专题07 特殊平行四边形中的新定义型问题（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形新定义问题，通过菱形、矩形、正方形分类突破，以定义理解、性质迁移、拓展探究为逻辑链，培养数学抽象与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |菱形新定义|3题|新定义+距离/中点四边形|菱形性质→新定义生成→轨迹/中点问题| |矩形新定义|3题|新定义+特殊三角形/动点|矩形性质→新定义应用→分类讨论| |正方形新定义|3题|新定义+旋转/面积计算|正方形性质→新定义拓展→动态几何| |综合应用|9题|选择/填空/解答综合|特殊平行四边形性质→跨情境迁移|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07特殊平行四边形中的新定义型问题 内容概览 目常考题型·精准突破 题型1菱形中的新定义型问题（难） 题型2矩形中的新定义型问题（难） 题型3正方形中的新定义型问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1菱形中的新定义型问题 1.(25-26八年级下福建莆田期末)定义：平面上一点与某个图形所有点相连的线段中最短的线段长度 叫做点与该图形之间的距离，记为d.如图，己知菱形ABCD,∠ABC=60°，AB=3,平面内一动点P( 菱形外部)到菱形ABCD的距离为d=1,则点P运动轨迹的长度为 B A 2.(25-26九年级上贵州六盘水期中)定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点 四边形. H H 图1 图2 (I)如图1，在任意四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点，则中点四边 形EFGH的形状是 (②)在图1中，试判断S四边形EGH与S四边形BCD的关系，并说明理由. (3)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分别为边AB,BC,CD,DA的中点.猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想. 3. (25-26八年级下·全国课后作业)如图1，若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH是菱 形，则称原四边形ABCD为“中母菱形”.定义：若四边形的对角线相等，那么这个四边形是中母菱形 图1 图2 图3 (1)请写一个你学过的特殊四边形中是中母菱形的图形的名称. (2)如图2有等边三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE,猜想图中哪个四边形是中母 菱形，并加以证明， (3)如图3，在等边三角形ABC中，若D、E不是AB、AC的中点，且BD=AE,探究满足上述条件的图 形中是否存在中母菱形，并证明你的结论 ◆题型2矩形中的新定义型问题 4.(25-26九年级上河南阶段检测)定义：有一个内角的度数是另一个内角度数的2的钝角三角形叫做 “半钝三角形”，如图，在矩形ABCD中，BC=V5+1,AC=2V5+2,E为对角线AC的中点，F是射 线CD上一动点.若△CEF是“半钝三角形”，且∠ECF不是其最小的内角，则CF的长为 E 5.(25-26八年级下江苏盐城期中)新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践 能力及创新精神，让我们试试吧！我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”， 图① 图② 图③ 【定义理解】 219 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图①，己知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A=1269,∠D=120°，求∠C的度数. 【定义运用】 (2)如图②，在五边形ABCDE中，DE∥BC,对角线BD平分∠ABC,求证：四边形ABDE为等邻角四边 形： 【定义拓展】 (3③)如图③，在等邻角四边形ABCD中，∠B=∠C=60°，BC=6.点P为边BC边上的一动点，过点P作 PM⊥AB,PN⊥CD,垂足分别为M,N,在点P的运动过程中，PM+PN的值是否是定值？若是，请求 出这个值；若不是，说明理由. 6.(2025河南周口·二模)【定义阅读】 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是180°，则称这两个顶角的顶点关于这条底边互为“和 谐点”， D 图1 图2 图3 【定义理解】 (1)如图1，点A与点P都在线段BC的垂直平分线上，且均在直线BC上侧， ①AB与AC的数量关系是一： ②若∠BPC=130°，且点A与点P关于BC互为“和谐点”，则∠ACP=一： 【性质操作】 (2)如图2，矩形ABCD中，点E为AD边上一点，且BE=BC,BF平分∠CBE,射线BF交CD于点F, 点B与点F是否关于EC互为“和谐点”？说明理由； 【思维拓展】 (3)在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,点F是直线CD上的动点，点E是平面内一点，在点F运动过 程中，当点E与点C关于BF互为“和谐点”，且A,B,E三点共线时，请直接写出AF的长， ◆题型3正方形中的新定义型问题 7.(25-26八年级下·上海闵行·期中)定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点 的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为3，中心为0，在正方形外有一点P,0P=4,当正方形绕着 319 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点O旋转时，则点P到正方形的最短距离的取值范围为 D 8.(2025广西崇左二模)筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形. D A B C 图1 图2 (1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形： (②)如图1，在正方形ABCD中，E是对角线BD延长线上一点，连接AE,CE.求证：四边形ABCE是筝形： (3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得AB=AD, BC=DC,发现它是一个筝形，还得到AB=18cm,BC=40cm,∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积. 9.(24-25八年级下江西宜春·期末)定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形. (1)问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称： 猜想与验证： (2)①如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O,下列结论正确的是(). 1 A.AB2+BC2 =CD+AD B.S四边形ABCD= ACXBD 2 C.ABxCD=BC×AD ②证明①中正确的结论： 拓展思考： (3)如图2，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别是3cm和5cm,连接AE,AG,CE,且AE=7cm, △ADG的面积和△DCE的面积会相等吗？如果会，请证明并求△DCE的面积，如果不会，请说明理由. 419 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(25-26八年级下河南周口·期中)新定义：若四边形一组对边平行且有一组邻边相等，称为“准菱 形”.已知平行四边形ABCD为准菱形，则该四边形一定是() A.矩形 B.菱形 C.正方形 D,无法确定 2.(2026河南郑州一模)定义：将边长相同的菱形与正方形的接近程度叫做菱形的“接近度”，记作， 且d=180-Q-1,其中aw,B为菱形的两个相邻内角的度数.下列说法不正确的是() A.内角等于130°的菱形的接近度d=100 B.接近度d越大的菱形越接近于正方形 C.当d=180时，该菱形是正方形 D.菱形的接近度d的取值范围是0≤d≤I80 3.(25-26八年级下·河南濮阳期中)新定义：若矩形的长宽之比是√2，我们称这个矩形是“完美矩形” AD 如图，将矩形ABCD(AB<BC)按照如图所示的方式折叠，若得到的矩形EDMN是“完美矩形”，则AB 1Ix(m-m)=m-n、 的值是（）（提示：m+NnNm+mWm-Vmm-n) 519 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V2+1 3 A.2 B. 2 C.2 D.2 二、填空题 4.(24-25八年级下·山东淄博·期中)定义：一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝 形.如图，在筝形ABCD中，AB=CB=2,AB<AD,∠ABC=6O°.将△ABD沿射线BD的方向平移得到 △AB'D',分别连接A'C,B'C,则AC+B'C的最小值为 ----- B B D D 5.(25-26八年级下·浙江湖州期末)定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”. 如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=T,“筝形”EFGH的顶点E是AB的中点，点F,G,H分别在 BC,CD,AD上，且EF=5,则对角线EG的长 D E B 6. (25-26九年级上四川成都阶段检测)我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻 两个内角的度数分别为au°，B°，将菱形的“接近度”定义为lQ-P,于是a-月越小，菱形越接近正方 形. ①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为 ②当菱形的“接近度”等于， 时，菱形是正方形. 三、解答题 7.(25-26八年级下·黑龙江牡丹江期中)定义：如果一个梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么称 这个梯形为“和谐梯形”，这条对角线称为“和谐线”· 619 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D A A D 图① 图② 图③ (①)【概念理解】如图①，在梯形ABCD中，AD‖BC,∠D=90°，若AD=1,BC=4,CD=3,则梯形 ABCD (填“是”或“不是”)“和谐梯形”，“和谐线”是对角线 (2)【方法应用】如图②，在矩形ABCD中，AB=4,点E、F分别在边AD和BC上，且AE=2,当梯形 ABFE为“和谐梯形”时，直接写出“和谐梯形ABFE”的面积： (3)【拓展提升】如图③，在“和谐梯形ABCD”中，对角线AC为“和谐线”，AD‖BC,AC与BD交于 点O,判断△BOC的形状，并说明理由， 8.(2425八年级下·江苏镇江期中)阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形.我们把有一条对 角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形.如图1，四边形ABCD中，若AC垂直平分BD,那么四边 形ABCD称为鹞形. 图1 图2 图3 (1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①】 :② (2)如图2，在平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC和CD上，且四边形AECF是鹞形(AC垂直平分 EF),求证平行四边形ABCD是菱形. (3)如图3，在(2)的条件下，连接AC、EF,若AC=12,AB=10,DF=4,则EF的长度为 9.(25-26九年级上广东深圳期末)定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫 做“等分对角四边形”，这条对角线叫做这个四边形的“等分线”. 如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC和∠ADC,那么对角线BD叫做四边形ABCD的“等分 线”，四边形ABCD就称为“等分对角四边形”， 719 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 问题： ()下列四边形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，其中是“等分对角四边形”的有 (填序号) (2)四边形ABCD是“等分对角四边形”，∠ABC=90,∠BAD=60°，AD=2,求四边形ABCD的“等分线” 的长： 解：①当AC为“等分线”时，如图2所示： D C 日B 图2 ②当BD为“等分线”时… 请画出相应的图形并写出此题完整的解答过程. (③)如图，在菱形ABCD中，AB=8,∠ABC=60°，点E,F,G分别在边AD,BC和AB上，BE与GF交于点 P,点是线段EF上任意一点，连接P巴，若四边形BGEF是“等分对角四边形”，“等分线”是GF, 求线段PO的最小值. D 10.(25-26八年级上广东深圳期中)探究与实践. 【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形. 【问题解决】 (1)写出一个你知道的对直四边形：- (2)如图1，四边形ABCD是对直四边形，若∠D=90,AD=3,CD=L,BC=2,则边AB的长是_ 819 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 的 B B 图1 图2 图3 (3)如图在5×5方格纸中，A、B两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形ABCD,且 点C、D都在格点上 【拓展探究】 (4)如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别在BC,AB上，且点E为BC的中点，AF=3 试说明四边形AFED是对直四边形， D D D E B B 图4 图5 备用图 【实践应用】 (5)某新建小区的建筑工地有一批铺完室内地板后剩下的瓷砖，形状如图5所示，其中AB=20cm, BC=60cm,∠B=∠C=90°，∠D=45°.现根据要求，需将每张四边形瓷砖进一步切割成一个等腰三角形 瓷砖和一个“对直四边形”瓷砖，用来铺设小区内花园的小路，要求原材料充分利用无剩余.请直接写出 切割后得到的等腰三角形瓷砖的腰长是 cm.(写出所有情况) 919学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07特殊平行四边形中的新定义型问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1菱形中的新定义型问题（难） 题型2矩形中的新定义型问题（难） 题型3正方形中的新定义型问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1菱形中的新定义型问题 1.12+2π/2π+12 2. 【答案】(1)证明：如图1，连接BD, H 图1 :点E、H分别为边AB、AD的中点， .EH /BD.EH-D 点R、G、分别为BC、CD的中点， FG∥BD,FG=)BD ∴.EH=FG、EH∥FG」 ∴，中点四边形EFGH是平行四边形： (2)2S四边形EFGH=S四边形BCD,理由如下： 如图，作AP⊥BD于点P,交EH于点Q,设BD交EF,HG分别于点M,N, 1/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M F 图1 由(1)可知：四边形EFGH是平行四边形， EH∥BD,EH=BD .EF HG,AQ⊥EH ∴.四边形EMNH为平行四边形 取AP的中点T,连接ET,则ET∥MP, ∴.ET⊥AP, .T,0重合， 4A0=P0=4P, 2 5m号8DAP号2En2P0=2BH-P0=2Sa 同理：S,BCD=2SPnG, ∴.SABD+SBCD=2SNH+2SPG,限即：2S四边形ErGH=S四边形ABCD; (3)解：四边形EFGH是菱形，理由如下： 如图2，连接AC、BD H 0 图2 '∠APB=∠CPD ∴.∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,即∠APC=∠BPD, 在△APC和△BPD中， AP=PB ∠APC=∠BPD PC=PD .△APC≌aBPD(SAS)」 ∴.AC=BD, 2/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点E,P,G分别为边AB,BC,CD的中点， F-AC.FG-D 由(I)得：四边形EFGH是平行四边形， ∴，四边形EFGH是菱形. 3. 【答案】(1)解：矩形、正方形的对角线相等， 故答案为：矩形： (2)四边形DBCE是中母菱形， 证明：连接DC,BE :D,E分别是AB,AC的中点， DB-AECC AB=AC. DB=EC,LB=∠C, .△DBC≌aECB(SAS). .DC=BE, ∴四边形DBCE是中母菱形； (3)四边形DBCE是中母菱形， 证明：连接DC,BE」 ,△ABC是等边三角形， .∠B=∠A=60,BC=AB BD=AE, .△BDC≌aAEB(SAS), ∴.CD=BE, ∴.四边形BCED是中母菱形 3/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2矩形中的新定义型问题 4.1或25+4 5. 【答案】(1)解：：四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A=126°，∠D=120°， .∠B、∠C均不可能与∠A、∠D中的任意一个角相等，否则总内角和大于360°. ∴.∠B=∠C .∠A+∠B+∠C+∠D=360°， .126°+120°+2∠C=360°. 解得：∠C=57° (2)证明：DE∥BC, ∴∠EDB=∠DBC, ,对角线BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠DBC ∴.∠ABD=∠EDB. ∴.四边形ABDE为等邻角四边形 (3)解：PM+PN的值是定值，定值为3W3 如图，作BO⊥CD垂足为Q,作PR⊥BO垂足为R, B .PN⊥CD .四边形PNOR是矩形. .PN=RO,LBRP=9O°且PR∥Cg, .∠C=∠RPB 4/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠MBP=∠C=60°， .∠MBP=∠BRP=6O° 又∠BMP=∠BRP=90°，BP=BP. .△BMP≌aPRB(AAS), ∴.PM=BR, :.PM+PN=BR+RO=BO .∠C=60°，BQ⊥CD .∠QBC=90°-∠C=30°. :0c=)BC=3, 2 .BO=BC2-0C2=62-32=33 ·在点P的运动过程中，PM+PN的值为定值3V3 6. 【答案】解：(1)①：点A与点P都在线段BC的垂直平分线上，且均在直线BC上侧， AB=AC: ②：点A与点P关于BC互为“和谐点”，且∠BPC=130°， .∠BAC=180°-∠BPC=50° 又：点A与点P都在线段BC的垂直平分线上， .BP=CP,AB=AC, ∠4CB=080-∠B4C)=65°，∠BcP=080-∠BPC)=25, .∠ACP=∠ACB-∠BCP=40°： (2)点B与点F是关于EC互为“和谐点”，理由如下： BF平分∠CBE, .∠EBF=LCBF, 在△EBF和△CBF中， BE=BC ∠EBF=∠CBF BF=BF ∴△EBF≌aCBF(SAS). ∴.EF=CF,∠BEF=∠BCF=90° 5/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠EBC+∠EFC=360°-90°×2=180° 又：△BCE,aFCE均为等腰三角形，其中BE=BC,EF=CF, ∴点B与点F关于EC互为“和谐点”： (3),四边形ABCD是矩形，AB=2,AD=4, ∴CD=AB=2,AD=BC=4,∠ADC=∠BCD=90°， 当点F在CD的延长线上时，如图， :点E与点C关于BF互为“和谐点”，∠C=90 ∴.∠BEF=∠BCF=90°，BE=EF,CF=BC=4, .DF=CF-CD=2. 在Rt△ADF中，∠ADF=90°， .AF=√AD2+DF2=V42+22=25: 当点F在DC的延长线上时，如图， D ,点E与点C关于BF互为“和谐点”，∠BCF=∠BCD=90° 、.∠BEF=LBCF=90°，BE=EF,CF=BC=4, ∴DF=CF+CD=6, 在Rt△ADF中，∠ADF=90°， .AF=VAD2+DF2=V42+6=2V13: 当点F在线段CD上时，不存在BC=CF,故不存在点E与点C关于BF互为“和谐点”，综上，满足条 件的AF的长为25或213 6/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3正方形中的新定义型问题 74-2≤d分 8. 【答案】(1)解：由题意得，菱形和正方形都是筝形， 故答案为：菱形，正方形： (2)证明：：四边形ABCD是正方形， .AB=CB,∠ABE=∠CBE=45°， 又，BE=BE, .△ABE≌△CBE(AS). .AE=CE, 又AB=CB, 四边形ABCE是筝形： (3)解：如图所示，过点A作AE⊥CB交CB延长线于E,连接AC, AB=AD,BC=DC,AC=AC, ∴.△ABC≌△ADC(SSS), .S△iBc=SADC, Sa边5D=2Sc, .∠ABC=120°， ∠ABE=60°， AE⊥CB,即∠E=90°， ∴.∠BAE=30°， BE=4B=9cm, 2 .AE=AB2-BE2 =93cm, :5r-8C4E=x40x95=180N5cm2, .S四边形HBcn=2S△MBc=360√5cm2 7/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 9 【答案】解：(1)菱形的对角线相互垂直， ∴菱形是“对垂”四边形 :正方形的对角线相互垂直， ∴正方形是“对垂”四边形： 故答案为：菱形或正方形： (2)①A、AC⊥BD, 在RtAAOB中，由勾股定理可得AB2=OA+OB2;在Rt△COB中，由勾股定理可得CB2=OC2+OB; AB2+BC2=(OA+0B2)）+(0C2+0B2)）=0A+0C2+20B: 在Rt△AOD中，由勾股定理可得AD2=OA+OD2:在Rt△C0D中，由勾股定理可得CD=OC2+OD: .AD2+CD2=(OA+0D2）+(0C2+0D2）=0A+0C2+20D2: 当OB=OD时，AB2+BC2=CD+AD2: 而题中并未明确OB与OD是否相等，该选项不一定正确，不符合题意： B.Sm=5.am+5mBDx01+BDx0C-=BDx(C0+A0)-4CxBD,途项正确，符合更 意： C、由题中四边形的任意性，无法保证AB×CD=BC×AD,选项错误，不符合题意： 故选：B ②证明如下：AC⊥BD, Sa0m=So+S.-Dxc01+号BDx0C=号BDxC0+A0)-号4CxBD: (3)△ADG的面积和△DCE的面积相等， 证明如下： ,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别是3cm和5cm, 8/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=CD=3cm,DG=DE=5cm,∠ADC=∠GDE=90° 连接AC,EG,连接CG交AE于点O,过点E作EN⊥CD于点N,过点G作GM⊥AD交AD延长线于点 M,如图所示： G .∴，∠GMD=∠END=∠CDM=90° ∴∠GDE-∠MDE=∠CDM-∠MDE,即∠GDM=∠EDN, 又DG=DE, ∴.AGDM≌△EDN(AAS), ..GM=EN, AD×GM 又SAADG= 2 ，SaoE=CDxEN 2 .△ADG的面积和aDCE的面积相等： .∠ADC=∠GDE=90°. ∴∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE即∠ADE=∠CDG, 又AD=CD,DG=DE .AADE≌△CDG(SAS), ∴.∠DAE=∠DCG,CG=AE=7cm. 又∠DAE+∠ADC=∠DCG+∠COA, .∠COA=∠ADC=90°， ∴AE⊥CG ∴，四边形AECG是“对垂”四边形， ∴.S四边形4CEG= 4BxCG=x7×7=24.5cm2, 2 1 1 40c=)xAD=23E4.5cm,SHAGDE三2xDE2=2×S=2 S△MDG+SADCE=S边形4c6-S△ADc-SR△GE=24.5-4.5-12.5=7.5cm2, .SAADG SADCE =3.75cm2, 9/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .aDCE的面积为3.75cm2 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.B 2.D 3.D 二、填空题 4.23 5.7或5V2 6.20 0 三、解答题 7. 【答案】(1)解：如图，连接BD, D 图① :在梯形ABCD中，ADII BC,∠ADC=90°， .∠C=∠D=90°， BC=4,CD=3, .BD=VBC2+CD2=V4+32=5, .BD=AD+BC=5. ∴梯形ABCD是“和谐梯形”，“和谐线”是对角线BD; (2)解：如图，连接AF、BE, 10/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B F 图② ,在矩形ABCD中，AB=4, .∠BAE=∠ABF=90°， .BE=√AB2+AE2=V42+22=2V5, ,梯形ABFE为“和谐梯形”， ∴.BE=AE+BF或AF=AE+BF. 分以下两种情况讨论： 当BE=AE+BF时，AE+BF=BE=2N5, “和谐梯形BFE”的面积=(4E+BF)4B=x25x4=45, 当AF=AE+BF时，设BF=x, .AF=VAB2+BF2=16+x, V16+x2=2+x, 解得x=3, “和诺梯形BFE”的面积=4E+BF)4B=×2+3)x4=10。 综上所述，“和谐梯形ABFE”的面积为4V5或10： (3)解：△BOC是等腰三角形，理由如下： 延长AD到点E,使DE=BC, A D B ,AC为“和谐梯形ABCD”的和谐线， .AC=AD+BC. AE=AD+DE, ..AC=AE 11/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACE=∠E, DE∥BC,DE=BC, ∴四边形DBCE是平行四边形， .LDBC=∠E,BD∥CE. .∠ACE=∠BOC, .LDBC=∠BOC, .BC=OC, ∴.△BOC是等腰三角形. 8. 【答案】(I)解：AC垂直平分BD, ∴AB=AD,BC=DC, 在△ABC和△ADC中， AB=AD BC=DC AC=AC ∴.△ABC≌△ADC(SSS). ∠BAC=∠DAC,∠ABC=∠ADC, 即：鹞形的一条对角线平分一组对角，鹞形的一组对角相等： 故答案为：鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等： (2) 证明：如图，连接AC,EF相交于点O, D 由(1)可得∠BCA=∠DCA, :四边形ABCD是平行四边形， .∠DCA=∠BAC」 .∠BCA=∠BAC ∴BC=BA, ∴.四边形ABCD是菱形： 12/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：如图，连接BD与AC相交于点G,设AC,EF相交于点O, D 四边形 是菱形， ABCD ∴AC⊥BD 4G-C6 .BG=VAB2-AG2=V102-62=8, 5x=5m-4CBG=12x8=4. DF=4, ∴CF=CD-DF=6, 3。 3 S。4c=S.BcF5×48-44 5 S= -AC.OF 1 144 2 ×12OF= 5, ÷0F=24 EF=48 5· 9. 【答案】 【详解】(1)解：，菱形和正方形的对角线平分对角， ∴菱形和正方形为“等分对角四边形”， 故答案为：③④. (2)解：①当AC为“等分线”时，如图2所示： 13/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 图2 则∠CAD=∠CAB,∠ACD=∠ACB」 .AC=AC, .△ACD≌△ACB(ASA). ,∠ABC=90°，∠BAD=60°，AD=2, B=D2:ZCAD=∠CAB=7∠BAD= F2×60°=30°， 1 ·在Rt△ABC中， AC=BC.AB=2 AC2-BC2=AB ..AC= 45 3 ②当BD为“等分线”时，如图3所示： 0 B E 图3 作DE⊥AB于点E,则∠DEA=∠DEB=90°， :四边形ABCD是“等分对角四边形”，BD为“等分线”，∠ABC=90°，∠BAD=60°，AD=2, ∴∠4BD=2C8D-48c=0=45. .∠ADE=90°-∠BAD=30°，∠BDE=90°-∠ABD=45°=∠DBE, E4D21 DE-8E .BE=DE=AD-AE=2-=3, BD=VDE+BE)+(3)=6 4v3 综上，四边形4BCD的“等分线”的长为)或6： 14/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：如图，过点A作AM⊥BC于点M, D G 则∠AMB=90° ,菱形ABCD中，AB=8,∠ABC=60° ..∠BAM=90°-∠ABC=30°， M-8=4, .AM=VAB2-BM2=V82-42=4V5, ,四边形BGEF是“等分对角四边形”，“等分线”是GF, .∠BGF=∠EGF,∠BFG=∠EFG, .GF=GF」 .△BGF≌aEGF(ASA), ∴.GB=GE,BF=EF, .GF垂直平分BE, ∴.BP=EP, S.BFE=2S.PFE :点P是线段EF上任意一点，连接PO, ∴当PO1EF时，此时PO取得最小值， 此时S.m, .AD II BC. S.BFE F:AM-2xFF.PQ, 即0-M5=2w5. ∴.P的最小值为25 10. 15/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】解：(1)矩形（答案不唯一）， 故答案为：矩形（答案不唯一）； (2)连接AC,根据题意可得∠D=∠B=90°， D T B 图1 .AC2=AD2+CD2=32+12=10 ∴.AB=VAC2-BC2=N10-4=√6， 故答案为：V6: (3)如图，答案不唯一 B (4)连接DF, 四边形 是正方形， F B 图4 ABCD ∴AB=BC=CD=AD=4,∠A=∠B=∠C=90°， :E是BC的中点， :.BE-CE-IBC-2, 2 ..AF=3. .BF=4-3=1, ∴.DF2=AD2+AF2=42+32=25, 16/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF2=BF2+BE2=12+22=5, DE2=CD2+CE2=42+22=20. .EF2+DE2=DF2, ∴△DEF为直角三角形， .∠DEF=90°， ∠A=∠DEF=90°， .四边形AFED是对直四边形； (5)①过点A作AE⊥CD交于E, D .-E B 图5 .·∠B=∠C=90° .四边形ABCE是矩形， .四边形ABCE是对直四边形， ∠D=45°， .∠DAE=45°， .AE=DE, :∴△AED为等腰三角形， ∴AE=BC=DE=60cm: 故腰长为60cm, ②在①的条件下，过点C作CF⊥AD交于F, D F E 图5 同理可证：DF=CF, :.△DFC是等腰三角形， 17/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠B=∠AFC=90°， ∴四边形ABCF是对直四边形， 由①得DE=AE=60cm,CE=AB=20cm, ∴.CD=20+60=80cm, ..CD=CF2+DF2 =2CF, CF=② CD=40v2cm, 故腰长为40W2cm; ③过点A作AG⊥AD交BC于G, A◇ B G 图5 .∠DAG=∠C=90° .四边形AGCD是对直四边形， ∠B=∠C=90°，∠D=45°， ∴∠BAD=360°-∠B-∠C-∠D=135°， ∴.∠BAG=∠BAD-∠DAG=45°， .∠BGA=90°-45°=45° .AB=BG ∴△ABG是等腰三角形， ∴.AB=BG=20cm」 故腰长为20cm; 综上所述：等腰三角形瓷砖的腰长是60或40W2或20 18/18 专题07 特殊平行四边形中的新定义型问题 常考题型·精准突破 题型1 菱形中的新定义型问题（难） 题型2 矩形中的新定义型问题（难） 题型3 正方形中的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1菱形中的新定义型问题 1．（25-26八年级下·福建莆田·期末）定义：平面上一点与某个图形所有点相连的线段中最短的线段长度叫做点与该图形之间的距离，记为．如图，已知菱形，，，平面内一动点菱形外部到菱形的距离为，则点运动轨迹的长度为_______ 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质，圆的周长公式，根据新定义可得点运动轨迹的长度为菱形的边长加上一个圆的周长，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意点运动轨迹的长度为菱形的边长加上一个圆的周长， 依题意， 点运动轨迹的长度为， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． (1)如图1，在任意四边形中，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，则中点四边形的形状是______． (2)在图1中，试判断与的关系，并说明理由． (3)如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点．猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 【答案】(1)平行四边形 (2)，理由见解析 (3)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理可得，据此可得，即可得证； （2）作于点，交于点，设交分别于点，推出四边形为平行四边形，取的中点，连接，证明重合，得到，根据三角形和平行四边形的面积公式得到，同理得到，即可得出结论； （3）连接，证得，由知，结合四边形是平行四边形即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵点E、H分别为边的中点， ∴， ∵点F、G、分别为的中点， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形； （2），理由如下： 如图，作于点，交于点，设交分别于点， 由（1）可知：四边形是平行四边形，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 取的中点，连接，则， ∴， ∴重合， ∴， ∴， 同理：， ∴，即：； （3）解：四边形是菱形，理由如下： 如图2，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E，F，G分别为边的中点， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图1，若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则称原四边形为“中母菱形”．定义：若四边形的对角线相等，那么这个四边形是中母菱形． (1)请写一个你学过的特殊四边形中是中母菱形的图形的名称． (2)如图2有等边三角形中，、分别是、的中点，连接，猜想图中哪个四边形是中母菱形，并加以证明． (3)如图3，在等边三角形中，若、不是、的中点，且，探究满足上述条件的图形中是否存在中母菱形，并证明你的结论． 【答案】(1)矩形 (2)四边形是中母菱形，见解析 (3)四边形是中母菱形，见解析 【分析】（1）从学过的特殊图形中，寻找对角线相等的图形(正方形，矩形，等腰梯形等)； （2）欲证明四边形是中母菱形，只需证明该四边形的对角线即可； （3）通过全等三角形的判定定理证得，然后根据全等三角形的对应边相等的性质推知四边形的对角线，所以四边形是中母菱形. 【详解】（1）解：∵矩形、正方形的对角线相等， 故答案为：矩形； （2）四边形是中母菱形， 证明：连接， ∵ ， 分别是 ，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是中母菱形； （3）四边形是中母菱形， 证明：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴  四边形是中母菱形. ◆题型2 矩形中的新定义型问题 4．（25-26九年级上·河南·阶段检测）定义：有一个内角的度数是另一个内角度数的的钝角三角形叫做“半钝三角形”．如图，在矩形中，，，E为对角线的中点，F是射线上一动点．若是“半钝三角形”，且不是其最小的内角，则的长为____________________． 【答案】或 【分析】由题意四边形是矩形可得，从而求得，由是“半钝三角形”，且不是其最小的内角，可分或两种情况来讨论，分别过点F作于点G，在上取点H，连接，使，连接，再通过三角形内角和证明求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， 为对角线的中点， ， 是“半钝三角形”，且不是其最小的内角， 最小的内角度数为，故分或两种情况来讨论； 当时，如图（1），过点F作于点G，在上取点H，连接，使，则，， ， ， 设，则， ，解得：，即 ； 当时，如图（2），连接，则， ，， ， ； 综上可知，的长为或． 故答案为：或． 5．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧！我们定义∶有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”． 【定义理解】 (1)如图① ，已知四边形为等邻角四边形，且，求的度数． 【定义运用】 (2)如图② ，在五边形中，，对角线平分，求证∶四边形为等邻角四边形； 【定义拓展】 (3)如图③ ，在等邻角四边形中，．点P为边BC边上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N，在点P的运动过程中，的值是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值为定值，定值为． 【分析】（1）根据“等邻角四边形”的定义，再结合已知条件和四边形内角和定理求解即可； （2）根据两直线平行，内错角相等，再结合角平分线的定义和“等邻角四边形”的定义证明即可． （3）作垂足为Q，作垂足为R，易得四边形是矩形可得且，再证明可得，进而得到，再利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为等邻角四边形，且， ∴、均不可能与、中的任意一个角相等，否则总内角和大于． ∴． ∵， ∴， 解得：． （2）证明：∵， ∴， ∵对角线平分， ∴． ∴． ∴四边形为等邻角四边形． （3）解：的值是定值，定值为． 如图，作垂足为Q，作垂足为R， ∵， ∴四边形是矩形． ∴且， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ 在点P的运动过程中，的值为定值． 6．（2025·河南周口·二模）【定义阅读】 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是180°，则称这两个顶角的顶点关于这条底边互为“和谐点”．      【定义理解】 （1）如图1，点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧， ①与的数量关系是_____； ②若，且点与点关于互为“和谐点”，则_____； 【性质操作】 （2）如图2，矩形中，点为边上一点，且，平分，射线交于点．点与点是否关于互为“和谐点”？说明理由； 【思维拓展】 （3）在矩形中，，，点是直线上的动点，点是平面内一点，在点运动过程中，当点与点关于互为“和谐点”，且，，三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②； （2）点与点是关于互为“和谐点”，理由如下： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 又均为等腰三角形，其中， 点与点关于互为“和谐点”； （3）或 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）①利用线段垂直平分线的性质可得答案； ②根据题中定义可得，再根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质求得，，进而可求解； （2）证明得到，进而可得，根据题中定义可得结论； （3）分当点F在的延长线上时，当点F在的延长线上时，当点F在线段上时三种情况，根据题中定义，结合勾股定理和矩形性质分别求解即可． 【详解】解：（1）①∵点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧， ∴； ②点与点关于互为“和谐点”，且， ， 又点与点都在线段的垂直平分线上， ，， ∴，， ∴； （2）略 （3）∵四边形是矩形，，， ∴，，， 当点F在的延长线上时，如图， ∵点与点关于互为“和谐点”， ∴，，， ∴， 在中，， ∴； 当点F在的延长线上时，如图， ∵点与点关于互为“和谐点”， ∴，，， ∴， 在中，， ∴； 当点F在线段上时，不存在，故不存在点与点关于互为“和谐点”，综上，满足条件的的长为或． ◆题型3 正方形中的新定义型问题 7．（25-26八年级下·上海闵行·期中）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为3，中心为，在正方形外有一点，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为_____． 【答案】 【分析】由题意以及正方形的性质得过正方形各边的中点时，d最大，过正方形的顶点时，d最小，分别求出d的值即可得出答案． 【详解】解：设的中点是E， 当过点E时，如图： ∴点O与边上所有点的连线中，最小，此时最小， ∵正方形边长为3，O为正方形中心， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 当过顶点A时，如图：            ∴点O与边上所有点的连线中，最大，此时最小， ∵正方形边长为3，O为正方形中心， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴d的取值范围为． 8．（2025·广西崇左·二模）筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______； (2)如图1，在正方形中，E是对角线延长线上一点，连接．求证：四边形是筝形： (3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得，，发现它是一个筝形，还得到，，，求筝形的面积． 【答案】(1)菱形，正方形 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据筝形的定义结合所学知识可得答案； （2）根据正方形的性质利用证明，得到，再由，即可证明四边形是筝形： （3）如图所示，过点A作交延长线于E，连接，先证明，推出，求出，得到，进而求出，利用三角形面积公式求出，则． 【详解】（1）解：由题意得，菱形和正方形都是筝形， 故答案为：菱形，正方形； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是筝形： （3）解：如图所示，过点A作交延长线于E，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 9．（24-25八年级下·江西宜春·期末）定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形． （1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______； 猜想与验证： （2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（    ）． A．         B．      C． ②证明①中正确的结论： 拓展思考： （3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由． 【答案】（1）菱形或正方形； （2）①B； ②证明如下：， ； （3）会，面积为： 【分析】（1）由“对垂”四边形定义，结合菱形、正方形性质即可得到答案； （2）①由“对垂”四边形定义，根据勾股定理、三角形面积公式求解即可得到答案；②由“对垂”四边形定义，即可证明； （3）连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而由三角形面积公式即可得到的面积和的面积相等，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）菱形的对角线相互垂直， 菱形是“对垂”四边形； 正方形的对角线相互垂直， 正方形是“对垂”四边形； 故答案为：菱形或正方形； （2）①A、， 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 当时，； 而题中并未明确与是否相等，该选项不一定正确，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、由题中四边形的任意性，无法保证，选项错误，不符合题意； 故选：B； ②略 （3）的面积和的面积相等， 证明如下： ∵正方形和正方形的边长分别是和， ， 连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示： ， ，即， 又， ， ， 又，， 的面积和的面积相等； ， 即， 又， ， ， 又， ， ， ∴四边形AECG是“对垂”四边形， ， 又， ， ， 的面积为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）新定义：若四边形一组对边平行且有一组邻边相等，称为“准菱形”．已知平行四边形为准菱形，则该四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定 【答案】B 【分析】结合平行四边形的性质和菱形的判定定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形为准菱形（四边形一组对边平行且有一组邻边相等）， ∴或或或， ∴平行四边形一定是菱形． 2．（2026·河南郑州·一模）定义：将边长相同的菱形与正方形的接近程度叫做菱形的“接近度”，记作，且，其中，为菱形的两个相邻内角的度数．下列说法不正确的是（    ） A．内角等于130°的菱形的接近度 B．接近度越大的菱形越接近于正方形 C．当时，该菱形是正方形 D．菱形的接近度的取值范围是 【答案】D 【分析】本题为新定义问题，结合菱形的邻角互补性质，逐一验证选项即可得到不正确的结论. 【详解】解：∵菱形对边平行，∴菱形相邻内角满足， 对选项A：若菱形一个内角为，则相邻内角为， ，A正确； 对选项B：由可知，越大，越小，相邻内角越接近，菱形越接近正方形，B正确； 对选项C：当时，，即，结合得，此时菱形是正方形，C正确； 对选项D：∵菱形的内角满足，， ，可得，的最大值为， 因此的取值范围是，不包含，D错误. 3．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）新定义：若矩形的长宽之比是，我们称这个矩形是“完美矩形”．如图，将矩形按照如图所示的方式折叠，若得到的矩形是“完美矩形”，则的值是（   ）（提示：） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：矩形是“完美矩形”， 设，则， 折叠， ， ， ， ， ． 二、填空题 4．（24-25八年级下·山东淄博·期中）定义：一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形．如图，在筝形中，，，．将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为 ________________ ． 【答案】 【分析】先在上取点H，使得为菱形，平移后的点为，过点C作直线的对称点M，交于点N，证明，则当三点共线时，的值最小，结合菱形性质，得，证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 在上取点H，使得为菱形，平移后的点为，过点C作直线的对称点M，交于点N ∴ 由平移可得 在和中 ∴ ∴ 当三点共线时，的值最小 ∵， 且四边形为菱形 ∴ ∴， ∵， ， ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵为的直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴则的最小值为 故答案为： 5．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如图，在矩形中，，“筝形”的顶点是的中点，点分别在上，且，则对角线的长_________． 【答案】或 【分析】①根据矩形的判定与性质可知，，再根据全等三角形的判定与性质解答即可； ②根据矩形的判定与性质可知，再根据勾股定理可知即可解答． 本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键． 【详解】解：①如图，，， ∵点是的中点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，，， 过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为或． 6．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为，，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近正方形． ①若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”为___________； ②当菱形的“接近度”等于___________时，菱形是正方形． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得出，即可求出，再根据“接近度”的定义求解即可；由正方形的判定可得出当时，菱形是正方形，从而得出当时，菱形是正方形． 【详解】菱形相邻两个内角的度数和为， ，即， 解得： 该菱形的“接近度”为； ∵四个角都为直角的菱形是正方形， 当时，菱形是正方形， 时，菱形是正方形． 故答案为：20，0． 三、解答题 7．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）定义：如果一个梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么称这个梯形为“和谐梯形”，这条对角线称为“和谐线”． (1)【概念理解】如图①，在梯形中，，，若，，，则梯形________（填“是”或“不是”）“和谐梯形”，“和谐线”是对角线________； (2)【方法应用】如图②，在矩形中，，点E、F分别在边和上，且，当梯形为“和谐梯形”时，直接写出“和谐梯形”的面积； (3)【拓展提升】如图③，在“和谐梯形”中，对角线为“和谐线”，，与交于点O，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)是， (2)或10 (3) 解：是等腰三角形，理由如下： 延长到点E，使， ∵为“和谐梯形”的和谐线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）连接，由勾股定理求出的长，则，再根据“和谐梯形”的定义判断即可； （2）连接、，根据“和谐梯形”的定义得或，根据勾股定理分别求解即可； （3）延长到点E，使，根据“和谐梯形”的定义得，进而可得，，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质进而推出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵在梯形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴梯形是“和谐梯形”，“和谐线”是对角线； （2）解：如图，连接、， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∵梯形为“和谐梯形”， ∴或． 分以下两种情况讨论： 当时，， ∴“和谐梯形”的面积； 当时，设， ∴， ∴， 解得， ∴“和谐梯形”的面积； 综上所述，“和谐梯形”的面积为或10； （3）略 8．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形． (1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______； (2)如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________． 【答案】(1)鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等； (2) 证明：如图，连接相交于点， 由（1）可得， 四边形是平行四边形， ． ． ， 四边形是菱形； (3) 【分析】（1）在和中，即可得出结论； （2）连接相交于点，由（1）可得，由四边形是平行四边形，可得．再证出，然后得出平行四边形是菱形即可； （3）连接与相交于点，设相交于点，由勾股定理得出，再求出，再求出，再由面积法求出，即可求解． 【详解】（1）解：垂直平分， ， 在和中， ， ， ，， 即：鹞形的一条对角线平分一组对角，鹞形的一组对角相等； 故答案为：鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等； （2）略 （3）解：如图，连接与相交于点，设相交于点， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．（25-26九年级上·广东深圳·期末）定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫做“等分对角四边形”，这条对角线叫做这个四边形的“等分线”． 如图1，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫做四边形的“等分线”，四边形就称为“等分对角四边形”． 问题： (1)下列四边形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，其中是“等分对角四边形”的有________；（填序号） (2)四边形是“等分对角四边形”，，求四边形的“等分线”的长； 解：①当为“等分线”时，如图2所示： …… ②当为“等分线”时…… 请画出相应的图形并写出此题完整的解答过程． (3)如图，在菱形中，，点分别在边和上，与交于点，点是线段上任意一点，连接，若四边形是“等分对角四边形”，“等分线”是，求线段的最小值． 【答案】(1)③④ (2)四边形的“等分线”的长为或，图见解析 (3) 【分析】（1）根据“等分对角四边形”的定义，结合菱形和正方形的性质直接判断即可； （2）分两种情况：①当为“等分线”时，根据“等分对角四边形”的定义，易证，得到，然后根据30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，即可求得；当为“等分线”时，作于点E，根据30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求得，再根据“等分对角四边形”的定义可知，，最后由等角对等边和勾股定理，即可求得； （3）过点A作于点M，根据30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求得，同（2）①理，可证得，从而得到，垂直平分，，进而可知，结合当时，此时取得最小值，此时有，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵菱形和正方形的对角线平分对角， ∴菱形和正方形为“等分对角四边形”， 故答案为：③④． （2）解：①当为“等分线”时，如图2所示： 则，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴在中，，，， ∴； ②当为“等分线”时，如图3所示： 作于点E，则， ∵四边形是“等分对角四边形”， 为“等分线”， ，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上，四边形的“等分线”的长为或． （3）解：如图，过点A作于点M， 则， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是“等分对角四边形”，“等分线”是， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵点是线段上任意一点，连接， ∴当时，此时取得最小值， 此时， ∵， ∴ ∴， 即， ∴的最小值为． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期中）探究与实践． 【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． 【问题解决】 （1）写出一个你知道的对直四边形： ． （2）如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是 ． （3）如图在方格纸中，A、B两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点C、D都在格点上． 【拓展探究】 （4）如图4，在边长为4的正方形中，点E，F分别在，上，且点E为的中点，，试说明四边形是对直四边形． 【实践应用】 （5）某新建小区的建筑工地有一批铺完室内地板后剩下的瓷砖，形状如图5所示，其中，，．现根据要求，需将每张四边形瓷砖进一步切割成一个等腰三角形瓷砖和一个“对直四边形”瓷砖，用来铺设小区内花园的小路，要求原材料充分利用无剩余．请直接写出切割后得到的等腰三角形瓷砖的腰长是　　　　　．（写出所有情况） 【答案】（1）矩形（答案不唯一）；（2）；（3）见解析，答案不唯一；（4）见解析；（5）或或 【分析】（1）根据新定义得矩形或正方形，即可求解； （2）连接，由勾股定理得，，即可求解； （3）根据新定义画出图形即可求解； （4）连接，由正方形的性质及勾股定理及其逆定理得，为直角三角形，即可求解； （5）分类讨论：①过点作交于，②在①的条件下，过点作交于，③过点作交于；即可求解． 【详解】解：（1）矩形（答案不唯一）， 故答案为：矩形（答案不唯一）； （2）连接，根据题意可得， ， ， 故答案为：； （3）如图，答案不唯一 （4）连接， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， ， 四边形是对直四边形； （5）①过点作交于， ， 四边形是矩形， 四边形是对直四边形， ， ， ， 为等腰三角形， ； 故腰长为； ②在①的条件下，过点作交于， 同理可证：， 是等腰三角形， ∴， 四边形是对直四边形， 由①得，， ， ， ， 故腰长为； ③过点作交于， ， 四边形是对直四边形， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 故腰长为； 综上所述：等腰三角形瓷砖的腰长是或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $