2026-2027学年上海市高一上学期数学开学考质量检测预测模拟卷·优培卷2

**基本信息** 上海市高一上学期数学开学考培优模拟卷，沪教版，覆盖集合、函数、不等式等核心知识，解答题注重逻辑推理与综合应用（如第21题抽象函数单调性证明）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|集合运算（第1题）、函数最值（第3题）|分层设分，基础题（1-6题）与提升题（7-12题）结合| |选择题|4题/18分|充要条件（第13题）、集合韦恩图（第14题）|结合图形情境，考查直观想象| |解答题|5题/78分|方程根分布（第18题）、抽象函数性质（第21题）|多问递进，如第20题集合含整数元素问题，考查分类讨论与数学表达|

2026-2027学年上海市高一上学期数学开学考质量检测预测模拟卷 （培优篇·第2套） 沪教版·考试时间120分钟·满分150分 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合 ，，若 ，且 ，则实数 的值为______。 2. 已知命题 是质数， 是奇数，则命题“ 且 ”是______命题（填“真”或“假”），命题“ 或 ”是______命题（填“真”或“假”）。 3. 已知函数 ，，则 的最小值为______。 4. 已知集合 ，，若 ，则实数 的值为______。 5. 已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是______。 6. 已知 ，，且 ，则 的最小值为______。 7. 已知集合 ，，若 ，则实数 的值为______。 8. 已知函数 ，若直线 与函数 的图象有两个不同的交点，则实数 的值为______。 9. 若关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是______。 10. 已知集合 ，，则 ______。 11. 已知 ，则 的最小值为______，此时 ______。 12. 已知函数 ，若 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则 的最小值为______。 二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. 已知 ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知集合 ，集合 ，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数 ，则 的值域为（ ） A. B. C. D. 16. 下列命题中真命题的个数为（ ） ① 函数 与 是同一个函数； ② 函数 在 上单调递减； ③ 函数 在 上的最大值为 ； ④ 若函数 在 上是增函数，则 。 A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17.（14分） (1) 已知多项式 能被 整除，且 ，求实数 的值； (2) 已知 ，，且 ，求 的最小值，并写出取最小值时 的值。 18.（14分） 已知关于 的方程 。 (1) 若方程有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围； (2) 若方程的两个实数根 满足 ，求实数 的值； (3) 若方程的两个实数根 满足 ，求实数 的值。 19.（14分） 已知函数 的定义域为 。设点 是函数图象上的任意一点，过点 分别作直线 和 轴的垂线，垂足分别为 。 (1) 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； (2) 设点 为坐标原点，求四边形 面积的最小值。 20.（18分） 已知集合 ，集合 。 (1) 若 ，求实数 的取值范围； (2) 若 ，求实数 的取值范围； (3) 若 中恰好含有两个整数元素，求实数 的取值范围。 21.（18分） 已知定义在 上的函数 满足：对任意 ，都有 ，且 。 (1) 求 和 的值； (2) 用定义证明：函数 在 上单调递增（已知当 时，）； (3) 解不等式 ，其中 。 参考答案与解析 一、填空题 1. 答案： 解析： 。，且 。 中方程两根之积为 ，若 ，则两根之和为 ，。 不可能为 或 。 2. 答案： 假；真 解析： 真（3是质数）， 假（4是偶数）。 假， 真。 3. 答案： 解析： 。。 的最小值为 。 4. 答案： 解析： ， 为 的解集。 需 的左端点 ，右端点 。需 且 。；。。 5. 答案： 解析： ，当 时 ，当 或 时 。在 上最小值为 ，当且仅当 ，即 且 。 6. 答案： 解析： ，当且仅当 时取等。 7. 答案： 解析： 。若 ，则 的两根为 ，由韦达定理 。 8. 答案： 解析： 时 ； 时 。 与 图象交点个数： · ： 分支有1个根， 分支无根，共1个； · ： 分支有1个根， 分支无根，共1个； · ： 分支有2个根， 分支有1个根，共3个； · ： 分支 （重根）， 分支 ，共2个； · ： 分支无根， 分支有1个根，共1个。 。 9. 答案： 解析： ，，即 。若 ，恒成立；若 ，需两根均 ，即 且 。 时 处为0，排除。。 10. 答案： 解析： ，。。 11. 答案： ； 解析： ，当且仅当 时取等。 12. 答案： 解析： 。当 时，，在 上最大值为 ，最小值为 ，，为最小值。 的最小值为 。 二、选择题 13. 答案： B 解析： 或 ，不能推出 ；。故为必要不充分条件。 14. 答案： B 解析： 。 。阴影部分表示 。 ，。 选 B。 15. 答案： A 解析： ，当且仅当 时取等。值域 。 16. 答案： D 解析： ①错误（定义域不同）；②正确；③正确；④正确。真命题个数为3。 三、解答题 17. 解： (1) 因为 能被 整除，所以存在实数 ，使得 。展开右式得 ，比较等式两边同次项系数得 ，，。因为 ，所以 ，故 ，。 (2) 由 ，得 。又 ，所以 。当且仅当 时取等号，结合 ，得 。故 的最小值为 ，此时 。 18. 解： 。 (1) 有两个不等实根 。 (2) 韦达定理：，。 。 或 。 (3) 。 令 。 需 ，两者均满足。。 19. 解： 设 ，。 (1) 为 到 轴的距离，。 为 到直线 的距离，即 。 。 ，为定值 。 (2) 四边形 的面积 。 。 直线 的单位方向向量为 。 。 。 。 当且仅当 时取等。 四边形 面积的最小值为 。 20. 解： 。 。 (1) 。 需 且 且 。 (2) 。 需 且 且 。 (3) 中的整数元素为 。 中恰好含有两个整数元素： · 含 不含 ：需 ，，且 。 · ，，且 。 · 含 不含 ：需 ，，且 。 · ，，且 。 · 含 不含 ：区间 长度为4，若覆盖 和 ，则必覆盖中间值 ，不可能。 。 21. 解： (1) 。 。 (2) 证明：任取 ，则 。 。 由已知当 时 ，。 ， 在 上单调递增。 (3) 。 不等式化为 。 由(2) 单调递增，。 。 又 ，。 1 学科网（北京）股份有限公司 $