课时作业(29) 利用函数性质判定方程解的存在性（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(二十九)　利用函数性质判定方程解的存在性 [基础达标练] 1．(多选)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0，8)，(0，4)，(0，2)内，则下列说法不正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点 B．函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点 C．函数f(x)在区间(1，8)内无零点 D．函数f(x)在区间[2，8)内无零点 答案：ABC 2．函数f(x)＝ln x＋的零点为(　　) A．1　　　　　　　B． C．e D． 解析：选A　依次检验，使f(x)＝0的x的值即为零点． 3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 123.5 21.5 －7.82 11.57 －53.7 －126.7 －129.6 那么函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案：B 4．函数y＝lg x－的零点所在的大致区间是(　　) A．(6，7) B．(7，8) C．(8，9) D．(9，10) 答案：D 5．函数f(x)＝x3－的零点有______个． 答案：1 6．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，则实数a的值为________． 解析：当a＝0时，函数y＝－x－1，显然该函数的图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点． 当a≠0时，函数y＝ax2－x－1为二次函数． 因为函数y＝ax2－x－1只有一个零点， 所以方程ax2－x－1＝0有两个相等的实数根． 所以Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－. 综上可知，a的值为0或－. 答案：0或－ 7．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝－x2＋2x－1； (2)f(x)＝x4－x2； (3)f(x)＝4x＋5； (4)f(x)＝log3(x＋1). 解：(1)令－x2＋2x－1＝0， 解得x1＝x2＝1， 所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1. (2)令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0， 解得x＝0或x＝1或x＝－1， 故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1. (3)令4x＋5＝0，则4x＝－5， 因为4x>0，－5<0，所以方程4x＋5＝0无实数解． 所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点． (4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0， 所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0. 8．判断方程log2x＋x2＝0在区间内有没有实数根？为什么？ 解：设f(x)＝log2x＋x2，先设该方程有实数根， ∴f＝log2＋＝－1＋＝－＜0， f (1)＝log21＋1＝1>0， ∴f·f(1)＜0. ∵函数f(x)＝log2x＋x2的图象在区间上是连续的， ∴f(x)在区间内有零点，即方程log2 x＋x2＝0在区间内有实根． [能力提升练] 9．已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－a恰好有3个零点，则a的取值范围为(　　) A.[0，1) B．(0，1) C． D． 解析：选D　g(x)＝f(x)－a恰好有3个零点，等价于f(x)＝a有3个根， 等价于y＝f(x)，y＝a的图象有3个不同的交点． 作出y＝f(x)，y＝a的图象，如下图， 由图可知，当<a≤1时，y＝f(x)与y＝a的图象有3个交点， 即当<a≤1时，g (x)＝f(x)－a恰好有3个零点， 所以a的取值范围是，故选D. 10．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，a<b，α<β，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系是(　　) A．a<α<b<β B．a<α<β<b C．α<a<b<β D．α<a<β<b 解析：选C　因为α，β是函数f(x)的两个零点， 所以f(α)＝f(β)＝0. 又f(a)＝f(b)＝－2<0，结合二次函数的图象(如图所示)可知α<a<b<β. 11．方程ln x＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________． 解析：令f(x)＝ln x＋2x－8，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∵f(3)＝ln 3－2<0，f(4)＝ln 4>0， ∴零点在(3，4)上，∴k＝3. 答案：3 12．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． 解析：设y1＝ax，y2＝x＋a.作出两函数图象如图所示，当a>1时，两函数图象有两个交点； 当0<a<1时，两函数图象有一个交点，故a>1. 答案：(1，＋∞) 13．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，求下列条件下，实数a的取值范围． (1)零点均大于1； (2)一个零点大于1，一个零点小于1. 解：(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 (2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理， 得f(1)＝5－2a<0，解得a>. [素养拓展练] 14．有一道题“若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围”．某同学给出了如下解答：由f(－1)f(1)＝(24a－5)(24a＋3)<0，解得－<a<.所以实数a的取值范围是.上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答． 解：上述解答不正确，原解答没有考虑函数为一次函数还是二次函数的问题，即没有分类讨论a＝0和a≠0两种情况；而a≠0时，在区间(－1，1)内的零点可能不是“变号零点”． 正确解答如下： (1)当a＝0时，f(x)＝4x－1， 令f(x)＝0得，4x－1＝0，解得x＝∈(－1，1)， ∴当a＝0时，f(x)在(－1，1)内恰有一个零点． (2)当a≠0时，Δ＝42－4×24a×(－1)＝16＋96a. ①若Δ＝0，即a＝－，则函数f(x)的图象与x轴交于点， ∴x＝是(－1，1)内的唯一零点． ②若Δ>0，即a>－， 则(i) 解得－<a<且a≠0. (ⅱ)当f(－1)＝0，即a＝时，f(x)＝5x2＋4x－1，解得x1＝－1，x2＝， ∴x＝是(－1，1)内的唯一零点． (ⅲ)当f(1)＝0时，即a＝－时， f(x)＝－3x2＋4x－1， 解得x1＝1，x2＝， ∴x＝是(－1，1)内的唯一零点． 综上可得，a的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$