第二章—第四章段测练习2026-2027学年青岛版八年级上册数学

**基本信息** 青岛版数学第二章—第四章段测，聚焦分式与全等三角形核心知识，通过校徽轴对称识别、机器人搬运材料等情境化试题，梯度考查抽象能力、几何直观与模型意识，适配初中月考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|分式定义、轴对称识别、全等判定|校徽图案识别轴对称，渗透文化传承| |填空题|5题|分式约分、动点全等、方程参数|动点问题结合全等性质，考查空间观念| |解答题|8题|分式化简求值、全等应用、最短路径|机器人搬运材料列分式方程（模型意识），最短路径作图（创新意识）|

青岛版数学第二章—第四章段测 一、单选题 1．在，，，，，中，是分式的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在每一个学子心中都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 3．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A． B． C． D． 4．与如图摆放，点在同一条直线上，，，在下列条件中，不能保证的是（   ） A． B． C． D． 5．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 6．为迎接植树节打造绿色校园，重庆外国语学校组织购买了一批树苗，已知购买香樟树苗花费元，购买木兰树苗花费元，其中每颗香樟树苗价格是每颗木兰树苗价格的，且香樟树苗数量比木兰树苗少颗，求一共买了多少颗木兰树苗？假设购买颗木兰树苗，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．分式方程有增根，则m的值为（　　） A．0和3 B．1 C．1和﹣2 D．3 8．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A． B． C． D． 9．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（   ） A．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 二、填空题 11．若分式，则x的值为______． 12．分式约分后等于______． 13．如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为_________． 14．若分式方程的解是正数，则m的取值范围为 _____________． 15．如图，、、、在同一直线上，，，要得到，还需要添加条件：________．（填写一个你认为正确的条件即可） 三、解答题 16．先化简，再求值：，并在，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值． 17．解分式方程： (1)； (2)． 18．如图，已知，点E在上，与相交于点F，若，，，． (1)求线段的长． (2)求的度数． 19．【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子、的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则 ；（填“”“”或“”） (2)已知，，当，且时，比较与的大小，并说明理由． 20．如图，已知线段a，b和，求作，使． 21．【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A，D，E在直线上，若，求证：； 22．某公司计划购买、两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等． (1)求、两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购、两种型号的机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案． 23．最短路径问题例：如图①，要在街道旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使，到它的距离之和最短？ 解：如图②，只有点关于直线的对称点与点，在同一条直线上时，才能使的值最小，作点关于直线的对称点，然后连接，交直线于点，则就是所求的点． 应用： 如图③，是锐角内部任意一点，在的两边，上各取一点，，组成，使它的周长最小． (1)借助直角三角尺在图③中找出符合条件的点和点，并画出； (2)若，，请结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形这个结论，求周长的最小值． 迁移： (3)如图④是锐角内部一条线段，在的两边，上各取一点，组成四边形，使四边形周长最小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《青岛版数学第二章—第四章段测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D A A D D D B 1．B 【分析】根据分式定义：若为整式，且中含有字母，则是分式，逐一判断即可． 【详解】解：分母含字母，是分式； 分母为常数，不是分式； 是整式，不是分式； 分母含字母，是分式； 分母含字母，是分式； 中是常数，分母不含字母，不是分式； ∴ 符合条件的分式共有个． 【点睛】注意π是常数，不是字母． 2．C 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 3．D 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．根据全等三角形对应角相等可知是边的夹角，然后写出即可． 【详解】解：第一个三角形中之间的夹角为，另一个三角形中是两边的夹角． 两个三角形全等， ． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查三角形全等的判定，由得，在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可． 【详解】解：∵， ∴，即 在与中, ，， A、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意； B、添加，能判定，故本选项不合题意． C、添加， ∴，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不符合题意； D、添加， ∴，不能判定，故本选项符合题意． 故选：D． 5．A 【分析】此题考查了含乘方的分式乘除法混合运算．先乘方，再根据分式乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 6．A 【分析】设购买棵木兰树苗，则购买棵香樟树苗，根据“每颗香樟树苗价格是每颗木兰树苗价格的”即可列出方程． 【详解】解：设购买棵木兰树苗，则购买棵香樟树苗， 根据题意，得：． 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的应用，准确找出等量关系是解题的关键． 7．D 【分析】方程两边同时乘以（x-1）（x+2），分式方程化为整式方程，根据分式方程有增根，得出x-1=0，x+2=0，可得方程的增根，然后代入计算即可． 【详解】分式方程两边同时乘以（x-1）（x+2），原方程可化为x（x+2）-（x-1）（x+2）=m， 整理得，m=x+2， ∵分式方程有增根， ∴x-1=0或x+2=0， ∴x=1或x=-2． 当x=1时，m=1+2=3； 当x=-2时，m=-2+2=0， 当m=3时，原方程即为，解得x=1 原方程有增根，符合题意； 当m=0时，方程即为 ，即 x−(x−1)=0 此方程无解 ∴原分式方程无解 ∴m=0不符合题意 即m的值是3 故选：D 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根就是使最简公分母为0的未知数的值，确定增根后，把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 8．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 9．D 【详解】解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 10．B 【分析】本题考查全等三角形的应用，利用判定三角形全等，进行判断即可． 【详解】解：∵点O为、的中点， ∴ ∵， ∴； ∴； ∴依据的数学基本事实是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 故选B． 11．－1 【分析】根据分式值为零的条件，需同时满足分子等于零，分母不等于零，先求解分子得到的可能取值，再排除使分母为零的取值，即可得到最终结果． 【详解】解：由题意可得 解，得，即， 由，得， ． 12． 【分析】本题考查了约分．规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 分子、分母的公因式是，通过约分进行化简． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．1或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ，， ∴，， 解得，； ②当时， ，， ∴，， 解得，， 综上所述，的值是1或， 故答案为：1或． 14．且 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握分式的解法是解题的关键．解分式方程得，根据题意得到即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 系数化1得，， 分式方程的解是正数， ， 解得且． 故答案为：且． 15．或或或（任选其一即可） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等． 已知两边相等，则可根据、或判断全等． 【详解】解：∵， ∴， ∵，要得到， ∴需要添加条件是或或或． 故答案为：或或或（任选其一即可）． 16．；． 【分析】本题考查了分式的化简求值，考虑分式无意义的情况是解题的关键． 按照分式的化简法则，将分式化简，再根据分式无意义的条件，选择合适的值，代入求值即可． 【详解】解： ； ∵计算过程中出现的分母以及除数不能为0， ∴，且， ∴的取值为， 故原式 ． 17．(1) 原分式方程无解 (2) 【详解】（1）解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解； （2）解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为. 18．(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形对应边相等即可求解； （2）由得到，，再结合三角形内角和求得，再根据角度和差计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 19．(1) (2)，见解析 【分析】（1）先化简，再根据作出判断即可； （2）计算，并根据，且作出判断即可； 【详解】（1）解： ， ， ， ， 即； （2）解：， ， ， ，且， ， ， ， ． 20．见解析 【分析】本题考查了尺规作三角形； 先作，然后在上截取，在上截取，连接，即可得到． 【详解】解：如图，即为所求． 21．（1）见详解（2）见详解 【分析】本题主要考查了全等三角的判定和性质，三角形内角和定理等知识． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，，由全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】解：（1）证明：在中，， ， 又， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：，， ， 在和中， ， ， ，， ． 22．(1)型每小时搬运材料，型每小时搬运材料 (2)有3种方案：方案1：购买2台型机器人，9台型机器人：方案2：购买4台型机器人，6台型机器人；方案3：购买6台型机器人，3台型机器人 【分析】（1）设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料 ，依题意，列出方程，即可求解； （2）设购买型机器人台，购买型机器人台，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料 ，依题意得： ， 整理得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：型每小时搬运材料，型每小时搬运材料； （2）解：设购买型机器人台，购买型机器人台， 由题意得： ， ， ， 、取正整数 或或， ∴有3种方案： 方案1：购买2台型机器人，9台型机器人： 方案2：购买4台型机器人，6台型机器人； 方案3：购买6台型机器人，3台型机器人． 23．(1) (2)周长的最小值为10 (3) 【分析】（1）分别作出点关于和的对称点和，连接与和的交点即为点和点，即为所求； （2）连接、和，根据轴对称的性质得到，，，，可知，即是边长为10的等边三角形，即可求出周长的最小值； （3）如图，作关于的对称点，再作关于的对称点，连接交于C，交于D，四边形即为所求． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接、和， ∵点和点关于对称， ，， 同理，， ， 又， ． 又， 是边长为10的等边三角形， 则， 即周长的最小值为10； （3）略． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $