上海市2026-2027学年高一上学期数学开学考质量检测预测模拟卷·优培卷3

**基本信息** 上海市高一开学考数学培优模拟卷，通过集合运算、函数性质、不等式应用等问题设计，衔接初高中知识，梯度覆盖基础巩固（如集合子集个数）、能力提升（如函数单调性参数范围）与创新应用（如差集新定义），培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|集合非空真子集、命题的否定与逆否命题、函数值域|基础题（如集合子集个数）与中档题（如函数单调性参数范围）结合，考查抽象能力| |选择题|4题18分|充分必要条件、集合Venn图、函数值域|通过Venn图表示集合关系，强化几何直观与推理意识| |解答题|5题78分|方程根的分布、差集新定义、函数恒成立与存在性|设计新定义问题（差集）和函数综合应用，体现模型观念与创新意识|

2026-2027学年上海市高一上学期数学开学考质量检测预测模拟卷 （培优篇·第3套） 沪教版·考试时间120分钟·满分150分 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知命题 ，，则命题 的否定是______命题（填“真”或“假”），命题 的逆否命题是______命题（填“真”或“假”）。 2. 已知集合 ，则集合 的非空真子集的个数为______。 3. 若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的值为______。 4. 已知函数 ，则 在区间 上的值域为______。 5. 已知关于 的方程 的两个实数根 满足 ，则实数 的取值范围是______。 6. 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是______。 7. 已知 ，，且 ，则 的最小值为______，此时 ______。 8. 已知 ，。若 是 的必要不充分条件，则实数 的值为______。 9. 已知函数 ，若关于 的方程 有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是______。 10. 若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是______。 11. 已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是______。 12. 已知集合 ，，则 ______。 二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. 已知 ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知全集 ，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数 （），则 的值域为（ ） A. B. C. D. 16. 下列命题中真命题的个数为（ ） ① 函数 与 是同一个函数； ② 函数 在 上单调递减； ③ 函数 在 上的最大值为 ； ④ 若函数 在 上是增函数，则 。 A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17.（14分） (1) 已知 ，求 和 的值； (2) 已知 ，，且 ，求 的最小值，并写出取最小值时 的值。 18.（14分） 已知关于 的方程 。 (1) 若方程有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围； (2) 若方程的两个实数根 满足 ，求实数 的值； (3) 若方程的两个实数根 满足 ，求实数 的值。 19.（14分） 我们知道，如果集合 ，那么把 看成全集时， 的子集 的补集为 。 类似地，对于集合 ，我们把集合 叫做集合 与 的差集，记作 。据此回答下列问题： (1) 在下列各图中用阴影表示出集合 ；（注：请在答题卡上用黑色水笔涂阴影部分） (2) 若 ，，求 ； (3) 若集合 ，集合 ，且 ，求实数 的取值范围。 20.（18分） 已知集合 ，集合 。 (1) 若 ，求实数 的取值范围； (2) 若 中恰有一个整数元素，求实数 的取值范围； (3) 若 且 ，求实数 的取值范围。 21.（18分） 已知函数 。 (1) 若 的图象与 轴的两个交点分别在区间 和 内，求实数 的取值范围； (2) 若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围； (3) 若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围。 参考答案与解析 一、填空题 1. 答案： 假；真 解析： ， 为真命题。 的否定为假命题；逆否命题与原命题等价，也为真命题。 2. 答案： 解析： 集合 有 个元素，子集总数为 ，非空真子集个数为 。 3. 答案： 解析： 的解集为 ，则 和 是方程 的两根。两根之和 ，。 4. 答案： 解析： ，在 上，对称轴 处取最小值 ，端点 处取最大值 。值域 。 5. 答案： 解析： 令 。需 。；。取交集 。 6. 答案： 解析： 。 需 且 。；。取交集 。 7. 答案： ； 解析： 。当且仅当 ，代入 。 8. 答案： 解析： ，。 是 的必要不充分条件 。需 且 ，且等号不同时成立 且 。 9. 答案： 解析： 时 ； 时 。 有三个不等实根，需 。 10. 答案： 解析： ，开口向上，对称轴 。在 上单调递减，需 。 11. 答案： 解析： ， 时 或 。在 上最小值为 ，需区间包含 或 。；或 。 12. 答案： 解析： ；。。 二、选择题 13. 答案： A 解析： ，充分； 不能推出 （如 ），不必要。故为充分不必要条件。 14. 答案： A 解析： 。又 ，。阴影部分表示 ，故选 A。 15. 答案： A 解析： ，，值域 。 16. 答案： D 解析： ①错误（定义域不同）；②正确；③正确；④正确。真命题个数为3。 三、解答题 17. 解： (1) 由 ，两边同除以 得 。 。 。 (2) 。 当且仅当 ，代入 。 18. 解： 。 (1) 。 (2) 韦达定理：，。 。 ，满足 。。 (3) 。 令 。 需 ， 满足， 不满足。。 19. 解： (1) 阴影部分为 中不属于 的元素，即 。在Venn图中，画出 区域中在 外部的部分。 (2) ，。 。 。 (3) 。 。 ① 当 时，。需 （恒成立）且 。。 ② 当 时，。需 且 。 ，两边乘 （，变号）：。 ，两边乘 （，变号）：，结合 恒成立。 。 ③ 当 时，，符合。 综上： 。 20. 解： 。 。 (1) 。 需 且 且 ，无解。。 (2) 中的整数元素为 。 中恰有一个整数元素： · 含 不含 ：需 且 。 · ，，且 或 或 。取交集 。 · 含 不含 ：需 且 。 · ，，且 或 或 。取交集 。 。 (3) ，由(1)知无解。。 21. 解： 。 (1) 两个交点分别在 和 内。 需 。 或 。 。 。 ，，恒成立。 取交集：。 (2) 对任意 ， 恒成立。 · ： 或 ，结合 得 ； · ：，，恒成立； · ：，结合 得 。 。 (3) 存在 使 。 由(2)取补集，并排除端点：。 1 学科网（北京）股份有限公司 $