精品解析：山东省青岛第五十八中学附属初中2025-2026学年八年级上学期单元监测（二）数学试题

青岛五十八中附属初中八年级数学单元监测（二） 时间：60分钟 满分：100分 一、选择题：7本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别化简二次根式判断即可． 【详解】A、无解，故该项错误，不符合题意； B、，故该项错误，不符合题意； C、，故该项正确，符合题意； D、，故该项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，点P是y轴上的一点，则点P的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据y轴上的点横坐标为0，即可解答． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点P是y轴上的一点 点P横坐标是0 点P的坐标可能是 故选B． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键． 3. 下列条件能判定为直角三角形的是（　　） A. ，， B. C. ，， D. 【答案】D 【解析】 【分析】A.根据勾股定理逆定理即可判断A选项； B.求出，，之间的数量关系，即可判断B选项； C.根据三角形三边关系即可判断C选项； D.求出即可判断D选项． 【详解】解：A.∵， ∴不是直角三角形，故A错误； B. ， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，故B错误； C.∵，，， ∴， ∴a、b、c不能构成三角形，故C错误； D.∵， ∴， ∴是直角三角形，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，三角形内角和定理，是解题的关键． 4. 用图像法解二元一次方程组时，小英所画图像如图所示，则方程组的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数图像的交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案． 【详解】解：∵观察图像可知：直线与直线相交于点 ∴当时， ∴直线与直线相交于点 ∴二元一次方程组的解为：． 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数解析式求函数值、用图像法解二元一次方程组、两个一次函数图像的交点坐标就是二元一次方程组的解等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5. 如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每一个小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的宽为15及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设每一个小长方形的长为x，宽为y， 依题意，得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6. 下列说法正确的是（　　） A. 为了了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式 B. 某种彩票的中奖机会是1%，则买100张这种彩票一定会中奖 C. 若甲组数据的方差s甲2＝0．1，乙组数据的方差s乙2＝0．2，则乙组数据比甲组数据稳定 D. 一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样调查、概率、方差、中位数与众数的概念判断即可． 【详解】A、为了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，不符合题意； B、某种彩票的中奖机会是1%，则买100张这种彩票可能会中奖，不符合题意； C、若甲组数据的方差s甲2＝0．1，乙组数据的方差s乙2＝0．2，则甲组数据比乙组数据稳定，不符合题意； D、一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查统计的相关概念,关键在于熟记概念． 7. 有下列命题：①两点之间，线段最短；②相等的角是对顶角；③内错角互补，两直线平行．其中真命题的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：两点之间，线段最短，所以①正确； 相等的角不一定是对顶角，所以②错误； 内错角相等，两直线平行，所以③错误． 故选A． 考点：命题与定理． 8. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 9. 如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点在上的点处，折痕为．若，则线段的长是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据题意求出，根据折叠的性质得到，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】设，则， ∵，， ， 在中，， 即， 解得：， 即． 故选B． 【点睛】本题考查折叠问题、正方形的性质以及勾股定理，掌握折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等是解题关键． 10. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如上图是一个未完成的幻方，则x与y的和是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解题关键．解析由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等可求九宫格中左下角的数和九宫格中间的数，列出方程可求，的值，即可求解． 【详解】解：由题意可得：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为， 九宫格中左下角的数， 九宫格中间的数， ， 解得：， 由题意可得：， ， ， 故选：D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 的倒数是______；的相反数是______，绝对值是______． 【答案】 ①. ②. ## ③. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，求一个数的相反数，倒数和绝对值，乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值是它的相反数，据此逐一求解即可． 【详解】解：的倒数为． 的相反数为． ∵， ∴的绝对值为， 故答案为：；；． 12. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字．这个两位数是______． 【答案】34 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设十位数字为x，个位数字为y，根据数字之和为7及新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字建立方程组求解即可． 【详解】解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y， 由题意得， 解得， ∴这个两位数是34， 故答案为：34． 13. 若关于，的二元一次方程组，则__． 【答案】． 【解析】 【分析】利用加减法表示出，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：， ①②，得， ， ， ． 答案：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 14. 小丽计算数据方差时，使用公式S2＝，则公式中＝__． 【答案】11 【解析】 【详解】分析：根据题目中的式子，可以得到的值，从而可以解答本题． 详解：∵S2=[（5﹣）2+（8﹣）2+（13﹣）2）2+（15﹣）2]，∴=11． 故答案为11． 点睛：本题考查了方差、平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的平均数． 15. 已知一组数据：，，，的平均数是2，方差是3，另一组数据：，，的方差是______． 【答案】27 【解析】 【分析】根据方差的定义得到把数据，，，都扩大3倍，则方差扩大3的平方倍，然后每个数据减2，方差不变，于是得到，，的方差为27． 【详解】解：，，，的平均数是2，方差是3， ，，的方差， ，，的方差为27． 故答案为27． 【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 16. 已知关于的二元一次方程组无解，则一次函数的图象不经过的象限是第______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，一次函数的图象，由方程组无解可得直线和直线平行，即得，进而求出的值，再根据一次函数解析式即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组无解， ∴直线和直线平行， ∴， 解得， ∴一次函数， ∵，， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 17. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算（负指数幂、零指数幂、算术平方根、立方根）以及二元一次方程组的解法（代入消元法、加减消元法），熟练运用相关公式、法则和消元方法是解答本题的关键． （1）利用负指数幂、零指数幂、算术平方根、立方根的定义，依次对各项进行运算后再合并； （2）利用二次根式乘法法则、分母有理化方法以及平方差公式，分别对各项运算后再合并； （3）采用代入消元法，将一个方程中的未知数用含另一未知数的式子表示后，代入另一方程求解； （4）采用加减消元法，通过对其中一个方程变形，使两个方程中某一未知数的系数相反或相等，再将两个方程相加或相减求解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：将①式代入②式得： ，解得：， 将代入①式得： ， 所以方程组的解为； 【小问4详解】 将②式乘以2得： ①③得：， 解得：， 将代入②式得：， 解得：， 所以方程组的解为． 四、解答题：本题共6小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. A、B、C三点在单位长度为1的直角坐标系内位置如图． （1）分别写出A、B、C的坐标； （2）求线段长度； （3）画出关于x轴对称，并求的面积． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，通过观察图像即可求出答案； （2）如图所示（见详解），构造直角三角形，利用勾股定理即可求出答案； （3）如图所示（见详解），利用“割补法”即可求出答案． 【小问1详解】 解：A、B、C都在格点上，单位长度为1， ∴，, 故答案是：，，． 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线并反方向延迟，两条垂线交于点，得直角三角形，且，， ∴， 故的长度为：． 【小问3详解】 解：x轴对称的如图所示， 计算的面积的方法如下图所示， ∴，，，， ∴， 故的面积是． 【点睛】本题主要考查图形变换，掌握图形结合，对称，构造直角三角形，勾股定理是解题的关键． 19. 跳绳是一项有效的有氧运动，因其便捷被学校广泛选为促进学生体质健康的运动项目，某校八年级400 名学生在“跳绳提升”训练前后各参加了一次规则相同的测试，测试成绩为整数，满分10分．两次测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，现用抽样调查的方式从中抽取了50名学生训练前后的测试成绩，并绘制出了如下统计图表． 平均数 中位数 众数 方差 训练前 7.6 7 a 1.84 训练后 8.8 b 10 1.76 根据以上信息，解答下列问题： （1） ______， ______； （2）补全条形统计图； （3）如图③是李华绘制的训练前跳绳成绩的箱线图，请将训练后跳绳成绩的箱线图补充完整； （4）请根据（3）所绘制的箱线图，分析训练前后的成绩变化． 【答案】（1）， （2）补图见解析 （3）补图见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】（）根据众数和中位数的定义解答即可求解； （）求出训练前跳绳成绩8分的学生人数，进而即可补全条形统计图； （）根据训练后的测试成绩画出图形即可； （）根据箱线图作出分析即可； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，众数和中位数，箱线图，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由条形统计图得，训练前跳绳成绩8分的学生人数为名， ∵， ∴训练前众数， 由扇形统计图可知，训练后中位数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（）知，训练前跳绳成绩8分的学生人数为名， ∴补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：补全箱线图如下： 【小问4详解】 解：从箱线图看，训练前箱线图的箱体相对较宽，说明训练前数据的离散程度较大，即学生成绩之间的差异较大；训练后箱线图的箱体相对较窄，表明训练后学生成绩的离散程度变小，成绩更为集中；训练前中位数对应的位置较低，训练后中位数对应的位置较高，说明训练后成绩的整体水平提高了． 20. 如图，直线的图象与y轴交于点A，直线的图象与y轴交于点B，两者相交于点C． （1）方程组的解是______； （2）求的面积； （3）在直线的图象上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】（1） （2）的面积为8 （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组以及一次函数与一元一次不等式和三角形面积求法等知识，正确利用数形结合分析是解题关键． （1）根据两直线交点C坐标即可得到答案； （2）先求出A、B的坐标，进而得到的长，进而得到的面积； （3）先表示出的面积，再根据与的面积相等，由此求解即可． 【小问1详解】 解：由图象得，和的交点的坐标为， ∴的解为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图象得，点A的坐标为； 点B的坐标为； ∴，到轴的距离为， ∴ ； 小问3详解】 解：由题意得，令， 与的面积相等， ， ， 点异于点， ， ， ． 21. 甲、乙两人同时从同一公路上的、两地同时出发前往地，两人离地的路程与行驶的时间之间的函数图像如图所示． （1）分别求出、与之间的函数表达式； （2）甲追上乙用了多少时间？ （3）乙出发多久和甲相距． 【答案】（1）， （2）4小时 （3）3小时或5小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与二元一次方程组的关系及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是用待定系数法求出函数解析式． （1）根据图像设出两个函数的解析式，找点代入即可得到答案； （2）联立两个函数解析式求解即可得答案； （3）根据题意得出，然后求解即可． 【小问1详解】 解：设，， 把点代入，，代入， 得，， 解得，， ∴，； 【小问2详解】 解：联立方程组， 解得， ∴甲追上乙用了4小时； 【小问3详解】 解：根据题意，得， 即， 解得或， ∴乙出发3小时或5小时时，和甲相距 22. 用一元一次方程解答下列问题． 当前，重庆正加速打造智能网联新能源汽车之都，同时重庆也是全国三个机动车保有量超过万辆的城市之一，消费潜力巨大．某汽车销售店顺应浪潮，月份主推了款燃油车和款新能源汽车，已知该店销售辆款燃油车和辆款新能源汽车的总销售额为万元，销售辆款燃油车、辆款新能源汽车的总销售额为万元． （1）求月份每辆款、款汽车售价分别为多少万元？ （2）因为每种车型销售热度不一，所以源头厂家一直保持严格的配货制度，即该店每引进辆款新能源汽车则必须引进辆款燃油车．该店月份引进的款燃油车和款新能源汽车全部销售一空，其中引进了款新能源汽车辆．月份由于新能源汽车电池成本大幅提高，与月份相比，每辆款新能源汽车售价提高了，同时为了响应国家的号召，对款新能源汽车每辆进行万元的现金补贴，每辆款燃油车的售价则保持不变，最终月份的款燃油车销量相比月份款燃油车的销量降低了，款新能源汽车销量相比月份款新能源汽车销量提高了，月份两款车的总销售额比月份两款车的总销售额提高了，求的值． 【答案】（1）月份每辆款汽车售价为万元，款汽车售价为万元 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题意，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）设月份每辆款汽车售价为万元，则款汽车售价为万元，根据“销售辆款燃油车、辆款新能源汽车的总销售额为万元”列出关于的一元一次方程，求解即可； （2）先根据月份的配货制度求出月份款车的销量，再分别表示出月份、两款车的售价和销量，根据月份总销售额比月份提高列出关于的一元一次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设月份每辆款汽车售价为万元，则款汽车售价为万元， 依题意，得：， 解得：， ∴（万元）， ∴月份每辆款汽车售价为万元，款汽车售价为万元； 【小问2详解】 月份引进款燃油车的数量为：（辆）， 月份每辆款新能源汽车售价为万元，实际售价为万元， 月份每辆款燃油车售价仍为万元， 月份款燃油车销量为辆， 月份款新能源汽车销量为（辆）， 月份两款车的总销售额为（万元）， 月份两款车的总销售额为万元， 依题意，得： 解得：， ∴的值为． 23. 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如，如果你能找到两个数m，n，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的． 例如化简且，， ． （1）横线填上适当的数：____________． （2）化简． （3）当时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，得，即可得出答案． （3）因为，所以化简原式，即可作答． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛五十八中附属初中八年级数学单元监测（二） 时间：60分钟 满分：100分 一、选择题：7本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点P是y轴上的一点，则点P的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件能判定为直角三角形的是（　　） A. ，， B. C. ，， D. 4. 用图像法解二元一次方程组时，小英所画图像如图所示，则方程组解为（　　） A. B. C. D. 5. 如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（　　） A. 为了了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式 B. 某种彩票的中奖机会是1%，则买100张这种彩票一定会中奖 C. 若甲组数据的方差s甲2＝0．1，乙组数据的方差s乙2＝0．2，则乙组数据比甲组数据稳定 D. 一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3 7. 有下列命题：①两点之间，线段最短；②相等的角是对顶角；③内错角互补，两直线平行．其中真命题的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 8. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形边长为，将正方形折叠，使顶点在上的点处，折痕为．若，则线段的长是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如上图是一个未完成的幻方，则x与y的和是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 的倒数是______；的相反数是______，绝对值是______． 12. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字．这个两位数是______． 13. 若关于，的二元一次方程组，则__． 14. 小丽计算数据方差时，使用公式S2＝，则公式中＝__． 15. 已知一组数据：，，，的平均数是2，方差是3，另一组数据：，，的方差是______． 16. 已知关于的二元一次方程组无解，则一次函数的图象不经过的象限是第______象限． 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 17. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 四、解答题：本题共6小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. A、B、C三点在单位长度为1的直角坐标系内位置如图． （1）分别写出A、B、C的坐标； （2）求线段的长度； （3）画出关于x轴对称，并求的面积． 19. 跳绳是一项有效的有氧运动，因其便捷被学校广泛选为促进学生体质健康的运动项目，某校八年级400 名学生在“跳绳提升”训练前后各参加了一次规则相同的测试，测试成绩为整数，满分10分．两次测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，现用抽样调查的方式从中抽取了50名学生训练前后的测试成绩，并绘制出了如下统计图表． 平均数 中位数 众数 方差 训练前 76 7 a 1.84 训练后 8.8 b 10 1.76 根据以上信息，解答下列问题： （1） ______， ______； （2）补全条形统计图； （3）如图③是李华绘制的训练前跳绳成绩的箱线图，请将训练后跳绳成绩的箱线图补充完整； （4）请根据（3）所绘制的箱线图，分析训练前后的成绩变化． 20. 如图，直线图象与y轴交于点A，直线的图象与y轴交于点B，两者相交于点C． （1）方程组的解是______； （2）求的面积； （3）在直线的图象上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 21. 甲、乙两人同时从同一公路上的、两地同时出发前往地，两人离地的路程与行驶的时间之间的函数图像如图所示． （1）分别求出、与之间的函数表达式； （2）甲追上乙用了多少时间？ （3）乙出发多久和甲相距． 22. 用一元一次方程解答下列问题． 当前，重庆正加速打造智能网联新能源汽车之都，同时重庆也是全国三个机动车保有量超过万辆的城市之一，消费潜力巨大．某汽车销售店顺应浪潮，月份主推了款燃油车和款新能源汽车，已知该店销售辆款燃油车和辆款新能源汽车的总销售额为万元，销售辆款燃油车、辆款新能源汽车的总销售额为万元． （1）求月份每辆款、款汽车售价分别多少万元？ （2）因为每种车型销售热度不一，所以源头厂家一直保持严格的配货制度，即该店每引进辆款新能源汽车则必须引进辆款燃油车．该店月份引进的款燃油车和款新能源汽车全部销售一空，其中引进了款新能源汽车辆．月份由于新能源汽车电池成本大幅提高，与月份相比，每辆款新能源汽车售价提高了，同时为了响应国家的号召，对款新能源汽车每辆进行万元的现金补贴，每辆款燃油车的售价则保持不变，最终月份的款燃油车销量相比月份款燃油车的销量降低了，款新能源汽车销量相比月份款新能源汽车销量提高了，月份两款车的总销售额比月份两款车的总销售额提高了，求的值． 23. 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如，如果你能找到两个数m，n，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的． 例如化简且，， ． （1）横线填上适当的数：____________． （2）化简． （3）当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $