第1章 三角形 专题与综合实践 练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 以三角形核心模型为载体，按“一线三等角（锐角/直角/钝角）—等腰三角形（性质/判定/综合）—综合实践”递进设计，覆盖中考高频题型，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一线三等角|8题（锐角2/直角5/钝角1）|按角类型分类，含选择/填空/证明|从特殊（直角）到一般（锐角/钝角），构建全等模型推理链条| |等腰三角形|9题（性质3/判定3/综合3）|性质应用求角度、判定含动态问题、综合结合中线角平分线|性质（边等角等）→判定（等角对等边）→综合应用（多知识点融合）| |综合实践|3任务|结合光的传播情境，含证明/作图/计算|体现数学眼光观察现实，通过对称转化解决最短路径问题，培养应用意识|

第1章三角形专题与综合实践 专题 一、一线三等角 1.一线三锐角 1如图，点B,C,E在同一条直线上，∠B=∠E=70°，∠ACF=70, 且AB=CE.图中与AC长度相等的线段是（) A.BC B.EF C.CF D.AF 答案：C 2如图，B,A,D三，点共线，∠CAE=∠B=∠D<90°，AC=AE.求证： (I)△ABC≌△EDA: (2)BD=BC +DE 1/17 答案：(1) .:∠EAD=180°-∠CAE-∠CAB,∠C=180°-∠B-∠CAB,∠CAE=∠B,∴.∠EAD=∠C .在△ABC和△EDA中， ∠B=∠D, ∠C=∠EAD,'.△ABC≈△EDA(AAS) AC=EA, (2)由(I),得△ABC=△EDA,∴.BA=DE,BC=DA .BD=DA+BA,.'.BD=BC+DE 2.一线三直角 3如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为BC上一点，连接 AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD,交AD的延长线于点F若 BE=4,CF=1,则EF的长为 答案：3 4如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E,连接AE,把AE绕，点E逆时 针旋转90°，得到FE,连接CF并延长与AB的延长线交于点G,则∠G的度数为 2/17 答案：45 解析：如图，过点F作FH⊥DC,交DC的延长线于，点H,则可证 △ADE=△EHF,.AD=EH,DE=HF,:易得 EH=DC,DE=CH=HF,∴.∠HCF=∠HFC=45在正方形ABCD中， DCI1AB:即DH1IAG,∠G=∠HCF=45 5如图，AC=AB=BD,∠ABD=90,BC=8,则△BCD的面积为 答案：16 解析：过点A作AE⊥BC于点E,过，点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F. 先由“三线合一”证得CE=BE=号BC=4,再由“AAS”证△AEB=△BFD, 3/17 得BE=DF=4,SAcD=号BCDF=号×8×4=16. 2 6如图，在△ABC中，∠B=90°，作CD⊥AC,且使CD=AC,作 DE⊥BC,交BC的延长线于点E求证：AB=CE 答案： .DC⊥AC,.∠ACD=90°，.∴.∠ACB+∠DCE=180°-∠ACD=90°..∠B=90°，.∠ACB ∠B=∠E, 在△ABC和△CED中，∠A=∠DCE,.△ABC=△CED(AAS),∴.AB=CE AC=CD, 7如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB>CD,AD=AB十CD. (I)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(不写作法，保 留作图痕迹)： (2)在(1)的条件下，求证：AE⊥DE 4/17 D d A B 答案：(1)如图①所示 (2)解法一：如图①，在DA上截取GD=CD,连接GE,,'DE是∠ADC的 平分线，.∠GDE=∠CDE.在△GDE和△CDE中， GD=CD, ∠GDE=∠CDE,△GDE=△CDE(SAS1,∠DGE=∠C=90,∠DEG=∠DEC-=CE DE=DE, 和△ABE均是直角三角形.∴.AD=AG+GD=AB+CD,GD=CD,∴.AG=AB 在Rt△AEG和Rt△AEB中， AE=AE,.Rt△AEG=Rt△AEB(HL,.∠AEG=∠AEB=号∠BEG,.∠AED=∠DEG+ AG=AB, 2 解法二：如图②，延长DE,与AB的延长线交于点 5/17 F..·∠ABC=∠C=90°，∠ABC+∠EBF=180°，∴.∠EBF=∠C=90° :△DCE与△FBE的内角和均为 180',∠DEC=∠FEB,.∠CDE=∠F.DE是∠ADC的平分线， .∠CDE=∠ADF,.∠ADF=∠F,.AD=AF,即AD=AB+BF :AD=AB+CD,∴.BF=CD在△BFE和△CDE中， ∠EBF=∠C, BEF=∠CED,.∴.△BFE≈△CDE(AAS), BF=CD, .FE=DE,∴.AE⊥DE 3.一线三钝角 8已知CD是经过∠BCA的顶，点C的一条直线，CA=CB,E,F分别是直 线CD上的两，点，且∠BEC=∠CFA=∠&. (I)如图①，若直线CD经过∠BCA的内部，且，点E,F在射线CD上， 0°<∠BCA<180,∠&+∠BCA=180,请写出线段EF,BE,AF之间的数量 关系，并证明你的结论； 6/17 (2)如图②，若直线CD不经过∠BCA的内部，∠a=∠BCA,请写出线段 EF,BE?AF之间的数量关系，并证明你的结论. A 答案：(1) EF=BE-AF.∵∠a+∠BCA=180°，∴.∠a+∠BCE+∠ACF=180°..'△ACF 的内角和为 180',∠CFA=∠Q,:.∠Q+∠ACF+∠CAF=180°，.∠BCE=∠CAF在 ∠BEC=∠CFA, △BCE和△CAF中， BCE=∠CAF,∴.△BCE≈△CAF(AAS), CB=AC, .BE=CF,CE=AF.'.'CF=CE+EF,.'EF=CF-CE=BE-AF |2EF=BE+AF根据题意，得∠BEC=∠CA=∠&=∠BCA又 .·∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠FCA+∠BCA=180°，.∴.∠EBC=∠FCA ∠BEC=∠CFA, 在△BEC和△CFA中， ∠EBC=∠FCA,∴.△BEC=△CFA(AAS), CB=AC, 7/17 .'CE=AF,BE=CF,.EF=CF+CE=BE+AF 二、等腰三角形的性质与判定 1.等腰三角形的性质 1已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°，则△ABC的顶角度数为 答案：40或100 2如图，在△ABC中，∠B=40°，∠A=80°，以点A为圆心，AC长为半径 画孤，交射线BA于点D,连接CD,则∠BCD的度数是 答案：10°或100 3如图，按如下步骤作四边形ABCD:①画∠EAF;②以，点A为圆心，1 个单位长度为半径画孤，分别交AE,AF于点B,D:③分别以点B,D为圆心， 8/17 1个单位长度为半径画孤，两孤交于点C;④连接BC,DC,BD.若∠A=40°， 求∠CDB的度数. 答案：由尺规作图，可知AB=AD=BC=DC,∴.∠ABD=∠ADB..在 △ABD中，∠A=40,∠ADB=180-∠A)=70'在△ABD和ACBD中， AB=CB, AD=CD,.∴.△ABD≈△CBD SSS,.∠ADB=∠CDB=70 BD=BD, 2.等腰三角形的判定 4如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交 AC于点E,∠A=∠ABE若AC=10,BC=6,则BD的长为（） A.5B.3C.4D.2 答案：D 5如图，∠AOB=80°，C是边OB上的一个定点，点P在角的另一边OA上 9/17 运动，当∠OCP的度数为时，△COP是等腰三角形 A 答案：80°或20°或50 6如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,且AD为BC上的中线.求证： △ABC为等腰三角形. B D 答案：解法一：如图①，延长AD到点E,使DE=AD,连接CE.AD为BC 上的中线，∴.BD=CD在△ABD和△ECD中， AD=ED, ∠ADB=∠EDC,∴.△ABD≈△ECD(SAS),∴，∠BAD=∠E,AB=EC BD=CD, .又AD平分 ∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD,∴.∠CAD=∠E,∴.AC=EC,.∴.AB=AC,∴.△ABC 10/17 为等腰三角形 解法二：如图②，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.,'AD平分 ∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF,∠DEB=∠DFC=90.AD为 BC上的中线，，.BD=CD在Rt△DEB和Rt△DFC中， BD=CD,Rt△DEB=Rt△DFC(HL,.∠B=∠C,.AB=AC,△ABC DE=DF, 为等腰三角形 ① 3.等腰三角形的性质与判定的综合应用 7如图，a/1b,直线1与直线a,b分别交于B,A两点，分别以，点A,B为 图心，大于AB的长为半径画孤，两孤相交于点E,下，作直钱EF,分别交直 线a,b于点C,D,连接AC.若∠CDA=34,则∠CAB的度数为 11/17 答案：56° 8如图，B,E,C,F是直线l上的四，点，AC,DE相交于点G, AB=DF,AC=DE'BE=FC. (1)求证：△GEC是等腰三角形； (2)连接AD,试判断AD与l的位置关系，并说明理由 答案：（①）：BE=FC,BE+EC=FC+EC,即BC=EF.在△ABC和 AB=DF, △DFE中， AC=DE,.△ABC=△DFE(SSS),·∠ACB=∠U,即 BC=FE, ∠GCE=∠GEC,≥=GC,即△GEC是等腰三角形 (2)AD与l的位置关系是AD/Il理由：：△GEC的内角和为 180,∠GCE=∠GEC,∠GBC=180'-∠EGC.:AC=DE,≥=GC,AG=DG,∠ 的内角和为 12/17 180°，.∠GDA=180°-∠AGD.:∠EGC=∠AGD,.∠GEC=∠GDA,.AD1Il 9如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AC上一点，DE⊥AB于 ,点E,M为BD的中点，CM的延长线交AB于，点F,连接EM! (1)求证：CM=EM: (2)若∠A=50°，则∠EMF的度数为； (3)如图②，连接CE,若△DAE≌△CEM,N为CM的中点，连接AN,求 证：AN/EM. 答案：(I):DE⊥AB,.∠DEB=90°，：M为BD的中，点， DM=MB,在RIA DEB中，EM=DB,:∠ACB=90,在RIADCB 中，CM=2DB,CM=EM (2)100° 解折：：DE⊥AB,∠AED=90、:∠A=50°，在Rt△AED中， ∠ADE=40,∠CDE=140.:M为BD的中点，DM=号DB.(),得 13/17 EM=DB,CM=DB,.EM=DM,CM=DM,.∠MDE=∠MED,∠MCD=∠MDC, ,四边形DEMC的内角和为 360°，∴.∠CME=360°-2×140°=80°，∴.∠EMF=180°-∠CME=100 (3)连接 AM..'△DAE=≈△CEM,CM=EM,∴.AE=EM=CM=DE=DM,∠DEA=∠CME=90°，∴. 是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形， ∠DEM=∠DME=∠DME=60,.∠FEM=30.:AE=EM,.易得 ∠EAM=∠EMA=15°，.∴.∠AMC=∠CME-∠EMA=75..·∠CME=90°，∠DME=60°，∴.∠ 为CM的中点， .AN⊥CM,∴.∠ANM=90°，.∴.∠ANM+∠CME=180°，∴.AN1/EM 综合与实践：光的传播与最短路径 【背景材料】我国西汉时期的《准南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水 盆于其下，则见四邻矣”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野 14/17 的拓展，被视为早期光学探索的重要实践 【探究任务1】证明反射路径最短. (1)如图①，直线AB代表平面镜，点C代表一实物，点D代表眼睛，作实物 C关于平面镜AB的对称点C,连接CD:交平面镜AB于点E,连接CE,则CE为 入射光线，ED为反射光线.求证：CE十DE最短. 证明：如图①，在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点E,连接 DE,CE,CE在△CDE中，CE+DE>CD( 实物C与点C关于平面镜AB对称， .AB垂直平分CC,CE=一，CE=CE()2. C D=CE+DE,CE +DE>C D' ∴.CE+DE>CE+DE,即CE+DE最短. 【探究任务2】确定挡板的反射范围. (②)如图②，若从点A发出的光线经平面镜I反射后通过空隙BC落到挡板 EF上，试确定反射光线在EF上的最高点P和最低点Q 【探究任务3】计算最短 (3)如图③，一面镜子OA斜固定在地面OB上，且∠AOB=60°，点P为距离 15/17 地面OB8cm的一个光源，光线射出后，经过镜面D处反射到地面，点E.当光线经 过的路径长最短为l0cm时，PD的长为 cm. F D p D B ① ② ③ 答案：(I)三角形的任意两边之和大于第三边CE线段垂直平分线上的点到 线段两端的距离相等 (2)如图①，作点A关于平面镜I的对称，点A,连接AB,AC并延长，分别 交EF于点Q,P,则点P和，点Q即为所求 (3)4 解析：如图②，过点P作OA的对称点P,过，点P作PH⊥OB于点H,交OA 于点D,则PD=PD,过，点P作PF⊥PD于点F,当点E与点H重合时，光线经过 的路径最短，即PD+DE=PD+DE=PE=10cm..PC=8cm,.易得 EF=PC=8cm,PF=I0-8=2cm.光线射出后，经过镜面D处反射到地面 点E,.∴.易知∠ADP=∠ODE=90°-60°=30°.又 16/17 :∠ODE=∠ADP=30,.∠PDP=60PD=PD,△PDP是等边三 角形PF⊥PD, .∴.PF=DF=2cm,∴.PD=PD=4cm D P、 Fi 一B © ③ 17/17 第1章 三角形专题与综合实践 专题 一、一线三等角 1. 一线三锐角 1 如图，点在同一条直线上，，且.图中与长度相等的线段是（ ） A. B. C. D. 2 如图，，，三点共线，，.求证： (1) ； (2) . 2. 一线三直角 3 如图，在中，，，为上一点，连接过点作于点，过点作，交的延长线于点.若，则的长为________. 4 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点，则的度数为________. 5 如图，，，，则的面积为________. 6 如图，在中，，作，且使，作，交的延长线于点.求证：. 7 如图，在四边形中，，， (1) 利用尺规作的平分线，交于点，连接(不写作法，保留作图痕迹)； (2) 在(1)的条件下，求证：. 3. 一线三钝角 8 已知是经过的顶点的一条直线，，分别是直线上的两点，且. (1) 如图①，若直线经过的内部，且点，在射线上，，，请写出线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (2) 如图②，若直线不经过的内部，，请写出线段，，之间的数量关系，并证明你的结论. 二、等腰三角形的性质与判定 1. 等腰三角形的性质 1 已知是等腰三角形.若，则的顶角度数为________. 2如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接，则的度数是________. 3 如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接若，求的度数. 2. 等腰三角形的判定 4 如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，.若，则的长为（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 2 5 如图，，是边上的一个定点，点在角的另一边上运动，当的度数为________时，是等腰三角形. 6 如图，在中，平分，且为上的中线.求证：为等腰三角形. 3. 等腰三角形的性质与判定的综合应用 7 如图，，直线与直线，分别交于，两点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，分别交直线，于点，，连接若，则的度数为________. 8 如图，，，，是直线上的四点，，相交于点，， (1) 求证：是等腰三角形； (2) 连接，试判断与的位置关系，并说明理由. 9 如图①，在Rt中，，为边上一点，于点，为的中点，的延长线交于点，连接. (1) 求证：； (2) 若，则的度数为________； (3) 如图②，连接，若，为的中点，连接，求证：. 综合与实践：光的传播与最短路径 【背景材料】我国西汉时期的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣.”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的拓展，被视为早期光学探索的重要实践. 【探究任务1】证明反射路径最短. (1) 如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线.求证：最短. 证明：如图①，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接.在中，(________)。 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分，________，(________)2. ， ，即最短. 【探究任务2】确定挡板的反射范围. (2) 如图②，若从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上，试确定反射光线在上的最高点和最低点. 【探究任务3】计算最短. (3) 如图③，一面镜子斜固定在地面上，且，点为距离地面的一个光源，光线射出后，经过镜面处反射到地面点.当光线经过的路径长最短为时，的长为________cm. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $