专题1.4 平行四边形中的动点问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题1.4 平行四边形中的动点问题 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 典例分析 【典例1】在矩形中， ，，E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中（）． （1）如图1，M、N分别是、中点，当四边形是矩形时，求t的值． （2）若G、H分别从点A、C沿折线A—B—C，C—D—A运动，与E、F相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的，则t的值是 　　 ． ③如图4，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得，顺次连接P、G、Q、H，请直接写出四边形周长的最小值是 　　 ． 【思路点拨】 （1）根据条件证明四边形是平行四边形，连接，求出t的值即可； （2）①连接，，根据菱形的性质和题中条件证出，从而得到即可求解； ②连接，根据题中条件和①中结论证明，从而得到是平行四边形，即可求出答案； ③根据求最小路径的方法作出点G关于的对称点，过点作于K，连接，，再根据“三角形两边之和大于第三边”即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵M、N分别是、中点， ∴， ∵E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图1，连接， ∵四边形是矩形，M、N分别是、中点，、， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴或， 解得或； （2）解：①由（1）知：， ∴，， ∴， 如图2，连接，， ∵四边形菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，连接，如图所示， 由①同理得：，， 由①知：， ∴， ∵G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ③如图4，作点G关于的对称点，过点作于K，连接，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由②知：四边形是平行四边形， ∴四边形的周长， 当G'，Q，H三点共线时，四边形周长有最小值，且最小值是． 故答案为：． · 学霸必刷 1．（22-23九年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、，当为直角三角形时，t的值为（    ） A．5 B． C．5或8 D．5或8或 2．（2023·河北·二模）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ）    A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时， D．当时，或  3．（22-23八年级下·全国·期末）如图，在正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（　　）    A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小 4．（2023·河北保定·一模）如图，在菱形中，，P为对角线上的一个动点，过点作的垂线，交或于点，交或于点，点从点出发以cm/s的速度向终点运动，设运动时间为，以为折线将菱形向右折叠，若重合部分面积为，求t的值，对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才充整 5．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，，，cm，cm，cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．若运动t s时，则运动时间t的值是 s． 6．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，对角线相交于点，点在上，，，，点是的中点，若点以的速度从点出发，沿向点运动，点同时以的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动 时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 7．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，等边三角形的边长为，动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿的方向以的速度运动，且动点M，N同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．那么运动到第 秒时，点A，M，N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形．    8．（23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，，M是一动点，从点D出发，沿运动，以4个单位每秒的速度向终点C点运动；N是从点C出发的另一动点，沿运动，以2个单位每秒的速度向终点D点运动，点M和点N同时出发，运动时间为t秒（M，N两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止）． （1）若M、N出发t秒后，四边形为平行四边形，求t； （2）若的面积为8，请求出t的值； （3）如图2，点F是线段中点，E是直线上另一动点（位于N点右边），且线段在移动过程中始终保持长度为2不变，请探究并直接写出的最小值．   9．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．    （1）当时，求的面积； （2）当t为何值时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？ （3）（2）中的平行四边形会不会是菱形？若能，请说明理由，若不能，当Q速度不变，求出P点速度？ 10．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．    （1）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．   11．（23-24九年级上·广东茂名·期中）如图所示，在菱形中，，是等边三角形．    （1）如图，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、、重合．求证：； （2）如图2，点是延长线上一点，连． ①求证：； ②若，，求的长．   12．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在菱形中，，，点．同时从、两点出发，分别沿、方向向点匀速移动（到点停止），点的速度为，点的速度为． （1）经过多少秒为等边三角形？ （2）经过多少秒四边形的面积为． 13．（2023·陕西西安·一模）如图，平行四边形中，，，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）①______时，四边形是矩形； ②______时，四边形是菱形． 14．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）用含的式子表示； （2）当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ （3）只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 15．（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当时，请判定四边形的形状 （直接填空） （2）当时，求t的值． （3）连接，是否存在为等腰三角形？若存在请直接写出t值，若不存在，说明理由． 16．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，边上的高为8．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒8个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为（秒），连结． （1）直接写出点与点重合时的值． （2）当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）． （3）当时，求的值． （4）当时，直接写出的值． 17．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在四边形中，，，，，，点P从点B开始沿向点C以每秒的速度移动，点Q从点D开始沿以每秒的速度移动，设运动时间为t秒，连接．    （1）线段的长度是__________； （2）当________时，线段平分； （3）当________时，； （4）当t为何值时，四边形的面积是；（请说明理由） （5）当t为何值时，Q在的中垂线上．（请说明理由） 18．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，在中，，，，动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒（）．    （1）的长为______； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）连接， ①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．   19．（22-23八年级下·河北沧州·期中）如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为 ．    （1）分别求和的长度； （2）连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由； （3）试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点，之间的距离．   20．（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，BC边上高为8，点D为边的中点点P从点B出发，沿折线向点C运动，在、上的速度分别为每秒5个单位长度和每秒个单位长度．当点P不与点A重合时，连接PD，以、为邻边作．设点P的运动时间为t秒．    （1）①线段的长为______； ②用含t的代数式表示线段的长； （2）当点E在内部时，求t的取值范围； （3）当是菱形时，求t的值； （4）作点B关于直线的对称点，连结，当时，直接写出t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 平行四边形中的动点问题 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 典例分析 【典例1】在矩形中， ，，E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中（）． （1）如图1，M、N分别是、中点，当四边形是矩形时，求t的值． （2）若G、H分别从点A、C沿折线A—B—C，C—D—A运动，与E、F相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的，则t的值是 　　 ． ③如图4，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得，顺次连接P、G、Q、H，请直接写出四边形周长的最小值是 　　 ． 【思路点拨】 （1）根据条件证明四边形是平行四边形，连接，求出t的值即可； （2）①连接，，根据菱形的性质和题中条件证出，从而得到即可求解； ②连接，根据题中条件和①中结论证明，从而得到是平行四边形，即可求出答案； ③根据求最小路径的方法作出点G关于的对称点，过点作于K，连接，，再根据“三角形两边之和大于第三边”即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵M、N分别是、中点， ∴， ∵E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图1，连接， ∵四边形是矩形，M、N分别是、中点，、， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴或， 解得或； （2）解：①由（1）知：， ∴，， ∴， 如图2，连接，， ∵四边形菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，连接，如图所示， 由①同理得：，， 由①知：， ∴， ∵G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ③如图4，作点G关于的对称点，过点作于K，连接，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由②知：四边形是平行四边形， ∴四边形的周长， 当G'，Q，H三点共线时，四边形周长有最小值，且最小值是． 故答案为：． · 学霸必刷 1．（22-23九年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、，当为直角三角形时，t的值为（    ） A．5 B． C．5或8 D．5或8或  【思路点拨】 利用已知条件证出四边形是平行四边形，再对为直角三角形分三种情况进行讨论． 【解题过程】 解：由题意得， ， 又 ，即， 四边形是平行四边形， 当为直角三角形时，有三种情况如下： ①当时，四边形是平行四边形， ， , , ， ， 又 ， ， 解得； ②当时，四边形是矩形， 中，，则， ， 即， 解得； ③若,此种情况不存在 所以或 故选：． 2．（2023·河北·二模）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ）    A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时， D．当时，或  【思路点拨】 对于选项A、B，分别计算当与时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即可；对于C、D选项，作，垂足分别为E、F，如图，证明，得出，进而得出关于t的方程，解方程判定即可. 【解题过程】 解：当时，，cm，， ∴， ∴四边形不为矩形，故选项A结论错误； 当时，，，cm， ∴， ∴四边形不为平行四边形，故选项B结论错误； 当时，作，垂足分别为E、F，如图， ∵， ∴， ∴四边形都是矩形， ∴， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴， 解得：或，故选项C错误、选项D正确； 故选：D.  3．（22-23八年级下·全国·期末）如图，在正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（　　）    A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小  【思路点拨】 作交的延长线于H，证明是的角平分线，由即可解决问题． 【解题过程】 解：作交的延长线于H，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∴点P的运动轨迹是的角平分线， ∵， ∴， 而， ∴一直不变， 故选：C． 4．（2023·河北保定·一模）如图，在菱形中，，P为对角线上的一个动点，过点作的垂线，交或于点，交或于点，点从点出发以cm/s的速度向终点运动，设运动时间为，以为折线将菱形向右折叠，若重合部分面积为，求t的值，对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才充整  【思路点拨】 由菱形的性质推出的度数，通过分类讨论的方法得到含有特殊角的直角三角形、、以及等边三角形、，利用面积公式进而列出有关时间的一元二次方程，通过解方程求出. 【解题过程】 解 ：如图，连接交于点 四边形为菱形 ， 在中， 由题意可知， 如图所示，重合部分 在 中，， ， 为等边三角形 如图所示，重合部分 在中，， ， 为等边三角形 或，即甲、丙答案合在一起才完整. 故答案选 . 5．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，，，cm，cm，cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．若运动t s时，则运动时间t的值是 s．  【思路点拨】 分两种情况：①时，则四边形为平行四边形；②时，过点P作交于S，于M，则四边形为平行四边形，四边形为矩形；分别计算即可． 【解题过程】 解：由题意可知，， 若，分两种情况： ①时， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：， ②时， 过点P作交于S，于M，则四边形为平行四边形，四边形为矩形； ∴， ∴（cm）， ∴（cm）， ∴， 解得：， 综上所述，当t的值为或时，． 故答案为：或 6．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，对角线相交于点，点在上，，，，点是的中点，若点以的速度从点出发，沿向点运动，点同时以的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动 时，以点为顶点的四边形是平行四边形．  【思路点拨】 要使点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则需，据此先表示出、，结合题意可得或，据此可知需求得的长，由于是的中点，可将答案． 【解题过程】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ∵点的速度为，则点从点到点的时间为， ∴点移动的距离为， 要使点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则即可， 设当点运动秒时，点、、、为顶点的四边形是平行四边形， 根据题意，当点在点的右边，四边形是平行四边形，如图所示， ∴，解得，； 当点在点的左边，四边形是平行四边形，如图所示， ∴，解得，； 当点运动秒或秒时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：或． 7．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，等边三角形的边长为，动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿的方向以的速度运动，且动点M，N同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．那么运动到第 秒时，点A，M，N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形．     【思路点拨】 分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解． 【解题过程】 解：①当，点M、N、D的位置如图所示：    四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ，即：， 解得：， ②当时，点M、N、D在同一直线上，不能构成四边形， ③当时，点M、N、D的位置如图所示：    四边形是平行四边形， ，， ， 为等腰三角形， ， ， ， ，即：， 解得：， ④当时，点M、N、D的位置如图所示：    则，， 由题意可知，为等边三角形， ，即：， 解得：， 此时M、N重合，不能构成四边形， 综上所述，t的值为2或6， 故答案为：2或6． 8．（23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，，M是一动点，从点D出发，沿运动，以4个单位每秒的速度向终点C点运动；N是从点C出发的另一动点，沿运动，以2个单位每秒的速度向终点D点运动，点M和点N同时出发，运动时间为t秒（M，N两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止）． （1）若M、N出发t秒后，四边形为平行四边形，求t； （2）若的面积为8，请求出t的值； （3）如图2，点F是线段中点，E是直线上另一动点（位于N点右边），且线段在移动过程中始终保持长度为2不变，请探究并直接写出的最小值．  【思路点拨】 本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质； （1）根据平行四边形的性质可得，，，，得到M应在线段上，N应在线段上，再根据运动速度表示、，列方程求解即可； （2）根据点M在不同边上分类讨论，根据三角形面积公式计算即可； （3）将向左平移到，作关于对称的线段，.当三点共线时有最小值． 【解题过程】 （1）∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴动点M应在线段上，N应在线段上，. ∵在平行四边形中，，， ∴． 由题意得t秒后，，． ∴． ∴． （2）①当点M在上时，， ∵的面积为8，， ∴． ∴． ②当点M在上时，， ∵的面积为8，， ∴． ∴． ③当点M在上时，， ∵的面积为8，， ∴． ∴． ∴综上可知,或． （3）如图将向左平移到，作FN关于对称的线段，则,， ∴.， ∴当、、三点共线时有最小值． ∵，， ∴ ∴有最小值． 9．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．    （1）当时，求的面积； （2）当t为何值时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？ （3）（2）中的平行四边形会不会是菱形？若能，请说明理由，若不能，当Q速度不变，求出P点速度？  【思路点拨】 （1）若过点作于，则四边形为矩形，得出，由 ，由三角形面积公式得出的面积 ； （2）由题意得出，分两种情况，由题意得出方程，解方程即可得出答案； （3）作于，则四边形是矩形，得出，由勾股定理得出，由，则5；由，则；得出（2）中的平行四边形不会是菱形；当速度不变，设点速度为每秒个单位长，则 ，解得即可． 【解题过程】 （1）解：过点作 于，如图1所示：则四边形为矩形．    ∴， ∵， ∴的面积． 把代入得：的面积； （2）∵， 当时，以，为顶点的四边形为平行四边形时，当点在点右侧时， 解得：， 当点在点左侧时，， ∴， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，以为顶点的四边形为平行四边形； （3）（2）中的平行四边形不会是菱形； 理由如下： 作于，如图2所示： 则四边形是矩形， 当时，（2）中的平行四边形是菱形， 由，则； 由，则； ∴（2）中的平行四边形不会是菱形； 当速度不变，设点速度为每秒个单位长， 则， 解得：， 即当速度不变，点速度为每秒个单位长时，（2）中的平行四边形是菱形． 10．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．    （1）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．  【思路点拨】 （1），四边形是平行四边形时，列一元一次方程即可求解； （2）分Q点在P的右边，Q点在P的左边且在线段上，Q点在P的左边且在的延长线上三种情况，根据菱形的性质、勾股定理分别求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， 由运动知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：①当Q点在P的右边时，如图1，    ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②当Q点在P的左边且在线段上时，如图2，    ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ③当Q点在P的左边且在的延长线上时，如图，    ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上可知，O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形时，有三种情况：，；，；，． 11．（23-24九年级上·广东茂名·期中）如图所示，在菱形中，，是等边三角形．    （1）如图，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、、重合．求证：； （2）如图2，点是延长线上一点，连． ①求证：； ②若，，求的长．  【思路点拨】 （1）证明、为等边三角形，得出，，可证明，即可求得； （2）①连接，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论；②过点作于点，由勾股定理可得出答案． 【解题过程】 （1）证明：如图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴和为等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：如图，连接， 由（1）和已知可得：和为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； ②解：过点作于点， 由前面结论可知：， 又∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∵为等边三角形， ∴． 12．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在菱形中，，，点．同时从、两点出发，分别沿、方向向点匀速移动（到点停止），点的速度为，点的速度为． （1）经过多少秒为等边三角形？ （2）经过多少秒四边形的面积为．  【思路点拨】 （1）设经过t秒为等边三角形，延长至点M，使，连接，易得，，通过证明，推出，则为等边三角形，进而得出，列出方程求解即可； （2）设经过t秒四边形的面积为，过点D作于点G，作于点H，易得，求出，，，根据四边形的面积为，得出，列出方程求解即可． 【解题过程】 （1）解：设经过t秒为等边三角形， 延长至点M，使，连接， ∵， ∴，即， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，，， ∴，则， ∴， 解得：， ∴经过秒为等边三角形． （2）解：设经过t秒四边形的面积为， 过点D作于点G，作于点H， ∵四边形为菱形，，， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理可得： 同理可得：， ∴， ∵， ∴，，， ∵四边形的面积为， ∴， 即， 解得：， ∴经过秒四边形的面积为． 13．（2023·陕西西安·一模）如图，平行四边形中，，，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）①______时，四边形是矩形； ②______时，四边形是菱形．  【思路点拨】 （1）证，推出，根据平行四边形的判定推出即可； （2）①求出，推出，再根据矩形的判定推出即可； ②证是等边三角形，推出，再根据菱形的判定推出即可． 【解题过程】 （1）四边形是平行四边形， ∴， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）①当时，平行四边形是矩形，理由如下： 如图，过作于， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形， 故答案为：5． ②当时，四边形是菱形，理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， 故答案为：2． 14．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）用含的式子表示； （2）当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ （3）只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？  【思路点拨】 本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的判定及性质． （1）根据P点的速度以及时间结合的长表示即可； （2）只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在CD边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【解题过程】 （1）P从A点以向B点运动 时， ； （2） Q在上运动时间为 运动时间最长为 时，在边上 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： 即 只需即可，由（1）知： 以的速度沿折线向终点运动， 运动时间为时， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理 只需，四边形是平行四边形 由（1）知， 则 解得： 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形 只需满足即可 由（1）知： 由（2）知：， ， 解得：， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 15．（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当时，请判定四边形的形状 （直接填空） （2）当时，求t的值． （3）连接，是否存在为等腰三角形？若存在请直接写出t值，若不存在，说明理由．  【思路点拨】 （1）根据题意有：，，进而有，，当时，可得，结合，即可作答； （2）分四边形是平行四边形和四边形是等腰梯形两种情况，结合题意计算，得到答案； （3）分三种情况讨论：当为等腰三角形，且时，过D点于H；当为等腰三角形，且时；当为等腰三角形，且时，根据等腰三角形的性质结合勾股定理列出关于t的方程，解方程即可求解． 【解题过程】 （1）根据题意有：，， ∵，， ∴，， 当时，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）当，四边形是平行四边形时， 即有：， 则， 解得，； 当时，四边形是等腰梯形时， 过P点作于M，过D点于N，如图， 根据，，，可得四边形是矩形， 则，， 即，， ∵梯形为等腰梯形，于M， ∴，， 根据（1）有，，，， ∵， ∴， 解得， 综上所述：或时，． （3）存在，理由如下： 根据（1）有，，，， 根据（2）有， 当为等腰三角形，且时， 过D点于H，如图， 根据（2）可知：时， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，解得， 即此时； 当为等腰三角形，且时，如图， ∴，解得， 即此时； 当为等腰三角形，且时， 过D点于P，过Q点于G，如图， 根据（2）同理可知四边形四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， 综上所述：当为或者或者时，为等腰三角形． 16．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，边上的高为8．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒8个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为（秒），连结． （1）直接写出点与点重合时的值． （2）当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）． （3）当时，求的值． （4）当时，直接写出的值．  【思路点拨】 （1）由题意可得，即可； （2）根据题意可得，从而得到，即可； （3）分两种情况，点Q沿运动时，如图，过点A作于点M，则四边形是矩形；点Q沿运动时，如图， 过点C作于点N， 则四边形是矩形，即可解决问题； （4）分两种情况，结合等腰梯形的性质、平行四边形的性质分别求出t的值即可． 【解题过程】 （1）解：点Q与点C重合时， 由题意得：， 解得：， 即点Q与点C重合时，t的值为5； （2）解：当点Q沿运动时， 由题意得：， ∴， 即的长为； （3）解：①∵四边形是平行四边形， ∴， 分两种情况： 点Q沿运动时，如图，过点A作于点M，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； ②点Q沿运动时，如图， 过点C作于点N， 则四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， 同①得：， ∴，解得：， 综上所述，当时，t的值为2或； （4）解：分两种情况： 点Q沿运动时， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形， 如图3，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， 由（3）得：， ∴，解得：； 当点Q沿运动时， ∵， ∴， 当四边形是等腰梯形时，如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， 由（3）得：， ∴，解得：； 如图，当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：； 综上所述，当时，t的值为4或或． 17．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在四边形中，，，，，，点P从点B开始沿向点C以每秒的速度移动，点Q从点D开始沿以每秒的速度移动，设运动时间为t秒，连接．    （1）线段的长度是__________； （2）当________时，线段平分； （3）当________时，； （4）当t为何值时，四边形的面积是；（请说明理由） （5）当t为何值时，Q在的中垂线上．（请说明理由）  【思路点拨】 （1）过D点作于N点，先证明四边形是矩形，再利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）根据线段平分，可得，即有，即有，再根据运动可得，即有，则得方程，解方程即可作答； （3）先证明四边形是矩形，即有，根据运动可知：，，可得，即有方程，解方程即可求解； （4）当四边形为梯形时，根据运动可知：，，即有，根据，可得，根据，应舍去；当四边形为平行四边形时，同理可知没有符合要求的t值，问题得解； （5）过Q点作于M点，连接，，先证明是等腰三角形，即有，进而有，再证明四边形是矩形，根据，可得，问题随之得解． 【解题过程】 （1）过D点作于N点，如图，    ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，    ∵，线段平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据运动可知：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为； （3）如图，    ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 根据运动可知：，， ∴， ∴， 解得：， （4）不存在这样的t值，理由： 当四边形为梯形时， 如图，    根据运动可知：，， ∴， ∵，，， ∴梯形的面积为：， ∵四边形的面积是， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故不符合题意，应舍去； 当四边形为平行四边形时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即此时没有符合要求的t值； 综上：不存在这样的t值，使得四边形的面积是； （5）如图，过Q点作于M点，连接，，    ∵Q在的中垂线上， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：， 即：当时，Q在的中垂线上． 18．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，在中，，，，动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒（）．    （1）的长为______； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）连接， ①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．  【思路点拨】 （1）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长即可； （2）当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，； （3）①连接、，若与互相平分，则四边形是平行四边形，得，则，解得，不符合题意舍去；②连接、，若与互相平分，则四边形是平行四边形，得，则，解得即可； （4）分两种情况，①当点关于直线对称的点恰好落在点下方时，②当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，证，求出的长，即可解决问题． 【解题过程】 （1）解：四边形是平行四边形， ，， ， 故答案为：10； （2）由题意得：， 当点在线段上时，； 当点在线段延长线上时，； 综上所述，线段的长为或； （3）①不存在，理由如下： 如图1，连接、，    若与互相平分，则四边形是平行四边形， ， ，， ， 解得：，不符合题意舍去； ②存在，理由如下： 如图2，连接、，    若与互相平分，则四边形是平行四边形， ， ， 解得：， 存在的值，使得与互相平分，的值为； （4）分两种情况： ①当点关于直线对称的点恰好落在点下方时，如图3，    由对称的性质得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，如图4，    由对称的性质得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； 综上所述，的值为或2． 19．（22-23八年级下·河北沧州·期中）如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为 ．    （1）分别求和的长度； （2）连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由； （3）试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点，之间的距离．  【思路点拨】 （1）可求出，根据含的直角三角形的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，则，即可得，，即可求解； （2）先证四边形是平行四边形，可得四边形是矩形，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求解． 【解题过程】 （1）四边形是平行四边形，，，， ，， ，，， ， ，， ； （2），理由如下： 如图1，    动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动， 当时，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ； （3）存在， 当为边时， 四边形是平行四边形， ， ， ； 当为对角线时， 四边形是平行四边形， ， ， ， 综上所述：的值为或4； （4）如图，当点的对称点在线段上时，    ， ， 是等边三角形， ， ， ， 过点作于，则，， ，，， ， ， 在中， ； 如图，当点的对称点在线段的延长线上时，    ， ， 点的对称点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于，则，，    ，，， ， ， 在中， ； 综上所述：点，之间的距离为或． 20．（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，BC边上高为8，点D为边的中点点P从点B出发，沿折线向点C运动，在、上的速度分别为每秒5个单位长度和每秒个单位长度．当点P不与点A重合时，连接PD，以、为邻边作．设点P的运动时间为t秒．    （1）①线段的长为______； ②用含t的代数式表示线段的长； （2）当点E在内部时，求t的取值范围； （3）当是菱形时，求t的值； （4）作点B关于直线的对称点，连结，当时，直接写出t的值．  【思路点拨】 （1）①如图1中，过点A作于点H．利用勾股定理求出，即可；②分两种情形：当时，当时，分别求解即可． （2）分别判断出点E落在，上的时间，结合图形判断可得结论． （3）分两种情形：如图3中，当时，四边形是菱形，过点P作于点J．如图4中，当时，四边形是菱形．过点P作于点T．分别构建方程求解即可． （4）分两种情形：如图5中，当点P在上时，过点P作于点K．如图6中，当点P在上时，过点P作于点T．分别构建方程求解即可． 【解题过程】 （1）解：①如图1中，过点A作于点H，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②当时， ； 当时， ． （2）解：如图1中，当时，， 此时，点E落在， 观察图象可知，当时，点E在内部， 如图2中，    当时，， 此时，点E落在上， 观察图象可知，当时，点E在内部， 综上所述，当或时，点E在内部． （3）解：如图3中，当时，四边形是菱形．    过点P作于点J． 在，， ∴，， ∴，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：； 如图4中，当时，四边形是菱形．    过点P作于点T． 在中，，，， ∴， 由勾股定理得：， 即：， 解得：； 综上所述，满足条件的t的值为或． （4）解：如图5中，当点P在上时，         过点P作于点K． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图6中，当点P在上时，过点P作于点T．    同理可证：， ∵， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的t的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$