵E是中点，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质（三线合一），线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路径问题及全等三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形三线合一及利用轴对称转化线段是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，将绕坐标原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，平行四边形的性质，根据平移思想，求出点坐标，连接，作轴，轴，证明，进而求出的坐标即可． 【详解】解：∵的顶点的坐标分别为，， ∴点向右，向上各平移1个单位得到点， ∴点向右，向上各平移1个单位得到点， ∴， 连接，作轴，轴，则：，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查基础作图的方法，平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握基本作图作角平分线的方法，平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键； 根据题意可知，根据平行四边形的性质得到，进而由平行线+角平分线模型可得： ，，利用勾股定理逆定理求得为直角三角形，证明，进而求解； 【详解】解：根据作法可知，平分， ， ∵，， ∴ 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， 在中，，，， ， 为直角三角形，， ， ， 在中，， 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）因式分解：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解和解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， 或， ∴，． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，将分式化简正确是解决本题的关键． 先对原式中的分子分母进行因式分解，再根据分式的运算法则进行化简，最后将给定的值代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，在图中画出； （2）在图中作出关于原点O成中心对称的，并直接写出A点对应点的坐标 ； （3）在平面直角坐标系中存在一点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， （3）或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平移作图、旋转作图、平行四边形的性质等知识点，正确画出相关图形成为解题的关键． （1）先根据平移的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）先根据旋转的性质确定点的位置，然后顺次连接，再直接写出的坐标即可； （3）先画出以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，然后直接写出点D的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图：即为所求． 【小问2详解】 解：如图：即为所求．其中的坐标为． 【小问3详解】 解：如图：四边形均为平行四边形，且．即点D的坐标为或或． 19. 某城市的一条主干道排水管道改造工程由甲、乙两个工程队承担．已知甲工程队每天改造管道的长度是乙工程队的1.2倍，甲工程队改造720米管道所用的天数比乙工程队改造300米管道所用的天数多6天．求乙工程队每天改造多少米管道？ 【答案】乙工程队每天改造50米管道 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙工程队每天改造管道米，则甲工程队每天改造管道米，甲工程队改造720米管道所用的天数比乙工程队改造300米管道所用的天数多6天，列出方程，可求解． 【详解】解：设乙工程队每天改造管道米，则甲工程队每天改造管道米． 根据题意得，． 解得． 经检验，是原方程的根． 答：乙工程队每天改造50米管道 20. 如图，在中，D、E分别是、的中点，，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形的菱形 （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：在中，D，E分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理． （1）根据三角形的中位线可得，，可证四边形是平行四边形，再由即可得证； （2）根据菱形的性质可得，，，，再根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴菱形BCFE的面积为． 21. 某文具店购进A，B两款笔记本，购进A款笔记本花费960元，购进B款笔记本花费400元，其中A款笔记本的数量是B款笔记本的2倍，每本A款笔记本的进价比每本B款笔记本的进价多1元． （1）每本A款笔记本和每本B款笔记本的进价分别是多少元？ （2）该文具店计划购进A，B两款笔记本共320本，购进B款笔记本的数量不超过A款笔记本数量的3倍．如果购进的这两款笔记本均以每本10元全部售出，设购进A款笔记本本，当为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）每本A款笔记本的进价是6元，每本B款笔记本的进价是5元 （2）当为80时，本次销售利润最大，最大利润为1520元 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用和一次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式和方程是关键． （1）设每本B款笔记本的进价是元，则每本款笔记本的进价是元．A款笔记本的数量是B款笔记本的2倍，据此列方程，解方程并检验即可得到答案； （2）购进A款笔记本本，则购进B款笔记本本．根据购进B款笔记本的数量不超过A款笔记本数量的3倍求出的取值范围，设购进的两款笔记本全部售出后获得的总利润为元，得到一次函数解析式，根据一次函数的性质求出答案． 【小问1详解】 解：设每本B款笔记本的进价是元，则每本款笔记本的进价是元． 根据题意得，， 解得． 经检验，是所列方程的根． （元）． 答：每本A款笔记本的进价是6元，每本B款笔记本的进价是5元． 【小问2详解】 购进A款笔记本本，则购进B款笔记本本． 根据题意得，， 解得． 设购进的两款笔记本全部售出后获得的总利润为元， 则． 即． ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，． 当为80时，本次销售利润最大，最大利润为1520元 22. 因式分解是整式的一种重要恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系，是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础．下图是小华对“整式乘法与因式分解”这部分知识的梳理： （1）图中有一处空白，根据本章所学知识，你认为空白处应填的内容是 ． （2）下列习题为新知识学习能力测试题，提供一个例题讲解和三个闯关问题，请同学们认真解答每一个闯关问题： 新知学习 【例题讲解】当k取何值时，是一个完全平方式？ 解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． 问题1 ①若是完全平方式，则m的值为 ； ②若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； 问题2 ③已知：，则b的值为 ； 问题3 ④如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（） Ⅰ．若利用甲，乙，丙矩形纸片拼出来的正方形面积为，则正方形边长为 ；（有含a、b的代数式表示） Ⅱ．小新要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片 张． 【答案】（1）公式法 （2）①8或；②9；③；④，6 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． （1）根据所学知识和图中信息提示可得空白处为公式法； （2）①根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得求解即可； ②根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得； ③先将展开，再根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得，求解即可； ④Ⅰ、直接利用完全平方公式将因式分解为即可求解； Ⅱ、设还需要x张丙纸片，由题意得，求解即可． 【小问1详解】 解：根据所学知识和图中信息提示可得空白处为：公式法， 故答案为：公式法； 【小问2详解】 ①∵是完全平方式， ， 根据多项式对应项的系数相等得：， 或， 故答案为：或； ②是完全平方式， ， 根据多项式对应项的系数相等得：， 故答案为：9； ③， 则根据多项式对应项的系数相等得：，， 解得：，， 故答案为：； ④Ⅰ、， 正方形的边长为， 故答案为：； Ⅱ、设还需要x张丙纸片， 由题意得：， ， 又x不能为负数， ， 故答案为：6． 23. 如图1，在中，延长至点D，使，P是线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点，连接． （1）求证：； （2）如图2，将线段绕点C逆时针旋转，使点D落在上的点E处．交于点F，连接．若，，求证： ①四边形是平行四边形； ②； （3）如图3，将线段绕点C逆时针旋转，使点D落在上的点E处．与相交于点G．若，，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析②见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）要证明，可根据垂直平分线的性质得到线段相等，再通过全等三角形的判定来证明； （2）①要证明四边形是平行四边形，可先证明且．②连接，通过证明是直角三角形，再利用勾股定理证明即可； （3）根据三角形内角和定理，和题目中角的关系求出，，，然后根据已知条件求出，过点G作于H，根据勾股定理将，用表示出来，最终利用求得． 【小问1详解】 证明：∵P是线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：①设，则，由（1）知． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵，线段绕点C逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②∵四边形是平行四边形， ∴， 连接，如图2， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：，即； 【小问3详解】 解：的长为；理由如下： 在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 由（1）知，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 如图3，过点G作于H， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，旋转，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确构造辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $