第一章 特殊平行四边形 单元测试题—2026—2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第一章“特殊平行四边形”单元测试，全面覆盖矩形、菱形、正方形的性质与判定，通过基础辨析、动态探究及综合证明，考查几何直观、推理能力与应用意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|定义辨析（第1题）、性质应用（第3题矩形计算）、动态形状判断（第5题）|结合图形变换考查概念辨析与性质综合| |填空题|6/24|菱形面积（第11题）、正方形旋转（第12题）、规律探究（第14题）|融入运动变化与规律归纳，培养空间观念| |解答题|8/64|正方形证明（第15题）、菱形综合（第16题）、动态几何与分类讨论（第22题）|强调逻辑推理与综合应用，体现数学思维严谨性|

第一章 特殊平行四边形 单元测试题—2026—2027学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1．在下列命题中，正确的是（　　） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2．如图，DE∥AC，DF∥AB，则下列说法不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB≠AC，那么四边形AEDF是菱形 3．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，且BE＝BC．若AB＝1，则BC的长为（　　） A．1 B． C． D．2 4．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（　　） A．24 B．18 C．12 D．10 5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D从点B出发沿BC边向点C运动，运动到点C停止，过点D分别作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则四边形AEDF形状的变化依次为（　　） A．矩形→菱形→矩形 B．矩形→正方形→矩形 C．平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→正方形→平行四边形 6．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（　　） A． B． C． D． 7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为2．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分4分，每小题24分） 9．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为，则正方形边长为　　 ． 10．如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达G点时移动了　　 cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在______ 点． 11．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，DE⊥AB于点E，连接OE，若OE＝2，AC＝6，则菱形ABCD的面积为　　 ． 12．如图，大正方形ABCD中，AB＝5，小正方形AEFG中，AE，在小正方形绕A点旋转的过程中，当∠EFC＝90°时，线段BE的长为　　 ． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BE平分∠ABC，交AD于点E，连接EC，EC恰好平分∠BED，DE的长为__________. 14．如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 　　 cm2（用n的代数式表示）． 三．解答题（共8小题，满分64分） 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：四边形DECF是正方形． 16．如图，已知菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求：∠CEF． 17．如图，在▱ABCD中，E、F为边BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE． （1）求证：△ABF≌△DCE； （2）四边形ABCD是矩形吗？为什么？ 18．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB，点F在DA的延长线上，且∠AFE＝∠ABE． （1）求证：EF＝EB； （2）用等式表示线段AB，AE，AF的数量关系并证明． 19．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由． 20．如图，点E是正方形ABCD内一点，△EDC是等边三角形，连接AE、BE，延长BE交边AD于F点． （1）求证：△ADE≌△BCE； （2）求∠AEF的度数． 21．（如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别在直线AB，AD上，且∠ECF＝45°，连接EF． （1）当E，F分别在边AB，AD上时，如图1．请探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并写出证明过程； （2）当E，F分别在BA，AD的延长线上时，如图2．试探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并证明． 22．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，一动点P从A点出发沿射线AE方向移动，连接BP，问： （1）如图（1），将BP绕点B顺时针旋转90°，点P到达点F，连接CF，当△BCF的面积是矩形ABCD面积的一半时，求PA的长； （2）如图（2），将△ABP沿BP翻折，点A到达点G，连接CG，当BG＝CG时，求PA的长． 参考答案 第一章 特殊平行四边形 单元测试题 2026—2027学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1．在下列命题中，正确的是（　　） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【解答】解：A、应为两组对边平行的四边形是平行四边形； B、有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可； C、符合菱形定义； D、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 故选：C． 2．如图，DE∥AC，DF∥AB，则下列说法不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB≠AC，那么四边形AEDF是菱形 【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形； 又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确； 如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF， ∴∠FAD＝∠ADF， ∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，故C正确； 如果AD⊥BC且AB≠AC，无法判断四边形AEDF是菱形．故D错误． 故选：D． 3．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，且BE＝BC．若AB＝1，则BC的长为（　　） A．1 B． C． D．2 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝90°， ∵BE平分∠ABC交AD于点E， ∴∠ABE∠ABC＝45°， 在△ABE中，∠A＝90°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE＝AB＝1， 由勾股定理得：BE， ∵BE＝BC， ∴BC， 即BC的长为． 故选：B． 4．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（　　） A．24 B．18 C．12 D．10 【解答】解：∵AD∥BE，AC∥DE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC＝DE＝6， 在Rt△BCO中，BO4，即可得BD＝8， 又∵BE＝BC+CE＝BC+AD＝10， ∴△BDE是直角三角形， ∴S△BDEDE•BD＝24． 故选：A． 5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D从点B出发沿BC边向点C运动，运动到点C停止，过点D分别作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则四边形AEDF形状的变化依次为（　　） A．矩形→菱形→矩形 B．矩形→正方形→矩形 C．平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→正方形→平行四边形 【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴平行四边形AEDF是矩形， ∴在点D的运动过程中，四边形AEDF始终是矩形， 当AE＝AF时，矩形AEDF是正方形， ∴四边形AEDF形状的变化依次为：矩形→正方形→矩形． 故选：B． 6．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长是2， ∴BD2， ∵△DEF与△DEC关于直线DE对称， ∴DC＝DF＝2，EC＝EF， ∴BF＝22， △BEF的周长＝BF+BE+EF＝BF+BE+EC＝BF+BC＝22+2＝2． 故选：A． 7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵AB＝3，BC＝4， ∴矩形ABCD的面积为12，AC， ∴AO＝DOAC， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为3， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3AO×EODO×EF， ∴3EOEF， ∴5（EO+EF）＝12， ∴EO+EF， 故选：C． 8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为2．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴F G＝B E，O B＝O F＝O E＝O G． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE， ∴∠OFB＝∠ADE， ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°， ∴∠OFB+∠AHD＝90°， 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ∴， ∴， 由①知：FG＝DE， ∴FG的最小值为， ∴④错误． 综上所述，正确的结论为：①②③． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 19．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为，则正方形边长为　3　 ． 【解答】解：设正方形的边长为x， AC＝AEx， CB＝x是菱形的高， x•x＝9， x＝3． 故答案为：3． 10．如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达G点时移动了　7　 cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在E 点． 【解答】解：①由图可知，从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七条边， 所以共移动了7cm； ②∵机器人移动一圈是8cm， 2012÷8＝251…4， ∴移动2012cm，是第251圈后再走4cm正好到达E点． 故答案为：7，E． 11．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，DE⊥AB于点E，连接OE，若OE＝2，AC＝6，则菱形ABCD的面积为　12　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB， ∵DE⊥AB于点E， ∴∠DEB＝90°， ∴BD＝2OE＝2×2＝4， ∴菱形ABCD的面积AC•BD4×6＝12． 故答案为：12． 12．如图，大正方形ABCD中，AB＝5，小正方形AEFG中，AE，在小正方形绕A点旋转的过程中，当∠EFC＝90°时，线段BE的长为　或2　 ． 【解答】解：当点F在正方形ABCD内时， 如图，连接DG，AC，过点D作DH⊥AG，交AG的延长线于H， ∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAC＝45°，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴BE＝DG， ∵∠EFC+∠EFG＝180°， ∴点G，点F，点C三点共线， ∵∠AGF＝90°＝∠ADC， ∴点A，点C，点D，点G四点共圆， ∴∠CGD＝∠DAC＝45°， ∴∠DGH＝∠CGH﹣45°＝45°， ∵DH⊥AH， ∴∠HGD＝∠HDG＝45°， ∴HG＝HD，GDHD， ∵AD2＝AH2+DH2， ∴25＝（GH）2+GH2， ∴GH＝﹣2（舍去），GH， ∴GDGH， ∴BE， 如图，当点F在正方形ABCD外时，同理可求BE＝2， 故答案为：或2． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BE平分∠ABC，交AD于点E，连接EC，EC恰好平分∠BED，DE的长为___________. 【解答】解：过点C作CF⊥BE于点F， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝2， ∴∠D＝∠A＝∠ABC＝90°，CD＝AB＝2（矩形的对边相等）， ∵BE平分∠ABC， ∴， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE＝AB＝2， ∴， ∵EC恰好平分∠BED，∠D＝90°，CF⊥BE， ∴CF＝CD＝2， ∵CF⊥BE，∠CBF＝45°， ∴△BCF是等腰直角三角形， ∴BF＝CF＝2， ∴， ∴， ∴． 14．如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 　　 cm2（用n的代数式表示）． 【解答】解：如图，过点A1分别作正方形两边的垂线A1D与A1E， ∵点A1是正方形的中心， ∴A1D＝A1E，四边形A1EFD是正方形， ∴∠BA1D+∠BA1E＝90°， 又∵∠CA1E+∠BA1E＝90°， ∴∠BA1D＝∠CA1E， 在△A1BD和△A1CE中， ， ∴△A1BD≌△A1CE（ASA）， ∴△A1BD的面积＝△A1CE的面积， ∴阴影部分的面积＝正方形A1EFD的面积12（cm2）， 同理可求，每一个阴影部分的面积都是正方形面积的，为cm2， ∴重叠部分的面积和（n﹣1）（cm2）． 故答案为：． 三．解答题（共6小题，满分80分） 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：四边形DECF是正方形． 【解答】证明：∵CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF，∠CED＝∠CFD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形DECF是矩形， 又∵DE＝DF， ∴四边形DECF是正方形． 16．如图，已知菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求：∠CEF． 【解答】解：如图，连接AC， 在菱形ABCD中，AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， ∵∠BAE+∠CAE＝∠BAC＝60°， ∠CAF+∠EAC＝∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∵∠B＝∠ACF＝60°， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AF， 又∵∠EAF＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF＝60°， 由三角形的外角性质，∠AEF+∠CEF＝∠B+∠BAE， ∴60°+∠CEF＝60°+20°， 解得∠CEF＝20°． 17．如图，在▱ABCD中，E、F为边BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE． （1）求证：△ABF≌△DCE； （2）四边形ABCD是矩形吗？为什么？ 【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵BE＝CF， ∴BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SSS）； （2）四边形ABCD是矩形； 证明：∵△ABF≌△DCE， ∴∠B＝∠C， ∵在平行四边形ABCD中， ∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； 18．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB，点F在DA的延长线上，且∠AFE＝∠ABE． （1）求证：EF＝EB； （2）用等式表示线段AB，AE，AF的数量关系并证明． 【解答】（1）证明：过点E作EH⊥AC交AB于H，如图所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°， ∴∠FAB＝90°，△AEH为等腰直角三角形， ∴∠FAE＝∠FAB+∠BAC＝135°，AE＝HE，∠EHA＝∠BAC＝45°， ∴∠BHE＝180°﹣∠EHA＝180°﹣45°＝135°， ∴∠FAE＝∠BHE＝135°， 在△AFE和△HBE中， ， ∴△AFE≌△HBE（AAS）， ∴EF＝EB； （2）解：AB，AE，AF的数量关系是：，证明如下： 由（1）可知：△AFE≌△HBE，△AEH为等腰直角三角形， ∴AF＝HB，AH， ∴． 19．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ADE＝∠CBF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）四边形AFCE是菱形，理由如下： ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴AC⊥BD， ∵△ADE≌△CBF， ∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB， ∴AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴▱AFCE是菱形． 20．如图，点E是正方形ABCD内一点，△EDC是等边三角形，连接AE、BE，延长BE交边AD于F点． （1）求证：△ADE≌△BCE； （2）求∠AEF的度数． 【解答】（1）证明：∵ABCD是正方形， ∴AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°， 又∵△CDE是等边三角形， ∴CE＝DE，∠EDC＝∠ECD＝60°， ∴∠ADE＝∠ECB， ∴△ADE≌△BCE（SAS）． （2）解：∵△CDE是等边三角形， ∴CE＝CD＝DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝AD， ∴CE＝AD， ∴△ADE为等腰三角形，且顶角∠ADE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE（180°﹣30°）＝75°， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠EBC＝75°， ∴∠AEF＝180°﹣∠AFB﹣∠DAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°． 21．（如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别在直线AB，AD上，且∠ECF＝45°，连接EF． （1）当E，F分别在边AB，AD上时，如图1．请探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并写出证明过程； （2）当E，F分别在BA，AD的延长线上时，如图2．试探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并证明． 【解答】解：（1）EF＝BE+DF， 证明：如图，延长AB使得BG＝DF，连接CG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°＝∠D＝∠CBG．CD＝CB， ∴△CDF≌△CBG（SAS）， ∴∠DCF＝∠BCG，CF＝CG， ∵∠ECF＝45°， ∴∠BCE+∠DCF＝45°． ∴∠ECG＝∠BCG+∠BCE＝45°＝∠ECF， ∵CF＝CG，CE＝CE， ∴△CFE≌△CGE（SAS）． ∴GE＝EF． ∵GE＝GB+BE＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； （2）EF＝BE﹣DF． 证明：如图，把△CDF绕点C逆时针旋转90°后，得到△CBG． 由旋转可得BG＝DF，CF＝CG，∠BCG＝∠DCF，点A，G，B在同一直线上． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°． ∵∠ECF＝45°， ∴∠DCE+∠DCF＝45°． ∴∠DCE+∠BCG＝45°． ∴∠ECG＝∠BCD﹣（∠DCE+∠BCG）＝90°﹣45°＝45°． ∴∠ECF＝∠ECG． ∵CF＝CG，CE＝CE， ∴△CEF≌△CEG（SAS）． ∴EF＝EG． ∵EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣DF． 22．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，一动点P从A点出发沿射线AE方向移动，连接BP，问： （1）如图（1），将BP绕点B顺时针旋转90°，点P到达点F，连接CF，当△BCF的面积是矩形ABCD面积的一半时，求PA的长； （2）如图（2），将△ABP沿BP翻折，点A到达点G，连接CG，当BG＝CG时，求PA的长． 【解答】解：（1）过点F作FH⊥BC于点H，如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形，且AB＝5，BC＝8， ∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝8，∠A＝∠ABC＝90°， ∴S矩形ABCD＝AB•BC＝5×8＝40， ∵△BCF的面积是矩形ABCD面积的一半， ∴S△BCF＝20， ∴BC•FH＝20， ∴8×FH＝20， ∴FH＝5， 由旋转性质得：BF＝BP，∠PBF＝90°， ∴∠PBF＝∠ABC＝90°， ∴∠PBF﹣∠PBC＝∠ABC∠PBC， 即∠FBH＝∠PBD， ∵FH⊥BC于点H，∠A＝90°， ∴∠FHB＝∠A＝90°， 在△AHF和△BPA中， ， ∴△AHF≌△BPA（AAS）， ∴FH＝PA＝5； （2）∵四边形ABCD是矩形，且AB＝5，BC＝8， ∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝8，AB∥CD，∠A＝∠ABC＝90°， ∵动点P从A点出发沿射线AE方向移动， ∴有以下两种情况： ①当点P在线段AD上时，点G在BC的上方，过点G作直线GM⊥BC于点M，交AD于点N，如图2所示， ∴∠BMN＝∠A＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABMN是矩形， ∴MN＝AB＝5，AN＝BM， ∵BG＝CG，GM⊥BC于点M， ∴BM＝CMBC＝4， ∴AN＝BM＝4， 设PA＝a，则PN＝AN﹣PA＝4﹣a， 由翻折性质得：PG＝PA＝a，GB＝AB＝5， 在Rt△BGM中，由勾股定理得：MG3， ∴GN＝MN﹣MG＝5﹣3＝2， 在Rt△PGN中，由勾股定理得：PG2＝PN2+NG2， ∴a2＝（4﹣a）2+22， 解得：a＝2.5， ∴PA＝a＝2.5； ②当点P在AD的延长线上时，点G在BC的下方，过点G作直线GM⊥BC于点M，交AD于点K，交BP于点K，如图3所示， 同①得：四边形ABMN是矩形，MG＝3，BM＝CM＝4， ∴MN＝AB＝5，AN＝BM＝4，AB∥MN， ∴∠ABK＝∠GKB， 由翻折性质得：∠GBK＝∠ABK，GB＝AB＝5， ∴∠GKB＝∠GBK， ∴GK＝GB＝5， ∴MK＝GK﹣GM＝2， ∴KN＝MN﹣MK＝3， ∵AB∥CD， ∴△PKN∽△BKM， ∴， ∴， ∴PN＝6， ∴PA＝PN+AN＝6+4＝10， 综上所述：PA的长为2.5或10． 学科网（北京）股份有限公司 $