1.2.2 二次函数的图象（第2课时）（教学设计）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数顶点式的图象及平移规律，通过回顾基础抛物线描点作图，搭建学习支架，衔接竖直、水平及复合平移的探究，梳理前后知识脉络。 以“先特殊后一般”为路径，通过单一到复合平移的动手操作与对比分析，培养几何直观与推理意识，例题练习落实“由式判图、由图建式”技能，助力学生建立数形联系，提升教师教学效率与学生学习兴趣。

1.2.2二次函数的图象（第2课时） 教学设计 1.教学内容 本课选自浙教版（新教材）九年级上册第一章 1.2.2《二次函数的图象》第2课时：在 的基础上研究顶点式 与 的图象及平移规律。 2.内容解析 用描点法在同一坐标系中依次呈现纵向、横向、复合平移，直观体验“先特殊后一般”的生成过程。 通过对比三组函数图象，概括出 ①：顶点 ，对称轴 ，上下平移 ； ②：顶点 ，对称轴 ，左右平移 ； ③：顶点 ，对称轴 ，左右、上下复合平移。 配合典例与练习，落实“由式判图、由图建式、求最值、析单调”的核心技能。 1.教学目标 •理解 是 的特殊情形，能据式写出顶点、对称轴，并熟练运用 的平移作用。 •经历由单一到复合平移的探究，能在“解析式↔图象”间双向转换。 •感悟特殊与一般、数形结合的数学思想，培养符号敏感与分步变换的习惯，提升绘制抛物线草图的兴趣。 2.目标解析 •掌握顶点式参数与图象要素的一一对应，能解决顶点、对称轴、最值及平移问题。 •通过小组合作、动手作图、归纳总结，发展观察、比较、类比与概括能力。 3.重点难点 • 教学重点：的图象特征及平移规律；解析式与图象的双向转化。 • 教学难点：正确把握 的符号意义及复合平移顺序，避免“左加右减”等常见误区。 学生已会描点作 图象，知开口方向与对称轴概念，对一次函数平移亦有经验。但对二次函数顶点式的符号含义、横纵复合平移及由图建式尚不熟练，易把平移与系数混淆；对最值、增减性的语言表述缺少对“分段”“以对称轴为界”的意识。本课需借助多样化图象呈现与操作活动，辅助学生在直观—符号—抽象间建立牢固联系，突破符号理解与复合平移两大难点。 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾 分别在同一坐标系内作出下列函数的图象． 说出左图的函数有什么特点？回顾下y=a函数的图象。 【设计意图】通过用基础抛物线回顾奠基，为后续平移探究扫清认知障碍，明确学习目标指向本节三大能力目标。 探究点1：抛物线的竖直平移—— 1.尝试交流 用描点法在同一坐标系中画出二次函数的图象 (1)完成自变量与函数的对应值表。 x ... -2 -1 0 1 2 ... x ... ... x ... ... （2）在同一直角坐标系中画出三个函数图象 比较所画三个函数的图象，它们有什么共同的特征？顶点坐标和对称轴有什么关系？图象之间的位置有什么关系？由此，你发现了什么? 2.新知归纳 一般地，函数y=a+k（a≠0）的图象与函数y=a的图象只是位置不同，它可由y=a的图象向上（当k>0）或向下（当k<0）平移|k|个单位得到。函数y=a+k的图象的顶点坐标是（0，k），对称轴是直线x=0。 【设计意图】通过“添常数”这一最易操作的形式，引导学生直观体验竖直平移，解决“ 决定上下移动”的认知难点。 探究点2　抛物线的水平平移—— 1.新知探究 在同一坐标系中画出函数的图象 x ... -2 -1 0 1 2 ... x ... ... x ... ... 在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数的图象，并根据图象回答下列问题 2.新知归纳 一般地，函数y=a（a≠0）的图象与函数y=a的图象只是位置不同，它可由y=a的图象向右（当m>0）或向左（当m<0）平移|m|个单位得到。函数y=a的图象的顶点坐标是（m，0），对称轴是直线x=m。 【设计意图】通过“ 内部改动”呈现水平平移，配合“左加右减”口诀，消除学生易错的符号混淆。 探究点3　水平＋竖直复合平移—— 1.新知探究 在同一坐标系中画出函数的图象 x ... -2 -1 0 1 2 ... x ... ... x ... ... 在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数的图象，并根据图象回答下列问题 比较所画三个函数的图象，它们有什么共同的特征？顶点坐标和对称轴有什么关系？图象之间的位置有什么关系？由此，你发现了什么? 2.知识归纳 一般地，函数y=a+k（a≠0）的图象与函数y=a的图象只是位置不同，它可由y=a的图象向右（当h>0）或向左（当h<0）平移|h|个单位得到y=a。函数y=a的图象向上或向下平移|k|个单位得到y=a+k，y=a+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h。 【设计意图】让学生在“先做再想”中领悟复合平移的拆解思想，形成“数形对应—平移叠加—快速判读”的思维模式，完成从特殊到一般的知识迁移。 探究点4：例题讲解 1.典例1分析 ◎例1 如图，已知二次函数y=-4． (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 解：开口向上，顶点坐标（0，-4），对称轴x=0 ◎练一练 已知二次函数y=(． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若-1≤x≤6，求y的取值范围． 解：（1） （2）顶点坐标（2，0），对称轴x=2 （3）当x=-1时，y=(=4.5, 当x=6时，y=(=8，∴由图象可得-1≤x≤6时，0≤y≤8 2.典例2分析 ◎例2 已知函数y=-(+2 (1)指出它的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标以及函数的最大值或最小值. 解：在函数y=-(+2中，a=-<0,所以抛物线开口向下，对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,2), 当x=1时，y有最大值2,无最小值. (2)当x取何值时，y随x的增大而减小? 解：当x>1时，y随x的增大而减小. ◎练一练 如图，已知二次函数y=x²-4. (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； 解： (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴. 解：由函数图象可知，图象的开口方向向上， 顶点坐标为(0，-4)，对称轴为直线x=0. 3.典例3分析 ◎例3 已知关于x的二次函数y=(k-3)+6x-5，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 解：∵二次函数的定义要求未知数最高次数为2且二次项系数≠0, ∴k+2=2，解得k=0； k-3≠0，解得k≠3。 将k=0代入解析式中，得y=-3x²+6x-5=-3(x-1)²-2， ∵a=-3<0, 抛物线开口向下，对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-2). ◎练一练 已知抛物线y= - +5. (1)判断点(4，1)是否在此抛物线上. (2)若点A(1，),B(4，)在该函数图象上,试比较与的大小,并说明理由. 解：（1）把点（4，1）代入抛物线解析式中， 当x=4时，y=-+5=-4+5=1, ∴点(4，1)在此抛物线上 (2)抛物线y=-(x-2)²+5的对称轴为直线x=2, ∵a=-1<0，故抛物线开口向下， ∵2-1<4-2,抛物线上离对称轴越远的点函数值越小，∴y₁>· 【设计意图】通过综合探究题进一步体会“由一般到特殊、由特殊到一般”的数学建构思想。 1.已知二次函数y=2+3，其顶点坐标为（ ） A.(−1,3) B.(1, -3) C.(-1, -3) D.(1,3) 解：D 2.顶点是(-2，0)，开口方向、形状与抛物线y=x²相同的抛物线是( ) A.y=(x-2 B.y=(x+2 C .y=-(x-2 D.y=-(x+2 解：B 3.已知抛物线y=（x-h）²，其中h＞0，该抛物线示意图是（ ） 解：A 4.将抛物线y=(x-3)²+4先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为____. 解：(6，2) 5.已知点A(-1，)、B(-3，y₂)为二次函数y=-(x-1)²+k图像上的两点，那么__y₂(填“>”、“=”或“<”) 解：> 6.如图是抛物线y=(x-h)²-9的部分图象，若y≤0，则自变量x的取值范围是 ______。 解：-1≤x≤5 7. 已知抛物线y=-+1. (1)判断点(3，-2)是否在此抛物线上； (2)求出此抛物线上纵坐标为-3的点的坐标. (1)解：把x=3代入y=-+1得y=-+1=0≠-2 ∴点(3，-2)不在此抛物线上； (2)解:把y=-3代入y=-(x-2)²+1,得 -3=-(x-2)²+1, 解得：:x₁=4，x₂=0, ∴抛物线上纵坐标为－3的点的坐标是(4，-3)或(0，-3). 8.把二次函数y₁=a(x-h)²+k的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数y₂=(x+1)²+3的图象 (1)则a=_____，h=_____，k=______; (1)解:把二次函数y=a(x-h)²+k的图象先向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度, 得到y=a(x-h+3)²+k+4, ∵二次函数y₂=(x+1)²+3与y=a(x-h+3)²+k+4是同一函数， a=，3-h=1，k+4=3；得a=，h=2，k=-1. (2)指出二次函数y=a(x-h)²+k的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当-2<x<5时，求二次函数y₁的取值范围. (2)解:二次函数y=a(x-h)²+k的解析式为y=(x-2)²-1, ∴函数图象开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2，-1)； (3)解：y=(x-2)²-1；∴y的最小值为-1; x=-2时，y=7； x=5时，y=(5-2)²-1=3.5, 当-2<x<5时，-1≤y₁<7. 【设计意图】“课堂练习”原题复现，帮助学生及时诊断易错点，做到当堂清零错误，稳固核心知识。 主板书 1.2.2二次函数的图象（第2课时） 探究点1 抛物线的竖直平移—— 探究点2　抛物线的水平平移—— 探究点3　水平＋竖直复合平移—— 探究点4 例题讲解 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $