专题1.3 特殊的平行四边形中的压轴问题（高效培优专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形压轴问题，以五种图形背景为模块，通过分层题型构建从单一图形到多图形综合的逻辑体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形背景|8题|旋转、面积分割、动点综合|平行四边形性质→线段关系推导→面积转化| |矩形背景|8题|折叠、对称中心、动态轨迹|矩形性质→折叠全等→最值计算| |菱形背景|8题|角度计算、中点模型、旋转构造|菱形性质→等边三角形判定→线段数量关系| |正方形背景|7题|旋转重叠、路径最值、存在性问题|正方形性质→旋转变换→几何模型应用| |多图形综合|6题|跨图形组合、操作探究|特殊四边形性质融合→综合证明与计算|

专题1.3 特殊的平行四边形中的压轴问题 题型一：以平行四边形为背景的压轴问题 题型二：以矩形为背景的压轴问题 题型三：以菱形为背景的压轴问题 题型四：以正方形为背景的压轴问题 题型五：多图形综合压轴问题 题型一：以平行四边形为背景的压轴问题 1．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：过A作于点H， ，在中，． ，∵，将分成面积相等的四部分， ∴每部分面积为，交点即为平行四边形的中心O， 在中，，， ∴，．，，连接， ∴经过中心点O，∴，∵． 同理得：，∴，． 设，过作于点Q，在中， 在中，由三角形面积公式：  ． 过E作于延长线上点G，又，， 且．在中， 又平行四边形的对称性与面积平衡可得，， 解得，． 过M作交于P，过A作于点H，则． ，．． 在中，由勾股定理：  ．故答案为：． 2．（25-26八年级下·重庆·开学考试）如图，是的对角线，将绕点D旋转一定角度得（点C、B的对应点分别为点E、F），使得点D、A、E在同一直线上，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，， ∴， 由旋转得：， 又，∴，∴， 过点作于点，延长交于点，交于点，如图， 则四边形为矩形，∴，∵，∴， ∴，∴， 又，∴，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， 同理可得是等腰直角三角形，∴，∴， ∴，在中，， ∴． 3．（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，连接，点、分别在、上，连接、交于点，，．若，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：如图，在线段上截取，连接，作，垂足为， ∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，∴， ∴，∵，∴是等边三角形， ∴，，∴， ∵，， 又∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，，∴，解得， ∵，又∵是等边三角形，∴，， 在直角中，，，∴，∴， 由勾股定理可得， 在直角中，，∵，∴． 4．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，中，，边，过点A作于点G，点E是边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，若点F为中点，则线段_______________ ，边____________________ ． 【答案】 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，，∴， ∵，∴在中，，∴， ∴，过点作，交延长线于点， ∵点F为中点，∴，∵，，∴， ∴在中，，∴，∴， ∵，，∴，∵将绕点E逆时针旋转得到， ∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴．故答案为：，． 5．（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接． (1)若，，，求的长；(2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：． 【答案】(1)的长为1(2)证明见解析 【详解】（1）解：∵在中，，∴， 设，则，∵，∴， 在中，， 在中，， ∴，解得，∴的长为1． （2）证明：连接， ∵， ，∴， ∴，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴， ∴，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴． 6．（25-26九年级上·山东济宁·期末）【问题背景】如图1，在平行四边形纸片中，过点B作直线于点E，沿直线l将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 【动手操作】现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点B重合，点在线段上，延长交线段于点F，如图3所示； ②连接过点C作直线交射线于点N，如图4所示； 【问题解决】请解决下列问题：(1)如图3，填空：________；（写出解答过程） (2)如图4，求证：． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：由题可知，，， ，， 平行四边形纸片，，， ，；故答案为； （2）证明：由题可知，，即，， 平行四边形纸片，， ，则，，即是等腰直角三角形， ，，， ，，即是等腰直角三角形， ，，，， 在和中，，． 7．（25-26九年级上·重庆开州·月考）在平行四边形中，于于F，H为上一动点，连接，交于，且． (1)如图1，若，求的长；(2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，若，点是直线上任一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，请直接写出当最小时的面积． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，在中，，， ∴，∴， （2）证明：如图，过点作于点，连接， ∵，，∴垂直平分，∴，∴， ∵ 四边形是平行四边形，∴，，，∴，∴， 在和中，∴，∴，， ∵，，∴，在和中， ∴，∴，∴， （3）解：如图，在 上取点，使得，连接并延长交于，连接， ∵ 四边形是平行四边形，∴，∴是等边三角形，∴，， 由旋转的性质可知，，，∴，即， 在和中，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，设与的交点为，∴点在直线上运动， ∴ 当点运动到点处时，有最小值，∴，，∴， 由（1）可知，，∴，∴ 在中，，∴∴， 过点作于点，∴，即 ∴解得： ∴ 当最小时的面积为：． 8．（25-26九年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． (1)若，求的长；(2)当时，求的度数；(3)当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 【答案】(1)(2)(3)，理由见解析 【详解】（1）解：，，， ，是等腰直角三角形，， 四边形是平行四边形，； （2）解：，是等腰直角三角形，， 四边形是平行四边形，， ， ，， ，，， ，； （3）解：，理由如下：如图，延长交的延长线于点P， ，，， ，，，， ，，， ，，， ，， 又，，，，． 题型二：以矩为背景的压轴问题 9．（25-26九年级上·浙江台州·月考）如图，在矩形中，．，把矩形绕点C旋转，得到矩形且点B恰好落在上，连接交于点H．则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作于点L，则， ∵四边形是矩形，，，∴，，， ∴，，由旋转得，，， ∴，， 在和中，，∴， ∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故选：D． 10．（24-25八年级下·重庆江津·月考）如图，在平行四边形中，，点E是的中点，的平分线交于点F，将沿折叠，点D恰好落在上点M处，分别延长，交于点N，下列四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：平行四边形中，，四边形是矩形，， 由折叠的性质得到：，即， 平分，，，故①正确； ，， ，， ，，即，故②正确； 在和中，，， ，，假设是等边三角形，则，则， ，则，而明显，不是等边三角形，故③错误； ，， ，，故④正确；故选B． 11．（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）如图，矩形中，，，作的平分线交对角线于点，过点作交于点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点作交于点，作交于点，， 四边形是矩形，，四边形是矩形，，， 平分，，是等腰直角三角形， ，，在中，， 即，解得或（不合题意，故舍去）， ，，， ，是等腰直角三角形，， ．故选：C． 12．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，矩形中，，，点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F，将四边形沿着翻折，得到四边形边交边于点G，连接、，则的面积的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图，在上截取，连接，过点作于点， 由折叠得：，又，， ，最短时，也就是最短，故当时，最短． 点O为矩形的对称中心，，即的最小值是． 矩形的对角线长度为，且点O为矩形的对称中心，． 在中，∵为定值，度数也不变，是定值， 当取最小值，即时，的面积最小． 点O为矩形的对称中心，，． 在中，， 在中，，， 面积的最小值是． 13.（25-26八年级上·四川成都·期中）在矩形中，，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点． (1)求证：；(2)当时，求出的长；(3)在点的运动过程中，是否存在是以为腰的等腰三角形，若不存在请说明理由，若存在，直接写出的长． 【答案】(1)见解析；(2)或； (3)存在以为腰的等腰三角形，的长为或或或． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴， ∵沿翻折得，∴，∴，∴； （2）解：情况：在下方时，如图， ∵四边形是矩形，∴，，， 设，则，，由（1）得． 在中，由勾股定理得即，解得； 情况：在上方时，如图，设，则，，由（1）得， 在中，由勾股定理得，即解得； 综上，或； （3）解：①当时，由翻折得：，． 子情况：在下方，如图， ∵，∴，，， ，，， ，， ，； 子情况：在上方，如图，∵，∴， ，∴，， ，，， ，， ，； ②当时，由翻折得：，． 子情况：在下方，如图， 设，则，．由（）得， 在中，即，解得，∴， 又∵，∴； 子情况：在上方时，如图， 设，则，． 由（）得，，∴； 综上，存在以为腰的等腰三角形，的长为或或或． 14.（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在矩形中，，为边上的一动点（不与点重合），连接，作点关于直线的对称点，作射线交边于点． (1)如图1，当点与点重合时，作交于点． ①求证：四边形为菱形；②求线段的长．(2)当时，直接写出线段的长． 【答案】(1)①证明见解析；②(2)线段的长是3或 【详解】（1）①证明：如图1，连接， ∵四边形是矩形，点P与点C重合，∴，∵，∴四边形为平行四边形， ∵点B与点关于直线对称，∴垂直平分，∴，∴， ∵，∴，∴，∴四边形为菱形． ②∵，∴， ∵，∴，∴，解得，∴线段的长是． （2）当点落在矩形内部时，如图2，∵点B与点关于直线对称， ∴是连接的线段的垂直平分线，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∵， ，∴； 当点落在矩形外部时，如图3，∵，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴，综上所述，线段的长是3或 15．（24-25九年级下·吉林长春·周测）【问题原型】在矩形中，．点为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【问题解决】如图①，当点落在边上时，求的长． (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点，且，直接写出的长__________． (3)【拓展提升】如图③，点为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，直接写出的长__________． 【答案】(1)4(2)(3)1或9 【详解】（1）解：∵矩形中，，∴， 如图1由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：． （2）解：如图2，由翻折的性质得：， ∴，设，则， ∵，∴，∴， ∴，∴，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得：，即． （3）解：分两种情况：①点Q在线段上时，如图3所示： 由翻折的性质得，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∴，∴，∴，∴； ②点Q在延长线上时，如图4所示： 由翻折的性质得：，∴， 设，则， ∵，∴，在中，由勾股定理得：， ∴，解得：，即．综上所述，的长为1或9． 16．（24-25八年级下·广西南宁·期末）【问题发现】（1）如图1，在矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，则： ①______，______，______，______； ②______填“”“”或“； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，的反向延长线于点，，②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，请求出的最小值． 【答案】（1）①5，，，；②；（2）成立，理由见解析；（3） 【详解】（1）解：如图，四边形是矩形，，， ，， 过点作，分别交，于点，，， 四边形和四边形都是矩形，，，， ，， ，， ，，， 故答案为：，，，． ，，，故答案为：． （2）解：成立，理由如下：如图，四边形是矩形， ，， 过点作，分别交，反向延长线于点，，， 四边形和四边形都是矩形，，， ，，； ，，， ，． （3）解：如图，作交的延长线于点，则， ，， 作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、， ，，， 四边形和四边形都是矩形，，， ，， ，，， ，，，， ，，， ，，四边形是矩形， ，，的最小值为． 题型三：以菱形为背景的压轴问题 17．（2026·贵州黔东南·三模）菱形的边长为6，，E、F分别是、的中点．点M在上，且．连接交于点G．则的长为______． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接，过点G作于点H，于点N，则， ∵四边形是菱形，∴，，， ∴， 和都是边长为6的等边三角形，∴， 、F分别是、的中点，，，， ，，， ，，， ， ∵，，∴， 又和同高，，． 17．（2026·天津滨海新区·二模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，点为中点，点为中点． （1）线段的长为__________； （2）为中点．连接，点在上，且，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：（1）如图，连接、， ∵四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形， ∵点为中点，∴，，∵，∴， 在中，，在中，； （2）如图，作于点，设， ∵四边形是菱形，∴，， ∵，∴是等边三角形，又∵点为中点，∴，， ∴，由勾股定理可得，， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，在中，， 在中，，∴， ∵为中点，∴，∴，解得， 由勾股定理可得，． 18．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有（ ） A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【详解】解：①∵四边形是菱形．∴， 又，∴，∴是等边三角形，∴， 在与中，，∴，∴，∴①符合题意； ②由①得，∴，∵是等边三角形，∴， ∴，∴②符合题意； ③当点E，F分别是中点时，由（1）知，为等边三角形， ∵点E，F分别是中点，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，即，∴③不符合题意； ④过点F作交于P点，如图， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 即，故本选项符合题意：∴正确的结论是①②④．故选：B． 19．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接． 四边形为菱形，，，， 是等边三角形，， ，，， 在和中，，， ，，即，①正确， ，为等边三角形，②正确； ∴，则，③不正确； ，，可知当取得最小值，取得最大值， 设等边三角形边长为，可知其高为，面积为， 为等边三角形，其面积会随边长变化而变化， 当，取得最小值，则取得最小值， ，此时，，， ，④正确．综上，正确的个数有个．故选：． 20．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形中，，点E、F分别是、上任意的点（不与端点重合）．且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．有如下几个结论：①；②的大小为定值；③平分；④．以上结论中，正确结论的序号是_______． 【答案】①②③ 【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，又， ∴是等边三角形，∴，，又， ∴，故①正确；∴， ∴，即的大小为定值，故②正确； 过C作于M，交延长线于N，则， ∵，∴， 又∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，，∴， ∴，即平分，故③正确； ∴，则，∴，， ∵，∴，∴， ∴，故④错误，故答案为：①②③． 21．（2026·河南·模拟预测）解决下列问题： (1)【观察猜想】如图，已知和，，，，．线段，，的数量关系为________； (2)【类比探究】如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点落在射线上的点处．①当在线段上时，________°． ②在①的条件下，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图，在菱形中，，点为对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点落在射线上的点处．若，，请直接写出的长． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴． （2）解：①如图，连接，过作于，交于， 结合正方形，∴四边形是矩形，∴，， 四边形是正方形，是正方形的对角线， ，，∴为等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，而，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴． ②，理由如下：过点作于点，过点作于点，如图， 四边形是正方形，是正方形的对角线， ．是等腰直角三角形，∴， ，，． ，，，， ．同理：是等腰直角三角形， ，∴； （3）解：如图，当在线段上时，连接，过点作于点，交于，过作交于点，则四边形是矩形，． 四边形是菱形，，∴，，， ．，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，而，∴，∴， ∵，，∴； 如图，当在的延长线上时，同理可得：，， ∴，∴；综上：的长度为或． 22．（25-26九年级下·河南信阳·专题练习）【问题背景】如图1，在菱形中，，点为菱形内一动点，且，连接并延长，交于点，连接． 【初步探究】(1)求的度数． 【深入探究】(2)如图2，将沿翻折，得到，连接．求证：． 【拓展延伸】(3)在（2）的条件下，连接．若，中一个内角为，直接写出的长． 【答案】(1)(2)见解析(3)或 【详解】（1）解：设，∵，∴， ∵菱形中，∴，∵， ∴，∴； （2）解：连接，∵， ∴是等边三角形，即，， ∵菱形中，∴， ∵将沿翻折，得到，∴， ∴，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）解：∵，，∴， ∵是等边三角形，∴，∴， 设，当时，，∴， ∵，，， ∴解得：（舍）即：； 当时，，过点作于点，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，，∴， 解得：（舍），即：，综上：的长为：或 23．（25-26九年级上·山东·月考）问题情境：一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考（1）请解答老师提出的问题． 探索发现（2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为 ． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立；若不成立，请说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②①中的结论仍成立，见解析 【详解】解：（1）， 证明：四边形是菱形，， ，和为等边三角形， ，，， 又，，，； （2）①如图，E为BM的中点，是等边三角形， ，，故答案为：； ②①中的结论仍成立．证明：延长至H，使，连接，NH， E为的中点，，，， ，，， ，，由（1）可知，，， 又，，，， ，，为等边三角形， ，，． 24．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图1，已知四边形是菱形．，点在菱形的对角线与上，的两边分别交边于点，且连接交于点，在的异侧．(1)当时，①求证：；②如图2，过作交于点，过作交于点，连接．求证：四边形是矩形；③在②的条件下，当四边形是正方形，时，直接写出的长度．(2)如图3，，点在上运动，当是的三等分点时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③；(2) 【详解】（1）解：如图：∵四边形是菱形，∴平分，即， ∵，∴，即是线段的垂直平分线，∴； ②∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵∴，即， ∵，∴，同理：， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴四边形是平行四边形， ∵，，∴，∴四边形是矩形； ③如图：连接，∵，，∴是等边三角形，即， ∵，，∴， ∵，，∴，，∴， ∵，，∴，即，∴， ∵，，∴，∴，， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∵，∴，解得：，∴． （2）解：如图：连接交于点O， ∵四边形是菱形．，， ∴，，， ∵，∴，∴，∴， ∵是的三等分点，∴或， 当时，不能满足的两边分别交边于点，且，即不符合题意； 当时，如图：过M作，∵，∴ ∵，∴，∵，∴， ∴，即，∴，∴， ∴， ∵，，，∴， ∴， ∴， ∴． 题型四：以正方形为背景的压轴问题 25.（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，正方形的顶点，分别在轴、轴上，，点在轴上且，垂直于轴，交轴于点，连接．判断：①；②；③是等边三角形；④若轴上有一动点，连接，当的值最小时，点坐标为．其中正确的有______． 【答案】①②④ 【详解】解：∵是正方形，∴，， 又∵，∴， ∴，∴，故②正确； 作于点，则轴，∴，， 又∵，，∴，故①正确； ∵，∴设，则，由勾股定理得， ∵，∴， 由勾股定理可得：，即，解得：，则， ∴，即不是等边三角形，故③错误；由③得， ∴，即，过点C作轴于H， ∴，又∵，∴， ∴，∴，作点F关于x轴的对称点N，则， 连接，∴，当C、P、N三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， ∴，解得，∴直线的解析式为， 当时，∴点坐标为，故④正确；综上，正确的有①②④． 26．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在正方形 中， ，点在边上，点 在 上， ，交 于点，交于点，连接 ．下列结论：① ；② ；③；④ 的最小值为．上述结论中，正确的序号有_______． 【答案】①③④ 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，． ∵，∴，∴，故①正确； 无法说明，即不一定成立，即②错误； 如图：过G作于K，过G作于J， ∵四边形是正方形，∴，即是的角平分线，∴， ∵，又∵，∴，故③正确； ∵点C关于的对称点点A，∴，∴， 如图：当三点共线时，有最小值， 由对称性可得，∵，∴， ∴，即 的最小值为．综上，正确的是①③④． 27．（24-25九年级上·江西赣州·期末）正方形中，将沿折叠，使得点B在上为点F，折痕为，连接、，给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）四边形为菱形；（5）若，则正方形的面积为．其中正确的结论是（     ） A．（1）（4） B．（1）（2）（5） C．（1）（3）（4） D．（1）（4）（5） 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形，∴， 由折叠的性质可得：，故（）正确； 由折叠的性质可得：，，， ∵四边形是正方形，∴，，∴ ∴，∴，∴，∴，故（）错误； ∵平分，∴点到的距离相等，设点到的距离为， ∴，，∵，∴，故（）错误； ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，由折叠性质可知：， ∵，∴，∴，∴， ∴四边形为菱形，故（）正确；∴与平行，∴， ∵正方形中，，∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴设，则，∴， ∵四边形为菱形，∴，∴，∴， ∴正方形的面积为，故（）正确． 28．（2026·山西运城·三模）综合与探究 问题情境：如图1，点E是正方形内部一点，且，将绕点C逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点F． 猜想证明：(1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)探究学习小组经过深入探究发现，若在点E运动的过程中，直线与交于点O，点O始终是线段的中点，请你借助图2帮助该学习小组证明他们的发现是正确的； 拓展延伸：(3)如图3，若该正方形的边长为4，连接，在点E运动的过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)四边形是正方形． 理由如下：将绕点C逆时针旋转得到． ∴，，，∴，∴四边形是矩形． 又．∴四边形是正方形． (2)证明：如解图，过点B作，交于点M．  ∴，，，由（1）得四边形是正方形， ∴，∴， ∴，由旋转性质，，∴， 又∵，∴（）． ∴．即点O是的中点； （3）解：∵正方形边长为4，∴， 情况1：如解图，当时，连接． ∵，∴，∵，∴点F与点B重合，与重合． ∴点E在上，，∴， ∴，，∴， ∴，∴； 情况2，当时，由（1）得四边形是正方形， ∴，∴ ∴由旋转得，，∴， 在中．∴．解得（负值已舍去)． 情况3-当时，∵，∴此种情况不存在． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或． 29．（24-25九年级上·河南开封·期末）【问题情景】数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作：将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． (1)【思考尝试】如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； (2)【应用迁移】如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 【答案】(1)补全图形见解析，，证明见解析(2)(3)． 【详解】（1）解：补全图形如图所示：.证明如下： ∵正方形和正方形，∴，，， ∴，∴，∴； （2）解：连接，， ∵正方形和正方形，，，， ∴，，由（1）得， ∴，，∴， 设，在中，由勾股定理得，即， 整理得，解得，∴； （3）解：如图， 当点运动到线段上时，有最小值，最小值， ∴的最小值，如图， 当点运动到延长线上时，有最大值，最大值， ∴的最在值，∴的面积的取值范围为． 30．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为的直角三角板的一个锐角顶点与正方形的顶点重合，正方形固定不动，然后将三角板绕着点旋转，的两边分别与正方形的边、或其延长线相交于点、，连接． (1)【探究发现】在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边、相交时，如图（1）所示，则线段、、满足的数量关系：_________________．(请直接写出结果) (2)在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边、的延长线相交时，如图（2）所示，则线段、、又将满足怎样的数量关系：________________．(请直接写出结果) (3)【拓展思考】若正方形的边长为6，在三角板旋转过程中，当的一边恰好经过边的中点时，试求线段的长(请写出解答过程)． (4)【创新应用】如图（3）所示，将三角板的锐角顶点与正方形的边中点重合，边、分别与正方形的边、交于点、．若，则线段_______．(请直接写出结果) 【答案】(1)；(2)；(3)5或；(4) 【详解】（1）解：如图，延长至，使，连接． ∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，，∴，∴，． ∵，，∴， ∴． 在和中，，∴， ∴． （2）解：如图，在上截取，连接． ∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，∴，∴，． ∵，，∴． 在和中，，∴，∴． （3）解：①如图，当点是边的中点时，∵正方形的边长为6，∴， ∵是中点，．设，由（1）结论，得，． 在中，由勾股定理得：，即，解得：，． ②如图，当经过的中点时， ∵四边形是正方形，∴，，， ∴，．∵是的中点，∴． 在和中，，∴． ∴，∴．设，由（2）结论， ∴，．在中，由勾股定理得：， 即，解得：，∴；综上，的长为或； （4）解：如图，取的中点，的中点，的中点，连接、交于点，设交于点．∵，，，分别是正方形四边的中点，∴，， ∴四边形是平行四边形，同理可证四边形是平行四边形， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵，，∴四边形是正方形，由（1）的结论可知，设， ∵，，∴，，， 在中，∵，∴，解得，∴， ∵，，∴是的中位线，∴， ∵，∴． 31．（24-25八年级下·重庆江津·月考）如图，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、，正方形的边长为6． (1)如图1，当点M和点C重合时，若，求的面积为 ；(2)在（1）的条件下求线段的长度；(3)如图2，当点在边上时，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6(2)(3)；答案见解析； 【详解】（1）解：四边形是正方形，，， ，，∴的面积为； （2）解：四边形是正方形，，， ，点和点重合，，，， ，在和中，， ，，， ，，∴， 由勾股定理得：，， ∵，∴； （3）解：线段、、之间的数量关系为：，理由如下： 过点作于，如图2所示：则四边形为矩形，，， ，，，， 在和中，，， ，，即． 题型五：多图形综合压轴问题 32．（24-25九年级上·广东珠海·期中）【问题呈现】如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】（1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】（2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】（3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析，（2）（3），理由见解析 【详解】（1）证明：正方形的对角线，交于点， ，，，，， 即：，， 在和中，，， ，，故答案为：； （2）解：四边形是正方形，，， 由（1）可得：，，， ，， ，面积的最大值是； （3）解：，理由如下：如图，取的中点，连接，， 四边形为的菱形，，，，是等边三角形，，， ，，且， ，，，， ，，且，， ，即：，， 在和中，，， ，． 33．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】（1）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，．若点的位置恰好使得．（1）___________； 【探究提炼】（2）如图②，若（1）中的是上任意一点，求的度数； 【理解应用】（3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）（3）． 【详解】解：（1）正方形中，∴，， ∵，∴，由折叠可知：，∴， ∵，∴； （2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，∴， ∵是的角平分线，，∴，，∵折叠，∴， ∵在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∴为等腰直角三角形，∴； （3）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵，∴， ∵在菱形中，是的角平分线，∴， ∵在和中，，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴， 过点作于点，设，则，， ∵，即，∴，∴， ∴当最小时，即最小时，面积最小，∴当时，即最小，面积最小， 如图，∵，，∴， ∴，∴，即， ∴∴的面积存在最小值是． 34．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）【课本再现】（1）如图1，正方形的对角线、相交于点O，正方形的顶点A′与点O重合．将正方形绕点A′旋转，在这个过程中，若连接，则、、之间的数量关系为___________． 【类比迁移】（2）如图2，矩形对角线的交点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【拓展应用】（3）在菱形中，，E、F分别是边、对角线上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕点A逆时针旋转一定角度后得到新的菱形如图3，连接，点P为线段的中点，连接、．①判断与的数量关系，并进行证明； ②若，，菱形在旋转过程中，当最小时，的面积为___________． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）①，见解析；②． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，∴，，，， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，同理可得，，∵，∴，故答案为：； （2）证明：猜想，如图1，延长，交于G，连接， ∵四边形是矩形，∴，，，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∵，∴；故答案为：； （3）①证明：如图2，，理由如下：延长至Q，使，连接，，DQ， ∵点P为线段的中点，∴，∵，∴， ∴，，∴， ∵四边形和四边形是菱形，∴，，，， ∴，，， ∵，∴，是等边三角形， ∴，∠ACD=60°，，∴， ∴，，∴， ∴是等边三角形，∴，，∴，故答案为：； ②解：由①知，，，∴， ∵，∴当F′在上时，最小，即CP最小， 如图3，此时M′使的中点，作，交的延长线于W， ∵，，，∴， ∴，∴，故答案为：． 35．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】（1）当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】（2）如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】（3）如图，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，直接写出线段的最小值． 【答案】（1），；（2） ；直线与的夹角度数为；理由见解析；（3）线段的最小值为． 【详解】（1）四边形和四边形是正方形， ，，， ，， 在和中，，，，， 如图，延长交于点，交于点， ，，， ，直线与的夹角度数为，故答案为：，； （2）；直线与的夹角度数为；理由如下： 四边形和四边形是菱形，，，， ，， 在和中，，， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，， ，直线与的夹角度数为； （3）如图，∵∴当点在上时，线段取得最小值，连接，交于点， 四边形是菱形，，，，， ，，，， ，，即线段的最小值为． 36．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）【特例感知】（1）如图1，在正方形中，点E是边上一点，将E沿翻折，点的对应点为，延长交边于点，连接．求证：． 【类比迁移】（2）如图2，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，求的度数． 【拓展应用】（3）在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的一条边上，且． ①如图3，当点落在边上时，求的长；②当点落在边上时，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析，（2），（3）①4；②． 【详解】（1）证明：∵将沿翻折到处，四边形是正方形， ∴，∴， ∵，，∴． （2）解：过点作于点，如图，则， ∵四边形是矩形，∴，， ∴，∴四边形是矩形，∴， 由翻折得：，， ∵，∴，∴，∴． （3）解：①当点落在边上时，如图，  ∵，，∴是等边三角形，∴； ②当点落在边上时，如图，过点作于点， ∵，，∴，∴， ∴， ∵四边形是菱形，∴，∵，，∴， ∴四边形是平行四边形，∴，，由翻折得：， 设，则， 在中，，∴，解得： ，即． 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 特殊的平行四边形中的压轴问题 题型一：以平行四边形为背景的压轴问题 题型二：以矩形为背景的压轴问题 题型三：以菱形为背景的压轴问题 题型四：以正方形为背景的压轴问题 题型五：多图形综合压轴问题 题型一：以平行四边形为背景的压轴问题 1．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为 ． 2．（25-26八年级下·重庆·开学考试）如图，是的对角线，将绕点D旋转一定角度得（点C、B的对应点分别为点E、F），使得点D、A、E在同一直线上，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，连接，点、分别在、上，连接、交于点，，．若，，则的长为______． 4．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，中，，边，过点A作于点G，点E是边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，若点F为中点，则线段_______________ ，边____________________ ． 5．（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接．(1)若，，，求的长；(2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：． 6．（25-26九年级上·山东济宁·期末）【问题背景】如图1，在平行四边形纸片中，过点B作直线于点E，沿直线l将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 【动手操作】现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点B重合，点在线段上，延长交线段于点F，如图3所示； ②连接过点C作直线交射线于点N，如图4所示； 【问题解决】请解决下列问题：(1)如图3，填空：________；（写出解答过程） (2)如图4，求证：． 7．（25-26九年级上·重庆开州·月考）在平行四边形中，于于F，H为上一动点，连接，交于，且． (1)如图1，若，求的长；(2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，若，点是直线上任一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，请直接写出当最小时的面积． 8．（25-26九年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． (1)若，求的长；(2)当时，求的度数；(3)当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 题型二：以矩为背景的压轴问题 9．（25-26九年级上·浙江台州·月考）如图，在矩形中，．，把矩形绕点C旋转，得到矩形且点B恰好落在上，连接交于点H．则的长为（　　） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·重庆江津·月考）如图，在平行四边形中，，点E是的中点，的平分线交于点F，将沿折叠，点D恰好落在上点M处，分别延长，交于点N，下列四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 11．（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）如图，矩形中，，，作的平分线交对角线于点，过点作交于点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，矩形中，，，点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F，将四边形沿着翻折，得到四边形边交边于点G，连接、，则的面积的最小值为______． 13.（25-26八年级上·四川成都·期中）在矩形中，，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点． (1)求证：；(2)当时，求出的长；(3)在点的运动过程中，是否存在是以为腰的等腰三角形，若不存在请说明理由，若存在，直接写出的长． 14.（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在矩形中，，为边上的一动点（不与点重合），连接，作点关于直线的对称点，作射线交边于点． (1)如图1，当点与点重合时，作交于点． ①求证：四边形为菱形；②求线段的长．(2)当时，直接写出线段的长． 15．（24-25九年级下·吉林长春·周测）【问题原型】在矩形中，．点为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【问题解决】如图①，当点落在边上时，求的长． (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点，且，直接写出的长__________． (3)【拓展提升】如图③，点为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，直接写出的长__________． 16．（24-25八年级下·广西南宁·期末）【问题发现】（1）如图1，在矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，则： ①______，______，______，______； ②______填“”“”或“； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，的反向延长线于点，，②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，请求出的最小值． 题型三：以菱形为背景的压轴问题 17．（2026·贵州黔东南·三模）菱形的边长为6，，E、F分别是、的中点．点M在上，且．连接交于点G．则的长为______． 17．（2026·天津滨海新区·二模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，点为中点，点为中点． （1）线段的长为__________； （2）为中点．连接，点在上，且，则的长为__________． 18．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有（ ） A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④ 19．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 20．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形中，，点E、F分别是、上任意的点（不与端点重合）．且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．有如下几个结论：①；②的大小为定值；③平分；④．以上结论中，正确结论的序号是_______． 21．（2026·河南·模拟预测）解决下列问题： (1)【观察猜想】如图，已知和，，，，．线段，，的数量关系为________； (2)【类比探究】如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点落在射线上的点处．①当在线段上时，________°． ②在①的条件下，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图，在菱形中，，点为对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点落在射线上的点处．若，，请直接写出的长． 22．（25-26九年级下·河南信阳·专题练习）【问题背景】如图1，在菱形中，，点为菱形内一动点，且，连接并延长，交于点，连接． 【初步探究】(1)求的度数． 【深入探究】(2)如图2，将沿翻折，得到，连接．求证：． 【拓展延伸】(3)在（2）的条件下，连接．若，中一个内角为，直接写出的长． 23．（25-26九年级上·山东·月考）问题情境：一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考（1）请解答老师提出的问题． 探索发现（2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为 ． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立；若不成立，请说明理由． 24．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图1，已知四边形是菱形．，点在菱形的对角线与上，的两边分别交边于点，且连接交于点，在的异侧．(1)当时，①求证：；②如图2，过作交于点，过作交于点，连接．求证：四边形是矩形；③在②的条件下，当四边形是正方形，时，直接写出的长度．(2)如图3，，点在上运动，当是的三等分点时，请直接写出四边形的面积． 题型四：以正方形为背景的压轴问题 25.（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，正方形的顶点，分别在轴、轴上，，点在轴上且，垂直于轴，交轴于点，连接．判断：①；②；③是等边三角形；④若轴上有一动点，连接，当的值最小时，点坐标为．其中正确的有______． 26．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在正方形 中， ，点在边上，点 在 上， ，交 于点，交于点，连接 ．下列结论：① ；② ；③；④ 的最小值为．上述结论中，正确的序号有_______． 27．（24-25九年级上·江西赣州·期末）正方形中，将沿折叠，使得点B在上为点F，折痕为，连接、，给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）四边形为菱形；（5）若，则正方形的面积为．其中正确的结论是（     ） A．（1）（4） B．（1）（2）（5） C．（1）（3）（4） D．（1）（4）（5） 28．（2026·山西运城·三模）综合与探究 问题情境：如图1，点E是正方形内部一点，且，将绕点C逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点F． 猜想证明：(1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)探究学习小组经过深入探究发现，若在点E运动的过程中，直线与交于点O，点O始终是线段的中点，请你借助图2帮助该学习小组证明他们的发现是正确的； 拓展延伸：(3)如图3，若该正方形的边长为4，连接，在点E运动的过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长． 29．（24-25九年级上·河南开封·期末）【问题情景】数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作：将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． (1)【思考尝试】如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； (2)【应用迁移】如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 30．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为的直角三角板的一个锐角顶点与正方形的顶点重合，正方形固定不动，然后将三角板绕着点旋转，的两边分别与正方形的边、或其延长线相交于点、，连接． (1)【探究发现】在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边、相交时，如图（1）所示，则线段、、满足的数量关系：_________________．(请直接写出结果) (2)在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边、的延长线相交时，如图（2）所示，则线段、、又将满足怎样的数量关系：________________．(请直接写出结果) (3)【拓展思考】若正方形的边长为6，在三角板旋转过程中，当的一边恰好经过边的中点时，试求线段的长(请写出解答过程)． (4)【创新应用】如图（3）所示，将三角板的锐角顶点与正方形的边中点重合，边、分别与正方形的边、交于点、．若，则线段_______．(请直接写出结果) 31．（24-25八年级下·重庆江津·月考）如图，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、，正方形的边长为6． (1)如图1，当点M和点C重合时，若，求的面积为 ；(2)在（1）的条件下求线段的长度；(3)如图2，当点在边上时，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 题型五：多图形综合压轴问题 32．（24-25九年级上·广东珠海·期中）【问题呈现】如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】（1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】（2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】（3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 33．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】（1）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，．若点的位置恰好使得．（1）___________； 【探究提炼】（2）如图②，若（1）中的是上任意一点，求的度数； 【理解应用】（3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由． 34．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）【课本再现】（1）如图1，正方形的对角线、相交于点O，正方形的顶点A′与点O重合．将正方形绕点A′旋转，在这个过程中，若连接，则、、之间的数量关系为___________． 【类比迁移】（2）如图2，矩形对角线的交点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【拓展应用】（3）在菱形中，，E、F分别是边、对角线上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕点A逆时针旋转一定角度后得到新的菱形如图3，连接，点P为线段的中点，连接、．①判断与的数量关系，并进行证明； ②若，，菱形在旋转过程中，当最小时，的面积为___________． 35．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】（1）当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】（2）如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】（3）如图，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，直接写出线段的最小值． 36．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）【特例感知】（1）如图1，在正方形中，点E是边上一点，将E沿翻折，点的对应点为，延长交边于点，连接．求证：． 【类比迁移】（2）如图2，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，求的度数． 【拓展应用】（3）在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的一条边上，且． ①如图3，当点落在边上时，求的长；②当点落在边上时，请直接写出的长．   15 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $