专题01 三角形重难点题型汇编（七大高频题型三大易错题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版新教材）

专题01三角形重难点题型汇编 【题型01：三角形的三边关系】................................................................................................1 【题型02：三角形中线与面积问题】......................................................................................2 【题型03：三角形中线与周长问题】......................................................................................3 【题型04：根据三角形的三边关系化简】..............................................................................4 【题型05：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】.................................................4 【题型06：三角形内角和定理与折叠问题综合】................................................................7 【题型07：三角形内角和定理与新定义问题综合】.............................................................9 【题型01：三角形的三边关系】 1．以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．用一根小木棒与两根长度分别为，的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（  ） A． B． C． D． 3．一个三角形三条边的长度均为整厘米数，已知其中两条边的长度分别是、，第三条边最长是（　　）． A．11 B．10 C．9 D．8 4．若三角形的三边长分别为2，，4，则a的取值范围为 ； 5．已知，，是的三边长，满足，为奇数，则的周长为 ． 【题型02：三角形中线与面积问题】 1．如图，中，D为中点，E为中点．若面积为8，则面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在中，D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 3．如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．如图，三边上的中线，，相交于点，且．若的面积为，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 5．如图，点是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为 ． 【题型03：三角形中线与周长问题】 1．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 2．如图，在中，，是边上的中线，若和的周长之差为，且与的和为，则 ， ． 3．如图，是的中线，，，和的周长差为 ．    4．如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ． 5．已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4，则等腰三角形底边长为 ． 【题型04：根据三角形的三边关系化简】 1．已知是的三条边，化简的结果为（   ） A． B． C． D．0 2．已知是的三条边长，化简的结果为 ． 3．已知的三边分别为a，b，c，化简： ． 4．已知a，b，c是三角形的三边长，化简： ． 5．已知是的三边，化简：． 【题型05：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 1．如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 2．如图，在中，是边上的高线． (1)若是边上的中线，．求的长． (2)若是的平分线，，求的大小． 3．如图，在中，是高，是的平分线． (1)若，求： ①的度数； ②的度数． (2)若，求的长． 4．如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，，与的周长差为，求的长． 5．如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 6．如图，在中，，平分，P为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的数量关系，并证明． 7．如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【题型06：三角形内角和定理与折叠问题综合】 1．如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，把三角形纸片分别沿所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，中，，沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为 ． 5．如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则 ． 6．如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    7．定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”．如图，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，则等于 ． 8．如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 【题型07：三角形内角和定理与新定义问题综合】 1．【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______． 2．我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合） （）的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 3．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”， ，，则________； (2)已知 是直角三角形，． ①如图，若平分，则是否为“准互余三角形”？请说明理由； ②E是边上一点，是“准互余三角形”，且，则的度数为__________． 1．在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 2．在中，AB=AC，中线BD将的周长分为15和12两部分，则底边BC的长为（    ） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 3．若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 4．已知是的三条边，若，则的结果为（　　） A．c B． C． D． 5．如图，已知在中，点D，E，F分别为，，的中点，且，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形重难点题型汇编 【题型01：三角形的三边关系】................................................................................................1 【题型02：三角形中线与面积问题】......................................................................................3 【题型03：三角形中线与周长问题】......................................................................................7 【题型04：根据三角形的三边关系化简】..............................................................................10 【题型05：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】.................................................17 【题型06：三角形内角和定理与折叠问题综合】................................................................20 【题型07：三角形内角和定理与新定义问题综合】..............................................................27 【题型01：三角形的三边关系】 1．以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 2．用一根小木棒与两根长度分别为，的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围；先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可． 【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为，的小木棒组成三角形， 则这根小木棒的长度范围是大于，小于，符合题意的只有B选项， 故选：B 3．一个三角形三条边的长度均为整厘米数，已知其中两条边的长度分别是、，第三条边最长是（　　）． A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握 三角形三边关系是解题的关键． 根据三角形三边关系任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此确定第三条边的长度范围，即可得答案． 【详解】因为两边长为、， 则第三边的取值范围是第三边，即第三边 因为第三边长度为整厘米数， 所以第三边最长为， 故选：B． 4．若三角形的三边长分别为2，，4，则a的取值范围为 ； 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题关键．直接利用三角形三边关系列不等式，求解即可． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，，4， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．已知，，是的三边长，满足，为奇数，则的周长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长c的取值范围． 根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值，即可求出周长． 【详解】解：∵a，b满足， ∴，， 解得， ∵，， ∴， 又∵c为奇数， ∴或或 ∴当时， 当时， 当时， 的周长为或或． 故答案为：或或． 【题型02：三角形中线与面积问题】 1．如图，中，D为中点，E为中点．若面积为8，则面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题关键．利用三角形中线的性质计算即可． 【详解】解： 面积为8，D为中点， ， E为中点， ， 故选C． 2．如图，在中，D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两份成为解题的关键． 根据D是的中点，得到，由点是的中点，得到，再由即可求解． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，且的面积是1， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：C． 4．如图，三边上的中线，，相交于点，且．若的面积为，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键是推出阴影的面积与面积的关系．由三角形的面积公式得到，从而可得阴影部分的面积． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴阴影的面积 故选：． 5．如图，点是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了线段的等分点，三角形的面积与底高的关系等，解题的关键是熟练掌握线段的等分点． 连接，假设的面积为，根据三角形底高的关系求出相关三角形的面积，然后列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 假设的面积为， ∵点是线段的中点， ∴的面积为， ∵点，是线段的三等分点， ∴的面积为，的面积为， ∴的面积为， ∵点，，是线段的四等分点， ∴的面积为， 同理，的面积为， ∴的面积为， 解得， ∴的面积为2， 故答案为：2． 【题型03：三角形中线与周长问题】 1．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：是△的中线， ， 与的周长差为7， ， ， ， ， 故选：B． 2．如图，在中，，是边上的中线，若和的周长之差为，且与的和为，则 ， ． 【答案】 8 6 【分析】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键． 根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ， 的周长的周长， 即①， 又②， ①②得．， 解得， ②①得，， 解得， 故答案为：8；6． 3．如图，是的中线，，，和的周长差为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形周长计算，根据三角形中线的定义得到，再分别求出两个三角形的周长，然后作差即可得到答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 的周长， 的周长， ∵， ∴， ∴和的周长差为， 故答案为：． 4．如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解题的关键；根据中线的定义得到，然后根据的周长可得，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 5．已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4，则等腰三角形底边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．设等腰底边长为，则腰长为，根据两个三角形的周长的差是4，分两种情况分别求解即可． 【详解】解：设等腰底边长为，则腰长为， 是腰上的中线， ， 与的周长的差是4， 当的周长 的周长时， 则， ，解得：； 当的周长 的周长时， 则， ，解得：， 等腰三角形底边长为或， 故答案为：或． 【题型04：根据三角形的三边关系化简】 1．已知是的三条边，化简的结果为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，绝对值的化简，利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内表达式的符号，进而化简绝对值即可． 【详解】解：a，b，c是的三边长， ，， 则，， ， ， 原式， 故选：B． 2．已知是的三条边长，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值以及整式的加减运算，根据三角形的三边关系得出，是解题的关键． 先根据三角形的三边关系得出，再化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得． 【详解】解：∵是的三条边长， ∴， 即， ∴ . 故答案为：． 3．已知的三边分别为a，b，c，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简、三角形的三边关系，利用绝对值的性质正确化简是解题的关键．根据三角形的三边关系可得，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 4．已知a，b，c是三角形的三边长，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边）以及绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）是解题的关键． 利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简． 【详解】解：∵、、是三角形的三边长， 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ， ， ， ∵正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， ． 故答案为：． 5．已知是的三边，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，整式的加减运算，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 首先根据三角形三边的关系化简绝对值，然后再根据同类项的定义和合并同类项的方法进行化简即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，可得： ， ，移项可得； ， 原式 ． 【题型05：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 1．如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 2．如图，在中，是边上的高线． (1)若是边上的中线，．求的长． (2)若是的平分线，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形中线的定义，三角形的角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式得出，进而根据三角形的中线的定义，即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，进而根据三角形的角平分线的定义可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解： 是边上的高，， ． ， 解得． 又是边上的中线， ． （2）解：∵ ． 又为角平分线， ． 又， ， ∴． 3．如图，在中，是高，是的平分线． (1)若，求： ①的度数； ②的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了三角形内角和性质、角平分线的定义，三角形的等面积法求线段的长度，即可作答 （1）先根据三角形内角和性质得，再结合角平分线的定义得，再结合是高，得出的度数，再根据角的关系进行运算得出的度数，即可作答． （2）运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答． 【详解】（1）（1）解：①∵是高， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵是高， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 4．如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，，与的周长差为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义和性质是解题的关键； （1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：是的高， ， 是的角平分线，， ， ； （2）是中点， ， 与的周长差为，； ， ， ． 5．如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及直角三角形的性质． （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数即可；根据及三角形内角和定理可求出的度数，再由即可求出的度数； （2）先根据三角形内角和定理及角平分线的性质用、表示出的度数，再根据直角三角形的性质用表示出的度数，，化简即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，在中，，平分，P为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）先由三角形内角和定理求出的度数，进而由角平分线的定义求出的度数，则可利用三角形内角和定理求出的度数； （2）同（1）求解过程即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 7．如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）先由三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，由垂线的定义得到，则，根据即可解题； （2）仿照（1）的步骤求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型06：三角形内角和定理与折叠问题综合】 1．如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, 故选：C． 2．如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理；先求得的值，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，把三角形纸片分别沿所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可得：，，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．如图，中，，沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了折叠问题以及平行线的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 由由折叠的性质和平行线的性质即可解答题目． 【详解】解：，， ，， 由折叠可得，， ， 故答案为：60． 6．如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    【答案】/71度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，图形的折叠，平行线的性质，三角形的外角性质．先求出，根据折叠的性质得到，，由平行线的性质得到，，推出，然后根据平角的定义得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”．如图，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，则等于 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查三角形内角和定理、邻补角的性质、平行线的判定与性质等知识点，理解“优美三角形”的定义是解题的关键． 根据邻补角的性质得到，根据平行线的性质得到，推出得到，根据角平分线的定义得到求得，再根据“优美三角形”的定义求解即可． 【详解】解：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ， 是“优美三角形”， ， ，即， ． 故答案为：． 8．如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质及折叠前后对应角相等是解题的关键． （1）由可得，由折叠得，等量代换可得，即可证明； （2）由折叠得，，结合，，，即可推出． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 由折叠得， ， ； （2）解：由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：100． 【题型07：三角形内角和定理与新定义问题综合】 1．【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______． 【答案】（1），（2），（3） 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC， 则 ∵， ∴． （2）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． 2．我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合） （）的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（），不是；（）说明见解析；（）或 【分析】（）根据，得到，求得，得到，进而根据“和谐三角形”的定义即可判断； （）由是的一个外角，得到，求出，，即得，进而根据“和谐三角形”的定义即可求证； （）由，，得到，可以证明，得到，进而由得到，即得，得到，再根据得到，最后根据是“和谐三角形”解答即可求解． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不是“和谐三角形”， 故答案为：，不是； （）∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是“和谐三角形”； （）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“和谐三角形”， ∴或 ∵ ∴或． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 3．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”， ，，则________； (2)已知 是直角三角形，． ①如图，若平分，则是否为“准互余三角形”？请说明理由； ②E是边上一点，是“准互余三角形”，且，则的度数为__________． 【答案】(1) (2)①是，见解析；②或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，余角等知识． （1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； （2）①由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答； ②由题意可得，所以分两种情况，，． 【详解】（1）解：∵是“准互余三角形”， ，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②∵，， ∴， ∵是“准互余三角形”， ∴或， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 故答案为：或． 1．在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【答案】D 【分析】本题考查了中线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再进行分类讨论以及运用数形结合思想，结合三角形的周长之间的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 依题意，当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为2或12， 故选：D 2．在中，AB=AC，中线BD将的周长分为15和12两部分，则底边BC的长为（    ） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 【答案】C 【分析】设底边长为x，腰长为AB=AC=2a，分a+x=12，2a+a=15和a+x=15，2a+a=12求解即可． 【详解】如图，设底边长为x，腰长为AB=AC=2a， 当a+x=12，2a+a=15时，a=5，x=7，三边为10，10，7，三角形存在， 故BC=7； 当a+x=15，2a+a=12时，a=4，x=11，三边为8，8，11，三角形存在， 故BC=11； 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的中线即一边中点与该边对的顶点的连线，等腰三角形的性质，分类思想，三角形的存在性，熟练掌握中线和等腰三角形的性质是解题的关键． 3．若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三角形的三边关系得出之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：由三角形的三边关系得，，，， ∴，，， ∴原式， 故选：． 4．已知是的三条边，若，则的结果为（　　） A．c B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系，结合，求出式子的符号，再根据绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】解：∵是的三条边，， ∴， ∴， ∴原式； 故选A． 5．如图，已知在中，点D，E，F分别为，，的中点，且，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴ ， ∵点E是的中点， ∴ ， ， ∴ ， ∵点F是的中点， ∴ ． 故答案为：3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $