4.4一次函数的应用（第3课时）课件2026-2027学年数学北师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦“两个一次函数图象的应用”，通过复习一次函数性质（k、b意义、增减性、象限）导入，搭建从性质理解到实际应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是以销售、改装成本、印刷决策等实际问题为载体，引导学生用数学眼光观察现实，通过图象与代数结合（如求函数表达式、分析交点意义）培养数学思维，用函数语言描述问题。采用探究与典例结合的教学方法，学生能提升解决实际问题的能力，教师可高效开展教学。

4. 一次函数的应用 第3课时 两个一次函数图象的应用 第四章 一次函数 学 习 目 标 1 2 会用一次函数解决复杂的实际问题.(重点) 会根据两个一次函数图象去分析解决问题.(难点) 复习导入 想一想一次函数具有什么性质? 在一次函数 中: 当 时，y随x的增大而增大， 当 时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当 时，直线交y轴于负半轴，必过一、三、四象限. 当 时，y随x的增大而减小， 当 时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、四象限； 当 时，直线交y轴于负半轴，必过二、三、四象限. 一级标题：黑体， 3 探究与应用 如图4-4-13,l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系,l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系,根据图象回答下列问题: (1)当销售量为2 t时,销售收入为　　　元, 销售成本为　　　　元.  应用1　借助图象解决销售问题 2000 图4-4-13 例 1 3000 (2)当销售量为6 t时,销售收入为　　　　元,销售成本为 　　　　元.  (3)当销售量　　　　时,销售收入等于销售成本.  (4)当销售量　　　　时,销售收入大于销售成本,该公司赢利;当销售量　　　　时,销售收入小于销售成 本,该公司亏损.  图4-4-13 6000 5000 等于4 t 大于4 t 小于4 t 新知探究 如图，l1 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2 反应了该公司产品的销售成本与销售量的关系. 根据图象填空： 新知探究 (2)当销售量为 6 t 时， 销售收入= 元， 销售成本= 元； (1) 当销售量为 2 t 时， 销售收入= 元， 销售成本= 元； 2000 3000 6000 5000 销售量 销售收入 销售成本 (3) 当销售量 时，销售收入等于销售成本. (4) 当销售量 时，销售收入大于销售成本，该公司盈利；当销售量 时，销售收入 小于销售成本，该公司亏损. 知识点1 两个一次函数图象的应用 4t 大于4t 小于4t O 1 x/t y/元 2 1000 l1 l2 2000 3 4 5 3000 4000 5000 6000 (5) 当销售量为 t时，该公司盈利1000元. (6) l1对应的函数表达式是 ， l2对应的函数表达式是 . (7) 你能借助(6)的结论求解(5)吗? 知识点1 两个一次函数图象的应用 6 y=1000x y=500x+2000 (7)由“盈利1000元”，得 1000x-(500x+2000)=1000， 解得x=6. O 1 x/t y/元 2 1000 l1 l2 2000 3 4 5 3000 4000 5000 6000 新知探究 x＝6时， 销售收入＝_________， 销售成本= _________; 盈利（收入－成本） ＝_________. 销售收入 销售成本 观察图象，回答下列问题: y＝1000x y＝500x＋2000 6000元 5000元 1000元 在同一坐标系中,同时出现两个一次函数的图象,即两条直线,利用所给图象的位置关系,交点坐标,获取其中要表达的信息,进而解决有关问题. 学 方法 思考交流 图4-4-13中,设l1对应的一次函数为y=k1x+b1,k1和b1的实际意义各是什么?设l2对应的一次函数为y=k2x+b2,k2和b2的实际意义各是什么?与同伴进行交流. 解:k1的实际意义为每销售1 t产品的销售收入,b1的实际意义为未销售时,销售收入为0元;k2的实际意义为每销售1 t产品的销售成本,b2的实际意义为未销售时,销售成本为2000元. 典例分析 根据图象得出 y 0=ax 过点(100,9000)，得出 a的值，再将(100,9000)代入 y1=50x+b，求出 b 即可，再结合图象得出正常营业 100 天后从节省的燃料费中收回改装 成本； 方法技巧 例1 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种叫“CNG”的将烧汽油改为烧天然气的装置，每辆车的改装费为b元. 根据市场调查可知：每辆车改装前、后的燃料费(含改装费)y0，y1(单位：元)与正常运营时间x (单位：天)之间分别满足表达式y0＝ax和y1＝b＋50x，其图象如图. 试根据图象解决下列问题. (1)每辆车改装前每天的燃料费a＝____元；每辆车的改装费b＝_______元，正常运营_______天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本. 90 4 000 100 典例分析 根据题意及图象得出 改装前后的燃料费分别为 9 0 元、50 元，进 而列出100×(90－50) x=400 000+100×4 000 求解即可 . 方法技巧 (2)某出租车公司一次性改装了100辆出租车，则正常运营多少天后共节省燃料费40 万元？ 解：根据题意及图象得每辆车改装前、后每天的燃料费分别为90元、50元，则100×(90－50)×(x－100)＝400 000，解得x＝200. 所以正常运营200天后共节省燃料费40 万元. 知识点1 两个一次函数图象的应用 在同一平面直角坐标系中，当自变量取相同的值时： 下方的图象对应函数的函数值小，上方的图象对应函数的函数值大，交点处两个函数的函数值相等. 图象交点的含义： 几何意义：两个一次函数图象的交点表示两条直线的公共点即该点同时在两条直线上. 代数意义：两个一次函数图象的交点坐标同时满足这两个函数表达式，即把交点的横、纵坐标分别代入这两个函数表达式中都成立. 实际意义：不同的实际问题，横、纵坐标代表的量一般也 不同，交点表示的含义也不同. 知识点1 两个一次函数图象的应用 变式 (1)请用其他方法解决例2(1)~(4)(写出解决方法即可,不用写具体解题过程); (2)借助函数表达式求出甲追上乙的时间. 解:(1)可用代数方法求解,先分别求出l1,l2对应的速度,于是例2(1),(2)立即解决,(3),(4)可根据解决行程问题的一般方法求解.(合理即可) (2)l1的函数表达式为s=50t,l2的函数表达式为s=30t+800,由50t=30t+800,解得t=40, 因此,甲追上乙的时间为40 min. 典例分析 把点A的坐标代入函数表达式中即可求出a,b的数值。 方法技巧 例2 已知一次函数y＝ x＋a和y＝－ x＋b的图象都经过点A(－4，0)，且与y轴分别交于B、C两点，求△ABC的面积． 解：∵y＝ x＋a与y＝ －x＋b的 图象都过点A(－4，0)， ∴ ×(－4)＋a＝0，－×(－4) ＋b＝0. ∴a＝6，b＝－2. ∴两个一次函数分别是y＝ x＋6和y＝－ x－2. 典例分析 解此类题要先求得顶点的坐标，即两个一次函数的交点和它们分别与x轴、y轴交点的坐标． 方法技巧 例2 已知一次函数y＝ x＋a和y＝－ x＋b的图象都经过点A(－4，0)，且与y轴分别交于B、C两点，求△ABC的面积． y＝ x＋6与y轴交于点B，则y＝ ×0＋6＝6， ∴B(0，6)； y＝－ x－2与y轴交于点C，则y＝－2， ∴C(0，－2)． 如图所示， S△ABC＝ BC·AO＝ ×4×(6＋2)＝16. 回顾 应用一次函数解决问题的过程，对不同解决方法有什么体会? 用一次函数解决问题，常见方法有关系式法(通过设函数表达式，代入已知点求参数，用表达式分析问题)、 图象法(画出函数图象，借助图象的增减性、交点等直观解题). 知识点1 两个一次函数图象的应用 回顾 应用一次函数解决问题的过程，对不同解决方法有什么体会? 关系式法精准，适合定量计算； 图象法直观，利于分析变化趋势和交点意义； 不同方法各有优劣，结合使用可更全面高效解决问题，比如复杂计算用关系式，快速看趋势用图象. 知识点1 两个一次函数图象的应用 应用3　借助图象解决决策问题 某单位要印制“市民文明出行,遵守交通安全”的宣传材料.甲、乙两印刷厂的收费y甲(元)、y乙(元)与印制数量x(份)之间的关系如图4-4-15所示. (1)分别写出两个印刷厂的收费 y甲(元)、y乙(元)与印制数量x(份) 之间的关系式(不用写出自变量 的取值范围); 例 3 图4-4-15 解:(1)y甲=2x+1000,y乙=3x. (2)当印制多少份宣传材料时,两个印刷厂的收费相同?此时费用为多少? (2)当y甲=y乙时,可得2x+1000=3x,所以x=1000,此时y甲=y乙=3000,所以当印制1000份宣传材料时,两个印刷厂的收费相同,此时费用为3000元. 图4-4-15 (3)结合图象回答:选哪家印刷厂印制宣传材料更省钱? (3)由图象可知,当印制宣传材料不足1000份时,选择乙印刷厂更省钱;当印制宣传材料为1000份时,两家费用都一样;当印制宣传材料超过1000份时,选择甲 印刷厂更省钱. 图4-4-15 课堂小结 两个一次函数的应用 两个变量的对应值、图象上点的坐标 与一元一次方程 之间的关系 求函数表达式 两个图象的交点 与一元一次方程之间的关系 $