1.2.1 二次函数的图象（第1课时）（教学设计）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²的图象及性质，核心知识点包括描点法作图、抛物线的顶点与对称轴、开口方向及系数a对图象的影响。课堂导入通过回顾二次函数定义，对比一次函数图象特征，建立新旧知识联系，搭建学习支架。 此资料以“动手—观察—归纳”为主线，通过描点作图、多幅图象对比（如y=2x²与y=-2x²）培养几何直观，结合小球下落、正方形面积等实际问题发展模型意识，典例分析提升推理能力。帮助学生形成函数图象与代数式的双向转换能力，为教师提供清晰的教学流程和可操作的评价依据。

1.2.1二次函数的图象（第1课时） 教学设计 1.教学内容 本节选自浙教版九年级上册第一章“二次函数”1.2.1 二次函数的图象（第 1 课时）。核心知识点： 的描点作图方法；抛物线的名称与基本特征（顶点、对称轴、开口方向）；系数 的符号与绝对值对开口方向、宽窄的影响。 2.内容解析 本节课在学生已知“二次函数解析式”基础上，借助描点法完成 的首次整体图象呈现。通过“列表—描点—连线”操作，使抽象代数式与直观几何图象建立一一对应，帮助学生形成“抛物线”概念。随后比较 与 、 大小变化下的图象差异，引出系数对开口方向、最值及宽窄的决定作用，奠定后续研究 图象及二次函数应用（最值、建模）的视觉化基础。全过程突出“动手—观察—归纳”思维链，提高函数图象与代数式双向转换能力与模型意识。 1.教学目标 •会用描点法画出二次函数 的图象，能准确说出图象名称是抛物线。 •掌握 图象特征：顶点、对称轴、开口方向，能区分 与 情况。 •理解 的大小对抛物线开口宽窄的影响： 越大开口越窄， 越小开口越宽。 2.目标解析 •能独立完成“列表—描点—平滑连线”，并用“抛物线”命名图象；评价依据为能否在坐标纸上作出至少 5 对对称点并连接成光滑曲线； •能口述或板演指出图象顶点 、对称轴 ，并判断开口方向。 •通过同系 的多幅图象比较，总结并用语言或符号表达“宽窄—”规律；评价以选取给定 值预测开口大小的正确率。 3.重点难点 • 教学重点：描点法作图步骤与抛物线三大特征的识别。 • 教学难点： 的绝对值对开口宽窄的定量、定性理解及表达。 学生已掌握一次函数图象与作图技能，会求代数式数值；已知二次函数解析式但缺少图象经验。对“对称”“最值”已有感性认识，易于理解顶点与对称轴；但对参数变化与图象整体性联系薄弱，需通过对比实验深化“ 控制宽窄”的抽象理解。 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾 什么是二次函数？形如y=ax²+bx+c满足什么条件? 二次项系数a≠0 当b=0，c=0时，得到y=ax²，今天研究它的图象。 上图中是什么函数?它们的图象有什么特点呢？讨论一下 【设计意图】通过与一次函数的对比和直观图象的展示，唤起学生已有的函数知识，明确“本节课研究 的图象”这一核心任务，激发探究兴趣。 探究点：描点法画出 的抛物线 1.讨论交流 ①用描点法画出二次函数y=的图象 (1)完成自变量与函数的对应值表。 （2）建立适当的直角坐标系，并以表中各对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出这些点，用光滑曲线顺次连结各点。 ②观察图中的图象，它有什么特征？从形状、位置、对称性等方面进行讨论。 解：形状：为开口向上的二次函数 位置：顶点在原点，是图象的最低点 对称性：关于y轴对称 2.新知归纳 如上图，二次函数y=的图象是一条关于y轴对称、过坐标原点并向上伸展的曲线。 像二次函数y=的图象这样的曲线叫作抛物线。 抛物线与它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点。 例如，抛物线y=的顶点是坐标原点，也是图象的最低点。 3.探究交流 在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y=2，y=-2和y=4的图象，并根据图象回答下列问题。 （1）说出y=2，y=-2这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； 解：由图可得：二次函数y=2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0);二次函数y=-2的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0). (2)抛物线y=2,当x____时，抛物线上的点都在x轴的上方，它的顶点是图象的最____点； 解：≠0,低 (3)函数y=-2，对于一切x的值，总有函数y____0;当x____时，y有最______值是___. 解：≤，=0，大，0 教师提问：二次函数y=2x²的图象与y=-2x²的图象关于什么对称?如果已知y=ax²(a≠0)的图象，你认为可怎样更方便地得到y=-ax²的图象? 4.讨论交流 二次函数y=ax²(a≠0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。 当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 a影响抛物线的开口大小和方向。 |a| 越大，开口越小 |a| 越小，开口越大。 5.典例1分析 ◎例1 已知抛物线y=ax²经过点A(-2,-8). (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为-18的点的坐标. 解：(1)∵抛物线y=ax²经过点A(-2,-8), ∴把点A(-2,-8)代入抛物线中：a=-2, ∴此抛物线的函数解析式为：y=-2x²; （2）不在 (3）∵此抛物线上一点的纵坐标为-18， ∴把y=-18代入此抛物线中得：x=±3， ∴此抛物线上纵坐标为-18的点的坐标为(3，-18)或（-3，-18). ◎练一练 已知函数y=(m+2)是关于x的二次函数. (1)求满足条件的m的值； (2)当m为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点的坐标 （1）解：根据题意得，+m-4=2且m+2≠0，解得m=2或m=-3； m的值为－3或2； (2)解：当m=2时，m+2=4>0，抛物线开口向上，该抛物线有最低点， 此时抛物线解析式为y=4，则最低点坐标为(0,0) 6.典例2分析 ◎例2 在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象. ①y=x²；②y=4x²；③y=−x²；④y=−4x²； 解： ◎练一练 (1)在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x²和y=−x²的图象 (2)从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点 解： 7.典例3分析 ◎例3 小球从高处自由下落，下落距离h(米)与下落时间t(秒)满足函数关系h=at²，已知当t=3秒时，下落距离h=45米。 (1)求h关于t的函数表达式； (2)填写下表： （3）画出该函数的图象； （4）若小球从 125 米高处下落，要在落地前接住小球，最多允许小球自由下落多长时间？ 解：（1）h=5（t＞0） （2） （3） ◎练一练 正方形的边长为x(cm)，正方形面积S()与边长满足S=a （1）直接写出S关于x的函数表达式，并确定a的值； （2）完成对应值表格： （3）画出S关于x的函数图象； （4）现有一块面积为100的正方形板材，切割小正方形，要求小正方形面积不超过64，求小正方形边长最大为多少？ 解： 【设计意图】通过描述—概括—命名的流程，帮助学生掌握抛物线三大特征，培养数学语言表达与抽象概括能力。 1.下列各点在函数y=的图象上的是( ) A . (0，1) B .(1，2) C .(2，2) D .(4，4) 解：C 2.抛物线y=，y=-2，y=的图象开口最大的是( ) A.y= B.y=-2 C y= D.无法确定 解:A 3.已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是( ) A.＜＜ B.＜＜ C .＜＜ D.＜＜ 解：D 4.如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面的距离为4m．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点O为坐标原点，水平方向为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A．  B．  C．  D． 解：A 5.如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数 与 的图像，则阴影部分的面积是____. 解：8 6 . 在同一坐标系内作出下列函数的图象. y=3，y=−2，y= 7.已知抛物线y=a+n( an>0)与抛物线y= -2的形状相同，开口方向相反，且图象上离x轴最近的点与x轴的距离为3 (1)求a，n的值； (2)写出抛物线y=a+n的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1)解:抛物线y=a+n(an>0)与抛物线y=-2的形状相同，开口方向相反， a=2,则抛物线为y=2+n(an>0). 对称轴为直线x=−=0.即对称轴为y轴，开口方向向上 图象上离x轴最近的点与x轴的距离为3，且an>0，n=3; (2)解：由（1）得a=2，n=3，对称轴为y轴，开口方向向上， 解析式为y=2+3 把x=0代入y=2+3，得y=3 即顶点坐标(0,3). 【设计意图】题目全部源自课件原题，帮助学生及时回顾并检验“基本性质+描点画图+参数判定”的核心技能。 主板书 1.2.1二次函数的图象（第1课时） 探究点 描点法画出 的抛物线 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $