专题1.1 特殊平行四边形中的十类最值模型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以十类经典最值模型为框架，系统整合特殊平行四边形中的动态最值问题，通过模型化方法提炼与图形性质结合，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |将军饮马模型|5题|轴对称转化|菱形/正方形对称性→线段和最小| |将军遛马模型|5题|平移构造|动点轨迹→平行四边形性质应用| |将军过桥模型|5题|二次轴对称|河岸平行→折线路径最短转化| |胡不归模型|5题|三角函数化斜为直|含系数线段和→直角三角形边角关系| |费马点模型|5题|旋转60°|线段和最小→等边三角形构造| |逆等线模型|5题|平移线段|定长线段→全等/相似转化| |瓜豆模型|5题|轨迹法|动点关联→旋转/中点轨迹确定| |梯子模型|5题|参数方程|动态图形→函数最值求解| |几何性质转化模型|5题|中点/垂线段|图形性质→距离最小化| |代数转化模型|5题|二次函数|动点坐标→解析式求最值|

专题1.1 特殊平行四边形中的十类最值模型 题型一：特殊的平行四边形中的将军饮马模型 题型二：特殊的平行四边形中的将军遛马模型 题型三：特殊的平行四边形中的将军过桥模型 题型四：特殊的平行四边形中的胡不归模型 题型五：特殊的平行四边形中的费马点模型 题型六：特殊的平行四边形中的逆等线模型 题型七：特殊的平行四边形中的瓜豆模型 题型八：特殊的平行四边形中的梯子模型 题型九：特殊的平行四边形中的几何性质转化最值模型 题型十：特殊的平行四边形中的代数转化最值模型 题型一：特殊的平行四边形中的将军饮马模型 1．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在菱形中，，，点边上的动点，点是对角线上的一个动点，连接、．则的最小值是______． 【答案】 【详解】解：连接，过作于，如图所示， 菱形的对角线是对称轴，点和点关于对称， ∴对于上任意点，都有，∴， ∵点是上的动点，∴的最小值就是点到直线的距离； ∵菱形边长，，∴，， ∴在中， ，∴的最小值为． 2．（2026·海南·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，对角线，交于点，为对角线上一点，连接并延长到点，使得，连接，，则________，的最小值为________． 【答案】 【详解】解：在正方形中，，， 又∵，∴为的中位线，∴，∴； 如图，作点关于直线的对称点，连接、， 则，，且， ∴，即的最小值为． 3.（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，连接，，的垂直平分线交于E，交于F，P是线段上一动点，点Q为的中点．若，的面积是24，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】解：连接，∵，∴，， ∵，∴，∴，是等腰三角形，点Q是边的中点， ，，解得， 是线段的垂直平分线，点B关于直线的对称点为点， ∴，的长为的最小值，∴的最小值．故答案为：6． 4.（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中，∴，，∴，， ∵，∴，故答案为： 5.（2025陕西西安·二模）如图，在菱形中，，，于点，点在边上，且，是的中点，是上的动点，连接.则的最大值为 . 【答案】 【详解】解：∵在菱形中，，∴， ∵，于点，∴在中，， ∴，则 作线段关于所在直线的对称线段，此时点N的对应点为，连接，并延长交于一点，即为，如图： 当三点共线，则有最大值，且为 ∴∴是等边三角形， 过作 则在中， 则 ∴则的最大值为 故答案为： 题型二：特殊的平行四边形中的将军遛马模型 6．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，， ∵为线段上的动点，∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，，∴，，， 由题可得，∴由对称性可得，∴， ∴，∴四边形是矩形，∴， ∵四边形为平行四边形，∴，，∴， ∴，∴四边形是矩形，∴，， ∴，， ∴，即的最小值为，故答案为：． 7．（2026·河南平顶山·三模）如图，在边长为的菱形中，，将沿射线向右平移得到，连接，，则周长的最小值为_________． 【答案】 【详解】解：连接，如图．结合平移，可知，，∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的周长为：． ∴当的值最小时，的周长最小． 作直线，作点C关于直线的对称点，连接，， 设与交于点F，∴，∴当的值最小时，的周长最小． ，∴当三点共线时，即点与点F重合时，取得最小值，且最小值为， 连接交于点O，，∴且垂足为    O，∴， 连接，根据菱形的性质，得，∴三点共线，∴，， ∴，，．∴． ∴周长的最小值为． 8．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，正方形中，，点是对角线上一动点，矩形的边，点，在直线上，连接，，则的最小值是________． 【答案】 【详解】解：过作交延长线于，连接，作交的延长线于， ∵四边形为矩形，四边形为正方形，点，在直线上，∴， ∵，∴四边形为平行四边形， ∴，∴， 当且仅当三点共线时，最小即的长， ∵，∴四边形为矩形，∴，， ∴，∴． 9.（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，平移至，则，连接, ∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴ ∵在正方形中，，是对角线上两点，∴∴ 在中，，∴故答案为：． 10．（2026·陕西榆林·三模）如图，在菱形中，，，连接，点为的中点，点、均在对角线上，且点在点的左侧，，连接、，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】如图，作，，连接，，连接交于点． 在菱形中，且，，， ，，，，， 在中，，，是等边三角形，， 在中，， ，，，，点为的中点， ，，,四边形是平行四边形，， ，是的垂直平分线， 的值可以转化为的值， 由此可见，当,,三点共线时，的值最小，最小值为， ，,，， 题型三：特殊的平行四边形中的将军过桥模型 11．（25-26上·湖北襄阳·九年级联考）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 【答案】C 【详解】解：延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．    ∴四边形是平行四边形，∴，同理：=， 延长交的延长线于点．∴，， ∴，， 在中，， ， 的最小值为14．故选：C． 12．（2025·校考一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连接AH，CG．若，，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图：延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OE、EG， ，，， 又，四边形AOEH是平行四边形，， 当点E、点G在OC上时，最小，即最小，， ，， ，故的最小值为，故答案为：． 13.（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    【答案】 【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．       ∵中，，，∴，∴， ∴，．∵，，∴． ∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出． ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴，∴四边形为平行四边形，   ∴，∴，∴当最小时，最小． ∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图， ∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，， ∵，，∴，∴，∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 14.（25-26八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【详解】，①，；解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示，过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵关于直线对称点，∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 15.（2025·西安·校考二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 【答案】米 【详解】解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接， ∴四边形和四边形都是平行四边形，∴， ∴， ∴当四点共线时，最小，即此时最小； 如图所示， 分别延长交于H，∵支流1和支流2与线段所夹的锐角分别为、， ∴，∴，∴米， ∴米，∴米，米， ∴米， ∴的最小值为米． 题型四：特殊的平行四边形中的胡不归模型 16.（2025·江苏·校考二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，∠BAD=30°，∴AD=AB=4，∠BAC=∠CAD=15°， 如图所示，以AB为一边，在AB下方作∠BAE=∠BAC=15°，过点P作PF⊥AE，过点D作DH⊥AE， ∴∠EAP=30°，∠PFA=90°，∠DHA=90°，∴PF=，∴DP+， 当D、P、F三点共线时，取得最小值，最小即为DH长度， 在Rt∆DHA中，∠DAH=45°，故答案为：． 17.（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，连接， ，，，在中，， ，，， 当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，此时， 在中，，，， 即的最小值为，故答案为：． 18．（24-25下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长，过点B作交于点P， ∵四边形为平行四边形，∴，∴， ∵，∴，则，则， 同理可得：，∴， ∴当点E、P、B在同一条直线上时，的值最小， ∵，∴．故选：A．    19．（25-26上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，∴， 在线段下方作，过点作于点，连接，      ∴，∴， 当、、三点共线时，的值最小， 此时，∴，∴，， ∴，∴的最小值为：， ∴的最小值为．故答案为：． 20.（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：连接，            ∵四边形是菱形，∴，， ∵，∴，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴； （2）解：过点N作于点F，连接， ∵，∴，∵，∴， 当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：即， ∴在中，，∴的最小值为． 题型五：特殊的平行四边形中的费马点模型 21．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接、，则的最小值是______． 【答案】 【详解】解：如图，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，，则，，∴是等边三角形，∴， ∵在菱形中，，∴，， ∴和均为等边三角形，∴，， ∴，∴， ∴在和中，，∴，∴， ∴，∴， 当、、、四点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵四边形是菱形，∴，，，∴， ∴在中，， ∴，∴的最小值是． 22.（2025·山东东营·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】cm 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，，，， 是等边三角形，是等边三角形，， 作于，交于．，，，， 当点，，，四点共线且垂直时，有最小值为， ，，的最小值(cm)．故答案为：cm． 23．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，如图： 由旋转可知，，，，，，，，，，，∴，，，都是等边三角形， ∴，，∴， ∴的最小值即为的长， ∵，，∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ∵，，∴是，的垂直平分线，∴，， ∴，，四边形是长方形， 24．（2026·河南周口·三模）在数学探究课上，小红同学利用转化思想，计算运动条件下线段和的最小值，其过程如下： 方法感悟:阅读下面的解题过程及方法并填空，感悟转化思想在求线段和最小值中的应用． 如图1，在等腰直角三角形中，，M，N分别是，边上的动点，且，连接，．求的最小值．    解题过程：如图1，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，连接． 由题意，得．由旋转的性质，得①________． 又，（依据：②________）． ．． ∴当C，M，D三点共线时，取得最小值，即取得最小值． 则的最小值为③________． (1)阅读上述过程，并填空：①______；②______；③______． (2)探究证明:如图2，在矩形中，，，以为边向外作等边三角形，P是矩形内一动点，连接，，过点P作于点E，求的最小值．    (3)拓展延伸:如图3，已知正方形的边长为8，O为对角线的交点，M，N分别是，边上的动点，且总有，连接，，请直接写出的最小值和此时的值． 【答案】(1)①；②；③ (2) 【详解】（1）解：将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，连接． 由题意，得．由旋转的性质，得． 又，．．． ∴当C，M，D三点共线时，取得最小值，即取得最小值，最小值为长． ∵，∴， ∵在等腰直角三角形中，，∴， ∴，∴，则的最小值为． （2）解：将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，过点作于点，设交于点，由旋转的性质得，∴是等边三角形，∴， ∵是等边三角形，∴，∴， ∴，．∴，∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， ∵，∴，∵是等边三角形， ∴，∴， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∴，∴的最小值为． 25.（24-25九年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． (1)若的长度比少4，，求的面积；(2)求证：；(3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 【答案】(1)24(2)见解析(3) 【详解】（1）解：设，则， ∵中，，∴，即解得（负值舍去） ∴，∴； （2）证明：过点E作交于H，如图所示： ∵，∴，即， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：在（1）的条件下，，， 过点A作于点G，将绕点C顺时针旋转到，连接，延长，过点E作于点F，连接，如图所示：∵，∴， ∴，根据勾股定理得：， 根据旋转可知：，，，， ∴，∴， ∵两点之间线段最短，∴当B、P、D、E四点共线时，最小，则最小， ∴最小值为的长，∵， ∴，∴， ∵，∴，∴，，∴， ∴即的最小值为． 题型六：特殊的平行四边形中的逆等线模型 26．（2026·河南新乡·三模）如图，在边长为10的菱形中，点，分别为边，上的动点，且，连接，．若菱形的面积为75，则的最小值为（     ） A． B．17 C． D．19 【答案】C 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，， 则，，．四边形是菱形，，． ，，，． 在和中，，，， ，的最小值为． ，的最小值是． 27．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在正方形中，P，Q分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为 ． 【答案】3 【详解】解：如图所示，设正方形的边长为a，在正方形中，， 则．延长至E，使得，连接， ∵，∴，∴， ∴，当点Q在上时，取最小值． ∵的最小值为，即，在中，， 即，解得（负值舍去）．故答案为：3． 28．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在边长为 6 的正方形 中， ， 两点分别为线段 ， 上的动点，且 ，求 的最小值，并写出解答过程． 【答案】9 【详解】如图，分别取，中点E、F，连接，以为边构造，连接，， ∵点E、F分别是，中点，，，∴， 当点O、M、P在同一直线上时值最小，∴最小值为， ∵四边形为边长为6的正方形，∴，且，∴， 在中，，在中，，则的最小值为9． 29．（2025·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵点与点关于对称，∴，，∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵，∴四边形为矩形， ∴，，∴，∴， ∴此时，即的最小值为．故答案为：． 30．（24-25八年级下·江苏·期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：如图，连接，在矩形中，，， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴，， 则，即的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵，∴是的垂直平分线，∴，∴， 连接，则，∵， ∴．∴的最小值为5．故答案为：5． 题型七：特殊的平行四边形中的瓜豆模型 31．（2026·河北邯郸·三模）如图，正方形的边长为，点E是线段上一动点（不与点B，C重合），设（），过点E在右侧作，且，连接，则的最小值为________． 【答案】1 【详解】解：过点作，交的延长线于点，连接， ∵，∴，在中，∴， ∵，，∴，∴ ，， 设，则，∴， ∴是等腰直角三角形，得，∵正方形中，∴， 根据点到直线的距离中垂线段最短，过作定直线的垂线，垂足为，则的最小值即为垂线段的长度;在中，，， ∴ ，即的最小值为1 ． 32．（2026·海南海口·二模）如图，在平行四边形中，，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则_____，线段长度的最小值是_____． 【答案】 90 2 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵为中点，∴为的中位线，∴，∴点在射线上运动， 当时，的值最小，如图，设与相交于点， ∵，为的中点，∴，∵，∴， 又∵，∴为等边三角形，∴，，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴，， ∴，∴， ∵，，∴，，∴，， ∴四边形是矩形，∴，∴，∴的最小值是. 33．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，四边形为正方形，，E为延长线上一点，以为边向左侧作等边三角形，连接，当取最小值时，的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，将逆时针旋转得到，作直线交于点M， 则，，为等边三角形，，， ，，， 在四边形中，，点F在直线上运动， 当时，最小，如图，过作于，交于，则， 在中，，，，，， 在中，，，，， 在中，，，， ；故答案为： 34．（2025·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形，∴， ∵都是等边三角形，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴点Q在与过点F且与垂直的射线上运动，∵，∴， ∵，，∴点Q在射线上运动，∵，∴， ∵，∴． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为3．故选D． 35．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 【答案】B 【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形，∴，∴，∴四边形和都是矩形， ∴，由旋转的性质得，， ∴，∴，∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为，∵，，∴，故选：B． 题型八：特殊的平行四边形中的梯子模型 36．（2025·山东东营·校考一模）如图，点是轴正半轴上的动点，点在轴的正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】如图，取的中点，连接， ∵四边形是正方形， ∵点是的中点，， 在中，，∴当点在上时，有最大值，最大值为，故答案为：． 37．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，点、分别是轴正半轴与轴正半轴上的动点，以为边在第一象限作矩形，已知，矩形的面积为24，则的最大值为 ． 【答案】9 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵，矩形的面积为24，∴， ∵点是的中点，∴， ∴在中，，在中，， ∴当点在同一直线上时，有最大值，最大值为，．故答案为：9． 38．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，将沿所在直线翻折得到，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作，交延长线于点F，取的中点E，连接，，， ∵等边三角形的边长为2，∴，， 由翻折可知：，，， ，，，，， ∵E是的中点，，∴， ∴∴， ∴当D、E、O三点共线时最大，最大值为．故答案为：． 39．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接，则的最小值是 【答案】 【详解】解：过点作于点，如图所示： 是等边三角形，，， ∵在平行四边形中，，，， ，是等边三角形，， ，是等边三角形，为中点， ，为中点，， ，， 当点在线段上时，此时最短，即的最小值为，故答案为：． 40．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，菱形的边长为4，，点E，F分别是，边上的动点，且，连接，过点B作于点G，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴点O为菱形对角线的交点；连接，则过点O，取中点M，连接，， ∵菱形的边长为4，，∴，，， ∴是等边三角形，∴，∴，∴， ∵M是的中点，∴，在中，， 在中，，∵， 当A，M，G三点共线时，有最小值，最小值为，故选：B． 题型九：特殊的平行四边形中的几何性质转化最值模型 41．（2026·四川眉山·中考真题）如图，菱形中，对角线 与 相交于点O， ， ，点P为线段 上的一个动点（不与端点重合），过点P作 于点M， 于点N，连接，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵在菱形中，∴，， ∵，，∴四边形为矩形，∴，则的最小值为最小值， ∵点P为线段 上的一个动点，∴时，最小，此时， ∵，∴，∴的最小值为． 42．（2026·河北邢台·二模）如图，在菱形中，，，点，分别在，边上运动，连接，，点，分别为，的中点，则的最小值是________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 在菱形中，，， 在中，，， M、N分别为、的中点，是的中位线，， 时，有最小值，有最小值，此时点与重合， 的最小值为，的最小值是． 43．（2026·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，，，等边三角形的顶点E在边上，点B，F在的两侧，连接，则的最小值是______． 【答案】 【详解】解：如图，以为边，在下方作等边三角形，连接交于， 由题意，得，，，，．．． 当时，有最小值，又， ，则，， ，的最小值为． 44．（2023·吉林·长春二模）如图，在中，，，为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过作于， ，，是等腰直角三角形，， 四边形是平行四边形，， 当时，的最小值等于的长，对角线的最小值为，故答案为：． 45．（2023·江苏·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，折痕分别与边，交于点E，F．当点G的位置变化时，长的最大值是 _________________．    【答案】； 【详解】解：连接交于点O，过点O作于点K，交于点T，过点A作交的延长线于点M，取的中点R，连接，如图：    ∵，，∴，∴， ∴四边形是矩形，∴， ∵折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，∴，，， ∴，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴的最小值为，∴的最大值为， 故答案为：； 题型十：特殊的平行四边形中的代数转化最值模型 46．（2025·安徽合肥·一模）如图，P是线段上一动点，四边形和四边形是位于直线同侧的两个正方形，点C，D分别是的中点，若，则下列结论错误的是（    ） A．为定值 B．当时，的值为 C．周长的最小值为 D．面积的最大值为2 【答案】C 【详解】解：∵四边形和四边形是位于直线同侧的两个正方形， ∴， ∵点C，D分别是的中点，∴， ∴，∴均为定值， ∴也为定值；故A选项正确； 过点作，则四边形为矩形，∴，， ∵，∴，∴，， ∴，∴；故选项B正确；设，则：， ∴，，， ∴， ∴，，， ∴的周长， ∵，∴的周长的最小值为；故选项C错误； ∵ ，整理得：； ∴当时，面积的最大值为2；故选项D正确；故选C． 47．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】解：过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形，边长为6，∴，，， ∵，∴是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，，设，则， ∵，∴，∵，∴， ∴，， 在中，由勾股定理得 ， ∵，，∴当时，有最小值，∴的最小值为． 48．（2026·江苏扬州·二模）如图，边长为6的正六边形，点、分别在、上，且，点为正六边形边上一动点，则的面积最大值为_______． 【答案】 【详解】解：连接、，分别交于、，过点作，垂足为； ∵边长为6的正六边形，∴，， ∴，，同理：， ∵，∴，∴四边形是矩形，∴， ∵，，∴，∴ 设，则在中，，同理可求， ∴，， ∵，，∴，∴点到的距离小于等于， 当在上时，点到的距离最大，最大值为，此时的面积最大， 的面积最大值， 当时，的面积最大值为． 49.（25-26九年级下·成都·专题练习）已知E，F分别是正方形的边上的点，若．那么的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长至点G使，连接． ∵四边形是正方形，∴． 又∵，∴．∴． ∵，∴．∴，即． ∴．∴．∴． 设，∴．在中，， ∴．∴．令， ∴．∴．∴． ∵存在，∴a有实数解．∴．∴． ∵，∴．∴的最小值为．故答案为：． 50．（25-26九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC上（不含端点）的动点，AF与DE交于点O，点P为EF的中点．在点E，F运动过程中，始终保持，则OP长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵正方形中，∴，， ，，， ，，，， 点P为的中点，，设，则， ， 当时，取最小值，长的最小值为．故答案为：． 38 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 特殊平行四边形中的十类最值模型 题型一：特殊的平行四边形中的将军饮马模型 题型二：特殊的平行四边形中的将军遛马模型 题型三：特殊的平行四边形中的将军过桥模型 题型四：特殊的平行四边形中的胡不归模型 题型五：特殊的平行四边形中的费马点模型 题型六：特殊的平行四边形中的逆等线模型 题型七：特殊的平行四边形中的瓜豆模型 题型八：特殊的平行四边形中的梯子模型 题型九：特殊的平行四边形中的几何性质转化最值模型 题型十：特殊的平行四边形中的代数转化最值模型 题型一：特殊的平行四边形中的将军饮马模型 1．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在菱形中，，，点边上的动点，点是对角线上的一个动点，连接、．则的最小值是______． 2．（2026·海南·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，对角线，交于点，为对角线上一点，连接并延长到点，使得，连接，，则________，的最小值为________． 3.（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，连接，，的垂直平分线交于E，交于F，P是线段上一动点，点Q为的中点．若，的面积是24，则的最小值为 ． 4.（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 5.（2025陕西西安·二模）如图，在菱形中，，，于点，点在边上，且，是的中点，是上的动点，连接.则的最大值为 . 题型二：特殊的平行四边形中的将军遛马模型 6．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ． 7．（2026·河南平顶山·三模）如图，在边长为的菱形中，，将沿射线向右平移得到，连接，，则周长的最小值为_________． 8．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，正方形中，，点是对角线上一动点，矩形的边，点，在直线上，连接，，则的最小值是________． 9.（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 10．（2026·陕西榆林·三模）如图，在菱形中，，，连接，点为的中点，点、均在对角线上，且点在点的左侧，，连接、，则的最小值为_____． 题型三：特殊的平行四边形中的将军过桥模型 11．（25-26上·湖北襄阳·九年级联考）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 12．（2025·校考一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连接AH，CG．若，，，则的最小值为______． 13.（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    14.（25-26八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 15.（2025·西安·校考二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 题型四：特殊的平行四边形中的胡不归模型 16.（2025·江苏·校考二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． 17.（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 18．（24-25下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 19．（25-26上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    20.（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    题型五：特殊的平行四边形中的费马点模型 21．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接、，则的最小值是______． 22.（2025·山东东营·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 23．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是 ． 24．（2026·河南周口·三模）在数学探究课上，小红同学利用转化思想，计算运动条件下线段和的最小值，其过程如下： 方法感悟:阅读下面的解题过程及方法并填空，感悟转化思想在求线段和最小值中的应用． 如图1，在等腰直角三角形中，，M，N分别是，边上的动点，且，连接，．求的最小值．    解题过程：如图1，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，连接． 由题意，得．由旋转的性质，得①________． 又，（依据：②________）． ．． ∴当C，M，D三点共线时，取得最小值，即取得最小值． 则的最小值为③________． (1)阅读上述过程，并填空：①______；②______；③______． (2)探究证明:如图2，在矩形中，，，以为边向外作等边三角形，P是矩形内一动点，连接，，过点P作于点E，求的最小值． (3)拓展延伸:如图3，已知正方形的边长为8，O为对角线的交点，M，N分别是，边上的动点，且总有，连接，，请直接写出的最小值和此时的值．    25.（24-25九年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上．(1)若的长度比少4，，求的面积；(2)求证：；(3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 题型六：特殊的平行四边形中的逆等线模型 26．（2026·河南新乡·三模）如图，在边长为10的菱形中，点，分别为边，上的动点，且，连接，．若菱形的面积为75，则的最小值为（     ） A． B．17 C． D．19 27．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在正方形中，P，Q分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为 ． 28．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在边长为 6 的正方形 中， ， 两点分别为线段 ， 上的动点，且 ，求 的最小值，并写出解答过程． 29．（2025·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为 ． 30．（24-25八年级下·江苏·期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为 ． 题型七：特殊的平行四边形中的瓜豆模型 31．（2026·河北邯郸·三模）如图，正方形的边长为，点E是线段上一动点（不与点B，C重合），设（），过点E在右侧作，且，连接，则的最小值为________． 32．（2026·海南海口·二模）如图，在平行四边形中，，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则_____，线段长度的最小值是_____． 33．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，四边形为正方形，，E为延长线上一点，以为边向左侧作等边三角形，连接，当取最小值时，的长为 ． 34．（2025·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．3 35．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 题型八：特殊的平行四边形中的梯子模型 36．（2025·山东东营·校考一模）如图，点是轴正半轴上的动点，点在轴的正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为 ． 37．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，点、分别是轴正半轴与轴正半轴上的动点，以为边在第一象限作矩形，已知，矩形的面积为24，则的最大值为 ． 38．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，将沿所在直线翻折得到，则的最大值为 ． 39．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接，则的最小值是 40．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，菱形的边长为4，，点E，F分别是，边上的动点，且，连接，过点B作于点G，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型九：特殊的平行四边形中的几何性质转化最值模型 41．（2026·四川眉山·中考真题）如图，菱形中，对角线 与 相交于点O， ， ，点P为线段 上的一个动点（不与端点重合），过点P作 于点M， 于点N，连接，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 42．（2026·河北邢台·二模）如图，在菱形中，，，点，分别在，边上运动，连接，，点，分别为，的中点，则的最小值是________． 43．（2026·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，，，等边三角形的顶点E在边上，点B，F在的两侧，连接，则的最小值是______． 44．（2023·吉林·长春二模）如图，在中，，，为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为 ． 45．（2023·江苏·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，折痕分别与边，交于点E，F．当点G的位置变化时，长的最大值是 _________________．    题型十：特殊的平行四边形中的代数转化最值模型 46．（2025·安徽合肥·一模）如图，P是线段上一动点，四边形和四边形是位于直线同侧的两个正方形，点C，D分别是的中点，若，则下列结论错误的是（    ） A．为定值 B．当时，的值为 C．周长的最小值为 D．面积的最大值为2 47．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 48．（2026·江苏扬州·二模）如图，边长为6的正六边形，点、分别在、上，且，点为正六边形边上一动点，则的面积最大值为_______． 49.（25-26九年级下·成都·专题练习）已知E，F分别是正方形的边上的点，若．那么的最小值为 ． 50．（25-26九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC上（不含端点）的动点，AF与DE交于点O，点P为EF的中点．在点E，F运动过程中，始终保持，则OP长的最小值为 ． 14 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $