专题06 四边形与无刻度的直尺格点画图（举一反三专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以6大模型为框架，通过“例题+变式”系统构建四边形格点作图方法体系，强化从性质应用到空间构造的逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形|1例+3变式|利用对角线互相平分、等积变换等性质取格点|从一般平行四边形入手，奠定格点作图基础| |中位线|1例+3变式|中位线平行且等于底边一半的性质构造线段|衔接三角形中位线与四边形中点问题| |直角三角形斜边中线|1例+3变式|斜边中线等于斜边一半的性质定位中点|结合直角三角形特性拓展作图维度| |矩形|1例+3变式|矩形对角线相等且平分的性质应用|从平行四边形到特殊四边形的性质深化| |菱形|1例+3变式|菱形四边相等、对角线垂直的性质作图|强化特殊四边形的独特性质应用| |正方形|1例+3变式|正方形兼具矩形与菱形性质的综合运用|整合特殊四边形性质，提升综合作图能力|

专题06 四边形与无刻度的直尺格点画图（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 模型归纳 【模型1 平行四边形与无刻度的直尺格点画图】 1 【模型2 中位线与无刻度的直尺格点画图】 3 【模型3 直角三角形斜边中线与无刻度的直尺格点画图】 4 【模型4 矩形与无刻度的直尺格点画图】 6 【模型5 菱形与无刻度的直尺格点画图】 7 【模型6 正方形与无刻度的直尺格点画图】 8 【模型1 平行四边形与无刻度的直尺格点画图】 【例1】（25-26九年级上·江西九江·月考）在网格内用无刻度直尺作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．无刻度直尺网格作图题，就是只能用无刻度的直尺在网格中取点、画直线、射线或线段，画出符合题目要求的图形．取点方法：如直接取格点，取两条格点连线的交点等． (1)在图1中，画出的中线； (2)在图2中，画出的角平分线（为格点） 【变式1-1】用无刻度的直尺按要求作图，请保留画图痕迹，不需要写作法． (1)如图1，在的正方形网格中，请用无刻度直尺在图1中画一个与面积相等，且以为边的平行四边形，顶点在格点上． (2)如图2，在方格纸中，线段的两个端点都在小方格的格点上，在图2中画一个以为对角线的平行四边形，顶点在格点上． (3)如图3，已知，，点E在上，且四边形是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图3中画出的平分线． 【变式1-2】如图，在5×5正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形． （1）如图1，在网格中画出格点△ABC，则BC＝　　； （2）请用无刻度的直尺画出图1中△ABC中AC边上高BD（结果用实线表示，其他辅助线用虚线表示），且BD＝　　； （3）如图2，点P为AB与网格线的交点，请在网格中画出▱ABCD，并用无刻度的直尺画出过点P且平分▱ABCD的面积的直线PQ（结果用实线表示，其它辅助线用虚线表示）． 【变式1-3】在网格内用无刻度直尺作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．无刻度直尺网格作图题，就是只能用无刻度的直尺在网格中取点、画直线、射线或线段，画出符合题目要求的图形．取点方法：如直接取格点，取两条格点连线的交点等． (1)在图1中，画出的中线 (2)在图2中，画出的角平分线（F为格点） (3)在图3中，画出线段的垂直平分线 【模型2 中位线与无刻度的直尺格点画图】 【例2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）在下列由边长为1的小正方形组成的网格中，仅用无刻度的直尺完成下列画图．与网格线交于点，在上画点，使得． 【变式2-1】（2026·江西萍乡·一模）如图是的正方形网格，是格点三角形（顶点在小正方形的顶点处），请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，请作线段，且点在边上，使得平分的面积； (2)如图2，请作线段，且点在边上，使得平分的面积． 【变式2-2】（25-26八年级下·湖北·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点四边形四个顶点都是格点，点是边上任意一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下三个问题，每个问题的画线不得超过四条． (1)如图，四边形的形状是_______； (2)在图1中，画直线交于点，使直线平分四边形的面积， (3)在图2中，先作线段的中点；再在上找一点，使得，垂足为点． 【变式2-3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务不超过三条线． (1)在图1中，先在上画点，连接，使，再在，上分别画M，N两点，使； (2)在图2中，先画（本身不计在三条线内），再在上画点G，上画点，使得． 【模型3 直角三角形斜边中线与无刻度的直尺格点画图】 【例3】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形． A，B，C为格点． (1)线段AB长为 ； (2)仅用无刻度的直尺在图1中作点P，使得点P到△ABC三个顶点距离相等； (3)仅用无刻度的直尺在图2中作点Q，使得点Q到△ABC三边距离相等．（不写画法，保留画图痕迹） 【变式3-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期末）如图（a）、（b）、（c）是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边叫做格线．点A、B、C都是格点，请仅用一根无刻度直尺作图在网格图中完成下列画图，画图结果用实线表示（不要求说明理由，需保留必要的作图痕迹，写出结论）． (1)点是格点，在图（a）中作出一个以为腰的等腰，符合题意的点有___________个； (2)在图（b）中，求作一点，使且；并作出的高； (3)如图（c），边与格线交于点，则在边上作一点，使得． 【变式3-2】如图是由边长为1的小正方形的网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在所给的网格中完成下列画图（画图过程用虚线，画图结果用实线） 图1                           图2 (1)的周长为_________； (2)如图1中画的边上的高； (3)如图1中画的角平分线； (4)作线段使且（不与重合），在图2中画出点F． 【变式3-3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作平行四边形； (2)在图2中，作关于的对称图形； (3)在图3中，E是格点，在上画点F，使． 【模型4 矩形与无刻度的直尺格点画图】 【例4】（25-26九年级下·河南驻马店·期中）小明研究了网格作图后发现：可以在网格中构造等腰三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等几何图形，并利用它们的性质，找到所求作点或线的位置．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)如图1，点，都是格点，请仅用无刻度的直尺作出的中点，要求：保留作图痕迹，不写作法． (2)图2中的三个顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺作出的角平分线，要求：保留作图痕迹，不写作法．（要求：的角平分线用实线表示，其他线用虚线表示．） 【变式4-1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的两个端点均在格点上，按下列要求画图． (1)在方格纸中画出矩形，点C，D都在格点上； (2)请用无刻度的直尺取的中点E（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的面积． 【变式4-2】（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、P、Q、M、N均是格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作，点D是格点，使和的面积相等； (2)在图②中，确定一个格点F，使的面积和四边形的面积相等； (3)在图③中，过点P作一条射线，使该射线将四边形的面积分成相等的两部分． 【变式4-3】（25-26八年级上·广东江门·月考）图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图． (1)在图①中的边BC上确定一点P，使点P到边、的距离相等． (2)在图②中的边上确定一点Q，连接，使平分的面积． 【模型5 菱形与无刻度的直尺格点画图】 【例5】如图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点O，M，N，A，B均在格点上，请按要求完成下列问题： （1）在图①中，仅用无刻度直尺在网格中画出∠MON的平分线OP，并简要说明画图的依据； （2）在图②中，仅用无刻度直尺在网格中画一个Rt△ABC，使点C在格点上，并简要说明画图的依据． 【变式5-1】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C均在格点上． (1)在格点上找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，并把此菱形画出来仅用无刻度的直尺，在网格中画出，不要求写作法； (2)求（1）中的菱形的面积． 【变式5-2】如图是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点A，B均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图．不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中画出的中点O； (2)在图2中画一个，使点C在格点上． 【变式5-3】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图（1）中，作平行四边形；点D是边与网格线的交点，过点D作直线平分四边形的周长； (2)在图（2）中，P是边上一点，在边上画点Q，使； (3)在图（3）中，点F在格点上，连接，，在上画点M，使平分四边形的面积． 【模型6 正方形与无刻度的直尺格点画图】 【例6】（24-25八年级下·天津·期末）如图，边长为1的正方形网格中，正方形的顶点A，B，C，D在格点上，交竖格线于点F， 交横格线于点E， 连结． (1)请写出与的位置关系______________； (2)在边上找一点G，连结，使．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中画出点G，并简要说明点G的位置是如何找到的（不要求证明）． 【变式6-1】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，点A，B均为格点（网格线的交点），我们把顶点落在格点上的四边形称为格点四边形．请在给定的网格中用无刻度的直尺按要求画图． (1)在图①中画一个以为对角线的格点正方形； (2)在图②中画一个格点菱形，且四边形不是正方形； (3)在图③中画一个格点平行四边形，且面积为12． 【变式6-2】（2025九年级上·吉林长春·专题练习）图①、图②、图③都是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，四边形的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的线段上找一点，连结，使得将四边形的面积分成1：2两部分： (2)在图②中的线段上找一点，连结，使得与的面积相等； (3)在图③中的四边形外部做一条直线，使得直线上任意一点与构成三角形的面积为四边形面积的． 【变式6-3】由边长为的小正方形构成网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三点都是格点，点是与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并回答下列问题：    (1)直接写出的长是_____； (2)在图中： 画的角平分线； 在上画点，使． (3)在图中，过点画线段，使，且． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 四边形与无刻度的直尺格点画图（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 模型归纳 【模型1 平行四边形与无刻度的直尺格点画图】 1 【模型2 中位线与无刻度的直尺格点画图】 7 【模型3 直角三角形斜边中线与无刻度的直尺格点画图】 13 【模型4 矩形与无刻度的直尺格点画图】 21 【模型5 菱形与无刻度的直尺格点画图】 26 【模型6 正方形与无刻度的直尺格点画图】 31 【模型1 平行四边形与无刻度的直尺格点画图】 【例1】（25-26九年级上·江西九江·月考）在网格内用无刻度直尺作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．无刻度直尺网格作图题，就是只能用无刻度的直尺在网格中取点、画直线、射线或线段，画出符合题目要求的图形．取点方法：如直接取格点，取两条格点连线的交点等． (1)在图1中，画出的中线； (2)在图2中，画出的角平分线（为格点） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，理解题意，灵活运用所学的知识解决问题是解题的关键． （1）连接，相交于点E，即可求解； （2）取格点F，连接即可； 【详解】（1）解：如图1，连接，相交于点E，则即为所求， ， 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴为中点， ∴是的中线； （2）解：如图2，取格点F，连接，则即为所求， 理由：∵， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即平分； 【变式1-1】用无刻度的直尺按要求作图，请保留画图痕迹，不需要写作法． (1)如图1，在的正方形网格中，请用无刻度直尺在图1中画一个与面积相等，且以为边的平行四边形，顶点在格点上． (2)如图2，在方格纸中，线段的两个端点都在小方格的格点上，在图2中画一个以为对角线的平行四边形，顶点在格点上． (3)如图3，已知，，点E在上，且四边形是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图3中画出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质． （1）以为底边，高为2的平行四边形即可； （2）利用平行四边形的性质即可作出； （3）设平行四边形的对角线交于点，作射线即可； 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所作；    （2）解：如图，平行四边形即为所作；    （3）解：如图，射线即为所作；    【变式1-2】如图，在5×5正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形． （1）如图1，在网格中画出格点△ABC，则BC＝　　； （2）请用无刻度的直尺画出图1中△ABC中AC边上高BD（结果用实线表示，其他辅助线用虚线表示），且BD＝　　； （3）如图2，点P为AB与网格线的交点，请在网格中画出▱ABCD，并用无刻度的直尺画出过点P且平分▱ABCD的面积的直线PQ（结果用实线表示，其它辅助线用虚线表示）． 【答案】（1）；（2）图见解析，．（3）图见解析． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可． （2）利用面积法求解即可． （3）利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：（1）； （2）∵S△ABC＝3×4﹣×1×4﹣×1×3﹣×2×3＝•AC•BD， ∴； （3）如图，直线PQ即为所求作． 先作出平行四边形ABCD，连接BD交AC于O，连接PO并延长交CD于Q即为所求. 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形面积，三角形的高，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【变式1-3】在网格内用无刻度直尺作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．无刻度直尺网格作图题，就是只能用无刻度的直尺在网格中取点、画直线、射线或线段，画出符合题目要求的图形．取点方法：如直接取格点，取两条格点连线的交点等． (1)在图1中，画出的中线 (2)在图2中，画出的角平分线（F为格点） (3)在图3中，画出线段的垂直平分线 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接，相交于点E，即可求解； （2）取格点F，连接即可； （3）取格点P，Q，G，H，连接，相交于点N，连接，相交于点M，作直线即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，相交于点E，则即为所求， ， 理由： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴为中点， ∴是的中线； （2）解：如图2，取格点F，连接，则即为所求， 理由：∵， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即平分； （3）解：如图3，取格点P，Q，G，H，连接，相交于点N，连接，相交于点M，作直线，则即为所求， ， 理由： 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴M为中点，M为中点， 取格点K，O，连接交于L，连接，取格点J， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由M为中点， ∴垂直平分． 【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，理解题意，灵活运用所学的知识解决问题是解题的关键． 【模型2 中位线与无刻度的直尺格点画图】 【例2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）在下列由边长为1的小正方形组成的网格中，仅用无刻度的直尺完成下列画图．与网格线交于点，在上画点，使得． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了无刻度的直尺作图、中位线定理以及等腰三角形的性质，观察图形可知，，作交于点，由于等腰三角形三线合一，则，连接，根据三角形中位线定理得，则此时点即为所求． 【详解】解：如图所示， 【变式2-1】（2026·江西萍乡·一模）如图是的正方形网格，是格点三角形（顶点在小正方形的顶点处），请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，请作线段，且点在边上，使得平分的面积； (2)如图2，请作线段，且点在边上，使得平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分，三角形的中线平分三角形的面积解答即可； （2）根据矩形的性质，中线的性质，平行线的性质，面积的性质作图即可． 【详解】（1）解：根据矩形的对角线互相平分，三角形的中线平分三角形的面积，作图如下： 则线段即为所求； （2）解：连接交于点G，根据矩形的性质，得到点G是的中点， 连接， 则， 连接，设与的交点为E， 连接，设的交点为Q， 根据三角形中位线，得， ， ， ， 则即为所求． 【变式2-2】（25-26八年级下·湖北·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点四边形四个顶点都是格点，点是边上任意一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下三个问题，每个问题的画线不得超过四条． (1)如图，四边形的形状是_______； (2)在图1中，画直线交于点，使直线平分四边形的面积， (3)在图2中，先作线段的中点；再在上找一点，使得，垂足为点． 【答案】(1)矩形 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据勾股定理证明两组对边分别相等，且对角线，即可求解； （2）先找到对角线的交点，作直线交于点，即可求解； （3）先找到对角线的交点，确定的中点，作直线交于点，作直线交于点，连接，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是矩形； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，点、即为所求 【变式2-3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务不超过三条线． (1)在图1中，先在上画点，连接，使，再在，上分别画M，N两点，使； (2)在图2中，先画（本身不计在三条线内），再在上画点G，上画点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，无刻度直尺作图． （1）先在上画与格线的交点D，连接，则，再在上取中点，在上取与格线的交点N，则； （2）根据平行四边形定义即可作出，由作图即可． 【详解】（1）解：如图，先在上画与格线的交点D，连接，则，再在上取中点，在上取与格线的交点N，则； 证明：由图可知D为的中点， ∵， ∴， ∴； 由图可知，， 即； （2）解：如图，、点G、点即为所求． 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形； ∴， 如图，作，设交于点K，交于点N，则， ∵，，， ∴，， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【模型3 直角三角形斜边中线与无刻度的直尺格点画图】 【例3】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形． A，B，C为格点． (1)线段AB长为 ； (2)仅用无刻度的直尺在图1中作点P，使得点P到△ABC三个顶点距离相等； (3)仅用无刻度的直尺在图2中作点Q，使得点Q到△ABC三边距离相等．（不写画法，保留画图痕迹） 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接运用勾股定理求解即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此作图即可； （3）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质作图即可． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：线段AB长为． 故答案为：5． （2）解：如图：点P即为所求． 证明：由网格可知：点为的中点， ∵， ∴，即点P到三个顶点距离相等； （3）解：如图：取格点D，连接，取格点F使得，再取的中点G，连接与的交点即为所求的点Q． 证明：如图：取格点D，连接，易得：平分， ∵取格点F使得，再取的中点G， ∴等腰三角形三线合一可得平分， ∴根据三角形角平分线的交点到三角形的三边距离相等，即点Q即为所求． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期末）如图（a）、（b）、（c）是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边叫做格线．点A、B、C都是格点，请仅用一根无刻度直尺作图在网格图中完成下列画图，画图结果用实线表示（不要求说明理由，需保留必要的作图痕迹，写出结论）． (1)点是格点，在图（a）中作出一个以为腰的等腰，符合题意的点有___________个； (2)在图（b）中，求作一点，使且；并作出的高； (3)如图（c），边与格线交于点，则在边上作一点，使得． 【答案】(1)2，作图见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点，使，连接，，就是所求作； （2）取点Q，P，连接，并延长交于点H，使，点Q，P即为所求作； （3）取点I，使，连接，交于点F，点F即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，取点，使，连接， ，就是所求作； 符合题意的点D有2个； 故答案为：2； （2）解：如图2中，取点Q，P，连接，并延长交于点H， 点Q，P即为所求作； 理由：如图3，取点E，F，G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， （3）解：如图4中，取点I，连接交于点F，点F即为所求作． 理由：如图5，取点M，N， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 由图看出E为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查网格作图．熟练掌握等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，直角三角形角的性质和斜边上中线的性质，是解题的关键． 【变式3-2】如图是由边长为1的小正方形的网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在所给的网格中完成下列画图（画图过程用虚线，画图结果用实线） 图1                           图2 (1)的周长为_________； (2)如图1中画的边上的高； (3)如图1中画的角平分线； (4)作线段使且（不与重合），在图2中画出点F． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）根据网格特点，取格点H，连接交于D，利用全等三角形的判定与性质证得可得出结论； （3）取格点P，连接，交于E，连接，根据等腰三角形的三线合一性质可得结论； （4）在图2中，取格点H，作射线，由（1）中知，取格点M、N，连接交射线于S，则，根据平行线的性质得到，，，作射线，根据直角三角形斜边上的中线性质得到，进而，则；取格点K、T，连接并延时交射线于F，则，利用平行线的性质得到，再由等腰三角形的等角对等边得到，进而，故点F即为所求作． 【详解】（1）解：，，， ∴的周长为：， 故答案为：； （2）解：在图1中，取格点H，连接交于D，则线段即为所求作； 理由：取格点W，则， ∴， ∴， ∴，即为边上的高； （3）解：在图1中，取格点P，连接，交于E，则线段即为所求作． 理由：取格点Q，连接，， ∵，P为的中点， ∴，则线段为的角平分线； （4）解：在图2中，取格点H，作射线，取格点M、N，连接交射线于S，作射线，取格点K、T，连接并延时交射线于F，则点F即为所求作． 【点睛】本题考查复杂作图，涉及勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质等知识，解答的关键是熟悉网格特点，熟练掌握相关知识的联系与运用，属于中考常考题型． 【变式3-3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作平行四边形； (2)在图2中，作关于的对称图形； (3)在图3中，E是格点，在上画点F，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）点B向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点C，只需将点A向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点D，即可得到所求的平行四边形； （2）将向右平移1个单位，向上平移3个单位，得到，连接，，取格点Q，连接，并延长，交于点，连接，，则即为所求． （3）取格点T，连接，交于点F，点即为所求，证明都是等腰直角三角形，且，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意，点B向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点C，只需将点A向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点D，即可得到所求的平行四边形，画图如下： 则平行四边形即为所求． （2）解：将向右平移1个单位，向上平移3个单位，得到，连接，，取格点Q，连接，并延长，交于点，连接，，则即为所求； ∵在和中， ∴， ∴， ∴， ∴B、A、N三点共线， ∵和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据平移可得：， ∴， ∴为直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴与关于对称， ∴与关于对称． （3）解：取格点T，连接，交于点F，点即为所求， ∵，， ∴，，且， ∴都是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴，则点F即为所求． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质是解题的关键． 【模型4 矩形与无刻度的直尺格点画图】 【例4】（25-26九年级下·河南驻马店·期中）小明研究了网格作图后发现：可以在网格中构造等腰三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等几何图形，并利用它们的性质，找到所求作点或线的位置．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)如图1，点，都是格点，请仅用无刻度的直尺作出的中点，要求：保留作图痕迹，不写作法． (2)图2中的三个顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺作出的角平分线，要求：保留作图痕迹，不写作法．（要求：的角平分线用实线表示，其他线用虚线表示．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点A、B，连接交于点P，根据矩形的对角线互相平分，即可得出点P为的中点； （2）取格点G、E、H，连接、，交于点F，连接，交于点D，根据勾股定理可得，从而得出，根据矩形性质得出点F为中点，根据等腰三角形的性质可得平分，即可得出为的角平分线． 【详解】（1）解：如图1，点P为所求（答案不唯一，正确即可） （2）解：如图2，线段为所求； 【变式4-1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的两个端点均在格点上，按下列要求画图． (1)在方格纸中画出矩形，点C，D都在格点上； (2)请用无刻度的直尺取的中点E（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的面积． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解，5 【分析】本题考查矩形的定义，矩形的性质，勾股定理，能够利用方格画图和计算是解题的关键． （1）根据矩形的定义，可以构造出直角，从而画出矩形； （2）利用矩形的性质：对角线互相平分即可得到中点，再利用勾股定理即可计算面积． 【详解】（1） 取格点，，根据网格性质可得，， 则四边形为矩形； （2）解：如图，通过格点构造了矩形，连接与的交点即为，连接； 根据勾股定理得，，， 是的中点， ， ． 【变式4-2】（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、P、Q、M、N均是格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作，点D是格点，使和的面积相等； (2)在图②中，确定一个格点F，使的面积和四边形的面积相等； (3)在图③中，过点P作一条射线，使该射线将四边形的面积分成相等的两部分． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了无刻度的直尺作图，解题的关键是利用网格求出图形的面积，再确定相应点的位置； （1）利用对角线将平行四边形的面积等分即可确定点D的位置； （2）根据四边形的面积为，利用，点到的距离等于即可确定相应点的位置； （3）利用矩形的对角线互相平分，确定交点，过点P作一条射线过点，会使该射线将四边形的面积分成相等的两部分． 【详解】（1）解：如下图： （2）解：如下图： （3）解：如下图： 【变式4-3】（25-26八年级上·广东江门·月考）图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图． (1)在图①中的边BC上确定一点P，使点P到边、的距离相等． (2)在图②中的边上确定一点Q，连接，使平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，解决本题的关键是综合掌握以上知识． （1）取上的格点，得到，利用等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可确定一点P，使点P到边的距离相等； （2）根据三角形的中线平分的面积，利用矩形的性质确定边的中点Q即可． 【详解】（1）解：如图①中，点即为所求， ∵， ∴由图可得平分， ∴点P到，的距离相等． （2）解：如图②中，点Q即为所求， 由图可得点Q是的中点， ∴是的中线， ∴． 【模型5 菱形与无刻度的直尺格点画图】 【例5】如图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点O，M，N，A，B均在格点上，请按要求完成下列问题： （1）在图①中，仅用无刻度直尺在网格中画出∠MON的平分线OP，并简要说明画图的依据； （2）在图②中，仅用无刻度直尺在网格中画一个Rt△ABC，使点C在格点上，并简要说明画图的依据． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）利用菱形以及平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1，射线OP即为所求的∠MON的平分线．作图依据是：可判定△MOP≌△NOP，于是有∠MOP＝∠NOP． （2）如图2，△ABC即为所求作的直角三角形，其中∠ACB＝90°．作图依据是：①菱形的对角线互相垂直，即BC⊥EF；②可判定AC∥EF，则AC⊥BC，所以∠ACB＝90°． 【点睛】本题考查作图−应用与设计、菱形的性质等知识，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用所学知识解决问题． 【变式5-1】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C均在格点上． (1)在格点上找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，并把此菱形画出来仅用无刻度的直尺，在网格中画出，不要求写作法； (2)求（1）中的菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，菱形的性质，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据菱形的性质作出图形即可； （2）根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； 由勾股定理可得：， ∴四边形是菱形． （2）解：连接AD， ，， 菱形ABDC的面积 【变式5-2】如图是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点A，B均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图．不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中画出的中点O； (2)在图2中画一个，使点C在格点上． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了作图−应用与设计、菱形的性质等知识， （1）根据菱形的性质即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质即可得到结论； 解题的关键是灵活运用菱形的性质解决问题． 【详解】（1）如图所示，连交于点O， 由图和菱形的性质知：，， ∴四边形为平行四边形， ∴对角线和互相平分， ∴点O为线段的中点， ∴点O即为所求； （2）如图所示，连，与格点交于点C， 由图和菱形的性质知：，， ∴， ∴为直角三角形， ∴点C即为所求． 【变式5-3】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图（1）中，作平行四边形；点D是边与网格线的交点，过点D作直线平分四边形的周长； (2)在图（2）中，P是边上一点，在边上画点Q，使； (3)在图（3）中，点F在格点上，连接，，在上画点M，使平分四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据要求画出平行四边形即可，再根据平行四边形的对称性，找到对角线交点F，画直线即可； （2）构造菱形，连接，与交于，再连接，与交于点Q即可； （3）取中点为N，连接，过点N作的平行线交于点M，连接，则平分四边形的面积． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求， 直线即为所求； （2）如图，点Q即为所求； 其中， ∴， ∴四边形为菱形， 则，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，即为所求； ∵为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即平分四边形的面积． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，涉及了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质等知识点，比较复杂，是近年的常考题，解题的关键是灵活运用特殊四边形的性质和网格的特征． 【模型6 正方形与无刻度的直尺格点画图】 【例5】（24-25八年级下·天津·期末）如图，边长为1的正方形网格中，正方形的顶点A，B，C，D在格点上，交竖格线于点F， 交横格线于点E， 连结． (1)请写出与的位置关系______________； (2)在边上找一点G，连结，使．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中画出点G，并简要说明点G的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】(1)垂直 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—平移作图，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，垂线性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质，准确作出图形为解题关键． （1）利用正方形性质得到，推出，从而证明，即可进一步得出结论； （2）延长交格点M，过点B作，且，连接， 再过点C作交于点G，点G即为所求． 【详解】（1）解：如图，与交于点P， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 故答案为：垂直； （2）如图，延长交格点M，过点B作，连接，再过点C作交于点G， ，且， 则点G即为所求． 【变式5-1】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，点A，B均为格点（网格线的交点），我们把顶点落在格点上的四边形称为格点四边形．请在给定的网格中用无刻度的直尺按要求画图． (1)在图①中画一个以为对角线的格点正方形； (2)在图②中画一个格点菱形，且四边形不是正方形； (3)在图③中画一个格点平行四边形，且面积为12． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）连接，使，再依次连接，则四边形即为所求； （2）根据菱形的判定解答，使； （3）以为底边，以4为高线，可得平行四边形． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求； （3）解：如图所示，四边形即为所求． 【变式5-2】（2025九年级上·吉林长春·专题练习）图①、图②、图③都是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，四边形的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的线段上找一点，连结，使得将四边形的面积分成1：2两部分： (2)在图②中的线段上找一点，连结，使得与的面积相等； (3)在图③中的四边形外部做一条直线，使得直线上任意一点与构成三角形的面积为四边形面积的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）利用面积法，数形结合的思想，求出解决问题即可； （2）作格点四边形的对角线，交与点F即可； （3）过格点正方形、的对角线的交点作直线l即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ∵，， ∴； （2）解：如图，点F即为所求， 根据网格特征知：，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，直线l即为所求， 根据网格特征知：且到的距离为2.5， ∴， 又， ∴． 【变式5-3】由边长为的小正方形构成网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三点都是格点，点是与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并回答下列问题：    (1)直接写出的长是_____； (2)在图中： 画的角平分线； 在上画点，使． (3)在图中，过点画线段，使，且． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；作图见解析； (3)作图见解析； 【分析】（）； （）利用等腰三角形三线合一的性质画图即可；利用平行四边形的性质作图即可； （）利用正方形的性质画图即可； 本题考查了应用与设计作图，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，掌握几何图形的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由勾股定理可得，， 故答案为：； （2）解：如图，为角平分线；    如图，点即为所求；    （3）解：如图，即为所求．    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $