1.1 二次函数的意义（教学设计）数学新教材浙教版九年级上册

 1.1二次函数的意义

  教学设计

1.教学内容

本课选自浙教版（新教材）九年级上册 第一章《二次函数》1.1 二次函数的意义。核心知识点： 1.二次函数的一般形式 ；2.二次项系数 、一次项系数 、常数项 的含义 ；3.二次函数与一次、反比例函数的本质区别。 二次函数建模：销售利润、增长率、几何面积等实例

2.内容解析

本节是学生由一次函数过渡到二次函数的起点。教材利用“围绳成形”“正方形边长变动”“单车投放”等生活化情境，引导学生观察函数解析式的结构特征，经历“列表—猜想—验证—概括”全过程，最终抽象出二次函数的定义 。概念形成的逻辑： 具体情境中建立 与 的函数关系； 化简解析式，突出“整式”与“最高次数为 ”； 比较一次、反比例函数，凸显二次函数“曲线变化”“项次为 ”的本质差异； 总结系数 的几何、实际意义，引出开口方向、宽窄等初步感知。知识价值：奠基后续“二次函数图象、性质及应用”学习；为解决最值、优化、经济问题提供模型工具。

 

1.教学目标

•准确识别二次函数的解析式形式 ，明确二次项系数 、一次项系数 、常数项 的意义。

•能通过文字叙述或实际情境，判断变量间是否具有二次函数关系，区分二次函数与一次函数、反比例函数的本质差异。

•掌握“销售利润”“增长率”“几何图形面积”等典型问题的二次函数建模方法，能根据题意列出规范的二次函数解析式，并确定自变量的取值范围。

2.目标解析

• 在化简整式、比较次数的操作中，学生能准确写成 形式，并能口述 的含义。
• 通过多元情境（几何、经济、运动）判断函数类型，能说出“是否为整式”“最高次是否为 ”“”等判别依据，形成分类意识。

• 在典例与探究活动中，学生能建立方程（或函数）模型，写出自变量取值范围，说明模型与实际的对应关系，体现数学建模与应用意识。

3.重点难点

• 教学重点：二次函数解析式的准确识别及系数意义；二次函数建模方法。

• 教学难点：化简后识别隐藏的二次项，避免与一次/反比例函数混淆。

学生已掌握一次函数、反比例函数及二元一次方程组，会进行整式运算与因式分解，这为识别及化简二次函数解析式奠定了基础。对“函数”已有直观、线性认知，但对“二次曲线”缺乏经验；对“最高次”“整式”概念较模糊，易把含分母、根号的式子误判为二次函数。 可能困难： 化简过程中二次项抵消导致误判； 从文字情境中抽象变量关系并列式； 自变量取值范围的确定。 学习需求：需要丰富直观情境、对比分析及操作演示；通过小组探究与即时反馈，强化“化简—判断—建模—检验”的思维过程，提高函数模型意识和运算准确性。  

创设情景，引入新课

新课引入

教师演示：同学们，我们之前学过一次函数，知道y=kx+b能描述匀速走路、单价不变的买卖这类直线变化的问题。但生活里很多变化不是直线上升、直线下降，老师举几个大家熟悉的例子：

知识回顾

教师演示：同学们，回顾一下一次函数和反比例函数的解析式

如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为xm，ym.

（1）若绳长为10m，则y与x的关系式为y=-x+5。y是x的一次函数；

（2）若矩形的面积是10，则y与x的关系式为y=。y是x的反比例函数；

(3)若矩形的周长为20m，矩形的面积为S，则S与x的关系式为S=−+10x，S是x的二次函数.

【设计意图】借助生活化视频与旧知回顾，引出“变化曲线”与“直线变化”对比，激发学习二次函数的需求，为新知学习营造问题情境。

探究点：从实例抽象二次函数解析式

1.新知探究

①边长为 的正方形，边长增加 ），面积 与 的关系式是______.

②共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数表达式为___.

解：①

②；

思考：上述的两个问题，函数表达式具有哪些共同特征？

2.新知归纳

形如y=ax²+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的函数叫做二次函数。

其中：

①x是自变量，y是因变量；（自变量x的最高次数必须是2）

②ax²：二次项，a是二次项系数；（二次项系数不等于0）

③bx：一次项，b是一次项系数；

④c：常数项

注意：函数解析式必须是整式（分母，根号，绝对值里面不能含有x，否则不是二次函数）

3.典例1分析

◎例1 下列函数中，哪些是二次函数?

(1)y=x;

(2)y=x(2x-1);

(3)y=(x+2)²-3;

(4)y=(x+4)²-;

(5)y=ax²+bx+c(a,b,c为常数).

解：（2）（3）是二次函数，其余不是二次函数。

易错点：

1：不化简直接判断，忽略二次项会抵消