精品解析： 湖南省长沙市天心区长沙市雅礼外国语学校2021-2022学年七年级下学期 数学竞赛班第7讲不等式练习

第七讲 不等式 1. 如果关于的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对共有（ ） A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 【答案】C 【解析】 【分析】根据整数解仅为1,2,3，确定不等式组解集边界的取值范围，注意等号的取舍. 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解仅为1，2，3， ∴，， 解得，， ∵m，n为整数， ∴m可取1，2，3，共3个，n可取7，8，共2个， ∴整数对共有对. 2. 已知是彼此不相等的负数，且 ，请比较M与N的大小． 【答案】 【解析】 【分析】设公共部分，将，用表示后计算，根据结果的符号即可比较大小． 【详解】解：设， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3. 若a，b满足，则S的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】将两式联立，得到方程组，解之得到，根据非负数的性质得到不等式组，解之可得S的范围． 【详解】解：联立， 解得：， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质，解方程组和不等式组，难点是确定a、b、S之间的关系． 4. 方程组的解是一对异号的数，则a的取值范围是________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】首先求出方程组的解，然后根据题意列不等式组求解即可． 【详解】解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∵方程组的解是一对异号的数， ∴或 解得或． 5. 已知：、、是三个非负有理数，且满足，若，则的最大值和最小值的和是多少？ 【答案】5 【解析】 【分析】联立已知方程消元，用表示与，结合非负的条件求出的取值范围，代入的表达式计算最值与和． 【详解】解：由题意得 ， ， ． 得， ． 得， ． 为非负有理数， ， 解得． 当时，取得最大值，为； 当时，取得最小值，为． 最大值与最小值的和为． 6. 若整数、、满足不等式组，试确定、、的大小关系 【答案】 【解析】 【分析】先得出，，，则，再得出，，与之间的不等式关系，由此即可得． 【详解】解：由不等式组可知：，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ， 由不等式①得：，即， ∴， 由不等式②得：，即， ∴， 由不等式③得：，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 设a，b，c，d均为整数，且关于x的四个方程，，，的根都是正数，试求a可能取得的最小值是多少？ 【答案】a可能取得的最小值是2433 【解析】 【分析】从第四个方程的正根条件推出d的最小整数值，再依次根据其余方程的正根条件与整数性质，逐步倒推得到c，b的最小整数值，最终求出a的最小值． 【详解】解：∵ ∴ ∵根是正数，且d为整数 ∴，即 ∴d的最小值为101 ∵ ∴ ∵根是正数 ∴ ∴ ∵c为整数 ∴c的最小值为 ∵ ∴ ∵根是正数 ∴ ∴ ∵b为整数 ∴b的最小值为 ∵ ∴ ∵根是正数 ∴ ∴ ∴a的最小值为． 8. 某地区举办初中数学联赛，有四所中学参加，选手中，两校共16名；两校共20名；两校共34名，并且各校选手人数的多少是按中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数． 【答案】校7人，校9人，校11人，校23人 【解析】 【分析】本题考查一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组，进而根据①②确定的取值，作为突破口，致使最终得解． 首先假设A、B、C、D四校的选手人数分别为x，y，z，u，根据选手中A，B两校共16名；B，C两校共20名；C，D两校共34名．列出方程组，通过各校选手人数的多少是按A、B、C、D中学的顺序选派的，得到．进而判断出y的取值，根据方程组依次得到x、z、u的值． 【详解】解：设A、B、C、D四校的选手人数分别为，，，． 根据题意，得， A、B、C、D四所学校按照由少至多分别派出， ， 由①与得，所以， 由②与得，所以， 于是，所以（因为人数是整数）， 将代入①，②可知，， 再由③有． 答：A校7人，B校9人，C校11人，D校23人． 9. 某钱币收藏爱好者想把元纸币兑换成分，分，分的硬币，他要求硬币总数为枚，且每种硬币不少于枚，分的硬币要多于分的硬币，请你据此设计兑换方案． 【答案】共有5种兑换方案． （1）分硬币枚，分硬币枚，分硬币枚； （2）分硬币枚，分硬币枚，分硬币枚； （3）分硬币枚，分硬币枚，分硬币枚； （4）分硬币枚，分硬币枚，分硬币枚； （5）分硬币枚，分硬币枚，分硬币枚． 【解析】 【分析】设三种硬币的数量为未知数，根据总枚数与总钱数列方程组，消元后用5分硬币数量表示另外两种硬币数量，结合各约束条件求整数解，即可得到所有兑换方案． 【详解】解：设1分硬币有枚，2分硬币有枚，5分硬币有枚，均为正整数． 元 分． 根据题意，得 ， 用方程减去方程，得 ，即． 将代入，得， ∴． 将，代入， 得， 解得． 为正整数， 可取，，，，． 对应的取值为： 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，， 综上所述，共有5种兑换方案，具体如下： （1）1分硬币73枚，2分硬币36枚，5分硬币41枚； （2）1分硬币76枚，2分硬币32枚，5分硬币42枚； （3）1分硬币79枚，2分硬币28枚，5分硬币43枚； （4）1分硬币82枚，2分硬币24枚，5分硬币44枚； （5）1分硬币85枚，2分硬币20枚，5分硬币45枚． 10. 一玩具工厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位．生产一个小熊要使用15个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元．在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数，可以使小熊和小猫的总售价尽可能高．请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2200元？ 【答案】只需安排生产小熊14个、小猫24个，就可达到总售价为2200元 【解析】 【详解】分析：本题在劳力和原料两个限制条件下，设出生产小熊小猫的个数分别为x和y，可列出关于x和y的两个不等式，由总售价为2200元还可以列出关于x和y的一个等式，三个式子结合就可以求出x和y看符合不符合条件，求出答案． 详解：设小熊和小猫的个数分别为x和y,总售价为z,则z=80x+45y=5(16x+9y)① 根据劳力和原材料的限制，x和y应满足 化简 当总售价z=2200时,由①得16x+9y=440(3) (2)9得 (4)−(3)得 即 得 (5) (3)−(5)得， 即 综合(A)、(B)可得x=14,代入(3)求得y=24 当x=14,y=24时,有3x+2y=90,4x+y=80满足工时和原料的约束条件,此时恰有总售价z=80×14+45×24=2200(元) 答：只需安排生产小熊14个、小猫24个，就可达到总售价为2200元. 点睛：考查一元一次不等式的应用，解题的关键是找出题目中的不等关系列出不等式组. 11. 试比较与的大小． 【答案】 【解析】 【分析】设，，得到，，由此即可求解． 【详解】解：设，， ∴ ， ∵，，， ∴，且， ∴，， ∵，即， ∴， 又， ∴，即． 12. 若正整数x，y，z满足(k为正整数)，求x，y，z 【答案】 ，，. 【解析】 【分析】由已知判断，，，则可求出，进而求出，，假设，则，，求出，从而判断假设不成立，则可求出，然后利用同样的方法求出，即可求解. 【详解】解：∵x，y，z是正整数，， ∴，，， ∵，k为正整数， ∴， 即， ∴整数， ∴， ∴， 假设，则，， ∴，不符合题意，舍去， ∴， ∴， 假设，则， ∴，不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∴， 综上，，，. 13. 设a，b是正整数，且，求b取最小值时的分数． 【答案】 【解析】 【分析】根据，求出，以讨论的值来确定b的取值范围，看是否有满足条件的正整数b，这样可以减少验证的次数． 【详解】解：∵， ∴， ∵a，b是正整数， ∴， ∴， ∴当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，此时存在符合题意； ∴当时，为最小值， ∴此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七讲 不等式 1. 如果关于的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对共有（ ） A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 2. 已知是彼此不相等的负数，且 ，请比较M与N的大小． 3. 若a，b满足，则S的取值范围是_____________． 4. 方程组的解是一对异号的数，则a的取值范围是________． 5. 已知：、、是三个非负有理数，且满足，若，则的最大值和最小值的和是多少？ 6. 若整数、、满足不等式组，试确定、、的大小关系 7. 设a，b，c，d均为整数，且关于x的四个方程，，，的根都是正数，试求a可能取得的最小值是多少？ 8. 某地区举办初中数学联赛，有四所中学参加，选手中，两校共16名；两校共20名；两校共34名，并且各校选手人数的多少是按中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数． 9. 某钱币收藏爱好者想把元纸币兑换成分，分，分的硬币，他要求硬币总数为枚，且每种硬币不少于枚，分的硬币要多于分的硬币，请你据此设计兑换方案． 10. 一玩具工厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位．生产一个小熊要使用15个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元．在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数，可以使小熊和小猫的总售价尽可能高．请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2200元？ 11. 试比较与的大小． 12. 若正整数x，y，z满足(k为正整数)，求x，y，z 13. 设a，b是正整数，且，求b取最小值时的分数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $