上海市2026-2027学年高一上学期数学开学考质量检测预测模拟卷·优培卷1

**基本信息** 2026-2027学年上海高一上数学开学考培优模拟卷，通过奇函数单调性、集合运算、不等式恒成立等问题设计，考查抽象能力与推理意识，适配开学初知识衔接与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|函数奇偶性、集合关系、不等式最值|基础题（代数式化简）与提升题（方程根个数）结合，强调数学抽象| |选择题|4题/18分|集合韦恩图、函数单调性判断|通过多命题辨析（如16题）考查推理严谨性| |解答题|5题/78分|函数最值、方程根分布、存在性问题|综合题（如21题）融合分类讨论与逻辑推理，体现数学思维层次性|

2026-2027学年上海市高一上学期数学开学考质量检测预测模拟卷 （培优篇·第1套） 沪教版·考试时间120分钟·满分150分 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 写出一个定义在 上的奇函数 ，使得 ，且在 上单调递减： ______。 2. 已知 ，命题“若 ，则 ”是______命题（填“真”或“假”），其逆否命题是______命题（填“真”或“假”）。 3. 已知 ，则 ______。 4. 已知集合 ，，若 且 ，则实数 的取值范围是______。 5. 设函数 ，若 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是______。 6. 已知 ，，则 的最小值为______。 7. 已知 ，。若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是______。 8. 已知函数 ，若方程 有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是______。 9. 若关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是______。 10. 已知集合 ，，则 ______。 11. 已知 ，则 的最小值为______，此时 ______。 12. 已知函数 ，若 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则实数 的值为______。 二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. 已知 ，，若 ，则实数 的值可以是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，设全集 ，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数 是奇函数，且 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 16. 下列命题中，真命题的个数为（ ） ① 函数 与 是同一个函数； ② 函数 在 上是减函数； ③ 函数 在 上单调递增； ④ 若函数 在 上是增函数，则 。 A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17.（14分） (1) 已知 ，求 的值； (2) 已知 为正实数，且 ，求 的最小值，并写出取最小值时 的值。 18.（14分） 已知关于 的方程 。 (1) 若方程有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围； (2) 若方程的两个实数根的倒数和为 ，求实数 的值； (3) 若方程的两个实数根分别在区间 和 内，求实数 的取值范围。 19.（14分） 已知函数 的定义域为 ，且 。设点 是函数图象上的任意一点，过点 分别作直线 和 轴的垂线，垂足分别为 。 (1) 求 的值； (2) 问： 是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； (3) 设 为坐标原点，求四边形 面积的最小值。 20.（18分） 已知集合 ，函数 。 (1) 若 ，求实数 的取值范围； (2) 若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围； (3) 若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围。 21.（18分） 已知函数 （）。 (1) 若 在 上的最小值为 ，求实数 的值； (2) 若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； (3) 若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围。 参考答案与解析 一、填空题 1. 答案： （答案不唯一，满足条件即可） 解析： 定义域为 ，，，在 上单调递减。 2. 答案： 假；假 解析： 原命题为假（反例 ）。逆否命题与原命题等价，也为假。 3. 答案： 解析： ，。 原式 。 4. 答案： 解析： 。 。 。 5. 答案： 解析： 。最小值为 当且仅当对称轴 在区间 内，即 。 6. 答案： 解析： 。 当且仅当 ，代入 ，得 。 7. 答案： 解析： 。 。 是 的充分不必要条件 。 需 且 ，且等号不同时成立 且 。 验证： 时 ，，成立； 时 ，，成立。 8. 答案： 解析： 时 ； 时 ； 时 。 有三个不等实根，需 。 9. 答案： 解析： 时 恒成立； 时需 且 。综上 。 10. 答案： 解析： ； 。 。 11. 答案： ； 解析： ，当且仅当 时取等，此时 。 12. 答案： 或 解析： 。 若 ，，，差 ； 若 ，，，差 ； 若 ，，，讨论无解。 或 。 二、选择题 13. 答案： A 解析： 时 ，， 成立。 14. 答案： C 解析： ，。 阴影部分表示 中 的部分。，与 的交集为 ，又因阴影只取到 且 处为空心，故为 ，选 C。 15. 答案： B 解析： 奇函数 。。。 16. 答案： C 解析： ①错误（定义域不同）；②错误（并集上不能谈单调性）；③正确；④正确。真命题个数为2。 三、解答题 17. 解： (1) 。 (2) 。 当且仅当 ，代入 ，得 。 18. 解： 。 (1) 。 (2) 韦达定理：，。 。 。 需 ，且 。 ，满足 且 ； ，不满足 ，舍去。 。 (3) 令 。两根分别在 和 内， 开口向上。 需 。 ； ； ； 或 。 取交集并排除 ： 。 19. 解： (1) 。 (2) 设 ，。 。 为 到直线 的距离，。 ，为定值 。 (3) 。 。 ，。 。 当且仅当 时取等。 四边形 面积的最小值为 。 20. 解： ，，。 (1) 且 且 。 (2) 对 恒成立 。 · 若 ，； · 若 ，； · 若 ，，不成立。 。 (3) 存在 使 。 由(2)取补集：。 检验端点： 时 ，不存在 ，不包含； 时 ，不存在 ，不包含。 。 21. 解： ，。 (1) 若 ， 时 ，无最小值； 若 ，，。 (2) ，。 ， 时最大值为 （取不到），。 (3) 存在 使 。由(2)的补集：。 1 学科网（北京）股份有限公司 $