精品解析：江苏南京市江北新区2025-2026学年第二学期期末试卷八年级数学

2025－2026学年第二学期期末试卷 八年级数学 全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一．选择题（本大题共8小题，每小题2分；共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，据此进行判断即可． 【详解】A、，不是最简二次根式，不符合题意． B、最简二次根式，符合题意． C、，不是最简二次根式，不符合题意． D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选B． 2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 水落石出 B. 水涨船高 C. 水滴石穿 D. 水中捞月 【答案】D 【解析】 【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可 【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意； B、水涨船高是必然事件，不符合题意； C、水滴石穿是必然事件，不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，符合题意； 故选D 【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键． 3. 若，则下列化简一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质并能正确应用． 根据分式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，看其是否符合性质要求． 【详解】解：A，，选项化简错误，不符合题意； B，，选项化简错误，不符合题意； C，，选项化简错误，不符合题意； D，，选项化简正确，符合题意． 故选：D． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 半圆是弧 C. 长度相等的两段弧是等弧 D. 圆上各点到圆心的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的相关概念，熟练掌握有关圆的相关概念是解题的关键．根据圆的定义、弦、弧及等弧的定义，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、直径是圆中最长的弦，这是圆的性质，则A正确，不符合题意； 选项B、半圆属于弧，则B正确，不符合题意； 选项C、等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，则C错误，符合题意； 选项D、圆上各点到圆心的距离都相等，都等于半径，这是圆的定义，则D正确，不符合题意； 故选：C． 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】理解题意，找到剩余知识量的等量关系．每天遗忘百分比为，剩余知识量每天在上一天剩余的基础上按比例衰减，据此列出方程即可． 【详解】解：设原始知识量为， ∵每天遗忘的百分比为， ∴第一天后剩余的知识量为， 第二天后剩余的知识量为， 又∵两天不练丢一半，即两天后剩余知识量为原来的， ∴． 6. 如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后解直角三角形解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、正切的定义等知识点，求出是解答本题的关键． 7. 若点都在反比例函数图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中， 函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大． ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象随的符号不同，其函数图象增减性不同是解题的关键． 8. 若，则值为（ ） A. B. C. D. 无理数 【答案】B 【解析】 【分析】设1013为中间量，将1012、1014转化为含该量的式子，利用完全平方公式简化运算． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴． 二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 9. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 10. 要使分式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义的条件为分母不为零，据此列不等式求解即可. 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母不能为，即， 解得． 11. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________°． 【答案】 14 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 12. 若方程无解，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程无解说明方程产生增根，增根使原方程分母为零，先将分式方程化为整式方程，再代入增根计算的值即可． 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得整理得， ∵原分式方程无解， ∴原方程的分母为零，即增根为，解得， 把代入， 得， 解得． 13. 图像识别是人工智能领域的一个重要分支．如图，某人工智能模型图像识别的正确率随着训练次数的增加而逐渐趋于稳定．现用该模型识别100幅图像，被正确识别的图像估计有______幅． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，正确理解题意并读懂图象含义是解题的关键． 由图象可知正确率趋于稳定时，正确率约为0.8，再由100乘以0.8即可求解． 【详解】解：由题意知，正确率逐渐趋于稳定时，正确率约为0.8，则(幅)． 故答案为：80． 14. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，将方程整理后，根据，构建不等式求解． 【详解】解：， 整理得，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的性质，根据题意求得k的范围，结合交点即可求得x，代入正比例函数即可求得对应y值，即可求得答案． 【详解】解：∵双曲线位于一、三象限，直线与双曲线交相交， ∴， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴和是方程的解，解得， 若，则，，则， ∴， 故答案为：． 16. 关于x的方程的两根之和是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把关于的方程转化成一般形式． 先设关于的方程的两根分别为：，，然后把关于的方程化成一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程根与系数的关系，求出答案即可． 【详解】解：设关于的方程的两根分别为：，， ， ， ， ∴， 故答案为：． 17. 用图中两块相同的含的三角板拼成一个四边形，在所有拼成的四边形中，两条对角线的所有比值的最大值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的性质等，先画出图形，再根据勾股定理求出对角线长，即可求解． 【详解】解：拼成的四边形有如下四种可能： 设角所对的直角边长为a，则斜边长为，另一直角边长为． 第一种情况：作交的延长线于点E，易知， 则， ，， ， 两条对角线的比值， 第二种情况：作交的延长线于点E，可得矩形， 令，则， ， ， ， ， 两条对角线的比值； 第三种情况：四边形为矩形， 两条对角线的比值； 第四种情况：为等边三角形，， 两条对角线的比值； ， 即在所有拼成的四边形中，两条对角线的所有比值的最大值为， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，点、分别在、上，且．则的最大值________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质，设，则，结合含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识得到，，则，再结合x的取值范围，二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 设，则， ∴， ∴，， ∴， 如图所示，过点作于点，过点作于点， 在中，，则， ∴， ∴根据勾股定理得， 当点在点上方时，， 在中，， 在中，， ∴， ∴根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最大， ∴最大值； 当点在点下方时， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， 同理，，， ∴当时，最大值； 综上，最大值为 ． 三．解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘除法，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ， ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算进行计算化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 21. 以下是某地近年来年均值和全年空气优良率统计表： 年份 项目 2021 2022 2023 2024 2025 年均值（单位：微克/立方米） 空气优良天数比例 （1）与上一年相比，年均值变化率最大的是（ ） A． B． C． D． （注：①空气优良天数比例；②变化率） （2）请在下图中绘制恰当的统计图反映空气优良天数变化情况： （3）请结合上述图表中信息，写出一个不同于（1）的结论． 【答案】（1）C （2）绘制折线统计图如下； （3）这五年空气优良天数逐年增加（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了统计表，折线统计图．理解题意，明确不同统计图的作用是解题的关键． （1）先分别计算2022到2025年的年均值变化率，比较大小即可； （2）先分别计算2021到2025年的空气优良天数，然后绘制折线统计图即可； （3）根据折线统计图的特点写结论即可． 【小问1详解】 解：由题意知，2022年的年均值变化率为； 2023年的年均值变化率为； 2024年的年均值变化率为； 2025年的年均值变化率为； ∵， ∴2023年的年均值变化率最大． 【小问2详解】 解：由题意得，2021年全年空气优良天数为（天）， 2022年全年空气优良天数为（天）， 2023年全年空气优良天数为（天）， 2024年全年空气优良天数为（天）， 2025年全年空气优良天数为（天）， 绘制折线统计图略． 【小问3详解】 略 22. 如图，在中，，，垂足分别为、，、分别是、的中点，连接、、、． （1）求证：； （2）连接，若、，则四边形的面积为________． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是矩形，则，由E、F分别是、的中点，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接、，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，结合得到四边形为平行四边形，根据矩形得到，证明四边形为平行四边形得到，因此，从而得出是矩形，根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接、， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵由（1）有 ∴四边形为平行四边形． 由（1）得四边形为矩形， ∴． ∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∴， ∴是矩形， ∴， ∴在中，， ∴． 23. 某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元/天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 【答案】每间客房的定价应为300元 【解析】 【分析】设每间客房的定价提高了x元，根据每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，列方程即可解决． 【详解】解：设每间客房的定价提高了x元，由题意得： ， 解得：， 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 所以当时，能吸引更多的游客，则每间客房的定价为（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入，得 ，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 25. 已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． （1）若，求线段的长． （2）若点在弦上运动，则的最大值________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 26. 如图，在菱形中，对角线与交于点．，．点沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止运动．连接，．设运动时间为秒，点与点之间的距离为，． （1）请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）请结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1）； （2）解：如图所示： 在时，的图象关于直线对称； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，分两种情况，在中，由勾股定理求出长度即可得到，再由菱形性质得到相关线段长度，分别表示出和的面积即可得到，结合点的运动速度及长度即可确定的取值范围； （2）采用描点法作出函数，的图象，由图象即可得到函数的性质； （3）由图象可知，要求时的取值范围，就需要找到的图象在图象上方时的取值范围，数形结合，估算出，的图象交点横坐标取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：点沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为秒， ， 当点在点左侧时，如图所示： ， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 当点在点右侧时，如图所示： ， ， 在中，，，，则由勾股定理可得； 综上所述，点与点之间的距离为； 在菱形中，，，则，， ， ， ； 【小问2详解】 解：采用描点法作的图象， 列表： 0 1 2 3 4 5 6 5 5 采用描点法作的图象， 列表： 1 2 3 4 5 6 6 3 2 1.5 1.2 1 在同一个坐标系中描点、连线，如图所示： 在时，的图象关于直线对称； 【小问3详解】 解：由（2）知两个图象有一个交点，过交点作轴的垂线，如图所示： 令， 由图可知，，的图象交点横坐标取值范围是， 取中点，得到和， 当时，；当时，；当时，； ，的图象交点横坐标取值范围缩小为， 取中点，得到和， 当时，；当时，；当时，； ，的图象交点横坐标取值范围缩小为， 题中要求近似值保留一位小数，误差不超过，则，的图象交点横坐标可取， 当，即的图象在图象上方时，的取值范围为． 27. 用矩形纸片可以折叠出等边三角形，但折叠会损耗矩形纸片的面积，能否将整张矩形纸片无损耗地剪拼成一个等边三角形呢？ （1）有些矩形纸片很容易剪拼成等边三角形．下面两个矩形纸片只需剪刀就可以拼成等边三角形，请画出分割线，并做必要标注． （2）任意矩形要剪拼成等边三角形很难想到，不妨倒过来考虑，即研究将等边三角形纸片剪拼成矩形．图③是一种可行的分割方案： 分割方案 对等边三角形纸片，分别取，的中点，，在上取点，在上取点，使．连接，过作，过作，垂足分别为，． ①求证； ②将图③中甲、乙、丙三部分进行平移或旋转可以拼出矩形，在原图中画出拼接矩形的示意图． （3）如何将一张纸（如图④，，）剪拼成等边三角形？在图中画出分割线（标注必要的长度或角度，写出必要的文字说明）． （4） 【答案】（1）解：分割线如图所示： 和可以拼成等边三角形；、和梯形可以拼成等边三角形； （2）①证明：连接，如图所示： 是的中点，是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②解：将四边形和四边形分别绕点和旋转至四边形和四边形，将平移至，拼接矩形的示意图如图所示： ； （3）解：设拼成的等边三角形的边长为， ，解得，即， 取的中点，以为圆心，为半径画弧，交于，以为边作等边，过作，交于，交于，如图所示： 在（2）中，如图所示： 则，且将平移至，即， 同理可得，， ， 和是分割线． 【解析】 【分析】（1）图①连接，沿着对角线剪开，得到的两个和可以拼成等边三角形；图②取边的四等分点，连接，沿着剪开，得到的、和梯形可以拼成等边三角形； （2）①连接，由中位线的判定与性质得到相关角度与边的等量关系，再由三角形全等的判定定理证明，从而得出结论； ②将四边形和四边形分别绕点和旋转至四边形和四边形，将平移至，即可拼出矩形； （3）取的中点，以为圆心，为半径画弧，交于，以为边作等边，过作，交于，交于，参考（2）中等边三角形与矩形的拼接过程即可得到和是分割线，在图中画出分割线即可． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： 在中，设，，则由勾股定理可得， ， ，则， 在矩形中，，，则，， 将的边与的边重合，即可拼成等边三角形，如图所示： 先对折矩形，使重合，再次对折，展开得到的三个四等分点，连接并延长，交于点，连接，如图所示： ， ∵四边形是矩形， ， 设，，则， 由勾股定理可得， ， ，则， 同理可得，， 是等边三角形， 在矩形中，，则，， 是等边三角形，则， ， ， 在和中， ， 同理可得，， 沿着和剪开矩形，得到、和梯形可以拼成等边三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期期末试卷 八年级数学 全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一．选择题（本大题共8小题，每小题2分；共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 水落石出 B. 水涨船高 C. 水滴石穿 D. 水中捞月 3. 若，则下列化简一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 半圆是弧 C. 长度相等的两段弧是等弧 D. 圆上各点到圆心的距离相等 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若点都在反比例函数图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则值为（ ） A. B. C. D. 无理数 二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 9. 因式分解：_________． 10. 要使分式有意义，则的取值范围是________． 11. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________°． 12. 若方程无解，则的值为________． 13. 图像识别是人工智能领域的一个重要分支．如图，某人工智能模型图像识别的正确率随着训练次数的增加而逐渐趋于稳定．现用该模型识别100幅图像，被正确识别的图像估计有______幅． 14. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 __． 15. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为______． 16. 关于x的方程的两根之和是____． 17. 用图中两块相同的含的三角板拼成一个四边形，在所有拼成的四边形中，两条对角线的所有比值的最大值为____． 18. 如图，在中，，，，点、分别在、上，且．则的最大值________． 三．解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 以下是某地近年来年均值和全年空气优良率统计表： 年份 项目 2021 2022 2023 2024 2025 年均值（单位：微克/立方米） 空气优良天数比例 （1）与上一年相比，年均值变化率最大的是（ ） A． B． C． D． （注：①空气优良天数比例；②变化率） （2）请在下图中绘制恰当的统计图反映空气优良天数变化情况： （3）请结合上述图表中信息，写出一个不同于（1）的结论． 22. 如图，在中，，，垂足分别为、，、分别是、的中点，连接、、、． （1）求证：； （2）连接，若、，则四边形的面积为________． 23. 某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元/天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 24. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 25. 已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． （1）若，求线段的长． （2）若点在弦上运动，则的最大值________． 26. 如图，在菱形中，对角线与交于点．，．点沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止运动．连接，．设运动时间为秒，点与点之间的距离为，． （1）请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）请结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 27. 用矩形纸片可以折叠出等边三角形，但折叠会损耗矩形纸片的面积，能否将整张矩形纸片无损耗地剪拼成一个等边三角形呢？ （1）有些矩形纸片很容易剪拼成等边三角形．下面两个矩形纸片只需剪刀就可以拼成等边三角形，请画出分割线，并做必要标注． （2）任意矩形要剪拼成等边三角形很难想到，不妨倒过来考虑，即研究将等边三角形纸片剪拼成矩形．图③是一种可行的分割方案： 分割方案 对等边三角形纸片，分别取，的中点，，在上取点，在上取点，使．连接，过作，过作，垂足分别为，． ①求证； ②将图③中甲、乙、丙三部分进行平移或旋转可以拼出矩形，在原图中画出拼接矩形的示意图． （3）如何将一张纸（如图④，，）剪拼成等边三角形？在图中画出分割线（标注必要的长度或角度，写出必要的文字说明）． （4） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $