精品解析：上海市南洋模范中学2025-2026学年高一上学期初态摸底考数学试题

南模中学2025-2026学年第一学期高一年级数学初态考 2025.9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 因式分解： _____________ . 2. 已知实数， 满足等式，，则的值是______． 3. 如图，点A，B分别是函数和部分图象上点，轴，则的面积为_______． 4. 若集合，实数的值为______ 5. 如图，在中，，圆与的三边相切于点，若圆的半径为2，则的周长为__________. 6. 关于x的分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是 ______________ . 7. 已知集合，，，若，，则__________． 8. 集合，，若，则实数m的取值范围为__________． 9. 已知集合共有8个子集，则m的取值集合为______. 10. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是_____________ 11. 若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是______． 12. 已知非空集合满足以下三个条件： ①，； ②元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素； ③中所有元素之和为偶数（若为单元素集，则该元素为偶数），则有序集合对的个数为______. 二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13. 已知，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 14. 如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 15. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 16. 定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和、、，①可以表示；②可以表示.则下列说法正确的是（ ） A ①正确，②错误 B. ①②都正确 C. ①②都错误 D. ①错误，②正确 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. （1）已知，，求代数式的值； （2）先化简，再求值：，其中. 18 已知集合，，. （1）求； （2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围. 19. 如图，在Rt中，，，点D是AC上一点， （1）若BD为的角平分线，求的长； （2）若，求的值. 20. 已知集合A包含有个元素，． （1）若，写出； （2）写出一个，使得； （3）当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 21. 若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①；②若，则，且时，． （1）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由； （2）设集合“好集”，求证：若，则； （3）对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若，则必有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南模中学2025-2026学年第一学期高一年级数学初态考 2025.9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 因式分解： _____________ . 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式并结合完全平方公式即可因式分解. 【详解】. 故答案为：. 2. 已知实数， 满足等式，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，m，n是方程的两实数根，根据韦达定理得，，化简，代入即可得到答案. 【详解】∵实数， 满足等式，， ∴m，n是方程的两实数根， ∴，， ∴， 故答案为： 3. 如图，点A，B分别是函数和部分图象上的点，轴，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点横坐标的关系，进出求出三角形面积. 【详解】设，由轴，得，解得， ，而边上的高， 所以的面积. 故答案为： 4. 若集合，实数的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】由已知中集合，根据集合相等对应元素分别相等，我们可以分若、、，三种情况进行分类讨论，结合集合元素的性质，即可得到答案． 【详解】令,,，,,， ,，，， 若，则，则,,，,,，满足要求； 若，则，而中元素，矛盾； 若，则，则,,，,,，满足要求； 故实数的值为. 故答案为： 5. 如图，在中，，圆与的三边相切于点，若圆的半径为2，则的周长为__________. 【答案】30 【解析】 【分析】利用切线长定理，结合三角形内切圆的性质及勾股定理计算即可 【详解】连接，设，易得， 由圆与的三边相切于点，可知， 所以四边形为正方形， 因为圆的半径为，所以， 在中，，即，解得， 所以的周长为. 故答案为：30 6. 关于x的分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是 ______________ . 【答案】且 【解析】 【分析】先求出分式方程和不等式，再进行求解即可. 【详解】由，则， 则，即，解得， 由，则，解得， 由题意得，，则且. 故答案为：且. 7. 已知集合，，，若，，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】求出集合，根据集合关系可得，求出的值，然后验证可得. 【详解】，， 因为，，所以，， 由得，即，解得或， 当时，解得，此时，不满足题意； 当时，解得，满足题意. 所以 故答案：4 8. 集合，，若，则实数m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求的范围． 【详解】由，且， 当时，，则，即， 当时，若，则，解得， 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 9. 已知集合共有8个子集，则m的取值集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，集合中有三个元素，则有三个因数，即可求出的值. 【详解】集合中有8个子集， 由知，集合中有三个元素，则有三个因数， 因为，， 除1和它本身外，还有1个，所以的值可以为4，9. 故答案为： 10. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出点A和点B的坐标，然后再求出解析式，再分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，最后结合图形即可解答. 【详解】令，即，解得或，则点，， 由题意可知是向右平移2个长度单位得到的，则解析式为， 如图，当与相切时， 令，即， 则，解得， 当过点B时，即，解得， 所以由图可知当时直线与、共有3个不同的交点. 故答案为： 11. 若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是______． 【答案】 【解析】 【分析】正确理解的含义，时，即要先求出满足的，即的第211个子集应含有的元素，计算出，再要求满足的，即的第211个子集应含有的元素，如此类推即得. 【详解】因，则的第211个子集必包含7，此时； 又因则的第211个子集必包含6，此时； 又则的第211个子集必包含4，此时； 又则的第211个子集必包含1；而. 综上所述，的第211个子集是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于仔细阅读题目所提供的信息，正确理解集合的新定义的含义，将文字语言转化为数学语言. 12. 已知非空集合满足以下三个条件： ①，； ②的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素； ③中所有元素之和为偶数（若为单元素集，则该元素为偶数），则有序集合对的个数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到集合中的元素个数之和为，结合题设中的①②③，对集合中的元素个数，分六种情况讨论，即可求解. 【详解】因为，且，可得集合中的元素个数之和为， （1）若集合中只有1个元素，中有6个元素， 由条件②知：，则，所以， 此时满足条件③，此时1种情形； （2）若集合中有2个元素，中有5个元素， 由条件②知：，可得 若满足条件③，当时，；当时，； 当时，，此时有3种情形； （3）若集合中有3个元素，中有4个元素， 由条件②知：，可得， 若满足条件③，当时，；当时，； 当时，；当时，，此时有4种情形； （4）若集合中有4个元素，中有3个元素， 由条件②知：，可得， 若满足条件③，当时，；当时，； 当时，；当时，，此时有4种情形； （5）若集合中有5个元素，中有2个元素， 由条件②知：，可得， 若满足条件③，当时，；当时，； 当时，，此时有3种情形； （6）若集合中有6个元素，中有1个元素， 由条件②知：，可得，所以， 满足条件③，此时有1种情形； 综上可得，有序集合对的个数为个. 故答案为：. 二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13. 已知，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，根据充分条件，必要条件的定义即可判断． 【详解】根据题意，解不等式可得或， 而是或的真子集， 故“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 14. 如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到阴影部分表示的集合是集合与集合的公共部分组成的集合，结合集合交集的概念，即可求解. 【详解】由韦恩图可得：图中的阴影部分表示的集合是集合的子集，同时也集合的子集， 即图中的阴影部分表示的集合是集合与集合的公共部分组成的集合， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：A. 15. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，确定的关系及范围，进而分析抛物线的特征判断. 【详解】依题意，反比例函数图象与直线交于点，且， 则，函数为， 抛物线的对称轴为在直线的右侧，选项B不满足； 当时，，即抛物线过点，选项D不满足； 当时，，选项C不满足，选项A符合题意. 故选：A 16. 定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和、、，①可以表示；②可以表示.则下列说法正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①②都正确 C ①②都错误 D. ①错误，②正确 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合新运算把问题转化为熟悉的问题来求解. 【详解】或，或， 或， 或，①正确； 或且，②正确. 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. （1）已知，，求代数式的值； （2）先化简，再求值：，其中. 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）分母有理化化简，再利用完全平方公式求解即可； （2）通分，对分母进行因式分解，即可化简，再将代入即可. 【详解】（1）由，， 得， ， 所以； （2） ， 当时，. 18. 已知集合，，. （1）求； （2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，，然后再利用交集运算即可求解； （2）先求出，然后再根据充分非必要条件列出相应关于的不等式组，从而可求解. 【小问1详解】 由题知集合，， 则，， 所以. 【小问2详解】 由，所以， 又因为“”是“”的充分非必要条件， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 如图，在Rt中，，，点D是AC上一点， （1）若BD为的角平分线，求的长； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，设，则，，根据角平分线，得到，从而得到，解得，求出答案； （2）设，则，根据得到，由勾股定理可知，解得，求出，由勾股定理得到，进而求出. 【小问1详解】 过点D作DH⊥AB于点H， ∵，，∴， ∵DH⊥AB，∴， 设，则，， ∵为的角平分线，∴， ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 同（1）过点D作DH⊥AB于点H， 由（1）可知，设，则， ∵，∴， ∴， 由勾股定理可知，，故， 解得，即， ∴. ∴. ∵，∴， ∴. 20. 已知集合A包含有个元素，． （1）若，写出； （2）写出一个，使得； （3）当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义，写出中的元素即得； （2）根据条件分析集合中的元素性质即得； （3）根据题意可得出不存在这样的集合，利用反证法证明即可. 【小问1详解】 因，， 则都是中的元素， 故； 【小问2详解】 取，此时，符合； 【小问3详解】 当时，不存在集合A，使得，理由如下： 假设存在，且，则， 故为中7个不同的元素， 则， 由解得：， 此时与矛盾，故假设不成立，即不存在这样的集合. 【点睛】思路点睛：本题主要考查集合新定义的应用问题，属于难题. 解题应从集合新定义的规定入手，吃透其内涵，经常遵循从特殊到一般的思维方式，有时需要从反面角度考虑，运用反证法予以证明. 21. 若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①；②若，则，且时，． （1）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由； （2）设集合是“好集”，求证：若，则； （3）对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若，则必有． 【答案】（1）集合不是“好集”,有理数集是“好集”，理由见解析 （2）证明过程见解析 （3）真，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由定义判断. （2）由，，可得，从而可得出. （3）中有时，易得结论，中没有时，可得，进而，再由（2）的结论可得出得，，进而得，从而得，进而，即得出. 【小问1详解】 由便可得出，从而得出集合不是“好集”. 有理数集是“好集”，理由是：，对任意，都有，且时，. 故：有理数集是“好集”. 【小问2详解】 因为集合是“好集”，所以，若，则，即，所以，即. 故得证. 【小问3详解】 若中有时，显然有， 下设中不存在，由定义得，所以，则，由（2）得，同理. 若或时，显然； 若或时，显然，可得，所以，由（2）得，所以. 综上：. 故：若，则必有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $