专题11 二次函数的图象与性质（3年汇编）（山东专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦二次函数核心考点，整合2024-2026年山东中考真题及模拟题，突出数形结合与实际应用，适配中考备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|约15题/45分|图象与系数、顶点性质等|多结论判断（如2026山东统考卷第2题），结合平移与特殊点分析| |多选|3题/12分|函数性质与方程综合|表格数据分析（如2025潍坊卷第8题），考查参数推导| |填空|3题/9分|单调性、最值|动轴定区间含参问题（如2024烟台卷第4题）| |解答|约15题/90分|实际应用、几何综合|京剧“踢枪”运动轨迹（2026山东卷第2题）、投篮架抛物线设计（2026菏泽二模第2题），体现文化与生活情境|

专题11 二次函数的图象与性质 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01二次函数的图象与系数 2026 山东统考卷、2025 济南 / 青岛 / 潍坊卷、2024 烟台 / 淄博 / 济宁卷 以选择题为主，多处于压轴位置，分值 3-4 分。早年侧重 a、b、c 符号判断与基础结论辨析，设问直白。2025 年起增多多结论正误判断、参数推导题型，2026 山东统考后固定为选择压轴，结合函数平移、特殊点代入综合设题，陷阱集中在对称轴范围换算与隐含条件挖掘，对代数变形与数形结合能力要求显著提升，区分度逐年增强。 考点02二次函数的顶点、对称轴、单调性问题 2026 山东统考卷、2025 威海 / 东营 / 临沂卷、2024 泰安 / 聊城 / 日照卷 覆盖选择、填空及解答小问，分值 3-6 分。早年以直接求解顶点坐标、对称轴，判断区间增减性为主，侧重基础公式应用。2025 年起增多平移、轴对称变换后求顶点的变式题，2026 统考后常结合点的函数值大小比较、区间单调性反向推导参数范围，易错点为忽略开口方向对单调性的影响，对性质灵活运用的要求明显提高。 考点03二次函数的最值 2026 山东统考卷、2025 淄博 / 滨州 / 菏泽卷、2024 济南 / 青岛 / 枣庄卷 多见于填空压轴、解答题小问，分值 3-6 分。早年以固定区间内直接套用顶点公式求最值为主，情境单一。2025 年起出现动轴定区间、定轴动区间的含参最值题型，2026 统考后融入实际应用、几何面积最值场景，需结合自变量取值范围分类讨论，易错点为忽略区间边界取值，对逻辑严谨性与分类讨论能力要求逐年提升。 考点04二次函数与方程、不等式 2026 山东统考卷、2025 济宁 / 烟台 / 东营卷、2024 潍坊 / 临沂 / 威海卷 覆盖选择、填空及解答综合小问，分值 4-6 分。早年侧重函数与 x 轴交点个数和判别式转化、利用图象直接写不等式解集，属基础数形结合考查。2025 年起增多根的分布、参数范围推导题型，2026 统考后常与一次函数综合，考查区间根、不等式恒成立问题，陷阱集中在端点取值与多解漏解，综合性与难度显著提升，是中档拉分核心考点。 考点01 二次函数的图象与系数 一、单选题 1．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 2．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 3．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 4．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】由二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧，，，，可得①符合题意；结合当时，最大，当时，，可得②不符合题意；由，，可得，可得③符合题意；由，记的横坐标分别为，可得，结合，可得，可得④符合题意. 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∵顶点的坐标为， ∴当时，最大， 当时，， ∴， ∴，故②不符合题意； ∵二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，对称轴为直线， ∴，， ∴，， ∴，故③符合题意； 如图，为等边三角形， ∴，，，， ∴， 记的横坐标分别为， ∴， ∴， 当，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，熟练的利用等边三角形的性质结合二次函数的图象解题是关键. 5．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 6．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 7．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 二、多选题 8．（2025·山东潍坊·中考真题）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图象的开口向上 B．关于的方程的两个根是和4 C．点在一次函数的图象上 D．代数式的最大值为 【答案】BCD 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据表格数据，待定系数法求出函数解析式，根据二次函数图象和性质，二次函数的增减性，对称性，逐一进行判断即可． 【详解】解：把代入，得： ，解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴， ∴抛物线的开口向下，故A选项错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴与的函数值相同，均为， ∴关于的方程的两个根是和4，故B选项正确； ∵， ∴为， ∴在直线上，故C选项正确； ∵， ∴当时，代数式的最大值为；故D选项正确； 故选BCD． 9．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（    ） A． B．该抛物线与轴的另一个交点坐标是 C．若点和在该抛物线上，则 D．对任意实数，不等式总成立 【答案】ACD 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行解题即可． 【详解】解：将代入，可得，由图像可知，此时图像在轴上方，故，故选项A正确； 对称轴是直线， 故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故选项B错误； 时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故选项C正确； 时，函数有最大值，故，即不等式总成立，故选项D正确； 故选ACD． 考点02 二次函数的顶点、对称轴、单调性问题 一、单选题 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【详解】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C 二、填空题 4．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 三、解答题 5．（2026·山东德州·中考真题）已知二次函数 ， 为常数． (1)当 时，求该二次函数的对称轴； (2)若当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小，求 的取值范围； (3)若在该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21，求点 到对称轴的距离． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】（1）把 代入 ，进一步求解即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，结合题意可得 ，进一步求解即可； （3）解方程 或，结合抛物线的性质可得答案． 【详解】（1）解：当 时， 二次函数为： ， ∴二次函数的对称轴为直线． （2）解：∵ ， 抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小， ∴ ， 解得：， ∴ 的取值范围为：． （3）解：∵ 的对称轴为直线， 而该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21， ∴， 当 时， ∴ ，即 ， ∴ ， 解得：，， ∴或， ∴点 到对称轴的距离为：． 当时， ，即 ， ∴， ∴方程无解， 综上：点 到对称轴的距离为：． 6．（2025·山东·中考真题）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）将、代入化简，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：当、时，二次函数可化为：， ∴此函数图象的对称轴为． （2）解：当时，二次函数可化为：， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口方向向上， ∵在时，y随的增大而减小； ∴， ∵在时，随的增大而增大； ∴， ∴． （3）解：∵若点，，均在该函数的图象上， ∴， ， ∴ ； ； ∵， ∴，整理得： ∵，为两个不相等的实数， ∴， ∴，解得：． 考点03 二次函数的最值 一、单选题 1．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，是角平分线．点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且．设，，若y关于x的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，设，可得，如图，在上取点，使，求解：，证明，可得，，结合y关于x的函数图象过点，求解：，再进一步利用二次函数的性质解题即可. 【详解】解：∵，，是角平分线． ∴，，设， ∴， 如图，在上取点，使， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵y关于x的函数图象过点， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴该图象上最低点的坐标为； 故选：B 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质，熟练的利用相似三角形的性质解决问题是关键. 二、解答题 2．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【答案】(1)如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 (2)丙的平均速度为米/秒 【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键． 4．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 【答案】(1)， (2)①；② (3)或 【分析】（1）令，则，得到，根据平移得到，进而根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为．将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标； （2）①当点O，M，F三点共线时，为最小值．对于抛物线，令，求出，进而可得直线的解析式为．由点F在射线CD上，，得到，从而可得直线的解析式为．解方程组即可解答； ②由，，得到是等腰直角三角形，从而．连接，，由两点间距离公式可得，，从而，即可得到是等腰直角三角形，因此，从而证得，得到，进而有．证明，根据勾股定理求出，即可解答． （3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点，连接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则，从而，得到．根据的面积求得，进而在中，，把相关数据代入，即可求得，从而．②当点P在x轴下方时，由对称性可得．即可解答． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，则， ∴， ∵点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为． （2）解：①如图，当点O，M，F三点共线时，为最小值． 对于抛物线，令，则， 解得，， ∴， 设过点，的直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵点F在射线上，，， ∴， ∴由点，可得直线的解析式为， 解方程组得， ∴当的值最小时，点M的坐标为； ②∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴轴，即， ∴， ∴． ∵，， ∴在中，， ∴， 即的最小值为． （3）解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴． 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴在中，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，两点间的距离公式，两点之间线段最短等，综合运用相关知识是解题的关键． 5．（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，横坐标为，若点到直线的距离为，求出所有满足条件的的值； (3)若为抛物线的顶点，为对称轴上一点，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）根据一次函数先求得的坐标，进而根据对称轴求得点的坐标，设抛物线解析式为，代入，待定系数法即可求解； （2）根据是等腰直角三角形，点到直线的距离为，取点，，过点分别作的平行线，过点分别作的垂线，垂直分别为，得出在，根据一次函数的平移可得的解析式分别为，，分别联立抛物线解析式，即可求解； （3）先求得，根据转化为，构造的直角三角形，过点作使得，则，得出，，，当在上时，取得最小值，最小值为．进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，， ∴，， ∵抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线． ∴， 设抛物线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴； （2）解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴，解得： ∴直线的解析式为 如图，取点，，过点分别作的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点到直线的距离为 ∴在上， ∵平行， ∴的解析式分别为， 联立 消去得， 解得： 联立 消去得， 解得： ∵点横坐标为， ∴或或 （3）∵ ∴ 如图，过点作使得，则， ∴，，， ∴， 过点作，设的延长线交轴于点，交轴于点，则 ∴ ∴当在上时，取得最小值，最小值为． ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 6．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，顶点G的坐标为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式为：或，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系分类讨论即可； （3）分成两种情况进行讨论，抛物线沿射线方向或射线方向平移．沿射线方向平移，求出直线的解析式为，由直线性质可知图象沿上下方向与左右方向平移相同的单位，设向上、向右平移了m个单位，可得，，由平移性质可证四边形是平行四边形，推出交点M坐标为，可证明为直角三角形且，根据，可得四点共圆，是在以为直径的圆上，可求中点，根据列方程即可求得的值，则题目可解； 抛物线沿射线方向，作关于点对称点，方法同上． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， ， ， 当时，取最小值，最小值为， 顶点G的坐标为． （2）解：Ⅰ、当抛物线向右平移时： 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点M纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点N纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； ，符合题意； Ⅱ、当抛物线向左平移时， 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， ∴当时，y取最大值8，代入解析式得： ， 解得：，（舍）， 综上可知，或； （3）解： 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则, ∴直线与轴交于， 直线与坐标轴围成的是一个等腰直角三角形， ∴图象沿直线平移时，上下方向与左右方向平移的距离相等， 设向上、向右平移了m个单位， ，， 由平移得，， 四边形是平行四边形， 线段与交于点M， ∴为线段的中点， ， Ⅰ、如图，抛物线沿射线平移， ∵，，G， ∴由勾股定理可得， ， ，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，是在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； Ⅱ、如图，抛物线沿射线平移， 作关于点对称点， 则可同理证明，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，二次函数图象的平移，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求一次函数解析式，平行四边形的判定和性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，正确作出辅助线． 7．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； 正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； （2）令，解得，，又二次函数与轴的一交点为，，所以，即，则有，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的取值范围是． 8．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 考点04 二次函数与方程、不等式 一、单选题 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． 故选：B． 二、多选题 2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（    ） A． B．该抛物线与轴的另一个交点坐标是 C．若点和在该抛物线上，则 D．对任意实数，不等式总成立 【答案】ACD 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行解题即可． 【详解】解：将代入，可得，由图像可知，此时图像在轴上方，故，故选项A正确； 对称轴是直线， 故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故选项B错误； 时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故选项C正确； 时，函数有最大值，故，即不等式总成立，故选项D正确； 故选ACD． 三、解答题 3．（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 【答案】(1)①抛物线的解析式为；②或； (2) 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出对称点，利用函数图象增减性，找到横坐标关系，列出不等式，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； （2）解：∵抛物线过点， ， 则， ∵对于任意实数，都有， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， ∴交点的横坐标分别为和， ． 4．（2025·山东·中考真题）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）将、代入化简，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：当、时，二次函数可化为：， ∴此函数图象的对称轴为． （2）解：当时，二次函数可化为：， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口方向向上， ∵在时，y随的增大而减小； ∴， ∵在时，随的增大而增大； ∴， ∴． （3）解：∵若点，，均在该函数的图象上， ∴， ， ∴ ； ； ∵， ∴，整理得： ∵，为两个不相等的实数， ∴， ∴，解得：． 5．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)；；； (2) (3)b的值为或． 【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质． （1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③． （2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题； （3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下三种情况：①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 与x轴交点的坐标分别为，，且． 即向上平移1个单位， ，且， ①； ， ，即②； ，即③． 故答案为；；；； （2）解：，， ， ， ； （3）解：抛物线顶点坐标为， 对称轴为； 当时，， 当时，， ①当，则， 那么，在取得最大值，在取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）； ②当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或， ③当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或； 综上所述，b的值为或． 一、单选题 1．（2026·山东临沂·二模）将二次函数的图象，向右平移10单位，平移过程中此图象与轴的交点也会跟着变化．假设此图象与轴的交点为，判断在平移过程中，点位置的变化情形是（    ） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 【答案】D 【分析】设向右平移距离为t，则新抛物线方程为，当时，，判断当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，即可求解． 【详解】解：设向右平移距离为t，则新抛物线方程为， 当时，， ∵是t的二次函数，且二次项系数为负， ∴ 开口向下，顶点在处， ∴ 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∴ P点先向上再向下移动． 2．（2026·山东菏泽·二模）校园科技节的手工展上，小明设计了一款抛物线形的趣味投篮架．已知篮球架的轮廓抛物线表达式为：（其中为水平距离，为高度，单位：米）．根据比赛规则，投篮架的顶点（即抛物线最低点）必须落在直线上，才能确保投篮轨迹与得分线完美契合．求满足条件的的值为（     ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 【答案】C 【分析】先通过配方求出抛物线的顶点坐标，再根据顶点在直线上，将顶点坐标代入直线方程得到关于的一元二次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：对抛物线解析式配方得： ∵ ， ∴ 抛物线的顶点坐标为， ∵ 顶点落在直线上， ∴ 将顶点坐标代入直线方程得： ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 或． 3．（2026·山东青岛·三模）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论，其中正确的有（     ） ①；②；③；④；⑤点、是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，，，则，故①符合题意； ②根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴有两个交点，则，故②不符合题意； ③∵对称轴为直线， ∴ 当时，，即 ∴ 即，故③符合题意； ④由于图象经过，且对称轴为，则图象也经过， 当时， 即 ，故④不符合题意； ⑤点，是抛物线上的两点，若，则，故⑤不符合题意； ⑥由图象过由对称性可知：图象也过点 令 有两个解，分别是，，故⑥符合题意； 综上所述，①③⑥符合题意，共有3个． 4．（2026·山东聊城·二模）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】先根据抛物线的开口方向、对称轴位置以及抛物线与轴交点的位置，确定的正负，进而判定的正负，可判①，根据抛物线对称轴为直线，则，即可判②；先确定点的横坐标，然后根据二次函数图像的对称性求得与轴的另一个交点的横坐标，即可判定③；运用函数确定方程的根的情况，即可判定④． 【详解】解：①抛物线开口向下，故， 对称轴在轴右侧，故， 抛物线与轴交于正半轴，故， ， 故①错误，不符合题意； ②因为抛物线对称轴是直线，则， 故②正确； ③因为抛物线对称轴是直线， 所以抛物线与轴的另一个交点是，故③正确，符合题意； ④从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根， 故④正确，符合题意． 综上，正确的是②③④． 5．（2026·山东菏泽·三模）小张用描点法画二次函数（a，b，c是常数，）图象时，列出部分列表，依据表中信息，以下结论中错误的是（     ） x … 0 1 2 … y … 3 4 3 … A．图象顶点在第一象限 B．若恒成立，则 C．和3是关于x的方程的两根 D．点在该图象上，若，则 【答案】B 【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断各选项即可. 【详解】解：把点代入得： ，解得：， ∴该函数解析式为， ∵， ∴该函数图象的顶点坐标为，在第一象限，故A选项正确，不符合题意； 当时， ∴， ∵的最大值为3， ∵恒成立， ∴不等式恒成立的条件是，故B选项错误，符合题意； 当时， 解得：，， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∴点和关于对称轴对称， ∴和3是关于的方程的两根，故C选项正确，不符合题意； ∵该函数图象开口向下，且顶点坐标为， ∴该函数的最大值为4，且当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵， 当时，， ∴点在该图象上，若，则，故D选项正确，不符合题意. 6．（2026·山东日照·二模）给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么； ②如果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么.则（     ） A．正确的命题有①② B．正确的命题有①②④ C．错误的命题有②③ D．错误的命题有②④ 【答案】A 【分析】先确定出三个函数图象的交点坐标为，再结合图象分析函数与不等式关系求解即可． 【详解】解：∵当时，三个函数的函数值都是1， ∴三个函数图象的交点坐标为， ∴由对称性可知，和在第三象限的交点坐标为， ∴如果，那么，命题①正确； 如果，那么或，命题②正确； 如果，那么a无解，命题③错误； 如果，那么，命题④错误． 7．（2026·山东济南·二模）定义：若一个点的横、纵坐标之和为，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次函数的性质，由一个点的横纵坐标之和为，可得“和谐点”在直线上，由可得“和谐点”所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【详解】解：由题意可得“和谐点”所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立与，得方程， 即， 抛物线与直线有两个交点， ， 解得 当直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ， 故选：． 二、解答题 8．（2026·山东菏泽·二模）在直角坐标系中，抛物线（，是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，，求，的值； (2)已知，若，有最大值，求的值． 【答案】(1)的值分别为 (2)或 【分析】（）利用待定系数法，将函数图像经过的两个点坐标代入二次函数解析式，构造出关于参数的二元一次方程组，通过解方程组直接求出a、b的数值； （）先根据用表示，代入解析式配成顶点式确定对称轴；再按照开口向上、开口向下分类讨论，结合自变量的取值范围判断最大值对应的，分别列式求解，最后汇总所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， ∴的值分别为； （2）解：∵， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，， ∴当时，为最大值， 即，解得； ②当时，抛物线开口向下， ∴当时，为最大值， 即， 解得； 综上所述，或． 9．（2026·山东枣庄·三模）已知二次函数（，是常数）． (1)若时， ①试判断点是否在此二次函数的图象上？ ②已知点，在二次函数图象上，求的值； (2)若二次函数的对称轴为直线，当时，函数值在取值范围内恰有3个整数值，求的取值范围． 【答案】(1)①点在此二次函数的图象上；② (2)或 【分析】（1）①根据题意可得抛物线的解析式为，求出时的函数值即可得到答案； ②根据题意可得点B和点C关于对称轴对称，则可得到，解方程即可得到答案； （2）根据对称轴公式推出，求出抛物线的顶点为，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①当时，抛物线的解析式为． 当时，， 所以点在此二次函数的图象上； ②因为点，在二次函数图象上，且这两点的纵坐标相等， 所以，两点关于抛物线的对称轴对称， 则，解得， 所以抛物线的解析式为． 将点坐标代入抛物线的解析式得， ； （2）解：因为抛物线的对称轴为直线， ，抛物线的顶点为， 当时，，当时，； 当时，二次函数图象开口向上， 由，可得， ∵对应的的整数值有3个，即，，， ， 解得：； 当时，二次函数图象开口向下，由，可得， ∵对应的的整数值有3个，即，，， ， 解得：； 综上所述，的取值范围为：或． 10．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，函数过点． (1)的坐标是________，的坐标是________； (2)当，且时，函数有最小值为2，求a的值； (3)若函数的图象与线段有且仅有一个交点，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）轴上点纵坐标，轴上点横坐标，分别代入直线解析式求解； （2）抛物线对称轴在区间内部，分（开口向上，顶点取最小值）、（开口向下，区间端点取最小值）两类讨论； （3）线段，联立抛物线与直线方程，转化为方程在内有且仅有一个解的问题，结合抛物线开口方向、根的分布、相切分类讨论． 【详解】（1）解：当时，，解得， ， 当时，， ． （2）解：根据题意得， ， ， ， ， 顶点为， ①当时，顶点处为最低点， 当时，， 函数有最小值为2， ； ②当时，， 当时，， 函数有最小值为2， ， 即（舍）， 综上所述：． （3）解：由（2）可得函数， ①当时，函数的图象是开口向下的抛物线，其顶点为最高点在第四象限，与线段无交点，不符合题意； ②当时，，与线段的交点是，符合题意； ③当时，函数的图象是开口向上的抛物线，其顶点为， 对称轴与线段的交点为， （Ⅰ）当顶点在直线下方，即：时，函数图象的对称轴右侧与线段有1个交点， 当对称轴左侧的图象与y轴交点在N点的下方时，函数的图象与线段有且仅有一个交点， 即：， 解得：， ； （Ⅱ）当顶点在直线上或上方，即：时， 函数的图象与线段有且仅有一个交点 有两个相等的实数根， ， 即：， 解得，（舍） 综上可知，或． 11．（2026·山东泰安·三模）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)用含a的代数式表示b； (2)当时，二次函数的最小值为，求a的值； (3)将函数的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新函数图象顶点记为点P，点Q在该新函数图象上．当最小时，的面积为4，直接写出点P和点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)a的值为或2； (3)，点或． 【分析】（1）把点代入二次函数即可求解； （2）先求出对称轴为直线，然后分当时和当时两种情况求解即可； （3）求出平移后的顶点，由求出当时，取得最小值，设，过点Q作x轴的垂线，交于点H，则，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴对称轴为直线， 当时，抛物线开口向下，当时，y取得最小值， ∴， ∴， 当时，抛物线开口向上，当时，y取得最小值，， ∴， ∴， 综上a的值为或2； （3）解：由得，顶点为， ∵图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度后， ∴顶点P为， ∵， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， ∴点P为时，最小， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴直线为， 当时，平移后的新函数为， 设，过点Q作x轴的垂线，交于点H，则， ∵的面积为4， ∴， ∴， 解得或， ∴点或． 12．（2026·山东东营·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)点、点分别是对称轴、二次函数图象上的动点，是否存在以、、、四点为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)的最大值为． (3)点或或存在以、、、四点为顶点的平行四边形． 【分析】（1）根据待定系数法，求出，，即可得到函数解析式； （2）过点作于点，作于点，交于点，根据等腰直角三角形的性质，求出，根据抛物线求出对称轴，求出点的坐标，根据两点间的距离公式求出， 要使的值最大，则需取到最大值，即可；设过点与平行的直线的解析式为：，当直线：与抛物线相切时，有最大值；联立可得：，分别求出点，点的坐标，求出，根据勾股定理求出，即可得到三角形的面积； （3）设点，，分类讨论：①当为边时，四边形是平行四边形，②当为对角线时，四边形是平行四边形，求出的坐标，即可． 【详解】（1）解：∵的图象与轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴． （2）解：过点作于点，作于点，交于点， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， 抛物线的对称轴为：， ∴， ∴点， ∵点， ∴， ∵， ∴要使的值最大，则需取到最大值，即可； 设过点与平行的直线的解析式为：，当直线：与抛物线只有一个交点时，取到最大值，即取到 最大值； ∴， 整理得：， 由得，， 求得：； ∴， 解得：， ∴当，，即点； 当，，即点； ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： ∵点在对称轴上， ∴设点； ∵点在二次函数图象上， ∴设， ①当为边时，四边形是平行四边形， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴当时，， ∴点； 当时，， ∴点； ②当为对角线时，四边形是平行四边形， ∴， 解得：， ∴， ∴点； 综上所述，点或或存在以、、、四点为顶点的平行四边形． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 13．（2026·山东临沂·二模）已知二次函数，其函数图象顶点为． (1)顶点的坐标为______；记与轴交点为，点的坐标为_______．（含的代数式表示）； (2)若点也在该函数图象上． ①求这个二次函数的解析式； ②当时，该函数的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2)①②或 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标公式为求解即可；令，求得对应的函数值即可． （2）①把点代入抛物线解析式，确定a值即可求得二次函数的解析式； ②根据，对称轴分类求解即可． 【详解】（1）解：由，根据抛物线的顶点坐标公式为，得即； 令，得， 故． （2）①解：把点代入抛物线解析式， 得， 解得， 故二次函数的解析式为； ②解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，抛物线的开口向上，抛物线上的点与对称轴的距离越大，其函数值越大，且对称轴的左侧，y随x的增大而减小，对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 当时，在对称轴的左侧， 时，函数取得最大值，且为； 时，函数取得最小值，且为； 函数的最大值与最小值的差为， ， 整理得， 故， 解得，不符合的要求，舍去； 当时， 时，函数取得最大值，且为； 时，函数取得最小值，且为； 函数的最大值与最小值的差为， ， 整理得， 解得， 不符合的要求，舍去； 故； 当时， 时，函数取得最大值，且为； 时，函数取得最小值，且为； 函数的最大值与最小值的差为， ， 整理得， 解得， ，，不符合的要求，都舍去； 当时，在对称轴的右侧， 时，函数取得最大值，且为； 时，函数取得最小值，且为； 函数的最大值与最小值的差为， ， 整理得， 解得，符合的要求， 故； 综上所述，或． 14．（2026·山东潍坊·三模）已知y与x满足二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图象上，则 ； (2)证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； (3)若该函数图象上有两个点，当时，请直接写出p的取值范围． 【答案】(1) (2)证明： ∵， ∴， ∴， ∴该二次函数的图象与轴有两个不同的交点 (3)或 【分析】（1）将点代入即可求解； （2）通过判别式判断二次函数图像与轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定的取值范围． 【详解】（1）解：将代入， 得：； 解得， （2）略 （3）解：的对称轴为直线， ∵二次项系数， ∴二次函数图象开口向上， ∵， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴， 即， ∴或． 15．（2026·山东聊城·三模）已知抛物线过点，其中m，n 为常数． (1)若该抛物线与y 轴交于点 ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围； (2)若对于任意实数x，都有，此时抛物线与直线交于M，N两点，求的长． 【答案】(1)； 或 (2) 【分析】（1）①根据待定系数法将、代入中，得到m、n的值，从而确定解析式； ②根据二次函数的对称轴得到B点的对称点，再根据二次函数的增减性得到t的取值范围； （2）根据条件求出m、n的值，从而确定解析式，再根据二次函数与直线相交，求出交点M，N的横坐标，就可以得到的长． 【详解】（1）解：①将、代入中，得 ，解得，∴； ②将代入中，得，∴， 的对称轴为直线，即y轴， ∴关于对称轴y轴的对称点为， ∵，都有， ∴或， ∴或； （2）解：不等式可化为， ∵对于任意实数x，上面式子恒成立， ∴， 将代入中，得， 将代入中，得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与直线交于M，N两点， ∴， 解得，， ∴． 16．（2026·山东临沂·二模）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写<、=或>）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)=；>；< (2) (3)b的值为或 【分析】（1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，利用不等式性质变形，即可判断②③． （2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题； （3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由的最大值与最小值的差为，分以下三种情况：①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：与x轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 是由向下平移1个单位得到，且与x轴交点的坐标分别为，，， ，且， ，，； （2）解：，， ， 由（1）可知：， ； （3）解：抛物线顶点坐标为， 对称轴为； 当时，， 当时，， ①当，则， 那么，在取得最大值，在取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）； ②当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得或（不符合题意，舍去）， ③当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或； 综上所述，b的值为或． 17．（2026·山东日照·三模）已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数解析式； (2)已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ①当时，若对任意的，，恒有，试判断n的取值范围； ②当时，若对任意的，，当满足时，恒有，则当时，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出抛物线的顶点坐标，根据时，抛物线的解析式为，根据对任意的，，恒有，得到抛物线的顶点在抛物线的顶点的上方，即可得出结果；②根据，得到，根据恒成立，推出恒成立，令，根据对于任意值，恒成立，得到，结合完全平方的非负性求出，即可得出结论. 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线过点， ∴，解得， ∴； （2）解：①由（1）知：点在二次函数的图象上， ∵， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∵时，抛物线化为， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∵点在二次函数的图象上，且对于任意的，，恒有， ∴抛物线的顶点的纵坐标大于抛物线的顶点的纵坐标， 即； ②当时，， ∵点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵恒成立， ∴恒成立， ∴恒成立， ∵， ∴恒成立， 令， ∴抛物线的开口向上， ∵对于任意值，恒成立， ∴抛物线与轴最多有1个交点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，． 18．（2026·山东泰安·二模）平面直角坐标系中，抛物线（a为实数）． (1)当时，求此抛物线的顶点坐标； (2)已知点，是抛物线上两点，若对于，，都有，求a的取值范围； (3)在该平面直角坐标系中有一直线，当时，总有，求m的最大值． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)或 (3)m最大值为9 【分析】（1）先把代入函数解析式，然后再化成顶点式即可解答； （2）先求得抛物线的对称轴为，易得点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为；然后分对称轴的左侧、对称轴的右侧、对称轴的之间三种情况，分别求得点到对称轴的距离的最小距离，再根据二次函数抛物线开口向上，到对称轴距离越大的函数值越大列不等式求解即可； （3）对已知条件变形可得，设函数，即开口向上的抛物线，要使时，，即和是方程 的两个根；把代入方程a的值，进而求得m的值，最后确定m的最大值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴顶点坐标为． （2）解：∵， ∴的对称轴为， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ①当对称轴在的左侧，即时，点到对称轴的最小距离为，要满足，解得：； ②当对称轴在的右侧，即时，点到对称轴的最小距离为，要满足，解得：； ③当对称轴在的内，即时，点到对称轴的最小距离为0，要不可能大于2，不符合题意； 综上，a的取值范围为 或． （3）解：当时，总有，即，整理得：， ∴， 设函数，即开口向上的抛物线，要使时，， 为了使m取的最大值，应有和是方程 的两个根． 将代入方程：，解得或． 当时，方程为，解得：和， ∴． 当时，方程为，解得：，此时． ∴m的最大值为9． 试卷第1页，共3页 1 / 82 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 二次函数的图象与性质 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01二次函数的图象与系数 2026 山东统考卷、2025 济南 / 青岛 / 潍坊卷、2024 烟台 / 淄博 / 济宁卷 以选择题为主，多处于压轴位置，分值 3-4 分。早年侧重 a、b、c 符号判断与基础结论辨析，设问直白。2025 年起增多多结论正误判断、参数推导题型，2026 山东统考后固定为选择压轴，结合函数平移、特殊点代入综合设题，陷阱集中在对称轴范围换算与隐含条件挖掘，对代数变形与数形结合能力要求显著提升，区分度逐年增强。 考点02二次函数的顶点、对称轴、单调性问题 2026 山东统考卷、2025 威海 / 东营 / 临沂卷、2024 泰安 / 聊城 / 日照卷 覆盖选择、填空及解答小问，分值 3-6 分。早年以直接求解顶点坐标、对称轴，判断区间增减性为主，侧重基础公式应用。2025 年起增多平移、轴对称变换后求顶点的变式题，2026 统考后常结合点的函数值大小比较、区间单调性反向推导参数范围，易错点为忽略开口方向对单调性的影响，对性质灵活运用的要求明显提高。 考点03二次函数的最值 2026 山东统考卷、2025 淄博 / 滨州 / 菏泽卷、2024 济南 / 青岛 / 枣庄卷 多见于填空压轴、解答题小问，分值 3-6 分。早年以固定区间内直接套用顶点公式求最值为主，情境单一。2025 年起出现动轴定区间、定轴动区间的含参最值题型，2026 统考后融入实际应用、几何面积最值场景，需结合自变量取值范围分类讨论，易错点为忽略区间边界取值，对逻辑严谨性与分类讨论能力要求逐年提升。 考点04二次函数与方程、不等式 2026 山东统考卷、2025 济宁 / 烟台 / 东营卷、2024 潍坊 / 临沂 / 威海卷 覆盖选择、填空及解答综合小问，分值 4-6 分。早年侧重函数与 x 轴交点个数和判别式转化、利用图象直接写不等式解集，属基础数形结合考查。2025 年起增多根的分布、参数范围推导题型，2026 统考后常与一次函数综合，考查区间根、不等式恒成立问题，陷阱集中在端点取值与多解漏解，综合性与难度显著提升，是中档拉分核心考点。 考点01 二次函数的图象与系数 一、单选题 1．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 2．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 3．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 4．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 5．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 二、多选题 8．（2025·山东潍坊·中考真题）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图象的开口向上 B．关于的方程的两个根是和4 C．点在一次函数的图象上 D．代数式的最大值为 9．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（    ） A． B．该抛物线与轴的另一个交点坐标是 C．若点和在该抛物线上，则 D．对任意实数，不等式总成立 考点02 二次函数的顶点、对称轴、单调性问题 一、单选题 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______． 三、解答题 5．（2026·山东德州·中考真题）已知二次函数 ， 为常数． (1)当 时，求该二次函数的对称轴； (2)若当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小，求 的取值范围； (3)若在该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21，求点 到对称轴的距离． 6．（2025·山东·中考真题）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 考点03 二次函数的最值 一、单选题 1．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，是角平分线．点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且．设，，若y关于x的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 4．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 5．（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，横坐标为，若点到直线的距离为，求出所有满足条件的的值； (3)若为抛物线的顶点，为对称轴上一点，请直接写出的最小值． 6．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 7．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 8．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 考点04 二次函数与方程、不等式 一、单选题 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（    ） A． B．该抛物线与轴的另一个交点坐标是 C．若点和在该抛物线上，则 D．对任意实数，不等式总成立 三、解答题 3．（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 4．（2025·山东·中考真题）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 5．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 一、单选题 1．（2026·山东临沂·二模）将二次函数的图象，向右平移10单位，平移过程中此图象与轴的交点也会跟着变化．假设此图象与轴的交点为，判断在平移过程中，点位置的变化情形是（    ） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 2．（2026·山东菏泽·二模）校园科技节的手工展上，小明设计了一款抛物线形的趣味投篮架．已知篮球架的轮廓抛物线表达式为：（其中为水平距离，为高度，单位：米）．根据比赛规则，投篮架的顶点（即抛物线最低点）必须落在直线上，才能确保投篮轨迹与得分线完美契合．求满足条件的的值为（     ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 3．（2026·山东青岛·三模）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论，其中正确的有（     ） ①；②；③；④；⑤点、是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2026·山东聊城·二模）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②③④ 5．（2026·山东菏泽·三模）小张用描点法画二次函数（a，b，c是常数，）图象时，列出部分列表，依据表中信息，以下结论中错误的是（     ） x … 0 1 2 … y … 3 4 3 … A．图象顶点在第一象限 B．若恒成立，则 C．和3是关于x的方程的两根 D．点在该图象上，若，则 6．（2026·山东日照·二模）给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么； ②如果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么.则（     ） A．正确的命题有①② B．正确的命题有①②④ C．错误的命题有②③ D．错误的命题有②④ 7．（2026·山东济南·二模）定义：若一个点的横、纵坐标之和为，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、解答题 8．（2026·山东菏泽·二模）在直角坐标系中，抛物线（，是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，，求，的值； (2)已知，若，有最大值，求的值． 9．（2026·山东枣庄·三模）已知二次函数（，是常数）． (1)若时， ①试判断点是否在此二次函数的图象上？ ②已知点，在二次函数图象上，求的值； (2)若二次函数的对称轴为直线，当时，函数值在取值范围内恰有3个整数值，求的取值范围． 10．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，函数过点． (1)的坐标是________，的坐标是________； (2)当，且时，函数有最小值为2，求a的值； (3)若函数的图象与线段有且仅有一个交点，求a的取值范围． 11．（2026·山东泰安·三模）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)用含a的代数式表示b； (2)当时，二次函数的最小值为，求a的值； (3)将函数的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新函数图象顶点记为点P，点Q在该新函数图象上．当最小时，的面积为4，直接写出点P和点Q的坐标． 12．（2026·山东东营·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)点、点分别是对称轴、二次函数图象上的动点，是否存在以、、、四点为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2026·山东临沂·二模）已知二次函数，其函数图象顶点为． (1)顶点的坐标为______；记与轴交点为，点的坐标为_______．（含的代数式表示）； (2)若点也在该函数图象上． ①求这个二次函数的解析式； ②当时，该函数的最大值与最小值的差为，求的值． 14．（2026·山东潍坊·三模）已知y与x满足二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图象上，则 ； (2)证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； (3)若该函数图象上有两个点，当时，请直接写出p的取值范围． 15．（2026·山东聊城·三模）已知抛物线过点，其中m，n 为常数． (1)若该抛物线与y 轴交于点 ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围； (2)若对于任意实数x，都有，此时抛物线与直线交于M，N两点，求的长． 16．（2026·山东临沂·二模）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写<、=或>）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 17．（2026·山东日照·三模）已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数解析式； (2)已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ①当时，若对任意的，，恒有，试判断n的取值范围； ②当时，若对任意的，，当满足时，恒有，则当时，求的值． 18．（2026·山东泰安·二模）平面直角坐标系中，抛物线（a为实数）． (1)当时，求此抛物线的顶点坐标； (2)已知点，是抛物线上两点，若对于，，都有，求a的取值范围； (3)在该平面直角坐标系中有一直线，当时，总有，求m的最大值． 试卷第1页，共3页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $