1.2.3 二次函数的图象（第3课时）（教学设计）数学新教材浙教版九年级上册.pptx

该初中数学教学设计聚焦一次函数图像画法及性质、二次函数解析式与图像特征，通过复习一次函数定义、正比例函数图像等旧知，自然引出一次函数图像形状探究，搭建新旧知识衔接的学习支架。 资料亮点在于强化动手操作与数形结合，学生动手绘制y=2x+1图像培养几何直观（数学眼光），小组讨论k与增减性关系发展推理意识（数学思维），二次函数例题用代数方法求解析式并分析图像体现模型意识（数学语言），助力学生理解数形联系，提升教师教学效率。

1.2.3 二次函数的图象（第3课时） 教学设计 1.教学内容 本课选自浙教版（新教材）九年级上册第一章 1.2.3《二次函数的图象》第 3 课时。核心知识点： 1.一般式 的配方求顶点式 ； 2.两大核心公式：对称轴 ，顶点 ； 3.一般式图象与基础抛物线 的平移关系。 2.内容解析 本课在学生已掌握顶点式性质的基础上，进一步研究常见的一般式 。教学关键在于“转化”——借助配方法将一般式化为顶点式，从而迅速读取顶点、对称轴、开口及最值。公式 与 是计算捷径，既体现函数解析式与图象特性的内在统一，也为后续解决二次函数零点、最值以及实际建模奠定基础。通过“平移观念”，帮助学生把一般式图象看作对基础抛物线的平移、伸缩，强化函数图象与代数法则的双向联系，渗透数形结合思想。 1.教学目标 •熟练掌握对 的配方法完整步骤，并能独立将其正确转化为顶点式。 •牢记并能熟练应用两大核心公式：对称轴 ，顶点坐标 ；能准确识别 的符号和值。 •理解一般式图象与 的形状、开口一致，仅位置不同，能用平移解释二者关系。 2.目标解析 •通过“三步配方”与公式应用，解决一般式顶点、对称轴、最值及五点作图问题。 •在“提取—配方—比较”中渗透数形结合、化归转化思想，培养学生化繁为简的数学思维。 •体验代数运算和图象直观的统一，增强学习二次函数的信心与兴趣。 3.重点难点 • 教学重点：一般式配方法及对称轴、顶点公式的灵活应用。 • 教学难点：配方法中“加减同一平方”与常数项调整。 学生已掌握顶点式四种基本模型及其图象性质，会解一元二次方程，能进行简单配方运算。但对“一般式—顶点式”的转化缺乏系统步骤，易在配方加减常数、符号处理及对称轴、顶点公式的理解上出错；同时，对“平移”仅停留在直观感受，尚未能用解析式解释。课堂需通过示范-练习-归纳强化配方技能，以“平移视角”搭建数形桥梁，帮助学生突破运算与理解的双重难点。 创设情景，引入新课 ◎知识回顾： 前面我们学习了4种顶点式二次函数，谁能快速说出y=a+k的顶点、对称轴、开口、增减性? 指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，画草图进行验证： (1)y=2(x-3)²-5；(2)y=-0.5(x+1)²；(3)y=2x²-1。 分别说出上面三个函数是如何从基础函数y=ax²平移得到的. 【设计意图】由生活实例 → 旧知顶点式 → 教材复习练习，激活学生对“找顶点—画图像—判最值”的原有经验，引出“当函数以一般式 给出时如何快速获得顶点和对称轴”的新问题，明确学习方向。 探究点1：一般式配方法——从 到顶点式 1.问题思考 平时做题遇到的函数大多是y=2x²-4x+1、y=-x²+3x这种形式，没有直接给出顶点，怎么快速找顶点、对称轴？以y=ax²+bx+c为例， ①提取二次项系数：y=a(x²+x)+c ②括号内配完全平方：加、减一次项系数一半的平方 ③整理成完全平方，展开常数项： ④对比顶点式y=a+k，对应得到： 2.总结归纳 一般地，函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象有以下特征： 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=−，顶点坐标是（−，） 当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点； 当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 由此可见，函数y=ax²+bx+c的图象与函数y=ax²的图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移y=ax²的图象得到。 3.探究新知 把y=2-4x+3配成顶点式，找顶点、对称轴。 解：第一步：提取二次项系数y=2(-2x)+3 第二步：括号内配完全平方：加、减一次项系数一半的平方y=2(-2x+1-1)+3 第三步：整理成完全平方，展开常数项y=2+1 所以，顶点式：y=2+1，顶点：（1，1），对称轴：x=1 4.做一做 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y=−2x−4； 解：开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，-5)； （2）y=1+6x−； 解：开口向下，对称轴为直线x=3，顶点坐标为(3，10)； （3）y=−+4x； 解：开口向下，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，4)； （4）y=−x+4； 解：开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，3). 【设计意图】通过演示+学生即时操作，突破配方法完整步骤难点，培养演算与抽象能力。 探究点 2：例题应用 1.典例1分析 例1 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的最大值或最小值： (1)y=1-3; 解：列表如图 描点连线 由图象可得：函数最大值为1,无最小值. (2)y=-4x+5; 解：列表如图 描点连线 由图象可得：函数最小值为1,无最大值. (3)y=-6x; 解：列表如图 描点连线 由图象可得：函数最小值为-9,无最大值. (4)y= -3+6x-1. 解：列表如图 描点连线 由图象可得：函数最大值为2,无最小值. 练一练 已知函数y=2-3x-2,解答下列问题: (1)画出函数的图象； (2)观察图象，说出x取哪些值时，函数的值为0. 解:（1）如图所示 （2）x=2或x=- 2.典例2分析 例2已知二次函数y=2+4x-1，将函数图象沿y轴向上平移1个单位. (1)求平移后的函数表达式 (2)判断A(1，5)是否在平移后的函数图象上，并说明理由 (1)解：将二次函数y=2+4x-1图象沿y轴向上平移1个单位，得到平移后的函数表达式为y=2+4x-1+1，即y=2+4x； (2)解：点A(1,5)不在这个二次函数图象上,理由如下: 当x=1时，y=2×+4×1=2+4=6≠5， ∴点A(1,5)不在这个二次函数图象上. 练一练 已知抛物线y= --4x-3. (1)将抛物线解析式转化为y=a+k的形式; 解：y=--4x-3=-(+4x+4)-3+4=-+1; (2)当x取何值时，y随x的增大而增大? 解：a=-1<0,函数图象的开口方向向下，又对称轴x=-2, 当x<-2时，y随x的增大而增大; (3)写出将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度后的抛物线解析式 解：将抛物线向左平移1个单位长度， 此时解析式为y=-(x+2+1)²+1=-(x+3)²+1, ∵再向下平移2个单位长度， ∴解析式为y=-(x+3)²+1-2=-(x+3)²-1. 【设计意图】同源题多维练习，体会变化对图像的影响，强化“形状不变，位置平移”的本质认识。 1.把二次函数y=-2x-1配方成y=a+k的形式，结果为（ ） A.y= B.y=-2 C.y=+1 D.y=-2 解：B 2.二次函数y=x²-2x-3的顶点坐标是( ) A.(1，-4) B.(-1，-4) C.(1，4) D.(-1，4) 解：A 3.关于二次函数y=2-4x+1的图象,下列结论正确的是（ ） A.其图象开口向下 B.其图象的对称轴是直线x=2 C.其最小值为1 D.当x<1时，y随x的增大而减小 解：D 4.二次函数y=+4x的开口方向及最值分别为（ ） A.向下，最大值2 B.向上，最小值-2 C.向下，最大值4 D.向上，最小值-4 解：D 5.将抛物线y=2平移，得到抛物线y=2+5,下列平移方式中，正确的是（ ） A.向左平移3个单位，向上平移5个单位 B.向右平移3个单位，向上平移5个单位 C.向左平移5个单位，向下平移3个单位 D.向右平移5个单位，向上平移3个单位 解：A 6.已知二次函数y=a+2ax的图象经过点(-1，1). (1)求a的值； (2)在所给的坐标系中画出这个函数的图象. 解：(1)∵二次函数y=a+2ax的图象经过点(-1，1)， ∴1=a-2a，解得a=-1； (2) 7. 将抛物线y=3x²经过怎样的平移可以得到下列函数的图象? （1）y=3x²−; （2）y= （3）y=+4 （4）y=3x²−6x 解：(1)向下平移个单位长度 (2)向右平移个单位长度 (3)向右平移个单位长度，再向上平移4个单位长度 (4)向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 8.已知关于x的二次函数y=x²-2ax++2a. (1)当a=1时，求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴； (2)若抛物线y=x²-2ax++2a与直线x=4交于点A，求点A到x轴的最小值. (1)解：把a=1代入y=x²-2ax+a²+2a中， 得y=x²-2x+3=(x-1)²+2, 顶点坐标为(1，2)，对称轴为直线x=1； (2)解：把x=4代入y=x²-2ax+a²+2a中， 得y=a²-6a+16=(a-3)²+7，所以点A的纵坐标为(a-3)²+7， 因为(a-3)²+7≥7，所以点A到x轴的最小值为7. 【设计意图】通过开放、综合情境活化知识，提高学生迁移与探究能力； 以原题练习即时检测，巩固“配方法—顶点式—对称轴—最值—平移”等关键技能。 主板书 1.2.3 二次函数的图象（第3课时） 探究点1 一般式配方法——从 到顶点式 探究点 2 例题应用 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后题目练习。 学科网（北京）股份有限公司 $