专题1.2 特殊平行四边形与几何变换综合问题（高效培优专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形与几何变换的综合应用，通过分类题型构建"变换类型+问题形式"的双维训练体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移问题|选填5/解答5|结合函数图像与动态轨迹，考查图形平移中的不变量|特殊平行四边形性质→平移距离与图形关系→函数建模| |翻折问题|选填5/解答5|利用轴对称性质突破折叠后线段与角的等量关系|折叠对称性→直角三角形勾股定理→多落点分类讨论| |旋转问题|选填5/解答5|围绕旋转中心构建全等/相似模型，探究动态图形位置关系|旋转不变性→特殊角构造→图形存在性问题| |其他动态问题|8题|涵盖点动、线动引发的面积变化与图形判定|运动过程分段分析→临界状态探究→几何直观与代数论证结合|

专题1.2 特殊平行四边形与几何变换综合问题 题型一：特殊的平行四边形中的平移问题（选填题） 题型二：特殊的平行四边形中的平移问题（解答题） 题型三：特殊的平行四边形中的轴对称（翻折）问题（选填题） 题型四：特殊的平行四边形中的轴对称（翻折）模型（解答题） 题型五：特殊的平行四边形中的旋转问题（选填题） 题型六：特殊的平行四边形中的旋转问题（解答题） 题型七：特殊的平行四边形中的其他动态问题 题型一：特殊的平行四边形中的平移问题（选填题） 1．（2026·河南平顶山·三模）如图1，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在x轴上，轴，轴，直线：交x轴于点E，交y轴于点F，该直线以每秒1个单位的速度沿x轴正方向平移.在平移过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为y，平移的时间为x（秒），y与x的函数图象如图2所示，则a的值为（     ） A． B．4 C． D．3 2．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 3．（24-25八年级下·福建厦门·期中）数学小组将两块全等的含角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究．如图1所示，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法错误的是(   ) A．平移个单位长度后，四边形是矩形 B．平移过程中，四边形始终是平行四边形 C．当平移的距离大于个单位长度时，存在四边形是菱形 D．在平移的过程中，四边形可能是正方形 4．（2025·湖南益阳·模拟预测）某学习小组将两块含角的全等三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究（如图1），其中，将沿射线DB方向平移，得到，分别连接（如图2），下列关于四边形的说法正确的个数有（    ） ①一直是平行四边形；②平移后是矩形；③平移后是菱形；④在平移的过程中，依次会出现矩形、菱形、正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2026·海南·模拟预测）如图，菱形 边长为，，将菱形 沿方向平移得到菱形， 交于点，则重叠部分的面积与菱形 的面积之比为________． 题型二：特殊的平行四边形中的平移问题（解答题） 6．（2026·河北石家庄·二模）情境  如图1，在 中，D、E分别是 、 的中点．F、G是 上的两点，．连接，作于点H，于点I． 操作  将四边形绕点D逆时针旋转 ，可得四边形；同理，将四边形绕点E顺时针旋转 ，可得四边形，得到图2． 发现  在图2中，(1)与的数量关系是________．(2)证明：点L，B，N在一条直线上． 探究(3)将图2中的平移，使 与重合．得到图3，图中拼成的阴影部分的形状是________． (4)在图3中，求证：． 7．（2026·河南开封·模拟预测）综合与实践 通过平移线段可以实现线段位置变换，是解题的常用方法． (1)尝试初探：如图1，在正方形中，，点，，都是正方形边上的点，将沿方向平移到，连接，写出图1中与相等的角：______；与之间的数量关系是______； (2)深入探究：如图2，在中，点，，，都是边上的点，连接与相交于点．且，，，，在解决“求的长”这个问题时，有下面的提示思路，请根据这个思路进行解答； 思路：将平移到，并延长交的延长线于点 (3)拓展延伸：如图3，在中，，，点是射线上一个动点，射线，以为对角线作，连接交于点．当内有两个内角互余时，直接写出的长． 8．（2026·山西大同·模拟预测）综合与探究 问题情境：综合与探究课上，同学们以直角三角形纸片的平移、旋转变化开展数学活动探究，其中． 操作探究：如图1，将三角形纸片沿方向平移得到，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由．深入探究：(2)当时，停止平移，然后将绕点顺时针旋转得到，其中点E，F的对应点分别为G，H．①如图2，当点C在线段上时，延长交边于点P，试猜想与之间的数量关系，并加以证明；②若，，当直线与垂直时，连接，请直接写出的长． 9．（2025·广东·模拟预测）综合与实践 在数学活动课上，老师带领同学们以“构造特殊四边形”为主题展开探究活动． 动手操作：如图1是老师给大家提供的参考图，已知矩形，将矩形 沿某一条直线分割成两部分，重新再拼成一个新的特殊四边形，小明同学按照以下操作得到了新四边形： ①在 上取一点 E，连接，使得；②沿直线 把矩形分割成两部分，将 沿 平移得到；连接后，小明发现． 解决问题：(1)请根据上述操作中得到的条件，帮助小明证明这个结论； (2)如图2，已知平行四边形，将沿某一条直线分割成两部分，重新再拼成一个新的特殊四边形，还能拼成什么特殊四边形？请画出其中一种裁法并证明． 10．（2025·山西临汾·校考一模）综合与实践 问题情境：在数学课上，张老师带领同学们以“平移探究”为主题进行教学活动．如图，在菱形纸片中，，，将菱形沿对角线剪开，得到和，将沿射线方向平移一定距离得到，连接，． 猜想证明：（1）如图1，试判断四边形的形状，并说明理由； 实践探究：（2）如图2，当四边形为矩形时，求平移的距离； 问题拓展：（3）小颖同学受张老师启发将菱形沿对角线剪开，得到和，按如图3方式放置进行平移探究．将沿方向平移，连接，，并添加条件使得以A、F、C、E为顶点的四边形是一个特殊四边形，请在图4中画出平移后的图形，并写出必要的文字说明． 题型三：特殊的平行四边形中的翻折问题（选填题） 11．（2026·重庆·二模）如图，在正方形中，点与点分别为和上一点，．将沿翻折到正方形所在的平面内，得，且点恰好落在边上，点为上一点， ，则的面积为（     ） A． B． C． D． 12．（2026·河北邯郸·三模）如图，正方形的顶点均在坐标轴上，点E从点出发，沿正方形的边按逆时针方向（）以每秒个单位长度的速度运动．连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，线段与正方形的边交于点．当点运动时，点的坐标为________． 13．（2026·河南平顶山·三模）如图，在边长为的正方形中，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好均落在上的点G处，再将沿折叠，点C落在上的点H处，，交于点M，则的长为___________． 14．（2026·河南驻马店·三模）如图，矩形中，，点为上一点，连接，过点作交于点，连接．将沿翻折，使点落在点处，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则的长为______． 15．（2026·安徽合肥·三模）如图，在正方形中，为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，．（1）______；（2）______． 题型四：特殊的平行四边形中的翻折问题（解答题） 16．（2026·河南新乡·三模）在矩形中，，，点是线段上的一个动点，连接并延长交射线于点．将沿直线翻折得到，延长与射线交于点． (1)【问题探究】如图1，求证：；(2)【拓展延伸】如图2，当时，求的长； (3)【发散思维】连接，在点的运动过程中，是否存在以为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出的长． 17．（2026·吉林·模拟预测）综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，李老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作供同学们探究发现： 【问题提出】(1)如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为__________，与的数量关系为__________；__________； 【迁移探究】(2)如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】(3)如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 18．（2026·吉林长春·模拟预测）如图①，矩形在，点从点 出发，沿射线运动，连接 ，将沿翻折得到”，设，回答下列问题： (1) ___________°． ___________；(2)当落在 边上时，求证：四边形为正方形； (3)连接，当时，在图②中用圆规和无刻度直尺画出点的位置，并求出的值； (4)当点 到矩形相邻两个顶点的距离相等时，直接写出的值． 19．（2026·吉林·中考真题）如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． (1)如图②，当直线经过点时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使是等边三角形，不需要说明理由．(2)如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由．(3)在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 20．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在矩形中，、，点在线段上（点不与点重合），连结，将沿翻折得到、点的对应点为． (1)求的长度；(2)求证：当时，四边形为正方形； (3)若点在线段上，且，连接、将沿翻折得到、点的对应点为，设点与点之间的距离为，求的取值范围． 题型五：特殊的平行四边形中的旋转问题（选填题） 21．（2026·河南信阳·模拟预测）如图，平行四边形中，，，，于点，为边上一动点．将绕点顺时针旋转至（旋转角），使得、、三点恰好共线，当为等腰三角形时，的长为________． 22．（2026·吉林·二模）如图，点为正方形内一点，，将绕点 按顺时针方向旋转 得到，延长交于点，连接．下列结论：①；②；③四边形 是正方形；④若，则 ，其中正确的结论是____________．（填序号） 23．（2026·北京朝阳·二模）如图，将正方形绕其中心逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的公共点为，B，C，D，E，F，G，H，连接，，．给出下面四个结论： ；；；线段，，可以组成直角三角形．上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A． B． C． D． 24．（2026·天津和平·三模）在矩形中， ，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为，当点落在线段的延长线上时，与 相交于点，则线段 的长为（     ） A． B． C． D． 25．（2025·成都·模拟预测）如图，点P是正方形的对角线上的一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接，点M是的中点．下列结论错误的是（  ） A．是等腰三角形 B． C．当点E在边上时， D．连接，最短时， 题型六：特殊的平行四边形中的旋转问题（解答题） 26．（2026·广东清远·二模）【探究与证明】——图形的旋转． 【问题情境】如图1，在矩形中，，，将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【猜想证明】从特殊到一般． (1)当时，四边形的形状为____________；（直接写出答案） (2)如图2，当时，连接，求此时的面积； (3)是否存在，使点、、三点共线？若存在，请求出此时线段的长；若不存在，请说明理由． 27．（2026·江苏泰州·三模）综合与实践：已知菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点按顺时针方向在平面内旋转至菱形． (1)若旋转后与垂直如图1，则旋转角为______； (2)将旋转至与重合时，请求出旋转后的图形与原图形重叠部分的面积；（请在图2中构图） (3)菱形在旋转过程中如图3，连接，，，为等腰三角形时，请直接写出的长． 28．（25-26八年级下·江苏淮安·月考）【实践探究】小佑同学在做八下第八章《四边形》的课后练习时，他将两个正方形纸片按照图所示的方式放置：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转，他发现不仅有课本上的一些结论，还探究得到一些其他的结论． 【问题发现】（1）①图中线段、之间的数量关系是______； ②图1中连接，则线段、、之间的数量关系是______． 【类比迁移】（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转，判断线段、、之间的数量关系为：______，并写出证明过程． （3）如图3，在菱形中，对角线、相交于点，点为的中点，直角的两条边、分别与边、交于点、，可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______． 【结论应用】（4）如图4，在直角梯形中，，，点为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点、，矩形可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______ 29．（2026·河南·中考真题）在菱形中，，．将边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．作射线，在射线上取一点，使，连接． (1)【观察猜想】当时，如图1，的度数为_________，的长为_________． (2)【探究证明】当时，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． (3)【拓展延伸】当时，若的面积为，请直接写出此时旋转角的度数． 30．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，正方形的点D和正方形的点E重合，旋转正方形同时确保点H在正方形内部． (1)如图，连接，后，判断和的数量关系并证明． (2)如图，继续旋转，若，，发现A，H，F三点共线时，求的长． (3)如图，连接，，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 题型七：特殊的平行四边形中其他动态问题 31．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，点P从点A出发，沿路线运动．设点P经过的路程为x，的面积为y，则下列图象能反映y与x之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 32．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，在六边形中，， 均为等边三角形，四边形 是矩形， ， ，点P从点B出发，沿折线 匀速向终点E运动，设点P所走的路程为x， 的面积为y，则y与x之间满足的函数图象是（     ） A．B．C．D． 33．（2026·广东河源·二模）如图，点E为矩形的边的中点，点P从点C出发，沿路径C→D→A运动，已知，，则的面积y关于点P所走路径长x的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 34．（2026·河北邯郸·三模）如图，正方形的顶点均在坐标轴上，点E从点出发，沿正方形的边按逆时针方向（）以每秒个单位长度的速度运动．连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，线段与正方形的边交于点．当点运动时，点的坐标为________． 35．（25-26九年级上·广东梅州·期末）如图，菱形的边长为4，E，F分别是边上的动点，，，则下列结论：①；②为等边三角形；③若，则；④．其中正确的有____．（填序号） 36．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________．(2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 37．（2025·吉林·三模）如图，在矩形中，，．动点P从点A出发，沿的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿点P的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为x（s）．（线段可视为面积为0的三角形）；(1)当点F与矩形顶点重合时，______； (2)当E在线段上时，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)在整个运动过程中，将矩形分成两部分图形的面积比为定值k时，直接写出k值（）及x的取值范围． 38．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在四边形中，，，，，，P，Q同时沿着四边形的边逆时针运动，点P从点D出发，以的速度运动，点Q从点B出发，以的速度运动，设运动时间为t秒． (1)______；(2)若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，用含t的代数式表示四边形的面积；(3)若其中一个动点回到其出发点时，另一个动点也随之停止运动，则当_____时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 特殊平行四边形与几何变换综合问题 题型一：特殊的平行四边形中的平移问题（选填题） 题型二：特殊的平行四边形中的平移问题（解答题） 题型三：特殊的平行四边形中的轴对称（翻折）问题（选填题） 题型四：特殊的平行四边形中的轴对称（翻折）模型（解答题） 题型五：特殊的平行四边形中的旋转问题（选填题） 题型六：特殊的平行四边形中的旋转问题（解答题） 题型七：特殊的平行四边形中的其他动态问题 题型一：特殊的平行四边形中的平移问题（选填题） 1．（2026·河南平顶山·三模）如图1，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在x轴上，轴，轴，直线：交x轴于点E，交y轴于点F，该直线以每秒1个单位的速度沿x轴正方向平移.在平移过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为y，平移的时间为x（秒），y与x的函数图象如图2所示，则a的值为（     ） A． B．4 C． D．3 【答案】B 【详解】解：如图，令，则，即点． 由图2知，当直线平移到的位置时，y有最大值， ∴，∴正方形的边长为5．由图2知，，∴． 当时，可得，∴， ∴，此时直线经过正方形与y轴正半轴上的交点M，∴． ∵为等腰直角三角形，∴． 2．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点． 根据图象可知，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线经过点，即，． ∵四边形为菱形，∴，． 又．∴．∴．∴． ∵当运动时间为秒时， ，∴．∴． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期中）数学小组将两块全等的含角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究．如图1所示，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法错误的是(   ) A．平移个单位长度后，四边形是矩形 B．平移过程中，四边形始终是平行四边形 C．当平移的距离大于个单位长度时，存在四边形是菱形 D．在平移的过程中，四边形可能是正方形 【答案】D 【详解】解：由题意可得：平移过程中，，，， ∴四边形是平行四边形，刚开始平移时，， ∴如图，当平移至时，， ∴此时四边形是矩形，且不可能为正方形，， ∴平移距离为：，即平移个单位长度后是矩形，故A正确，    继续平移，当与共线时，此时，即四边形是菱形， 此时的总平移距离为，故C正确 综上可得：平移过程中，四边形先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形，B正确， 在平移的过程中，四边形不可能是正方形，故D错误故选：D． 4．（2025·湖南益阳·模拟预测）某学习小组将两块含角的全等三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究（如图1），其中，将沿射线DB方向平移，得到，分别连接（如图2），下列关于四边形的说法正确的个数有（    ） ①一直是平行四边形；②平移后是矩形；③平移后是菱形；④在平移的过程中，依次会出现矩形、菱形、正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①，且，，， ，，根据平移的性质得：，， 在平移的过程中，四边形一直是平行四边形，故结论①正确； ②在中，，，，， 由勾股定理得：， 当平移后，则，如图1所示：， 在中，由勾股定理得：， ，，，为直角三角形，即， 四边形一直是平行四边形，此时四边形是矩形，故结论②正确； ③，当平移后，点与点重合，此时点，，在同一条直线上，如图所示： ，，且，四边形是菱形，故结论③正确； ④由①②③可知：平移后是矩形，平移后是菱形，在其它情况下是平行四边形， 又四边形在既是矩形又是菱形时才是正方形，在平移的过程中，不可能出现正方形，故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②③，共3个．故选：C． 5．（2026·海南·模拟预测）如图，菱形 边长为，，将菱形 沿方向平移得到菱形， 交于点，则重叠部分的面积与菱形 的面积之比为________． 【答案】 【详解】解：连接， ，和 交于点O，连接交于点O，交于点F，如图所示， ， ∵菱形 的边长为，，∴，， ， ∴ 是等边三角形， ，∴， ∴，∴菱形 的面积， ∵ ，∴， 由平移的性质得：，，，∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形，∴，， 又∵，∴，∴，即， ∴，∴ ，∴重叠部分的面积为：， ∴重叠部分的面积与菱形 的面积之比为 ． 题型二：特殊的平行四边形中的平移问题（解答题） 6．（2026·河北石家庄·二模）情境  如图1，在 中，D、E分别是 、 的中点．F、G是 上的两点，．连接，作于点H，于点I． 操作  将四边形绕点D逆时针旋转 ，可得四边形；同理，将四边形绕点E顺时针旋转 ，可得四边形，得到图2． 发现  在图2中，(1)与的数量关系是________．(2)证明：点L，B，N在一条直线上． 探究(3)将图2中的平移，使 与重合．得到图3，图中拼成的阴影部分的形状是________． (4)在图3中，求证：． 【详解】（1）解：∵旋转，∴，又，∴； (2)证明：∵旋转，∴，，在中，， ∴，即∴点L，B，N在一条直线上； （3）解：∵四边形绕点D逆时针旋转 ，可得四边形， ∴，K、D、I在同一直线上， 同理，H、E、M在同一直线上，同（2）可证， ∵平移，∴，， ∴，∴T、N、M在同一直线上，∴四边形是矩形； (4)证明：连接，，， ∵D、E分别是、中点，∴，， ∵，∴，∴，， ∴四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴． 7．（2026·河南开封·模拟预测）综合与实践 通过平移线段可以实现线段位置变换，是解题的常用方法． (1)尝试初探：如图1，在正方形中，，点，，都是正方形边上的点，将沿方向平移到，连接，写出图1中与相等的角：______；与之间的数量关系是______； (2)深入探究：如图2，在中，点，，，都是边上的点，连接与相交于点．且，，，，在解决“求的长”这个问题时，有下面的提示思路，请根据这个思路进行解答； 思路：将平移到，并延长交的延长线于点 (3)拓展延伸：如图3，在中，，，点是射线上一个动点，射线，以为对角线作，连接交于点．当内有两个内角互余时，直接写出的长． 【答案】(1)（表示方法不唯一）；(2)(3)1或2 【详解】（1）解：由平移性质得且， ∵，∴，即． ∵正方形中，∴，∴． 又，，∴，∴，∴． （2）解：由平移性质得，，∴． ∵，∴，∴中，，∴， 由勾股定理得​． ∵，，∴四边形是平行四边形， ∴，∴，∴， ∵平行四边形中，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴​． （3）解：将平移到，过点A作于点G， 则，，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴​． ∵，∴，∵中，， ∴，∴，∴， ∵有两个内角互余，∴是直角三角形． 当时：，∴， ∵，∴． 当时，，由勾股定理， ∴，解得（舍去负值），同理得． 综上，的长为1或2． 8．（2026·山西大同·模拟预测）综合与探究 问题情境：综合与探究课上，同学们以直角三角形纸片的平移、旋转变化开展数学活动探究，其中． 操作探究：如图1，将三角形纸片沿方向平移得到，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由．深入探究：(2)当时，停止平移，然后将绕点顺时针旋转得到，其中点E，F的对应点分别为G，H．①如图2，当点C在线段上时，延长交边于点P，试猜想与之间的数量关系，并加以证明；②若，，当直线与垂直时，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形为矩形． 理由如下：由平移的性质，得，，四边形是平行四边形． 又，∴平行四边形是矩形． (2)①．证明：由平移的性质，得，． 由（1）得，四边形为矩形．． 又，，  ，． 由旋转的性质，得，，， ，， ，，． ②，，．分两种情况讨论： 如图3-1，绕点D顺时针旋转得到，交于点M． 由旋转的性质得，，，， 由（1）得四边形是矩形，，， 四边形是矩形，，，， ，在中，由勾股定理，得． 如图3-2，绕点D逆时针旋转得到，延长交直线于点N． 同理可得，，，， 在中，根据勾股定理得，． 综上所述，的值为或． 9．（2025·广东·模拟预测）综合与实践 在数学活动课上，老师带领同学们以“构造特殊四边形”为主题展开探究活动． 动手操作：如图1是老师给大家提供的参考图，已知矩形，将矩形 沿某一条直线分割成两部分，重新再拼成一个新的特殊四边形，小明同学按照以下操作得到了新四边形： ①在 上取一点 E，连接，使得； ②沿直线 把矩形分割成两部分，将 沿 平移得到； 连接后，小明发现． 解决问题：(1)请根据上述操作中得到的条件，帮助小明证明这个结论； (2)如图2，已知平行四边形，将沿某一条直线分割成两部分，重新再拼成一个新的特殊四边形，还能拼成什么特殊四边形？请画出其中一种裁法并证明． 【答案】(1)证明见解析(2)还能拼成矩形，所画裁法与证明见解析 【详解】（1）证明：∵ 四边形是矩形，  ∴ ，，．   ∵ 将沿平移得到，  ∴ ，，．   ∴ 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．   又∵ 已知，  ∴ 平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．   ∵ 菱形的对角线互相垂直，  ∴ ． （2）解：可拼成矩形，裁法与证明如下：  裁法：如图2，在平行四边形中，过点作于点，沿直线将平行四边形分割成和四边形；将沿方向平移，使点与点重合，点与点重合，得到，则四边形即为拼成的矩形．   证明：∵ 四边形是平行四边形，  ∴ ，，．   ∵ 将平移后与重合，与重合，   ∴ ，（平移性质：对应线段平行且相等）且（平移后对应角相等）．   ∵ ，，  ∴ ，即．   ∵ ，，  ∴ ，即．   ∴ 四边形中，，   ∴ 四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）． 10．（2025·山西临汾·校考一模）综合与实践 问题情境：在数学课上，张老师带领同学们以“平移探究”为主题进行教学活动．如图，在菱形纸片中，，，将菱形沿对角线剪开，得到和，将沿射线方向平移一定距离得到，连接，． 猜想证明：（1）如图1，试判断四边形的形状，并说明理由； 实践探究：（2）如图2，当四边形为矩形时，求平移的距离； 问题拓展：（3）小颖同学受张老师启发将菱形沿对角线剪开，得到和，按如图3方式放置进行平移探究．将沿方向平移，连接，，并添加条件使得以A、F、C、E为顶点的四边形是一个特殊四边形，请在图4中画出平移后的图形，并写出必要的文字说明． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析；（2）；（3）当点平移至中点时，四边形是矩形，作图见解析 【详解】解：（1）四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是菱形，∴，，由平移可知，，， ∴，，∴四边形是平行四边形； （2）连接交于，∵四边形是菱形， ∴，，，则，，∴， 当四边形为矩形时，，∴，则， ∴，则，即：沿射线方向平移； （3）如图，当点平移至中点时，四边形是矩形， 理由如下：由平移可知，，，由菱形的性质可知，， 当点平移至中点时，，则，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴，∴四边形是矩形． 题型三：特殊的平行四边形中的翻折问题（选填题） 11．（2026·重庆·二模）如图，在正方形中，点与点分别为和上一点，．将沿翻折到正方形所在的平面内，得，且点恰好落在边上，点为上一点， ，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴．由折叠性质得： 在中，，∴． 在中，，∴，∴． 设，则，在中，， 即，解得，∴． 以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，连接， 则，∴， 设直线的解析式为， 则，解得，∴直线的解析式为．由翻折知，， ∵，∴，∴点H在上， 设的解析式为，则，解得，∴的解析式为， 联立得，解得，∴．． 12．（2026·河北邯郸·三模）如图，正方形的顶点均在坐标轴上，点E从点出发，沿正方形的边按逆时针方向（）以每秒个单位长度的速度运动．连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，线段与正方形的边交于点．当点运动时，点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：四边形是正方形，， 点的坐标为，，， ，正方形的周长为， 点的运动速度为每秒个单位长度，运动了，点的运动路程为个单位长度， ，点运动到边上，， 如下图所示，过点作轴于点，作轴于点N，过点作于点M， ，四边形是矩形， 四边形是正方形，，，，，，由旋转可知，， ，，， 在和中，，， ，，，， 点是与轴的交点，，， 点的坐标为，设直线的解析式为， 可得：，，直线的解析式为， 四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：，解得：，直线的解析式为， 解方程组，可得：，点的坐标为． 13．（2026·河南平顶山·三模）如图，在边长为的正方形中，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好均落在上的点G处，再将沿折叠，点C落在上的点H处，，交于点M，则的长为___________． 【答案】 【详解】解：由正方形及折叠的性质得，，，，，． ，， ，，， ，， ，． 14．（2026·河南驻马店·三模）如图，矩形中，，点为上一点，连接，过点作交于点，连接．将沿翻折，使点落在点处，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则的长为______． 【答案】或2 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， 设，则，由折叠的性质可得， 当是以为腰的等腰三角形时，分为以下两种情况： 如图1，当时，， ∵四边形是矩形，在中，，即，解得； 如图2，当时，过点作于，∴． ∵，∴，∴，∴， ∵，∴≌，∴，即，解得． 综上，的长为或2． 15．（2026·安徽合肥·三模）如图，在正方形中，为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，．（1）______；（2）______． 【答案】 【详解】解：∵正方形中，为边的中点，∴， ∵将沿翻折，得到，连接，， ∴，，， ∴，∴，， 设，则， ∴，， ∴，， ∴； 设正方形的边长为，则， 如图：以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立直角坐标系，则， 设，则，的中点坐标， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为，∴，整理得：， 将代入得， 整理得：，解得：或（不合题意舍去）， ∴，∴，∴， ，∴． 题型四：特殊的平行四边形中的翻折问题（解答题） 16．（2026·河南新乡·三模）在矩形中，，，点是线段上的一个动点，连接并延长交射线于点．将沿直线翻折得到，延长与射线交于点． (1)【问题探究】如图1，求证：；(2)【拓展延伸】如图2，当时，求的长； (3)【发散思维】连接，在点的运动过程中，是否存在以为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：四边形是矩形，，． 沿翻折得到，，， （2）解：四边形是矩形，，，． 设，则，．由（1）可知． 在中，由勾股定理，得，即，解得，． （3）解：存在，的长为或．分两种情况讨论． ①当时，如图1．由翻折的性质，得，． ，．，， ，，， ，． 由（1）可知，． ②当时，如图2．由翻折的性质，得，． 设，则，． 在中，，即，解得． 由（1）可知，． 又，． 综上所述，存在以为腰的等腰三角形，的长为或． 17．（2026·吉林·模拟预测）综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，李老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作供同学们探究发现： 【问题提出】(1)如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为__________，与的数量关系为__________；__________； 【迁移探究】(2)如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】(3)如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：由折叠知，，， 垂直平分，，，点是的中点，， 在中，，，即； (2)四边形是菱形，理由如下：由题意知，，，， 垂直平分，，，，， 在和中，，， ，四边形是平行四边形，，四边形是菱形； （3）解：，，，， 如图，当点与点重合时，的长最大，为， 如图，当点与点重合时，的长最小， 设，则，，由折叠得， 在中，，， 在中，由勾股定理得， ，化简得，解得，， 综上所述，． 18．（2026·吉林长春·模拟预测）如图①，矩形在，点从点 出发，沿射线运动，连接 ，将沿翻折得到”，设，回答下列问题： (1) ___________°． ___________；(2)当落在 边上时，求证：四边形为正方形； (3)连接，当时，在图②中用圆规和无刻度直尺画出点的位置，并求出的值； (4)当点 到矩形相邻两个顶点的距离相等时，直接写出的值． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知， ， ． (2)证明：如图， 四边形 是矩形，，由折叠的性质得：， 点 落在 边上， ， ，四边形 是矩形， ， 矩形 是正方形． (3)如图，点即为所求， （3）解：以 为圆心， 长为半径画弧；以 为圆心， 长为半径画弧，两弧在矩形内部的交点即为点 ；连接 ，作 的垂直平分线，交 于点 ． 由折叠性质得： ， ， 是等边三角形，，由折叠的对称性可知：平分， ，在 中， ， ，即， ． （4）解：矩形相邻顶点共四组： 与 、与 、与、与 ． 当点到与 两点距离相等时，在的垂直平分线上， 四边形是矩形，的垂直平分线是矩形的对称轴， 的垂直平分线同时也是的垂直平分线，此时，点到与 两点距离也相等， 同理，当点到与 两点距离相等时，点到与 两点距离也相等． 当 到、距离相等或到、距离相等时，即 ，由（3）可得 ． 当 到、距离相等或到、距离相等时，即 ，此时 在 的垂直平分线上． 过 作 于 ，由垂直平分线性质得 ． 过 作 于 ，则四边形 为矩形， 在 中，，由勾股定理：， 如图，当 在矩形内部时，；在 中， ， 由勾股定理：，即，解得； 当 在矩形外部时，．在 中， ， 由勾股定理：，即，解得； 综上， 的值为 ． 19．（2026·吉林·中考真题）如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． (1)如图②，当直线经过点时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使是等边三角形，不需要说明理由．(2)如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由．(3)在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 【详解】（1）解：由折叠可得，， 当时，，∴，∴是等边三角形． (2)解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形，∴，由折叠可得， ∴，，， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴．∵，∴，∴四边形是平行四边形， ∵，∴是菱形． （3）解：①如图，设，则， ∵由翻折有，∴，∵在中，， ∴，解得，∴，∴． 设，则，∵，∴， ∴在中，，即，解得，∴，∴． ②如图，设，则，∵由翻折有，∴， ∵在中，，∴，解得， ∴，∴．设，则， ∵，∴， ∴在中，；在中，， ，即，，解得，∴，∴． 20．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在矩形中，、，点在线段上（点不与点重合），连结，将沿翻折得到、点的对应点为． (1)求的长度；(2)求证：当时，四边形为正方形； (3)若点在线段上，且，连接、将沿翻折得到、点的对应点为，设点与点之间的距离为，求的取值范围． 【详解】（1）解：沿翻折得到，∴，又∵，∴； (2)证明：法一：沿翻折得到， ∴，∴∴四边形是菱形， 又∵四边形是矩形，∴，∴四边形是正方形； 法二：∵四边形是矩形，∴． 又∵△沿翻折得到，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴四边形是矩形， 又∵，∴四边形是正方形； （3）解：①当与重合时，此时． ②当点与点重合（点与点重合）时，∵四边形是矩形，、， ∴，，，∴， 由折叠可得，，，， ，，∴，， ∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是矩形， ∴，∴．∴． 题型五：特殊的平行四边形中的旋转问题（选填题） 21．（2026·河南信阳·模拟预测）如图，平行四边形中，，，，于点，为边上一动点．将绕点顺时针旋转至（旋转角），使得、、三点恰好共线，当为等腰三角形时，的长为________． 【答案】2或 【详解】解：等腰三角形共有三种情况，依次分类讨论： ①当时，∵旋转，，，∴， 如下图所示：则此时不可能有三点共线，故这种情况不存在，舍去； ②当时，如下图所示，连接，此时， ∵旋转，，且三点共线， ，，，，， ∴，，， ∵， ∴， 如图，设， 在中，，即，∴， ∴，，， 即，∴四边形为矩形，∴， ∵，，，， ∴； ③当时， 如图所示，过作于，由②可知，此时， ∵旋转，，∴，， ，， ，三点共线，，∴， ，∴， ，是等腰直角三角形，， 设，则，， ，， 解得，； 综上，当、、三点恰好共线，为等腰三角形时，的长为2或． 22．（2026·吉林·二模）如图，点为正方形内一点，，将绕点 按顺时针方向旋转 得到，延长交于点，连接．下列结论：①；②；③四边形 是正方形；④若，则 ，其中正确的结论是____________．（填序号） 【答案】②③④ 【详解】解：∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴，∴，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴，∴， 根据现有条件无法证明，∴无法证明，故①错误； 设交于K，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ，， 又∵， ∴四边形 是矩形， 又∵ ， ∴四边形 是正方形，故③正确； 如图，过点D作于点H， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴ ， ， ∴， ∴， 又∵ ，， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴， ∴， ∴ ，故④正确； ∴正确的有②③④． 23．（2026·北京朝阳·二模）如图，将正方形绕其中心逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的公共点为，B，C，D，E，F，G，H，连接，，．给出下面四个结论： ；；；线段，，可以组成直角三角形．上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，分别交于L、K，则， 设正方形的边长为，则正方形的对角线为，则， 连接，连接交于R，由旋转的性质可知， ∵，∴，∵，∴，， ∴，，∴，， ∴是等腰直角三角形，即,同理可得， ∵， ∴，同理可知， ∴，是等腰直角三角形，，∴，，①错误； ∵，∴，即，②正确；如图，连接， ∵∴，，，即， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，即是等腰直角三角形， ∴，∵，∴，③正确； ∵，，∴，∵∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴线段，，可以组成直角三角形，④正确． 24．（2026·天津和平·三模）在矩形中， ，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为，当点落在线段的延长线上时，与 相交于点，则线段 的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，矩形绕点顺时针旋转得到矩形，，， ，，，， ∵在和中，∴，∴， 在和中，∵，∴， ∴，，设，则 根据勾股定理，得，故，解得，故的长为：； 25．（2025·成都·模拟预测）如图，点P是正方形的对角线上的一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接，点M是的中点．下列结论错误的是（  ） A．是等腰三角形 B． C．当点E在边上时， D．连接，最短时， 【答案】C 【详解】解：由旋转得，，∴是等边三角形，∴； ∵四边形是正方形，是对角线，∴，， 又，∴，∴， ∵，∴，∴是等腰三角形，故选项Ａ正确，不符合题意；连接，如图， 将绕点B顺时针旋转得到，将绕点B顺时针旋转得到，则点的运动轨迹是线段， ∵，∴，又，， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，故选项Ｂ正确，不符合题意；连接，如图， ∵点在上，且是等边三角形，∴，，∴， 又，∴， 又，∴，，∵,∴， 又， ∴是等腰三角形，∴，故选项C错误，符合题意； ∵点P是正方形的对角线上的动点，∴点的运动轨迹为的中位线， 过点作于点Q，当点与点重合时，最短，∵，， ∴，故选项D正确，不符合题意．故选：C． 题型六：特殊的平行四边形中的旋转问题（解答题） 26．（2026·广东清远·二模）【探究与证明】——图形的旋转． 【问题情境】如图1，在矩形中，，，将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【猜想证明】从特殊到一般． (1)当时，四边形的形状为____________；（直接写出答案） (2)如图2，当时，连接，求此时的面积； (3)是否存在，使点、、三点共线？若存在，请求出此时线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)正方形(2)(3)存在，或 【详解】（1）解：如图1， 四边形是矩形，， 将边绕点逆时针旋转得到线段，，，， ，四边形是矩形，∵，矩形是正方形； （2）解：如图2，作于G，，， ，，，， ，，（负值舍去），； （3）解：如图3，当点在上时，连接， ，，，，， 设，则，由旋转得：，，， ，， 在中，,解得，； 如图4，当点在的延长线上时，同理可得，，， 设，则，， 解得，，综上所述，或． 27．（2026·江苏泰州·三模）综合与实践：已知菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点按顺时针方向在平面内旋转至菱形． (1)若旋转后与垂直如图1，则旋转角为______； (2)将旋转至与重合时，请求出旋转后的图形与原图形重叠部分的面积；（请在图2中构图） (3)菱形在旋转过程中如图3，连接，，，为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)330(2)(3)或或或 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，∴，， 设交点与交点为， ∵旋转后与垂直，∴，∴， ∴，∴． （2）解：如图： 连接、交于点，延长至点，连接，与交于点， ∵四边形是菱形，∴平分，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵四边形是菱形，四边形由四边形旋转得到， ∴，，∴， ， ∴，∴，∵，，∴， ∵，，，∴，∴，∴， ，． （3）解：本题分多种情况讨论：①当，如图，连接， ∵四边形是菱形，∴，是等腰三角形， ∵，∴是等边三角形，∴，∴； ②当，如图，延长至点， 当在左侧；连接、，设与交于， 在中，∵ 四边形是菱形，∴为、中点，∴， ∵，∴，∴， ； 当在右侧，连接、，设与交于， 根据上一情况可得：，，， ∴，∴； ③当时，如图，由①可知是等边三角形， ∵ 四边形由四边形旋转得到，∴是等边三角形，∴， ∵，，∴四边形是菱形，∴，交于点， ∴，，∵，∴，∴， 综上，或或或． 28．（25-26八年级下·江苏淮安·月考）【实践探究】小佑同学在做八下第八章《四边形》的课后练习时，他将两个正方形纸片按照图所示的方式放置：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转，他发现不仅有课本上的一些结论，还探究得到一些其他的结论． 【问题发现】（1）①图中线段、之间的数量关系是______； ②图1中连接，则线段、、之间的数量关系是______． 【类比迁移】（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转，判断线段、、之间的数量关系为：______，并写出证明过程． （3）如图3，在菱形中，对角线、相交于点，点为的中点，直角的两条边、分别与边、交于点、，可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______． 【结论应用】（4）如图4，在直角梯形中，，，点为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点、，矩形可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析； （3）；（4）或． 【详解】解：（1）①∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，∴，，∴ 在和中，，∴（），∴，故答案为：； ②∵正方形的边长相等，即，， 由（）①得，∴，即 在中，由勾股定理得， ∵，，∴，故答案为：； （2）结论：，理由如下： 延长交于点，连接，连接，则过中心， ∵是矩形的中心，∴是的中点，即， ∵矩形中，，∴，． 在和中，，∴（）．∴， ∵矩形中，，即，∴． 在中，由勾股定理得，∵，，∴； （3）连接，∵四边形是菱形，∴， ∵，，∴−，∵，为直角， ∴由得， ∵，∴，∴，解得； （4）分两种情况讨论：情况，当点在线段上时，连接， ∵，，∴， 在直角梯形中，，，∴， ∴，∵在矩形中，，， ∴由得，∴解得； 情况，当点在线段的延长线上时，过作交的延长线于，连接，，则．，，， 点是的中点．． 在矩形中，，即．． 在中，，在中， ，即， ，，，，即得．综上，的长为或． 29．（2026·河南·中考真题）在菱形中，，．将边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．作射线，在射线上取一点，使，连接． (1)【观察猜想】当时，如图1，的度数为_________，的长为_________． (2)【探究证明】当时，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． (3)【拓展延伸】当时，若的面积为，请直接写出此时旋转角的度数． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴，∴， ∵将边绕点逆时针旋转至，旋转角， ∴，∴， ∴，∴，即， 设交于点， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴， ∵，∴，则是等边三角形， ∵，∴， ∵，∴，∴； (2)两个结论仍然成立．证明如下：四边形是菱形，，， ，，， ，，，则， ，， ， ，∴为等边三角形，， ，则，， ，，，，． （3）解：由上述证明得到，，， ∴，， 第一种情况，当点H在左边时，如图所示，过点作延长线于点， ∴，∴， 在中，，∴， ∵，∴，解得：； 第二种情况，当点H在右边时，如图所示，过点作延长线于点， 同理可得，，∴，∴， ∵，∴． 30．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，正方形的点D和正方形的点E重合，旋转正方形同时确保点H在正方形内部． (1)如图，连接，后，判断和的数量关系并证明． (2)如图，继续旋转，若，，发现A，H，F三点共线时，求的长． (3)如图，连接，，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析(2)(3) 【详解】（1）解：连接，，证明如下： ∵正方形和正方形，∴， ∴，∴，∴． （2）解：连接，∵正方形和正方形，，，， ∴，，由第一步知，， ∴，，∴， 设，在中，由勾股定理知， 即，解得，∴． （3）解：设点到的距离为，则， 如上图，当点运动到时，高取得最小值，最小值， ∴的最小值， 如上图，当点运动到时，高取得最大值，最大值， ∴的最大值，同时点H在正方形内部， ∴的面积的取值范围为． 题型七：特殊的平行四边形中其他动态问题 31．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，点P从点A出发，沿路线运动．设点P经过的路程为x，的面积为y，则下列图象能反映y与x之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点作于点E，则， ∵四边形是边长为4的菱形，， ∴，，，∴，， 当点P在线段上时，，，则， 当点P在与点重合时，，， 当点P在线段上时，如点P在的位置，时，过点作于点F， ∵四边形是边长为4的菱形，∴， ∴，即的面积为y是定值， 当点P与点重合时，即点P在点的位置，， 当点P在线段上时，即时，即点P在的位置，过点作延长线于点G， ∵，∴，，在中，， ∴，则， ∴， 综上所述，，故选：A ． 32．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，在六边形中，， 均为等边三角形，四边形 是矩形， ， ，点P从点B出发，沿折线 匀速向终点E运动，设点P所走的路程为x， 的面积为y，则y与x之间满足的函数图象是（     ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：四边形是矩形， ， ，，， 和均为等边三角形， ∵的底边为定值，设点到直线的距离为 ，则，分段讨论如下： 当点在上运动时 ( )： 点从运动到，在起点 ， 是等边三角形， ，∴∴ 过点作交的延长线于点， 点到直线的距离为的一半，即 在终点， 而点到直线的距离为 ， 此过程中随的增大而增大，图象为上升线段； 当点在上运动时( )： ，点到直线的距离不变，恒为 ，图象为水平线段； 当点 在上运动时 ( )：点从运动到 在起点时， ， ，在终点时，同理可得 此过程中随的增大而减小，图象为下降线段 综上所述，函数图象中值先从2上升到4，再保持4不变，最后下降到2． 33．（2026·广东河源·二模）如图，点E为矩形的边的中点，点P从点C出发，沿路径C→D→A运动，已知，，则的面积y关于点P所走路径长x的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形为矩形，∴，， 当点P在上时， 当点P在上时，如图，连接 ， ∵点E是的中点，∴．∵点P所走路径长为x，∴ 综上：当点P在上时，，当点P在上时，，只有A选项符合题意． 34．（2026·河北邯郸·三模）如图，正方形的顶点均在坐标轴上，点E从点出发，沿正方形的边按逆时针方向（）以每秒个单位长度的速度运动．连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，线段与正方形的边交于点．当点运动时，点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：四边形是正方形，， 点的坐标为，， ，，正方形的周长为， 点的运动速度为每秒个单位长度，运动了，点的运动路程为个单位长度， ，点运动到边上，， 如下图所示，过点作轴于点，作轴于点N，过点作于点M， ，四边形是矩形， 四边形是正方形，，，， ，，由旋转可知，， ，，， 在和中，，， ，，， ，点是与轴的交点，， ，点的坐标为， 设直线的解析式为，可得：，，直线的解析式为， 四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：，解得：，直线的解析式为， 解方程组，可得：，点的坐标为． 35．（25-26九年级上·广东梅州·期末）如图，菱形的边长为4，E，F分别是边上的动点，，，则下列结论：①；②为等边三角形；③若，则；④．其中正确的有____．（填序号） 【答案】①②④ 【详解】解：①∵四边形为菱形，且，∴， ∴和是等边三角形，∴，， 又∵，∴，故①正确； ②由①得，∴，∵是等边三角形，∴， ∴，∴为等边三角形，故②正确； ③如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵四边形为菱形，且边长为4，∴平分，， ∴，，∴，∴，故③错误，不符合题意； ④由①得，∴，又∵，∴， ∵和为等边三角形，∴， ∴，∴， 故④正确，符合题意；综上，正确的选项为①②④，故答案为：①②④． 36．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________．(2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 【答案】(1)(2)(3)或(4)或 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ，，，， ，，． （2）解：如图，同（1），过点作，则，， 点在的垂直平分线上，，， 在中，，则，化简得，解得． （3）解：点沿射线运动，， 四边形是平行四边形，，，， 当点未到达点时，即，解得； 当点过点后，即，解得．故或． （4）解：如图，当在上时：根据对称的性质，可知， ，，，， ，，解得；如图，当在延长线上时： 此时，点已过点，延长于点，根据对称的性质，可知， ，，， ，，， ，，解得．故或． 37．（2025·吉林·三模）如图，在矩形中，，．动点P从点A出发，沿的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿点P的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为x（s）．（线段可视为面积为0的三角形）；(1)当点F与矩形顶点重合时，______； (2)当E在线段上时，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)在整个运动过程中，将矩形分成两部分图形的面积比为定值k时，直接写出k值（）及x的取值范围． 【答案】(1)2或8(2)(3)当时，；当时， 【详解】（1）解：如图1中，点在上， ∵四边形是矩形，∴，，， ∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，则， ∴时，点F与矩形顶点C重合． 如图：当点P运动到上时，此时都与点重合， ∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．∴，∴, 则,∴则 综上：当点F与矩形顶点重合时，或8；故答案为：2或8； （2）解： ∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为． 则∴当时，如图所示：过点作， ∵，，∴，是等腰直角三角形， 则，， ∵，∴是等腰直角三角形，则, 故；∴当时，如图所示： 同理得是等腰直角三角形，则 ∴， 即，∴当时，过点作，如图所示： 同理得是等腰直角三角形，则， ∴， 即， 综上：当E在线段上时，； （3）解：当时，过点作于点K，如图： 则同上可得：，，，∴， ∴，∴的面积随着的变化而变化， ∴将矩形分成两部分图形的面积比不为定值； 当时，如图：则同上可得：，， ∴，∴，∴； 当时，过点作于点，则，， ∴，， ∴∴ ∴的面积随着的变化而变化，∴将矩形分成两部分图形的面积比不为定值； 当时，如图：则，， ∴，∴，∴， 综上：当时，；当时，． 38．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在四边形中，，，，，，P，Q同时沿着四边形的边逆时针运动，点P从点D出发，以的速度运动，点Q从点B出发，以的速度运动，设运动时间为t秒． (1)______；(2)若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，用含t的代数式表示四边形的面积；(3)若其中一个动点回到其出发点时，另一个动点也随之停止运动，则当_____时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1)20(2)或 (3)当或或或时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形 【详解】（1）解：过点D作交于点E， ∵，，∴， 则四边形为矩形，∴， ∴，∴．故答案为：20． （2）若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动， 如图1，当点P在上运动，即时，则， ； 如图2，当点P在上运动，即时，则， ； 综上，或； （3）如图，①当时，，此时，四边形是平行四边形； ②当时，，此时，四边形为平行四边形； ③当时，四边形是平行四边形，，此时； ④当时，，此时，四边形为平行四边形； 综上所述，当或或或时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $