专题15 二次函数的基础知识综合（4考点24题）（1年汇编）（全国通用01期）【好题汇编】2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 二次函数专题汇编，含4考点24道中考真题，聚焦图象性质、参数推理、最值应用及实际建模，创新融入体育风速、校园改造等真实情境与跨函数对比考法。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选填题|16题|二次函数图象开口方向、对称轴判定（如四川甘孜中考题），参数a/b/c符号推理（如山东中考题）|多结论正误判断（如四川巴中中考题），跨函数大小对比（如湖北中考题）| |解答题|8题|几何动点最值（如江苏苏州矩形动点题），实际问题建模（如陕西射水鱼水流高度、新疆喷水池改造）|农业产量模型分析（如山西中考题），校园设施改造项目式探究（如内蒙古中考题）|

专题15 二次函数的基础知识综合 （4考点24题） 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 考点01 二次函数图象与性质 基础必考考点，覆盖开口、对称轴、顶点、增减性等核心性质，以选填辨析题为主，常结合表格数据、多函数对比考查，侧重基础性质灵活辨析。 考法创新：多结论正误判断、跨函数大小对比；细节创新：结合函数平移、直线交点判别，强化数形结合辨析能力。 考点02 二次函数的图象和性质 高频重难点，依托函数图象判定a、b、c及判别式符号，结合定点、对称轴范围设问，侧重参数推理与条件综合分析。 设问升级：结合参数取值范围、图象平移限制条件命题；逆向创新：由图象特征反推参数取值，弱化机械记忆。 考点03 二次函数最值问题 核心计算考点，包含纯函数最值与几何最值，结合矩形动点、区间取值考查最值求解，侧重二次函数性质的实际运用。 场景创新：融合几何动点、区间限定求最值；应用创新：结合农业产量模型，将最值计算与实际数据分析结合。 考点04 二次函数实际应用 解答高频考点，结合运动轨迹、销售利润、工程模型、体育竞技等场景建模，考查解析式求解、最值应用、数据测算。 情境创新：新增体育风速、校园设施改造、文旅销售等真实场景；探究创新：结合项目式学习，融合跨学科知识考查建模能力。 考点01 二次函数的图象和性质 1．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 2．（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论． 【详解】解：∵， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和， ∵抛物线开口向上， ∴当时，恒成立，不存在且的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵ 开口向上，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大，又， ∴ 时随的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得， ∵恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． 3．（2026·湖北·中考真题）已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出三个函数图象在第一象限的交点，再根据图象分情况解答即可； 【详解】解：联立与得，整理得，解得：， 联立与得，解得：或， 联立与得，整理得，解得：或， ∴函数、函数、函数的图象在第一象限交于点， 故三个函数的图象位于第一象限的部分， 当时，，B选项可能； 当时，根据图象可得，，A选项可能； 当时，根据图象可得，，C选项可能； 综上，D选项不可能． 4．（2026·广西·中考真题）二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 5．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 考点02 二次函数的图象和性质 1．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 2．（2026·福建·中考真题）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 3．（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 4．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 5．（2026·四川成都·中考真题）已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴函数图象的开口向下，则选项A正确； 将二次函数化成顶点式为， ∴函数图象的对称轴是直线，则选项B正确； 又∵， ∴，则选项C错误； ，则选项D正确． 6．（2026·四川内江·中考真题）如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】B 【详解】解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意； 当时，，即，故选项B符合题意； 由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意． 7．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 8．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 9．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． (1)求b的值，并用含a的式子表示c； (2)已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】（1）利用抛物线过直接得，再套用对称轴公式，化简求出； （2）先写出顶点为的平移后抛物线，代入原点得到关于的一元二次方程，方程无实数根则判别式，解不等式得到范围． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ． 抛物线的对称轴为， ． ； （2）解：设点， 是抛物线上的点， ． 由题意，抛物线， 设抛物线与y轴交于点，则． 无论t为何值，抛物线都不经过点O， 无论t为何值，都有， 关于t的方程没有实数根． ，即． ， 化简得：， 解得：， 且． 10．（2026·陕西·中考真题）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 (3)若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 【答案】(1)如图，二次函数图象即为所求： (2)①②③ (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可作图象； （2）根据函数图象分析即可； （3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令，求出其与轴的两个交点坐标，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故，①正确； 抛物线与轴有两个交点，故，②正确； 由图象可得，当时，有最小值为，③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③； （3）解：根据函数图象可得，顶点坐标为，故设表达式为 将点代入得，， 解得 ∴抛物线表达式为 ∴沿轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为，即为， 令，则 解得 ∴抛物线与轴的交点为， ∴． 考点03 二次函数的最值 1．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形中，，，E是边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作的垂线交边于点F，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，然后证明，表示出，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，则 ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， 将代入得，． 2．（2026·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 【答案】(1)（） (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15 【分析】（1）根据点是描述与关系的抛物线的顶点，则设，将点代入即可求解； （2）①根据二次函数的性质得到当时，取得最大值，此时，求出当时，的值，计算即可求解； ②根据二次函数的性质求出，的最大值，即可得到m的值，令，求出y的最大值，即可得到n的值，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． 考点04 实际问题与二次函数 1．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 2．（2026·甘肃天水·中考真题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 3．（2026·山东德州·中考真题）某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 【答案】7 【分析】先求解，设单件水果利润为：元，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为， 设单件水果利润为：元， ∴， ∵， ∴当时，单件利润的最大值为元． 4．（2026·内蒙古·中考真题）综合与实践 下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务． 项目 名称 为学校操场主席台遮阳棚设置灯带 问题 情境 如图是某学校操场上坐南朝北的主席台，由地台（长方体）、四根立柱、遮阳棚组成．从侧面看，遮阳棚由两条抛物线形线条组成，从正面看，上方有一矩形，其一边与地台的长度相同．项目式学习小组想为该矩形四周设置灯带，测量了地台的长度，在测量矩形另一边的长度时遇到了困难，需要解决． 收集 信息 查找图纸：立柱，，两根立柱与之间的距离．点是过点，的抛物线的最高点，地台高，立柱到地台前边缘的距离． 查阅资料：小组通过查阅资料知道本地春分日正午太阳光线与地面夹角的度数为． 实地测量：在太阳光下遮阳棚顶点的影子落在操场上的点处，测得影长． 抽象 模型 说明：①测量时间为春分日正午； ②点，，，，，，，，，在同一竖直平面内；点，，，在同一竖直方向上，点，，在同一水平线上； ③各组选取不同的点作为坐标原点建立平面直角坐标系解决问题．如图为“智慧”小组以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立的平面直角坐标系． … … (1)任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点，，的抛物线的函数表达式； (2)任务二：请你求出矩形另一边的长度． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）连接，可得，然后求出，再解即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点，， ∴设过点，，的抛物线的表达式为， 代入点得，，解得， ∴过点，，的抛物线的表达式为； （2）解：连接，由题意可得，，，共线， ∵，， ∵， ∴， ∴将代入，则， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 答：矩形另一边的长度为． 5．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 6．（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】(1)， (2)米 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 7．（2026·广西·中考真题）综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平． 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据． 【模型假设】假设1：用（单位：）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示． (1)逆风风速记为____． 假设2：风速影响下的成绩记为（单位：），零风速状态下的成绩记为（单位：）．成绩变化量记为，与的关系用函数近似描述． (2)描述与关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合和的关系解释原因． 假设3：用二次函数描述与的关系． 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：． 【模型应用】 (3)请你估计顺风风速时的成绩变化量． (4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风的条件下跑出的成绩，第二次在逆风的条件下跑出的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升． 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数模型． 【答案】(1) (2) 理由如下：∵坐标原点为，对应风速表示零风速，此时风速影响下的成绩就是零风速下的成绩，即 ∴ ∴函数图象经过坐标原点 (3) (4)该运动员训练后的竞技水平有提升 【分析】（1）根据题目给定的正负数表示规则，直接得到逆风风速的表示结果； （2）根据原点对应的风速和的实际意义，结合与的关系推导说明.； （3）将给定风速代入二次函数，计算得到成绩变化量； （4）分别计算两次比赛转换为零风速后的成绩，比较大小判断竞技水平是否提升． 【详解】（1）解：∵规定顺风风速用正数表示，逆风风速用负数表示， ∴逆风风速记为． （2）略 （3）已知二次函数模型为， 将代入得： 即顺风风速时的成绩变化量为． （4）解：由题意得，变形得 第一次比赛：顺风，成绩， 由（3）得，则零风速成绩 第二次比赛：逆风，成绩，将代入函数得： 则零风速成绩 ∵，100米跑成绩越小说明竞技水平越高 ∴该运动员训练后的竞技水平有提升． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 专题15二次函数的基础知识综合 答案版 考点01二次函数的图象和性质 1.B 2.C 3.D 4.26 50) (2)6≤a≤12 考点02二次函数y=ax+br+C的图象和性质 1.B 2.C 3.D 4.B 5.c 6.B 7.5 8.< 906=-2,c=1 a .1 ②)a<2且a≠0 10.(1)如图，二次函数图象即为所求： 1/3 让教与学更高效 (4考点24题) 函学科网 www zxxk.com VA (2)①②③ 3)2v0 考点03二次函数的最值 1.C 2.(0y=- x-18j+660sx523 (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克， 千克；②15 考点04实际问题与二次函数 1.C 2.不能 3.7 4.()y=- +87 (2)0.75m 5.(1)每月产量的增长率为20%. (2)应降价9元，最大利润为2205元 6.(1)a=-0.1,b=0.7 (2)18米 让教与学更高效 此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5 函学科网 www.zxxk.com 7.(1)-1 (②)理由如下：坐标原点为(0,0)，对应风速w=0表示零风速， To T=To 成绩，即 :少=7-7=0 函数图象经过坐标原点 0.124s (3) (4)该运动员训练后的竞技水平有提升 3/3 让教与学更高效 此时风速影响下的成绩T就是零风速下的函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题15二次函数的基础知识综合 (4考点24题) 中考命题规律。 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 基础必考考点，覆盖开口、对称轴、 考法创新：多结论正误判断、跨函数 考点01二次函数 顶点、增减性等核心性质，以选填辨 大小对比；细节创新：结合函数平 图象与性质 析题为主，常结合表格数据、多函数 移、直线交点判别，强化数形结合辨 对比考查，侧重基础性质灵活辨析。 析能力。 考点02二次函数 高频重难点，依托函数图象判定a、 设问升级：结合参数取值范围、图象 y=ax2+bx+c b、c及判别式符号，结合定点、对 平移限制条件命题；逆向创新：由图 称轴范围设问，侧重参数推理与条件 象特征反推参数取值，弱化机械记 的图象和性质 综合分析。 忆。 核心计算考点，包含纯函数最值与几 场景创新：融合几何动点、区间限定 考点03二次函数 何最值，结合矩形动点、区间取值考 求最值：应用创新：结合农业产量模 最值问题 查最值求解，侧重二次函数性质的实 型，将最值计算与实际数据分析结 际运用。 合。 解答高频考点，结合运动轨迹、销售 情境创新：新增体育风速、校园设施 考点04二次函数 利润、工程模型、体育竞技等场景建 改造、文旅销售等真实场景；探究创 实际应用 模，考查解析式求解、最值应用、数 新：结合项目式学习，融合跨学科知 据测算。 识考查建模能力。 真题考点精练 1/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点01二次函数的图象和性质 1.(2026四川甘孜中考真圈)对于抛物线=3(-5犷-4，以下说法正确的是（) A.开口向下 B.对称轴为直线x=5 C.顶点坐标为64) D.当x>5时，'随的增大而减小 2.(2026四川巴中中考真题)关于二次函数y=4-x,下列说法正确的个数是（) ①它的图象经过第一、二、三象限： ②当x>3时，y随x的增大而增大： 1 ③它的图象可由y=4向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到： ④直线y=:+1(k为常数)与它的图象一定有两个交点. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(2026湖北中考真题)已知点A(x,)在函数y=x的图象上，点B(x2,y2)在函数y=x2的图象上，点 C(,少)在函数=”的图象上，，，。均大于0.三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当 片=片=必时，下列大小关系不可能的是(） A.<6<5B.玉=6=名 C. D 3<x<x2 4.（2026广西中考真思)二次函数'=：-20+26 的最小值为. 5.(2026四川攀枝花中考真题)已知二次函数 y=3x2-4ax+4 其中为常数 2/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()若=2，求此函数图象的顶点坐标； (②)当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，'随x的增大而增大，求a的取值范围. 考点02二次函数y=ar+br+c的图象和性质 1.(2026山东中考真题)如图，点P是抛物线=+r+C(a￥0)的顶点.下列结论正确的是 2 A.2a+b=0 B、3 4 2 C.对任意实数t,at2+bt<4a+2b总成立 A1-m,)B(1+m,y2) <y2 D.若点 在抛物线上，则 2.(2026福建中考真题)已知抛物线'=-2 A3,a)B(5,b).若a<b,且b<0,则” 经过点 的取值可以是() A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2026四川凉山中考真题)已知抛物线 =ar+bx+C(a≠0)的部分图象如图所示，则下列结论中 正确的是() 3/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -5-2:O1x A.abc>0 B.b+4a=0 C.5a+c>0 D.当x<-5或x>1时，y>0 4.(2026四川眉山中考真题)如图，抛物线'=r+r+c与x轴交于点 (-1,0 ,顶点坐标 ,与 2 y轴的交点在(0，-2)，(0，-3)之间（包含端点），下列结论：①3a+b<0:②a≤1：③对于任意实 a+b≤m(am+b) 数L, 总成立：④关于x的方程a心+br+c=n-】有两个不相等的实数根.其中正确结论 的个数为() YA X= 0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(2026四川成都中考真题)已知二次函数'=r+r+ 的自变量x与函数y的几组对应值如表： -2 0 0 -12 下列说法错误的是（) A,函数图象的开口向下 B.函数图象的对称轴是直线x=-1 C.2a+c=0 4/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.b2-4ac>0 y=ax+bx+c A1,0)B(5,0) 6.(2026四川内江中考真题)如图，二次函数 的图象经过点 ,下列说法 正确的是() A.c>0 B.4a-2b+c<0 C.b2-4ac<0 D.图象的对称轴是直线x=2 =x2-2mx+m2+1 7.(2026江苏苏州中考真题)如图，关于的二次函数 的图像为抛物线C,直线 y=a与抛物线C交于A,B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线，过A,B分别作的垂线，垂足为 M,N.若四边形ABNM为正方形，则a= By=a M 8.(2026北京中考真题)在平面直角坐标系0中，函数)=r+4红+4的图象经过点 m,)和 (m+l）.若m>0,则4—4（填“>”“=”或“<”） 6北京中者题年平面华标系Oy电，热物线Cy=a欧+x+ca0经过点0，。 1 对称轴为x=二 a (I)求b的值，并用含a的式子表示c: 5/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C C (2)已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t,抛物线的顶点为M,且可以由抛物线平移得到（特 C C 别地，当M是9的顶点时，C即为C).若无论t为何值，抛物线C都不经过点0，求a的取值范围. 10.(2026陕西·中考真题)己知二次函数 y=ax+bx+ 的自变量与函数的几组对应值如下表： 0 -2 -1 0 5 0 -3 -4 5 (I)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象： (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是 (填序号)； ①a>0；②b2-4ac>0;③当x=1时，y有最小值为-4；④当x>0时，y的值随x值的增大而增大 (3)若将该二次函数的图象沿y轴向下平移6个单位长度，交x轴于A,B两点，求AB的长. 考点03二次函数的最值 1.(2026江苏苏州中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,E是AB边上的动点（点E在 A,B之间运动，不与A,B重合)，过E作CE的垂线交AD边于点F,则AE+AF的最大值是() D B E 6/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. 5 27 B.3 c.8 D 8 2.(2026山西中考真题)综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同 的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析.研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每 亩的产量'（千克）与每亩施氮量x(千克)的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中0≤x≤28. 设中肥力麦田每亩的产量为少（千克），低肥力麦田每亩的产量为片（千克），已知点 (0,160) B(18,646)C(28,496) 均在描述片与关系的抛物线上，且点B是这条抛物线的顶点。 y/千克 646 中肥力：y=▲ 496 -- 低肥力： 160/ y2=+x2+26r+140 140 0246810121416182022242628x年克 ①)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量”与”的函数关系式： ②应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量少与”的函数关系式为”=-+26x+140 ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氨量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以 及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块.当两块麦田每亩施氨量不同，且每亩的产量分别达到 最大时，两块麦田的总产量为m千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为n千克. 经判断n小于m,请直接写出m与n的差。 考点04实际问题与二次函数 1.(2026陕西·中考真题)某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的 水流可以看成抛物线的一部分，按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高 度(cm)与水平距离(cm) 的关系可以表示为'=-0.1r+6 ，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是 7/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 () A.9cm B.30cm C.90cm D.360 cm 2.(2026:甘肃天水·中考真题)如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到 捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）·图2是一次捕食中一条射水 鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度 (cm)与水平距离cm)近似 满足函数关系y=- 0产+4x(20). 若这只昆虫在点P(20,50),则这次射出的水流一击中昆虫.（填 “能”或“不能”) y/cm◆ x/cm 图1 图2 3.(2026山东德州中考真题)某水果店单件水果售价”（元）与销售月份”满足一次函数关系 y=-2x+21 ,单件水果进价片（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物 线顶点为6,3)并且经过3,12)， 则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为， 元 8/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3,12) (6,3) 4.(2026内蒙古中考真题)综合与实践 下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务. 项目 为学校操场主席台遮阳棚设置灯带 名称 如图是某学校操场上坐南朝北的主 席台，由地台（长方体）、四根立 柱、遮阳棚组成.从侧面看，遮阳 棚由两条抛物线形线条组成，从正 问题 面看，上方有一矩形，其一边与地 情境 可田围留 台的长度相同.项目式学习小组想 为该矩形四周设置灯带，测量了地 台的长度，在测量矩形另一边的长 度时遇到了困难，需要解决。 查找图纸：立柱ED=5m,FG=7m, 两根立柱ED与FG之间的距离 DG=8m.点F是过点E,N的抛物线 太阳光线N F 的最高点，地台高AB=lm,立柱FG 收集 到地台前边缘的距离AG=2m」 信息 A D 查阅资料：小组通过查阅资料知道本地 春分日正午太阳光线与地面夹角的度数 为49°. 实地测量：在太阳光下遮阳棚顶M点的 影子落在操场上的H点处，测得影长 9/12 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 HB=7.5 m 说明：①测量时间为春分日正午； ②点A,B,C,D,E,F,G,H ,M,N在同一竖直平面内：点M, M N,A,B在同一竖直方向上，点H, 抽象 太阳光线NF B,C在同一水平线上： 模型 ③各组选取不同的点作为坐标原点建立 平面直角坐标系解决问题.如图为“智 慧”小组以点D为原点，AD所在直线 为x轴，DE所在直线为y轴建立的平 面直角坐标系， … (I)任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点E,F,N的抛物线的函数表达式： (②)任务二：请你求出矩形另一边MN的长度. (参考数据：sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15) 5.(2026四川眉山中考真题)2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育 经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动. (1)某食品厂原计划每月生产艺麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880 件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率： (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元.参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可 多售出5件.问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 6.(2026新疆·中考真题)政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造. 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷 问题 出抛物线形水柱.现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不 变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外！ 方法 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算. 过程 说明 操作 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管 10/12 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 说明 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。 数据 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱 测量 在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高. y 建立 0.8 计算，交流展示… 模型 0 3.5 8 请根据上述信息，完成下列问题： y=ax2+bx+0.8(a≠0) (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为 ,求a,b的值： (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 7.(2026广西中考真题)综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风 风速超过2s，若创纪录不予承认.某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100 米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平， 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据， 【模型假设】假设1：用w(单位：m/s)表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示. (1)逆风风速1m/s记为_m/s. 假设2，风速”影响下的成绩记为了（单位：），零风速状态下的成绩记为0（单位。、），成绩变化量 To-T 为”，'与”的关系用函数近似描述 记为， ②精述'与"关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合和T的关系解释原因。 假设3：用二次函数"=aw+ ”描述'与”的关系。 y=-0.004w2+0.07w 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为： 【模型应用】 11/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B)请你估计顺风风速2m/s时的成绩变化量y, (4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风2m/s的条件下跑出11.12s的成绩， 第二次在逆风1m/s的条件下跑出11.30s的成绩.据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技 水平是否有提升. 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在2m/S以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函 数模型. 12/12