专题14 二次函数（5年汇编）（山西专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦二次函数核心考点，整合山西2022-2026年中考真题及模拟题，以农业产量、仿生机器人等真实情境为载体，突出数形结合与实际应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |综合与实践/阅读与思考大题|5道真题（12分/道）+14道模拟题|二次函数图像与性质、与方程关系、解析式求解、实际应用、综合探究|农业产量/仿生机器人等真实情境，分层设问（如顶点式求解析式→最值计算→双变量差值），融合数形结合、分类讨论思想|

专题14 二次函数 5年真题1年模拟 考点分类 山西考情（2022-2026） 命题规律 考点01二次函数的图像与性质 2026山西卷 1. 题型：12分综合与实践压轴大题，农业产量实际情境2. 核心载体：两组抛物线分别代表不同肥力麦田产量，融合顶点、最值、函数差值计算3. 分层设问：①顶点式求函数解析式；②单条抛物线最值计算、两条函数差值；③双变量分别 / 同时取最值，求总产量差值，侧重数形结合与代数运算 考点02 二次函数与一元二次方程 2022山西卷 1. 题型：12分阅读与思考新定义大题，山西特色说理题型2. 核心思想：数形结合、分类讨论、转化思想3. 考查内容：结合抛物线开口、顶点纵坐标分析判别式与根的三种情况；自主仿写推理过程、举同类函数观点应用实例，侧重文字逻辑书写 考点03 求二次函数的解析式 2024山西卷 1. 题型：12分综合实践大题，校园花园几何背景2. 求解析式方法：利用垂直平分线、顶点坐标，顶点式求抛物线表达式3. 综合设问：结合线段长度、篱笆材料列方程计算，矩形周长最值探究，融合方程、二次函数最值 考点04 实际问题与二次函数 2025山西卷 1. 题型：12分综合实践压轴，仿生机器人运动轨迹抛物线建模2. 三层考法：①由起跳、落地、最高点坐标直接写顶点式解析式；②抛物线平移 / 形状不变，求水平落点距离；③结合安全距离不等式，直接写平台高度，联系生活工程应用 考点05 二次函数综合 2023山西卷 2022山西卷 1. 题型：12分综合探究压轴，中考几何代数综合难点2. 固定模型：抛物线交坐标轴+一次直线相交，第一象限动点作垂直 x 轴垂线构造线段差3. 三大设问方向：①求一次函数解析式、坐标轴交点；②线段相等列方程求动点横坐标；③多边形面积构造二次函数求最大值、等腰三角形 / 等角存在性分类求动点参数 考点01 二次函数的图像与性质 1．（2026·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 考点02 二次函数与一元二次方程 1．（2022·山西·中考真题） 阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务 用函数观点认识一元二次方程根的情况 我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况 下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析： （1）时，抛物线开口向上． ①当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）． ②当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）． ∴一元二次方程有两个相等的实数根． ③当时， …… （2）时，抛物线开口向下． …… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论． D．转化思想 (2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图； (3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 考点03 求二次函数的解析式 1．（2024·山西·中考真题） 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 考点04 实际问题与二次函数 1．（2025·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 考点05 二次函数综合 1．（2023·山西·中考真题） 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．        (1)求直线的函数表达式及点C的坐标； (2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值． 2．（2022·山西·中考真题） 综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； (2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 1．（2026·山西阳泉·三模）已知点，，都在二次函数的图象上，若，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西运城·一模）将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山西朔州·一模）如图，二次函数的图像经过点，则的值为______． 4．（2026·山西吕梁·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式实质上是同一个公式，即，其中，，表示三角形的三条边长，．现有某社区计划用一段长为的篱笆围成一个三角形的绿化区域，已知这个三角形的一条边长为，则围成的三角形绿化区域面积最大为_________． 5．（2026·山西朔州·三模）综合与实践 【问题情境】如图1，水枪是孩子们比较喜欢的一种玩具，玩水枪能锻炼孩子们的手眼协调能力与反应力，让孩子们远离屏幕，在欢笑中收获清凉、友谊与健康体魄． 【数学建模】小明在平地上玩水枪，水枪喷出的水柱轨迹可以看作两部分，当运行的水平距离在时，可以近似看作一条抛物线，当运行的水平距离在时，即从点M开始，可以近似看作一条直线，水柱的发射点A距离地面高度为，已知水柱在水平方向前进（即的距离）时，水柱达到最大高度为（即的高度），最终水柱在水平距离为的落地点落到地面点D处．以水柱轨迹在地面的投影直线为x轴，水柱发射点所在的竖直方向为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列任务： (1)求水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式． (2)若小明想用水枪喷中水平距离为、高度为的目标顶端，请问水柱能否喷中该目标顶端？请说明理由． 6．（2026·山西长治·三模）综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 7．（2026·山西临汾·三模）综合与实践 问题情境：如图，表示一个斜坡，以O为坐标原点，以过点O的水平直线为x轴，以过点O的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，从点A向右上方发射小球，小球的飞行路线为抛物线，已知点A的坐标为． (1)用含b的代数式表示c． 问题延伸： (2)若也是水平面上的一个斜坡，坡度为，，过点C作轴于点D，其中点B的坐标为． ①若抛物线经过的中点，当小球高度与点A相同时，求此时小球与点A的水平距离． ②若，请直接写出小球到斜坡竖直距离h的最大值． 8．（2026·山西忻州·二模）综合与实践 问题背景：二连跨拱形仓库采用抛物线形拱顶设计，为双跨一体式结构，内部无立柱，空间开阔．采光通风良好，坚固耐用，可适配各类仓储场景．其纵切面如图1所示． 建立模型：如图2，表示水平直线（地面），，表示立柱，且，均垂直于，过点A的竖直直线与交于点O，此时构成拱顶的两段抛物线和、立柱和均关于直线对称．以O为原点，水平直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 测量数据：，跨度，拱顶最高点距离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线的函数表达式． 问题解决：储物箱纵切面为矩形，长为，高为．以为对称轴向两侧摆放一排储物箱，为保障存放安全，相邻两列储物箱之间的距离均为． (2)若每列放置两个储物箱，请计算最右侧储物箱的右上顶点M与抛物线在竖直方向上的距离． (3)根据安全要求，储物箱上表面任意一点到拱顶的竖直距离不得小于，请问：在保证安全的前提下，这一排最多可以放置多少个这样的储物箱？请直接写出结果． 9．（2026·山西长治·三模）【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 10．（2026·山西长治·三模）某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶棚所在抛物线的解析式． (2)如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 11．（2026·山西吕梁·二模）综合与实践 问题情境：漪汾桥是太原首座双七拱吊桥，具有划时代意义，它是中承式连续拱桥，其最亮眼的设计在于桥体两侧对称舒展的抛物线形桥拱，远远望去犹如两道绚丽的彩虹横跨汾河，早已成为汾河畔极具辨识度的城市景观，兼具工程美学与力学价值． 数学建模：图1是太原漪汾桥实物图，桥面上方的桥拱可近似看作完全相同的抛物线，图2为其一桥拱的示意图，以桥面所在直线为轴，桥墩立柱所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知桥拱的跨度米，桥拱最高点到桥面的距离为9米． 问题解决： (1)①求该桥拱抛物线的函数表达式； ②为了方便给桥拱顶部喷涂除锈剂，养护工人需在桥拱上距离桥面5米高的位置，搭建施工水平支架平台（点均在桥拱上），对桥拱横向作业，求该水平作业平台的长度． (2)如图3，若需在漪汾桥桥拱下方安装一块内容为“晋善晋美，马到成功”的矩形灯牌，其中点在抛物线上，点在桥面上，边靠近桥墩且到桥墩的距离不小于11米，为更好地筹备所需材料，需测算单块宣传牌的周长最大值（宣传牌厚度忽略不计），请你帮忙计算一下，直接写出结果即可． 12．（2026·山西阳泉·三模）综合与实践 任务布置：某班开展课外锻炼，有7名身高分别为，，，，，，的同学组队参加跳长绳运动．为增加甩绳的稳定度，确定两位身高为的同学甩绳，其余同学跳绳．要求所有同学站成一排，跳绳同学按照中间高、两端低的方式排列，且7名同学每2人之间的距离至少为才能保证安全． 研究步骤：（1）如图，两位甩绳同学经过多次试验发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点到地面的距离为时，效果最佳． （2）当绳子甩到最高点时，绳子的形状可以近似的看成一条抛物线，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，解决下列问题： (1)请在图中画出平面直角坐标系，并求出绳子甩到最高点时抛物线的表达式． (2)身高最高的同学站在的中点处，其余跳绳的同学对称安排在其两侧． ①当跳绳同学之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳同学的头顶?并说明理由； ②在保证安全的情况下，请直接写出最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳同学之间距离的取值范围．（结果保留根号；学生只考虑身高，其他忽略不计，绳子甩到最高点时所在位置与跳绳同学所在位置在同一竖直平面内） 13．（2026·山西临汾·三模）综合与探究 问题情景： 如图1，投壶源于古代射礼，作为非物质文化遗产，它承载着中华传统礼仪与娱乐文化．今投壶成为学校、景区和节庆活动中的体验项目，让人们感受古人雅趣，弘扬君子之风，具有教育传承价值． 数据测量： 投壶过程中，箭头的运动轨迹近似地可视为一条抛物线． 如图2，明明在点处投壶时，出手点距离地面，当箭头行进至与出手点水平距离的点时，其离地面的最大高度为． 解决问题： (1)以箭头运动轨迹在地面的投影所在直线为轴，以明明的位置所在直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出在此平面直角坐标系下该抛物线对应的二次函数解析式． (2)求箭头的落地点与点之间的距离（，精确到）． (3)如图3，在明明正前方（明明距离容器最左端的距离）点处有一高、直径为的圆柱形容器，判断明明此次投壶能否投中容器，并说明理由；若不能，在不改变投掷力度（抛物线的形状不变）的情况下，明明此次投壶能投中容器，出手点的高度应该在什么范围？ 14．（2026·山西阳泉·三模）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置（看为一点）为原点O，射水鱼与水面平行的直线为x轴，与水面垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为． (1)求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． (2)一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动多少分米才能击中昆虫？ 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 二次函数 5年真题1年模拟 考点分类 山西考情（2022-2026） 命题规律 考点01二次函数的图像与性质 2026山西卷 1. 题型：12分综合与实践压轴大题，农业产量实际情境2. 核心载体：两组抛物线分别代表不同肥力麦田产量，融合顶点、最值、函数差值计算3. 分层设问：①顶点式求函数解析式；②单条抛物线最值计算、两条函数差值；③双变量分别 / 同时取最值，求总产量差值，侧重数形结合与代数运算 考点02 二次函数与一元二次方程 2022山西卷 1. 题型：12分阅读与思考新定义大题，山西特色说理题型2. 核心思想：数形结合、分类讨论、转化思想3. 考查内容：结合抛物线开口、顶点纵坐标分析判别式与根的三种情况；自主仿写推理过程、举同类函数观点应用实例，侧重文字逻辑书写 考点03 求二次函数的解析式 2024山西卷 1. 题型：12分综合实践大题，校园花园几何背景2. 求解析式方法：利用垂直平分线、顶点坐标，顶点式求抛物线表达式3. 综合设问：结合线段长度、篱笆材料列方程计算，矩形周长最值探究，融合方程、二次函数最值 考点04 实际问题与二次函数 2025山西卷 1. 题型：12分综合实践压轴，仿生机器人运动轨迹抛物线建模2. 三层考法：①由起跳、落地、最高点坐标直接写顶点式解析式；②抛物线平移 / 形状不变，求水平落点距离；③结合安全距离不等式，直接写平台高度，联系生活工程应用 考点05 二次函数综合 2023山西卷 2022山西卷 1. 题型：12分综合探究压轴，中考几何代数综合难点2. 固定模型：抛物线交坐标轴+一次直线相交，第一象限动点作垂直 x 轴垂线构造线段差3. 三大设问方向：①求一次函数解析式、坐标轴交点；②线段相等列方程求动点横坐标；③多边形面积构造二次函数求最大值、等腰三角形 / 等角存在性分类求动点参数 考点01 二次函数的图像与性质 1．（2026·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 【答案】(1)（） (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15 【分析】（1）根据点是描述与关系的抛物线的顶点，则设，将点代入即可求解； （2）①根据二次函数的性质得到当时，取得最大值，此时，求出当时，的值，计算即可求解； ②根据二次函数的性质求出，的最大值，即可得到m的值，令，求出y的最大值，即可得到n的值，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． 考点02 二次函数与一元二次方程 1．（2022·山西·中考真题） 阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务 用函数观点认识一元二次方程根的情况 我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况 下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析： （1）时，抛物线开口向上． ①当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）． ②当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）． ∴一元二次方程有两个相等的实数根． ③当时， …… （2）时，抛物线开口向下． …… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论． D．转化思想 (2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图； (3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 【答案】(1)AC (2)分析见解析；作图见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论思想； （2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答； （3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可． 【详解】（1）解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想， 故答案为：AC； （2）解：a>0时，抛物线开口向上． 当△=b2−4ac<0时，有4ac−b2>0﹒ ∵a>0， ∴顶点纵坐标﹒ ∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）： ∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根． （3）解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等） 考点03 求二次函数的解析式 1．（2024·山西·中考真题） 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】(1) 建立如图所示的平面直角坐标系， (2)的长为4米，的长为2米 (3)矩形周长的最大值为米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可； （2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可； （3）由矩形周长，即可求解． 【详解】（1）解：∵所在直线是的垂直平分线，且， ∴． ∴点B的坐标为， ∵， ∴点P的坐标为， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：． ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点D，E在抛物线 上， ∴设点E的坐标为， ∵，交y轴于点F， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， 根据题息，得， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． ∴， 答：的长为4米，的长为2米． （3）解：如图矩形灯带为， ，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴， ∴，， 设直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴直线解析式为， 同理可得，直线的表达式， 设点、、、， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 考点04 实际问题与二次函数 1．（2025·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 考点05 二次函数综合 1．（2023·山西·中考真题） 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．        (1)求直线的函数表达式及点C的坐标； (2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)①2或3或；②，S的最大值为 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点C的坐标即可； （2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可； ②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由得，当时，． 解得． ∵点A在轴正半轴上． ∴点A的坐标为． 设直线的函数表达式为． 将两点的坐标分别代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将代入，得． ∴点C的坐标为； （2）①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为． ∴点的坐标分别为． ∴． ∵点的坐标为， ∴． ∵， ∴． 如图，当点在直线上方时，．    ∵， ∴． 解得． 如图2，当点在直线下方时，．    ∵， ∴． 解得， ∵， ∴． 综上所述，的值为2或3或； ②解：如图3，由（1）得，．    ∵轴于点，交于点，点B的坐标为， ∴． ∵点在直线上方， ∴． ∵轴于点， ∴． ∴，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵轴， ∴四边形为矩形． ∴． 即． ∵， ∴当时，S的最大值为． 2．（2022·山西·中考真题） 综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； (2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点C的坐标为； (2) (3)存在；m的值为4或 【分析】（1）令中y和x分别为0，即可求出A，B，C三点的坐标，利用待定系数法求直线BC的函数表达式； （2）过点C作于点G，易证四边形CODG是矩形，推出，，，再证明，推出，由等腰三角形三线合一的性质可以得出， 则，由P点在抛物线上可得，联立解出m，代入二次函数解析式即可求出点P的坐标； （3）分点F在y轴的负半轴上和点F在y轴的正半轴上两种情况，画出大致图形，当时，，由（2）知，用含m的代数式分别表示出OF，列等式计算即可． 【详解】（1）解：由得， 当时，， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得． ∵点A在点B的左侧， ∴点A，B的坐标分别为． 设直线BC的函数表达式为， 将，代入得， 解得， ∴直线BC的函数表达式为﹒ （2）解：∵点P在第一象限抛物线上，横坐标为m，且轴于点D， ∴点P的坐标为，， ∴． ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴，． 过点C作于点G，则． ∵， ∴四边形CODG是矩形， ∴ ，，． ∴． ∵， ∴． ∴，即，   ∴． 在中， ∵， ∴． ∴， ∴ 解得（舍去）， ∴． 当时，﹒ ∴点P的坐标为． （3）解：存在；m的值为4或． 分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线轴于点H， ∵过点P作直线，交y轴于点F， ∴ ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，．   根据勾股定理，在中，， 在中，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴； ②当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示， 同理可得，，，，， ∴ ∴， 解得或， ∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴； 综上，m的值为4或 1．（2026·山西阳泉·三模）已知点，，都在二次函数的图象上，若，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定二次函数开口方向和对称轴，再根据开口向下时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，比较三个点到对称轴的距离即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小， ∴分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 由题知，可得， ∴，即． 2．（2026·山西运城·一模）将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“左加右减”的平移法则求出平移后新抛物线的解析式，再代入验证即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后，可得新抛物线为： 即， 当时，， ∴抛物线不经过点与， 当时， ∴点在新抛物线上，点不在新抛物线上． 3．（2026·山西朔州·一模）如图，二次函数的图像经过点，则的值为______． 【答案】2 【分析】将点代入二次函数解析式，得到关于a、b、c的方程组，通过解方程组用含a的代数式表示b和c，最后代入待代数式进行整式加减运算即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 可得：，解得：， 将代入①得，解得： ∴． 4．（2026·山西吕梁·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式实质上是同一个公式，即，其中，，表示三角形的三条边长，．现有某社区计划用一段长为的篱笆围成一个三角形的绿化区域，已知这个三角形的一条边长为，则围成的三角形绿化区域面积最大为_________． 【答案】12 【分析】根据题意得，不妨取，则，再利用海伦公式，得到，设，利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：根据题意，，则， 不妨取，则，， 三角形的面积， ，解得, 设， 它是a的二次函数，开口向下，当时，y取最大值， 此时，面积S取最大值为． 5．（2026·山西朔州·三模）综合与实践 【问题情境】如图1，水枪是孩子们比较喜欢的一种玩具，玩水枪能锻炼孩子们的手眼协调能力与反应力，让孩子们远离屏幕，在欢笑中收获清凉、友谊与健康体魄． 【数学建模】小明在平地上玩水枪，水枪喷出的水柱轨迹可以看作两部分，当运行的水平距离在时，可以近似看作一条抛物线，当运行的水平距离在时，即从点M开始，可以近似看作一条直线，水柱的发射点A距离地面高度为，已知水柱在水平方向前进（即的距离）时，水柱达到最大高度为（即的高度），最终水柱在水平距离为的落地点落到地面点D处．以水柱轨迹在地面的投影直线为x轴，水柱发射点所在的竖直方向为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列任务： (1)求水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式． (2)若小明想用水枪喷中水平距离为、高度为的目标顶端，请问水柱能否喷中该目标顶端？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能， 理由：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入， 得， 解得， ∴， 当时，， ∵， ∴水柱不能喷中该目标顶端． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据（1）中函数解析式求出点M的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，然后把代入直线的解析式，求出函数值，最后与目标高度对比，即可得出结论． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， ∴水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式为； （2）略 6．（2026·山西长治·三模）综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出乙组喷泉的抛物线的表达式，再令求解即可； （3）对于两组抛物线，分别令求出值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 故设抛物线表达式为 代入可得，， 解得 ∴抛物线表达式为 （2）解：由于两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为， 故设抛物线的表达式为， 代入可得， 解得或（舍去） ∴抛物线的表达式为 当时， ∴喷水管的高度为 （3）解：由题意得， 对于，当时，则， 解得； 对于，当时，则， 解得， ∴安全通道的宽度为． 7．（2026·山西临汾·三模）综合与实践 问题情境：如图，表示一个斜坡，以O为坐标原点，以过点O的水平直线为x轴，以过点O的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，从点A向右上方发射小球，小球的飞行路线为抛物线，已知点A的坐标为． (1)用含b的代数式表示c． 问题延伸： (2)若也是水平面上的一个斜坡，坡度为，，过点C作轴于点D，其中点B的坐标为． ①若抛物线经过的中点，当小球高度与点A相同时，求此时小球与点A的水平距离． ②若，请直接写出小球到斜坡竖直距离h的最大值． 【答案】(1) (2)8；② 【分析】（1）把代入可得结论； （2）①求出，，得点B的坐标为，点C的坐标为，的中点坐标，求出，，得抛物线解析式为，令，求出相应的的值，即可求出小球与点A的水平距离．②求出直线的表达式为，抛物线的表达式为，再求出小球到斜坡的竖直距离为，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴． （2）解：①∵坡度为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点B的坐标为， ∴点C的坐标为， ∴的中点坐标为． 经过点， ，解得， ∴抛物线的表达式为． 当时，即 ，解得，， ∴此时小球与点A的水平距离为． ②由①可知点B的坐标为，点C的坐标为． 设直线的表达式为， ， 解得， ∴直线的表达式为． ， 解得， ∴抛物线的表达式为 ． ∵小球到斜坡的竖直距离为， ∴当时有最大值，且最大值为． 8．（2026·山西忻州·二模）综合与实践 问题背景：二连跨拱形仓库采用抛物线形拱顶设计，为双跨一体式结构，内部无立柱，空间开阔．采光通风良好，坚固耐用，可适配各类仓储场景．其纵切面如图1所示． 建立模型：如图2，表示水平直线（地面），，表示立柱，且，均垂直于，过点A的竖直直线与交于点O，此时构成拱顶的两段抛物线和、立柱和均关于直线对称．以O为原点，水平直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 测量数据：，跨度，拱顶最高点距离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线的函数表达式． 问题解决：储物箱纵切面为矩形，长为，高为．以为对称轴向两侧摆放一排储物箱，为保障存放安全，相邻两列储物箱之间的距离均为． (2)若每列放置两个储物箱，请计算最右侧储物箱的右上顶点M与抛物线在竖直方向上的距离． (3)根据安全要求，储物箱上表面任意一点到拱顶的竖直距离不得小于，请问：在保证安全的前提下，这一排最多可以放置多少个这样的储物箱？请直接写出结果． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为；抛物线的函数表达式为 (2) (3)28个 【分析】（1）运用待定系数法可求出抛物线的函数表达式为，根据对称性可得出抛物线的函数表达式为； （2）设y轴右侧可以摆放m列储物箱，根据题意列不等式求解即可； （3）由（2）知，右边仓库可放4列储物箱，求出每列数量分别为3，4，4，3，共14个，同理可求左边仓库也可放14个，共计可放28个． 【详解】（1）解：由题意，得抛物线的对称轴为直线，拱顶最高点距离地面的高度为， ∴抛物线的顶点坐标为； 设抛物线的函数表达式为， 由题意得，点A的坐标为，且点A在抛物线上， ∴， 解得 ∴抛物线的函数表达式为， 由对称得抛物线的函数表达式为； （2）解：设y轴右侧可以摆放m列储物箱，由题意,得， 解得， ∵m为正整数，且取最大值， ∴， 此时点M的横坐标为， 将代入， 得， ∴点M与抛物线在竖直方向上的距离为； （3）解：由（2）知，右边仓库可放4列储物箱， 由题意得，第一列储物箱离的距离为， 当时，， （个）余1.08米， 同理可求第二列4个， 根据对称性，第三列4，第四列3个， 所以，这个仓库可摆放（个）， 同样左边的仓库也可摆放14个储物箱， 共计可摆放（个）储物箱． 9．（2026·山西长治·三模）【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 【答案】(1) 一次， (2) 日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒 (3) 45 【分析】（1）根据表格可得，当销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据题意得，，根据二次函数的性质求出w的最大值及对应的销售单价； （3）根据题意得，求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，当每盒销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数； 设一次函数关系式为． 将，代入，得 可得 解得 所以，与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 即． 关于的二次函数开口向下，对称轴为． 所以，当时，可以取得最大值，最大值为． 所以，日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒． （3）解：由题意得， 整理得 解得， ∴此时销售单价为45元/盒时更惠民． 10．（2026·山西长治·三模）某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶棚所在抛物线的解析式． (2)如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 【答案】(1) (2)①米；②需要做防水处理区域的高度为2.5米 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为．利用待定系数法求出．令，则，解方程即可得到答案；②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为．待定系数法求出．令即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，得，，顶棚所在抛物线的顶点的横坐标为4． 故可设顶棚所在抛物线的解析式为． 将，分别代入， 得 解得 顶棚所在抛物线的解析式为． （2）解：①抛物线的顶点坐标为， ． 故可设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得， 解得， ． 令，则， 解得， ， （米）． ②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得，解得， ． 令，则， 米，即需要做防水处理区域的高度为2.5米． 11．（2026·山西吕梁·二模）综合与实践 问题情境：漪汾桥是太原首座双七拱吊桥，具有划时代意义，它是中承式连续拱桥，其最亮眼的设计在于桥体两侧对称舒展的抛物线形桥拱，远远望去犹如两道绚丽的彩虹横跨汾河，早已成为汾河畔极具辨识度的城市景观，兼具工程美学与力学价值． 数学建模：图1是太原漪汾桥实物图，桥面上方的桥拱可近似看作完全相同的抛物线，图2为其一桥拱的示意图，以桥面所在直线为轴，桥墩立柱所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知桥拱的跨度米，桥拱最高点到桥面的距离为9米． 问题解决： (1)①求该桥拱抛物线的函数表达式； ②为了方便给桥拱顶部喷涂除锈剂，养护工人需在桥拱上距离桥面5米高的位置，搭建施工水平支架平台（点均在桥拱上），对桥拱横向作业，求该水平作业平台的长度． (2)如图3，若需在漪汾桥桥拱下方安装一块内容为“晋善晋美，马到成功”的矩形灯牌，其中点在抛物线上，点在桥面上，边靠近桥墩且到桥墩的距离不小于11米，为更好地筹备所需材料，需测算单块宣传牌的周长最大值（宣传牌厚度忽略不计），请你帮忙计算一下，直接写出结果即可． 【答案】(1)①；②44米 (2)98米 【分析】（1）①待定系数法求函数表达式；②根据题意可得点的纵坐标，代入解析式，解方程可得点的横坐标，即可求解； （2）设点的横坐标为，表示出矩形的周长，根据二次函数的图象和性质求出最值． 【详解】（1）解：①由题意得抛物线的顶点为桥拱最高点，横坐标为，纵坐标为9，即顶点坐标为． 设函数表达式为， 将原点代入上式，得， 解得， ∴该桥拱抛物线的函数表达式为； ②平台距离桥面的垂直距离为5米，即点的纵坐标， 将其代入抛物线解析式， 得， 解得， ∴（米）． 答：该水平作业平台的长度为44米； （2）解：设点的横坐标为， 由抛物线的对称性可知，点的横坐标为， ∴， 矩形的高即为点的纵坐标，． 设矩形的周长为， ∴ ， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数随的增大而减小， 根据题意，边到桥墩距离不小于11米，即． ∴当取最小值11时，周长取得最大值． 当时，（米）． 答：单块宣传牌的周长最大值为98米． 12．（2026·山西阳泉·三模）综合与实践 任务布置：某班开展课外锻炼，有7名身高分别为，，，，，，的同学组队参加跳长绳运动．为增加甩绳的稳定度，确定两位身高为的同学甩绳，其余同学跳绳．要求所有同学站成一排，跳绳同学按照中间高、两端低的方式排列，且7名同学每2人之间的距离至少为才能保证安全． 研究步骤：（1）如图，两位甩绳同学经过多次试验发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点到地面的距离为时，效果最佳． （2）当绳子甩到最高点时，绳子的形状可以近似的看成一条抛物线，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，解决下列问题： (1)请在图中画出平面直角坐标系，并求出绳子甩到最高点时抛物线的表达式． (2)身高最高的同学站在的中点处，其余跳绳的同学对称安排在其两侧． ①当跳绳同学之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳同学的头顶?并说明理由； ②在保证安全的情况下，请直接写出最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳同学之间距离的取值范围．（结果保留根号；学生只考虑身高，其他忽略不计，绳子甩到最高点时所在位置与跳绳同学所在位置在同一竖直平面内） 【答案】(1)平面直角坐标系，如图所示： ， (2)①长绳能高过所有跳绳同学的头顶． 理由如下： 根据题意，得跳绳同学的横坐标分别为1，1.5，2，2.5，3，跳绳同学身高的分布依次为，，，，． 把或代入，得； 把或代入，得； 把代入，得． 长绳能高过所有跳绳同学的头顶． ② 【分析】（1）由已知可得，在抛物线上，抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出当和时的函数值，再和队员身高比较即可； ②求出时，或，即可得出答案． 【详解】（1）解：平面直角坐标系略． 根据题意，得，且该抛物线的顶点坐标为， 设绳子甩到最高点时抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， 绳子甩到最高点时抛物线的表达式为； （2）解：①略 ②当时，， 解得或， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最小值为， 两人的水平距离，名队员每两人间的距离至少为才能保证安全， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最大值为， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围为． 13．（2026·山西临汾·三模）综合与探究 问题情景： 如图1，投壶源于古代射礼，作为非物质文化遗产，它承载着中华传统礼仪与娱乐文化．今投壶成为学校、景区和节庆活动中的体验项目，让人们感受古人雅趣，弘扬君子之风，具有教育传承价值． 数据测量： 投壶过程中，箭头的运动轨迹近似地可视为一条抛物线． 如图2，明明在点处投壶时，出手点距离地面，当箭头行进至与出手点水平距离的点时，其离地面的最大高度为． 解决问题： (1)以箭头运动轨迹在地面的投影所在直线为轴，以明明的位置所在直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出在此平面直角坐标系下该抛物线对应的二次函数解析式． (2)求箭头的落地点与点之间的距离（，精确到）． (3)如图3，在明明正前方（明明距离容器最左端的距离）点处有一高、直径为的圆柱形容器，判断明明此次投壶能否投中容器，并说明理由；若不能，在不改变投掷力度（抛物线的形状不变）的情况下，明明此次投壶能投中容器，出手点的高度应该在什么范围？ 【答案】(1)； (2)； (3)不能；理由如下： ∵， ∴当时，； ∵直径为的圆柱形容器， ∴当时，； ∴明明此次投壶不能投中容器， ∵不改变投掷力度， ∴设新的抛物线的解析式为 ， 当新的抛物线过点时，则， 解得； 当新的抛物线过点时，则， 解得， ； 故出手点的高度应该在. 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出的值，即可得出结果； （3）求出和时的函数值，进行判断，设新的抛物线的解析式为，分别求出抛物线过点和点时的函数值，即可得出结果. 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点坐标为，且抛物线经过点， 设抛物线的解析式为，把点代入，得， 解得， ∴； （2）解：当时， 解得或（舍去）， 故箭头的落地点与点之间的距离为； （3）解：略 14．（2026·山西阳泉·三模）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置（看为一点）为原点O，射水鱼与水面平行的直线为x轴，与水面垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为． (1)求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． (2)一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动多少分米才能击中昆虫？ 【答案】(1) (2)射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动或才能击中昆虫 【分析】（1）根据题意得出，水柱过，利用待定系数法代入求解计算即可确定函数解析式，再由相应一元二次方程的根确定取值范围； （2）设射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动才能击中昆虫，得出游动后射出水柱形成的抛物线的表达式为，然后将点代入求解即可． 【详解】（1）解：∵水柱的最大高度为， ∴． 根据题意，得水柱过． 把代入，得． 解得． 当时，． 解得，． ∴y关于x的函数表达式为． （2）解：设射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动才能击中昆虫． ∴游动后射出水柱形成的抛物线的表达式为． 把代入，得． 解得或． ∴射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动或才能击中昆虫． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 专题14二次函数 5年真题1年模拟 五年真题分类园 品 考点01二次函数的图像与性质 B(18,646) 1.(1)解：由题意得，点 是描述”与关系的抛物线的顶点， ÷设y=a(x-18)}2+646 点40160) 描述片与关系的抛物线上， 3 a(0-18)2+646=160,解得0=-2， “y与x的函数关系式为片=-2(-18+646(0≤x≤28)， (2)解：①°h=-x+26x+140=-(x-13)}+309 ∴.a=-1<0,开口向下， 又0≤x≤28， 1时，”取得最大值，此时为=309 六当= 两种麦田每亩施氮量相同， :当=13时，为=x3-1图+646=6085， 3 此时片-5=608.5-309=29.5 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氨量为13千克，此时两种麦田小 克 ②1=6-18旷+646，为=-k-13+30. 1/23 让教与学更高效 麦每亩产量的差为299.5千 学科网 www.zxxk.com :”的最大值为646，”的最大值为309. .m=646+309=955 令y=y+y2=- x-18+646-(c-1gj+309 、5 x2+80x+300 2 =-3x-16+940. ∴.当x=16时，y有最大值，为940. .n=940 .m-n=955-940=15 正品考点02 二次函数与一元二次方程 1.(1)解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、 故答案为：AC; (2)解：心0时，抛物线开口向上 当△=b-4ac<0时，有4ac-b>0· D0, 4ac-b2 顶点纵坐标4a >0 ∴，顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图)： ∴.一元二次方程+bx+c=0(时0)无实数根 (3)解：可用函数观点认识二元一次方程组的解.（答案不唯一.又如 2/23 让教与学更高效 分类讨论思想， 可用函数观点认识一元一次不 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 等式的解集，等) 考点03求二次函数的解析式 1.(1)解：：OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB=6, :04-OB=14B= 1 ×6=3 2 2 3,0) .点B的坐标为 .OP=9 0,9) 点P的坐标为 ,点P是抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为”=r+9」 B(3,0 ,点 在抛物线少=ar2+9 上， .9a+9=0, 解得：a=-1. 抛物线的函数表达式为'=-+9(3≤x≤3) (2)解：，点D,E在抛物 y=-2+9上， 设点E的坐标为 (m,-m2+9) :DE∥AB,交y轴于点F, .DF=EF =m,OF=-m2+9, .DE =2m ,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，OA=OB, 0c-4B=6=3. ∴.CF=OF-OC=-m2+9-3=-m2+6, 根据题息，得DE+CF=6, 3/23 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∴.-m2+6+2m=6, m1=2,m2=0 解得： (不符合题意，舍去)， .m=2. .DE=2m=4,CF=-m2+6=-22+6=2 答：DE的长为4米，CF的长为2米. (3)解：如图矩形灯带为GHML, Y不 ,点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴， B .OC=3 0A=3 C(0,3)4(-3,0) 设直线AC解析式为y=x+b, b=3 将C(0,3),A(-3,0)代入，得：-3k+b=0, [b=3 解得k=1, 直线AC解析式为y=x+3, 同理可得，直线BC的表达式y=-x+3, 设点G(m-m+).H-m-m+9)(mm+3).M(-m,-m+3) 期地形长2C+6)2(2mm49-m到(a15,5. 4/23 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 33 故矩形周长的最大值为2米.。 考点04实际问题与二次函数 1.解：(1)由题意，得：抛物线的对称轴为直线x=80,顶点纵坐标为60， 80,60) 顶点坐标为 y=a(x-80)2+60 设抛物线的函数解析式为： 图象过原点， &a0-802+60=0,解：a=3 3 (x-80)2+60 320 (2),抛物线的形状不变，点(0,75)， 故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ·新的抛物线的解析式为：y=- （x-80y2+60+75=-3（x-80y2+135】 3 320 320 3 当y=0时，320 (x-80)2+135=0 x1=200x2=-40 解得： (舍去)： 故起跳点P与落地点9的水平距离OQ的长为200cm; (3)设该平台的疯度为如m·由想意，设新的西数解斩式为：y=:-80P+0+长， 320 :AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm,仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3Cm处，即抛物线经过点 0+40,48+3),即：020,50 3 :把120.5代入y=20-80+60+k.得：5120120-80+60+k,解得：人=69 故设该平台的高度为6cm. 5/23 函学科网 www.zxxk.com 考点05二次函数综合 =-x2+4x 1.(1)解：由 得，当少=0 时，-x2+4x=0 解得5=054 点A在x轴正半轴上 二点4的坐标为40) 设直线AB的函数表达式为 =x+b(k≠0) 将4B两点的坐标 4,0),(1,3 分别代入y=+b 「4k+b=0 得k+b=3, [k=-1 解得b=4, ∴直线AB的函数表达式为y=-x+4. 将x=0代入y=-x+4,得y=4. 0,4) ∴点C的坐标为 (2)①解：“点P在第一象限内二次函数)=-+4红 的图象上 D,其横坐标为m. 点P,D的坐标分别为 (m,-m2+4m,D(m,-m+4) PE=-+4m,DE=-m+4.OE=m “点C的坐标为Q,4) ∴0C=4」 6/23 让教与学更高效 且PEL轴于点E,与直线1B交于点 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 PD-0C. 2 ∴.PD=2 如图，当点P在直线AB上方时， PD=PE-DE=-m2+4m-（-m+4)=-m2+5m-4 C B D E ,PD=2, .-m2+5m-4=2. 解得%=2m3 如图2，当点P在直线AB下方时， PD=DE-PE=-m+4-（-m2+4m)=m2-5m+4 C D B H ,PD=2, .m2-5m+4=2. 5±V17 m= 解得 2, .0<m<1, 7/23 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 5-√17 .m= 2· 5-17 综上所述，m的值为2或3或2： OE=m,PE=-m2+4m,DE=-m+4 ②解：如图3，由(1)得， B E B0⊥ ,3) 轴于点P,交OP于点F,点B的坐标为 .00=1 ,点P在直线AB上方， .E0=m-1」 PE⊥x轴于点E, .∠OQF=∠OEP=90° .F2∥DE,∠FOQ=∠POE, .△FOQ∽△POE F0_O0 .PEOE· FO 1 .-m2+4mm F0=-m+4m.-m+4. m 8/23 可学科网 .FO=DE :四边形FED为平行四边形. PE⊥x轴， ∴四边形FOED为矩形. ,S=EQ.FQ=(m-1)(-m+4) 即S=-m2+5m-4. 5)29 2-2+4 S=-m2+5m-4=-m-。 .1<m<4, 5 9 “当m=2时，S的最大值为4· 3 2解：由y=子2++4得， 2 当x=0时，y=4, (0,4) .点C的坐标为 当y=0时，4+2x+4=0 解得5-26=8 ,点A在点B的左侧， A(-2,0),B(8,0) 点A,B的坐标分别为 设直线BC的函数表达式为y=kc+b, 0=8k+b 将B(8,0),C(0,4)代入得4=b, www zxxk.com 让教与学更高效 9/23 函学科网 WWW.Zx k=- 2 解得b=4· ·直线BC的函数表达式为y=一2 +4 (2)解：点P在第一象限抛物线上，横坐标为， 1 ·点P的坐标为m4 23 m+4 2 OD=m, 3 、三2 m+4 2 :点B的坐标为⑧，0)，点C的坐标为 ,4) .OB=8,OC=4 过点C作CG⊥PD于点G,则∠CGD=90°」 .∠PD0=∠COD=90°， ∴.四边形CODG是矩形， .'.CG//OB DG=OC=4,CG=OD=m .∠1=∠2 .∠CGE=∠BOC=90°， .△CGE∽△BOC EG CG EG_m ∴C0=B0,即4=8， 1 EG-2m 在△CPE中， CP=CE,CG⊥PE, 1 PG=EG=m 1 .PD=PG+DG=m+4 2 12 3 1 .4 气m+。m+4=)m+4 2 10 xk.com 让教与学更高效 且PD⊥x轴于点D, 23 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 m1=4,m2=0 解得 (舍去)， .m=4. 1 3 当m=4时，y=-4m+弓m+4=6. 4 2 4,6) ∴点P的坐标为 B (3)解：存在；m的值为4或25-2 分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线PHLy轴于点H, AV ,过点P作直线I∥AC,交y轴于点F, PF∥AC, .∠ACO=∠PFH, .tan∠ACO=tan∠PFH, AO HP 2 m ∴OC=HE,即4HF .HF =2m. 3 2m+4 .·OH=PD=-1m2+ 11/23 学科网 www zxxk.com OF HF-OH=2m- 1 由(2)知，EG=号m 2 根据勾股定理，在△CGE中，CE2=CG2+GE2, 在△FOD中，FD2=OF2+OD2, 当CE=FD时，CG2+GE2=OF2+OD2, .CG=OD=m, .'EG=OF, 六2m=4m2+号m-4 1 1 1 4 2 解得m=4或m=-4, 点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点， m=4: ②当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示， ◆y C E D B 同理可得，EGOE,EG=2m,HF=2m'二2D -m m2+3 .OF =OH-HF=_1m m+4-2m=- m21 1 4 2 4 m+4 2m=m2 1 m+4 4 2 解得m=2V5- 或m=-25-2 12/23 让教与学更高效 3 m+4 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ,点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点， :m=25-2 综上，m的值为4或25-2 一 年模拟练测园 1.A 2.C 3.2 4.12 5.(1)解：设二次函数解析式为"=(-4+425】 把1(0,1.25) 入，得.25=a0-4+425 3 解得a=16, y=0-4+45 水柱抛物线部分的轨选对应的二次西数解新式为=。-4+4250≤≤0)， (2)不能， 理电：当6=。6-4+425名 2 7 设直线MD的解析式为y=a+b, 7 D(12,0)代入。 6k+b=7 2 得12k+b=0' 13/23 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 7 k=- 12 解得b=7’ 7 2*7 ..y- 7 当x=10时，y= ×10+7=7 12 6, 7 <1.25 6 ∴水柱不能喷中该目标顶端. 2,3) 6.(1)解：由题意得，抛物线顶点坐标为 故设抛物线表达式为'=a(x-2+3 代入(00 可得，4a+3=0 3 解得a=- 4 地物线表达式为=-2+3 (2)解：由于两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为3m, 故设抛物线的表达式为y= -(-my13. 代入8,0可得，子×B-m+3=0 解得m=1或m=5(舍去) 抛物线的表达式为y=x-+3 3 9 当x=0时，y=-+3= 4 4 9 ·喷水管04的高度为4m (3)解：由题意得， 对于少-2+，6时，则-2+38 14/23 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 17 解得X=2=2: 对汗y=-+3,当y6时则x-+38 16, 15 解得=23=2， 51 安全通道cD的宽度为22m, 7.(1)解：抛物线y=8 +bx+c经过点A(-4,3): ∷3-1 (-4+bx(4+c, .c=4b+5 (2)解：①：坡度为=tan∠CBD=1:4BC=V7 ∴.BD=4CD, ..CD2+BD2=BC2, ..CD+(4CD)-() CD=1, BD=4. 4,0) ,点B的坐标为 点C的坐标为 8,1) ∴.BC的中点坐标为 6 1 :y=-。x2+bx+4b+5 8 经过点 1 8×6+6+46+5=2,解得6=0 ∴.抛物线的表达式为y= 8+5 15/23 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 当y=3时，即8 +5=3,解得x=4,名=4： 4-(-4)=8 此时小球与点A的水平距离为 4,0 ),点C的坐标为 ,1) ②由①可知点B的坐标为 设直线BC的表达式为y=G+m, 1=8k+m 0=4k+m, 1 k4 解得m=' 1 ·直线BC的表达式为y=4x-1 c=4b+5 c-2b=8, 解得c=11' 二地物线的表达式为y=-8+3x+ 2 121 “当x=5时h有最大值，且最大值为8· 8.(4)解：由题意，得抛物线L的对称轴为直线x=2×12=6,拱顶最高点距离地面EF的高度为8m' 抛物线的顶项点坐标为(6,8) 设抛物线的函数表达式为y=a(x-6)+8 16/23 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (0,6) 由题意得，点A的坐标为 ,且点4在抛物线上， :6=a(0-6)2+8 1 解得a=18 泄物线L的西数表达式为=(-6+8， 白对称得糙物线L的函数表达式为=点+6+8。 (2)解：设y销右侧可以摆放m列储物箱。由题意，得方x12+18m+12(m-1)≤12。 解得m≤4.2， .为正整数，且取最大值， ∴.m=4, 1 此时点M的横坐标为2×1.2+1.8×4+1,2x(4-)=1.4, 将x=4代入=点x-6+8, 得=皮×014-6+8=638， .38-2×1.5=3.38(m) ∴.点M与抛物线在竖直方向上的距离为 (3)解：由(2)知，右边仓库可放4列储物箱， 由题意得，第一列储物箱离AO的距离为0.6m, 当x=06时，=506-6+8=638， (6.38-0.8)÷1.5=3 (个)余1.08米， 同理可求第二列4个， 根据对称性，第三列4，第四列3个， 所以，这个仓库可摆放3+4+4+3=14（个）， 同样左边的仓库也可摆放14个储物箱， 共计可摆放14+14=28（个）储物箱. 17/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(1)解：由表格可得，当每盒销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y(盒)是销 售单价x（元盒)的一次函数： =kc+b(k≠0) 设一次函数关系式为 将40,20).(50,10)代入，得 40k+b=200 可得50k+b=100 [k=-10 解得b=600 所以，'与之间的函数关系式为)=0x+600(40≤x≤50) (2)解：根据题意得”=(x-30) 即"=（←10x+60)(x-30)=-10r2+900x-1800=-10(x-45}+2250 w关于x的二次函数开口向下，对称轴为x=45 所以，当x=45时，w可以取得最大值，最大值为2250. 所以，日均销售利润最大值为2250，元，对应销售单价为45元/盒. -10x+600)(x-30-3)=1800 (3)解：由题意得 整理得x2-93x+2160=0 解得5=45，书=48 ∴.此时销售单价为45元/盒时更惠民， 10,()解：由题意，得10,4).D2,) ,顶棚所在抛物线的顶点的横坐标为4. 故可设顶棚所在抛物线的解析式为'=a(x-4+k 将10,4)，D(12,1分别代入y=a(x-4+k, 18/23 品学科网 www.zxxk.com 16a+k=4 得64a+k=1 a=- 16 解得k=5 顶棚所在抛物线的解析式为y=6x-4+5。 (2)解：①.抛物线y=16x-4+5的项点坐标为4,5)， ∴.G(4,4.5) 故可设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为’=b(x-4+4.5 将EL,0)代入，得6+45=0， 解得b=0.5, ∴.y=-0.5(x-4)+4.5 令y=0,则0.5(x-4)}+4.5=0 解得5=1名7 .EH=7-1=6(米). ②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为y=(x-4)+4,5 将F(Q,0)代入，得36c+45=0,解得c= 8 y=专x-4到+45 令x=0,则y=-8×(0-4)+45=2.5, ∴.OM=2.5米，即需要做防水处理区域的高度为2.5米. 0A=3 11.(1)解：①由题意得抛物线的顶点为桥拱最高点，横坐标为 19/23 让教与学更高效 3,纵坐标为9，即顶点坐标为 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (33,9) 设函数表达式为y=a(x-33)+9 将原点0,0)代入上式，得0-3+9=0 1 解得a=121, 该桥拱损物线的西数表达式为=：-3广+9。 ②平台MN距离桥面OA的垂直距离为5米，即点M的纵坐标y=5, 1 将其代入抛物线解析式y=12(x-3)+9, 得127x-33}+9=5. 1 1=11,x2=55 解得 .MN=55-11=44(米). 答：该水平作业平台MN的长度为44米： (2)解：设点D的横坐标为m, 由抛物线的对称性可知，点G的横坐标为66-m, :DG=(6-m）-m=6-2m 27m*6 矩形的高DE即为点D的纵坐标，DE=- 11 设矩形DEFG的周长为C, 、 m2、32 2 121 11 +132 20123 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 m+88+260 “抛物线的对称轴为直线m=-88,开口向下， ∴.当m>-88时，函数C随m的增大而减小， 根据题意，DE边到桥墩距离不小于11米，即m≥11. ∴.当m取最小值11时，周长C取得最大值 当m=11时，C=01+89+20=98(*) 答：单块宣传牌的周长最大值为98米. 12.(1)解：平面直角坐标系略 (0,1.2 2,2) 根据题意，得 ,且该抛物线的顶点坐标为 设绳子甩到最高点时抛物线的表达式为'=(x-2)+2 把B0,1.2)代入，得(0-2+2=12 解得a=0.2, 六绳子甩到最高点时抛物线的表达式为)=0.2(x-2)+2(0≤x≤4)】 (2)解：①略 ②当1.6 6时，y=-0.2(x-2}+2=1.6 解得=2+V5欧=2-2 ·最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最小值为 -5 :两人的水平距离AC=4m,7名队员每两人间的距离至少为0.5m才能保证安全， (4-4×0.5)÷2=1 ∴最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最大值为 小最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围为2-V2)m≤x≤1m 13.(1)解：由题意，抛物线的顶点坐标为 且抛物线经过 4o 21/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6 设抛物线的解析式为 =ax可.把点A0与代入，90-可+-6 25, 解得a、3 10, =+ 2: (2)解：当y= -+20时 解得=1+532成=1-5 (舍去)， 故箭头的落地点与点O之间的距离为3.2m； (3)不能；理由如下： -+ y=- 2 当x=2时，=0×2-+=12>08， 3 2 ,直径为l0cm=0.lm的圆柱形容器， 当x240121时，y=高×21-+1137>08 ∴，明明此次投壶不能投中容器， 不改变投掷力度， ∴.设新的抛物线的解析式为 y=-++h, 3 当新的抛物线过点(208)时，则高×2-++h=08, 3 解得h=-0.4； 3 当新的抛物线过点(2.1,0.8)时，则-10 x2.1-+3+h=0.8 解得h=-0.337, 5 6-0.4=0.8,60.337=0.863 故出手点A的高度应该在0.8<h<0.863 22/23 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 14.(1)解：水柱的最大高度为6dm, .h=6 0(0,0) 根据题意，得水柱过 把00,0)代入y=a(x-2y°+6.得0=a0-2+6 解得Q= 当y=0时，一 -2+6=0 解得=0与4 y关于的西数表达式为=x-2旷+60≤≤4)。 (2)解：设射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动mm才能击中昆虫. 游动后射出水柱形成的抛物线的表达式为=(c-2-m+6(m≤x≤4+m)。 ,16 163 把33)代入，得326-2-m+6 1 解得m=3或m=3 3· 1 5 ∴射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动dm或3dm才能击中昆虫. 23123