精品解析：2022年江苏省苏州星海初级中学九年级中考适应性练习 数学 试题

2021-2022学年第二学期初三练习卷 数 学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比较两个负数时，绝对值大的反而小，即可得出结论． 【详解】∵， ∴， ∴， 故最小的数为． 故选A． 【点睛】本题考查实数大小的比较，掌握比较两个负数，绝对值大的反而小是解题的关键． 2. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的化简法则，依次化简判断即可． 【详解】解：；；； ； ∴A选项符合条件． 故选：A． 【点睛】本题考查最简二次根式的判断及化简，熟练掌握化简法则是解题的关键． 3. 把一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．由下图三角形的内角和等于，即可求得的度数，又由邻补角定义，求得的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得的度数． 【详解】解：在中，， ∵（已知）， ∴（三角形的内角和定理）， ∴（平角定义）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 故选：C． 4. 据报道，在新冠疫苗的防重症保护效力下，德尔塔毒株的“突破性感染”占比约为0.00098，将0.00098用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】小于1的正数用科学记数法表示一般形式为 ，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0．00098=9．8 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤a<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数． 5. 在一次科技作品制作比赛中，某小组六件作品的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9．对这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 平均数是7 B. 众数是7 C. 极差是5 D. 中位数8.5 【答案】D 【解析】 【分析】计算这组数据的平均数、众数、中位数及极差即可作出判断． 【详解】解：这组数据的平均数为：， 众数为7和9， 中位数为， 极差为10－7=3， 故选：D． 【点睛】本题考查了反映一组数据平均数、众数、中位数、极差等知识，正确计算这些统计量是关键． 6. 如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以BC中点O为圆心AB长为半径画弧，得扇形OEPF，若将此扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则圆锥的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据特殊角的三角函数可求得，从而得到扇形OEPF的圆心角的度数，再利用扇形的弧长公式求得扇形的弧长，然后把它作为圆锥的底面圆的周长进行计算即可求得． 【详解】解：，O是以BC中点， ， ， 在中，， ， 同理可得， ， 扇形的弧长为：， 圆锥的半径为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，特殊角的三角函数，求得圆心角的度数是解决本题的关键． 7. 九个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这九个正方形分成面积相等的两部分，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线和小正方形边的交点为，取在轴上小正方形的顶点为，易知，利用已知条件可得到夹在直线与轴间的部分为九个正方形面积之和的一半，可求的面积两个小正方形的面积，利用三角形的面积公式可求线段的值，从而的正切值可求． 【详解】解：如图，直线与小正方形的边交于点， 经过原点的一条直线将这九个正方形分成面积相等的两部分， 直线与轴之间的面积为． ． 正方形的边长为， ． 三角形面积是， ． ． 的正切值． 故选：B． 【点睛】此题考查了面积相等问题，解直角三角形，坐标与图形，解题的关键是利用已知和三角形的面积公式求得线段的长． 8. 将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去右上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】严格按照所给方法斜着向右上对折，再斜着向左上对折，向右左对折，剪去上部分的等腰直角三角形，展开得到答案． 【详解】解：易得剪去的4个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间． 故选A． 【点睛】本题主要考查了剪纸问题；学生空间想象能力，动手操作能力是比较重要的，做题时，要注意培养． 9. 如图，在直角坐标系中，以坐标原点为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数的图象上，则P点的横坐标为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点分别作：，利用角平分线的性质，可得：，进而得到四边形为正方形，通过全等，得到，设，列方程求出的值，进而确定点的横坐标． 【详解】解：如图，过点分别作：， ∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P， ∴， ∴四边形为正方形， ∵， ∴（）， ∴， 同法可得：， 设，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； ∴点的横坐标为：． 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 10. 我国伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作PN⊥AB，取关于圆心的对称点，连接HG交FC于点O，连接OA，OB，过点O作于M，可知∠PAB=45°，可求OM=PN=，再解Rt△AMO，求得圆的半径长，进而可求圆周长，再根据=圆周长÷12求得的长即可． 【详解】解：如图，过点P作PN⊥AB，取关于圆心的对称点，连接HG交FC于点O，连接OA，OB，过点O作于M， ∴∠PAB=45°， ∴PN=OM=， ∵OA=OB，∠AOB=60°， ∴∠AOM=30°， ∴， 即圆的半径为4， ∴圆的周长为：， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出圆的半径长是解题的关键． 二．填空题（共24分） 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 12. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的基本性质变形得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 13. 若使代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】x≤3且x≠0 【解析】 【分析】由二次根式及分式有意义的条件，即可得到答案． 【详解】解：要使代数式有意义，则有： ，解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14. 小明用，计算一组数据的方差，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方差计算公式，一组数据的平均数为，那么它的方差为，据此可得这组数据的平均数，进而可得答案． 【详解】解：由题意得，这10个数据的平均数为3， ∴， 故答案为：． 15. 在一次函数中，y的值随着x值的增大而减小，则点在第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】先根据一次函数中，函数y的值随x值的增大而增大判断出k的符号，求出k的取值范围即可判断出P点所在象限． 【详解】解：∵在一次函数中，函数y的值随x值的增大而减小， ∴， ∴点在第四象限． 故答案为：四． 【点睛】本题考查的是一次函数增减性质与系数k的关系，判断点所处的象限，根据题意判断出k的符号是解答此题的关键． 16. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2＋b（x+2）＋c＜0的解集为_______． 【答案】x＜－1或x＞1##x＞1或x＜－1 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的性质，利用图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：由函数图象可知，二次函数与x轴的交点坐标的横坐标为1和3 函数的图象与x轴的交点横坐标为-1和1， 由函数图象可知，二次函数，当1＜x＜3时，函数图象在x轴的上方， 二次函数，当-1＜x＜1时，函数图象在x轴的上方， 不等式的解集为x＜－1或x＞1． 故答案为：x＜－1或x＞1． 【点睛】此题考查了不等式解集的问题，解题的关键是掌握二次函数图象平移的性质和利用图象法解不等式． 17. 如图，两块完全一样的含30°角的三角板完全重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好经过下面一块三角板的直角顶点，已知∠A＝30°，BC＝2，则此时两直角顶点C，C'间的距离是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先求解，由旋转的性质可得可证是等边三角形，即可求的长． 【详解】解：如图，连接， ∵点M是AC中点， ∴AM=CM=， ∵旋转， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，勾股定理的应用，旋转的性质，熟练运用旋转的性质是解本题的关键． 18. 如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，取的中点，连接,，过点作，过点作，当三点共线时，取得最小值，勾股定理求得，根据求解即可． 【详解】如图，取的中点，连接,，过点作，过点作， ， ， 四边形是正方形， 的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（共76分） 19. 计算、解不等式组： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂与乘方法则计算即可； （2）分别求出两个不等式组的解集，再求出两个解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 所以不等式组的解集为：． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先计算分式的减法，再计算除法，根据结合分式有意义的条件得，把它代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴； ∵分式有意义， 则， ∴， ∴， ∴原式． 21. 某单位食堂为全体960名职工提供了A、B、C、D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为_______，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为_______°； （2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数； （3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）60；108 （2）336人 （3） 【解析】 【分析】（1）抽取人数与所占百分比的积为最喜欢A套餐的人数；与“C”所占的百分比的积即为“C”对应扇形的圆心角； （2）根据样本估计总体的思想计算即可； （3）利用列表法即可求解． 【小问1详解】 解：（人），， 故在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为60人，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为； 【小问2详解】 解：（人）； 答：估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数有336人； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 甲乙 乙丙 乙丁 丙 甲丙 乙丙 丙丁 丁 甲丁 乙丁 丙丁 所有等可能结果有12种，其中恰好选中甲和乙的等可能结果有2种， 则恰好选中甲和乙的概率为， 答：恰好选中甲和乙的概率为． 22. 汉书《淮南万毕术》记载：取大境高悬，置水盆于下，则见四邻．如图1，这句话是说，利用高挂上面的镜子所成的像，再反射到水盆中，借此观察院墙外景象．相关光的路径和围墙等，用几何图形表示如图2，已知点，，，在同一条水平线上，点在围墙的正上方，于点，于点，，，米，，求点到墙脚的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，，） 【答案】4.9米 【解析】 【分析】延长，点在的延长线上，在中，可求BE，在中，可求CN，在中，先求得，从而可求ND． 【详解】解：延长，点在的延长线上， 在中，（米）， （米）， 在中，（米）， 在中，，（米）， 答：到墙脚的距离约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 23. 如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数（x＞0，k＞0）的图象经过C、D两点，已知平行四边形OABC的面积为． （1）求直线OB的解析式； （2）求点B的坐标． 【答案】（1）y＝x （2）B（，3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求得直线OB的解析式； （2）根据待定系数法求出反比例函数y＝，设C（a，），且a＞0，由平行四边形的性质得，S平行四边形OABC＝2S△OBC，则B（，），BC＝﹣a，代入面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 设OB的解析式为y＝mx， ∵OB经过点D（3，2）， 则2＝3m， ∴m＝， ∴OB的解析式为y＝x； 【小问2详解】 ∵反比例函数（x＞0，k＞0）的图象经过点D（3，2）， ∴k＝3×2＝6， ∴反比例函数y＝， ∵反比例函数图象经过点C， ∴设C（a，），且a＞0， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴，S平行四边形OABC＝2S△OBC， ∴点B的纵坐标为， ∵OB的解析式为y＝x， ∴B（，）， ∴BC＝﹣a， ∴S△OBC＝××（﹣a）， ∴2×××（﹣a）＝， 解得：a＝2或a＝﹣2（舍去）， ∴B（，3）． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，平行四边形的性质，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键． 24. 为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示： 污水处理设备 A型 B型 价格（万元/台） m m﹣3 月处理污水量（吨/台） 2200 1800 （1）求m的值； （2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问采用何种购买方案可以使得每月处理污水量的吨数为最多？并求出最多吨数． 【答案】（1）18 （2）两种设备各购入5台，可以使得每月处理污水量的吨数为最多，最多为20000吨 【解析】 【分析】（ 1）根据90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，列出关于m的分式方程，求出m的值即可； （2 ）设购买A型设备x台，则B型设备（10﹣x）台，根据题意列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围．再设每月处理污水量为W吨，则W＝2200x+1800（10﹣x）＝400x+18000，根据一次函数的性质即可求出最大值． 【小问1详解】 解：由题意得：＝， 解得m＝18． 经检验m＝18是原方程的根， 故m的值为18； 【小问2详解】 解：设购买A型设备x台，则B型设备（10﹣x）台， 由题意得：18x+15（10﹣x）≤165， 解得x≤5． 设每月处理污水量为W吨，由题意得W＝2200x+1800（10﹣x）＝400x+18000， ∵400＞0， ∴W随着x的增大而增大， ∴当x＝5时，W最大值为：400×5+18000＝20000， 即两种设备各购入5台，可以使得每月处理污水量的吨数为最多，最多为20000吨． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的关系是解决问题的关键．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 25. 某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作： 第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2； 第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD； 第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G； （1）填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___； （2）①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由． ②当时，连接DG，请直接写出___； （3）如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当时，求AM的长． 【答案】（1）∠CAD=∠GAD； （2）①AD∥BC； ②3 （3）9 【解析】 【分析】（1）根据题目的尺规作图发现AD平分∠CAG即可得到∠CAD=∠GAD； （2）①由AD平分∠CAG再结合等腰三角形ABC的外角可得AD平行BC； ②易证，可得 （3）以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，由（2）可得， 即可用一线三等角模型构造相似解题． 【小问1详解】 由尺规作图步骤发现AD平分∠CAG ∴∠CAD=∠GAD； 【小问2详解】 ①∵ ∴ ∵∠CAD=∠GAD, ∴ ∴AD∥BC ②∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 【小问3详解】 以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，如图 由（1）（2）可得, 设则 ∵点P为AB的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，解得 ∴． 【点睛】本题考查尺规作图中的作角平分线以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据尺规作图的步骤判断是作角平分线． 26. 如图，“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线y=x的对称图形组成，点A、B是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点C、D、E、F是该图案与坐标轴的交点，且点C的坐标为 ． （1）求k的值及DF的长： （2）求AB的长； （3）若点M是该图案上一动点，N是其对称点， 连接MN，求MN的最大值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入求出k的值，求出点D的坐标和点F的坐标，即可求出DF的值； （2）求直线与抛物线的交点坐标，然后再求AB的长即可； （3）设点M的坐标，则，用m、n表示出，根据点M在抛物线上，得出，得出，根据m的取值范围可以求出MN的最大值即可． 【小问1详解】 把代入得：，解得：， ∴抛物线的关系式为， 把代入得：， ∴点D的坐标为， ∵点F与点C关于直线y=x对称， ∴点F的坐标为， ∴； 【小问2详解】 联立， 解得：，， ∴点A和B的坐标分别为，， ∴； 【小问3详解】 ∵点M与点N关于y=x对称， ∴设点，则， ∴， ∵M在抛物线上， ∴，且， ∴ ， ∵， ∴时，有最大值， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的性质，根据点M横坐标的范围求MN的最大值，是解题的关键． 27. 已知，如图，内接于，边为直径，且．点P是直径下方圆弧上一点，与交于点Q． （1）求的半径． （2）当，求的长度． （3）若，求弦的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理的推论和勾股定理即可求出其半径． （2）连接PO，并延长交⊙O于点D，作于点E，于点F． 由题意结合三角形面积公式可知，即得出．又易证，即得出，即，即可求出AP的长． （3）作于点M，于点N．由题意易证，即得出．由（2）可知，即可求出．再由三角形面积公式可求出．在中，利用勾股定理可得：．即求出，即．设则，即，解出x即可． 【详解】（1）根据题意可知， ∴在中，， ∴⊙O的半径为． （2）如图，连接PO，并延长交⊙O于点D，作于点E，于点F． 由题意可知，， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴，即， ∴． （3）如图，作于点M，于点N． 在和中，， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， 解得：． ∵， ∴． 在中，，即． ∴． ∴， 设则 ∴， 解得：． ∴的长为或． 【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质以及勾股定理．作出辅助线是解答本题的关键． 28. 数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45°，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45°的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角．根据该约定，完成下列问题： （1）如图1，已知正方形ABCD中O是对角线AC上一动点，过O作OP⊥OD，垂足为O，交BC边于P，△POD是否为一中美三角，并说明理由； （2）如图2，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），点P在第二象限内，且在直线y＝﹣2x﹣2上，若△ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标； （3）如图3，若二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为第二象限上的点，在直线AC上，且∠OPB恰好构成一中美角；Q为x轴上方抛物线上的一动点，令Q点横坐标为m（0＜m＜3），当m为何值时，△PBQ的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积． 【答案】（1）△POD为一中美三角， 理由如下：过O作EF⊥BC于F，交AD于E，如图： ∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC， ∴∠ACB＝45°，四边形EFCD是矩形， ∴△OFC是等腰直角三角形，ED＝FC， ∴OF＝FC， ∴OF＝ED， ∵OP⊥OD， ∴∠2＝90°﹣∠3＝∠1， 在△DEO和△OFP中，  ， ∴△ DEO≌△OFP（ASA）， ∴OD＝OP， 又∠DOP＝90°， ∴△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角； （2）P（﹣2，2） （3）m＝时，S△PBQ有最大值为，此时Q（，）． 【解析】 【分析】（1）过O作EF⊥BC于F，交AD于E，证明可得OD＝OP，从而△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角； （2）设P（m，-2m-2），AP2=（m+2）2+（-2m-2）2=5m2+12m+8，BP2=m2+（-2m-2-2）2=5m2+16m+16，AB2=（-2-0）2+（0-2）2=8，△ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，分三种情况讨论：①若AP、BP为腰，5m2+12m+8=5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16=8，②若AP、AB为腰，5m2+12m+8=8且5m2+12m+8+8=5m2+16m+16，③若BP、AB为腰，则5m2+16m+16=8且5m2+16m+16+8=5m2+12m+8，分别解方程即可得答案； （3）连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，由∠OPB=∠BCO知P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上，根据PD= BC=，P（t，3t+3），可列（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2得P（﹣，），从而可得直线BP为y=-x+1，由Q（m，-m2+2m+3），M（m，- m+1），有QM=-m2+m+2，故S△PBQ=﹣（m﹣）2+，即可得m= 时，S△PBQ有最大值为，Q（，）． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设P（m，﹣2m﹣2）， ∵点A（﹣2，0），点B（0，2）， ∴AP2＝（m+2）2+（﹣2m﹣2）2＝5m2+12m+8， BP2＝m2+（﹣2m﹣2﹣2）2＝5m2+16m+16， AB2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣2）2＝8， △ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，如图： ①若AP、BP为腰，则需满足：AP＝BP且AP2+BP2＝AB2， ∴5m2+12m+8＝5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16＝8， 解得m＝﹣2， ∴P（﹣2，2）； ②若AP、AB为腰，同理可得： 5m2+12m+8＝8且5m2+12m+8+8＝5m2+16m+16， 满足两个方程的m＝0，此时不存在P，使△ABP构成一中美三角； ③若BP、AB为腰，则5m2+16m+16＝8且5m2+16m+16+8＝5m2+12m+8， 没有m能同时满足两个方程，故此时不存在P，使△ABP构成一中美三角； 综上所述，△ABP构成一中美三角，则P（﹣2，2）； 【小问3详解】 连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，如图： ∵y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC，BC＝3，D（，）， ∴∠BCO＝45°， ∵∠OPB恰好构成一中美角，即∠OPB＝45°， ∴∠OPB＝∠BCO， ∴P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上， ∵∠BOC＝90°， ∴D为△BOC的外接圆圆心， ∴PD＝BC＝， 设直线AC为y＝kx+b，则 ， 解得， ∴直线AC为y＝3x+3， 设P（t，3t+3）， ∴（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2， 解得t＝﹣或t＝0（舍去）， ∴P（﹣，）， 设直线BP为y＝sx+r， 则， 解得 ， ∴直线BP为y＝﹣x+1， ∵Q点横坐标为m， ∴Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，﹣m+1）， ∴QM＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+1）＝﹣m2+m+2， ∴S△PBQ＝QM•（xB﹣xP）＝（﹣m2+m+2）×（3+）＝﹣（m﹣）2+， ∵﹣＜0， ∴m＝时，S△PBQ有最大值为， 此时Q（，）． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数及二次函数图象上点坐标特征、四点共圆、三角形面积等知识，综合性强，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的点坐标、线段长度及三角形面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年第二学期初三练习卷 数 学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 把一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 据报道，在新冠疫苗的防重症保护效力下，德尔塔毒株的“突破性感染”占比约为0.00098，将0.00098用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 在一次科技作品制作比赛中，某小组六件作品的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9．对这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 平均数是7 B. 众数是7 C. 极差是5 D. 中位数8.5 6. 如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以BC中点O为圆心AB长为半径画弧，得扇形OEPF，若将此扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则圆锥的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 九个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这九个正方形分成面积相等的两部分，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去右上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在直角坐标系中，以坐标原点为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数的图象上，则P点的横坐标为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 我国伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共24分） 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 12. 若，则_______． 13. 若使代数式有意义，则的取值范围是______． 14. 小明用，计算一组数据的方差，那么______． 15. 在一次函数中，y的值随着x值的增大而减小，则点在第______象限． 16. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2＋b（x+2）＋c＜0的解集为_______． 17. 如图，两块完全一样的含30°角的三角板完全重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好经过下面一块三角板的直角顶点，已知∠A＝30°，BC＝2，则此时两直角顶点C，C'间的距离是 _____． 18. 如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为_______． 三、解答题（共76分） 19. 计算、解不等式组： （1）． （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某单位食堂为全体960名职工提供了A、B、C、D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为_______，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为_______°； （2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数； （3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求恰好选中甲和乙的概率． 22. 汉书《淮南万毕术》记载：取大境高悬，置水盆于下，则见四邻．如图1，这句话是说，利用高挂上面的镜子所成的像，再反射到水盆中，借此观察院墙外景象．相关光的路径和围墙等，用几何图形表示如图2，已知点，，，在同一条水平线上，点在围墙的正上方，于点，于点，，，米，，求点到墙脚的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，，） 23. 如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数（x＞0，k＞0）的图象经过C、D两点，已知平行四边形OABC的面积为． （1）求直线OB的解析式； （2）求点B的坐标． 24. 为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示： 污水处理设备 A型 B型 价格（万元/台） m m﹣3 月处理污水量（吨/台） 2200 1800 （1）求m的值； （2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问采用何种购买方案可以使得每月处理污水量的吨数为最多？并求出最多吨数． 25. 某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作： 第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2； 第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD； 第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G； （1）填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___； （2）①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由． ②当时，连接DG，请直接写出___； （3）如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当时，求AM的长． 26. 如图，“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线y=x的对称图形组成，点A、B是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点C、D、E、F是该图案与坐标轴的交点，且点C的坐标为 ． （1）求k的值及DF的长： （2）求AB的长； （3）若点M是该图案上一动点，N是其对称点， 连接MN，求MN的最大值． 27. 已知，如图，内接于，边为直径，且．点P是直径下方圆弧上一点，与交于点Q． （1）求的半径． （2）当，求的长度． （3）若，求弦的长度． 28. 数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45°，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45°的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角．根据该约定，完成下列问题： （1）如图1，已知正方形ABCD中O是对角线AC上一动点，过O作OP⊥OD，垂足为O，交BC边于P，△POD是否为一中美三角，并说明理由； （2）如图2，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），点P在第二象限内，且在直线y＝﹣2x﹣2上，若△ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标； （3）如图3，若二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为第二象限上的点，在直线AC上，且∠OPB恰好构成一中美角；Q为x轴上方抛物线上的一动点，令Q点横坐标为m（0＜m＜3），当m为何值时，△PBQ的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $