1.1 二次函数的意义（教学设计）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数的意义，涵盖一般形式、系数含义、与一次及反比例函数的区别，以及销售利润、几何面积等建模实例。通过“围绳成形”等生活化情境，结合一次函数、反比例函数旧知，搭建从线性到曲线变化的学习支架。 以生活实例驱动概念抽象，通过“列表—猜想—验证—概括”培养推理意识，建模环节如鸡场面积、销售利润问题强化模型意识与应用意识。资料结构清晰，典例与练习结合，助力教师高效教学，帮助学生提升用数学语言表达现实问题的能力。

1.1二次函数的意义 教学设计 1.教学内容 本课选自浙教版（新教材）九年级上册 第一章《二次函数》1.1 二次函数的意义。核心知识点： 1.二次函数的一般形式 ；2.二次项系数 、一次项系数 、常数项 的含义 ；3.二次函数与一次、反比例函数的本质区别。 二次函数建模：销售利润、增长率、几何面积等实例 2.内容解析 本节是学生由一次函数过渡到二次函数的起点。教材利用“围绳成形”“正方形边长变动”“单车投放”等生活化情境，引导学生观察函数解析式的结构特征，经历“列表—猜想—验证—概括”全过程，最终抽象出二次函数的定义 。概念形成的逻辑： 具体情境中建立 与 的函数关系； 化简解析式，突出“整式”与“最高次数为 ”； 比较一次、反比例函数，凸显二次函数“曲线变化”“项次为 ”的本质差异； 总结系数 的几何、实际意义，引出开口方向、宽窄等初步感知。知识价值：奠基后续“二次函数图象、性质及应用”学习；为解决最值、优化、经济问题提供模型工具。 1.教学目标 •准确识别二次函数的解析式形式 ，明确二次项系数 、一次项系数 、常数项 的意义。 •能通过文字叙述或实际情境，判断变量间是否具有二次函数关系，区分二次函数与一次函数、反比例函数的本质差异。 •掌握“销售利润”“增长率”“几何图形面积”等典型问题的二次函数建模方法，能根据题意列出规范的二次函数解析式，并确定自变量的取值范围。 2.目标解析 • 在化简整式、比较次数的操作中，学生能准确写成 形式，并能口述 的含义。 • 通过多元情境（几何、经济、运动）判断函数类型，能说出“是否为整式”“最高次是否为 ”“”等判别依据，形成分类意识。 • 在典例与探究活动中，学生能建立方程（或函数）模型，写出自变量取值范围，说明模型与实际的对应关系，体现数学建模与应用意识。 3.重点难点 • 教学重点：二次函数解析式的准确识别及系数意义；二次函数建模方法。 • 教学难点：化简后识别隐藏的二次项，避免与一次/反比例函数混淆。 学生已掌握一次函数、反比例函数及二元一次方程组，会进行整式运算与因式分解，这为识别及化简二次函数解析式奠定了基础。对“函数”已有直观、线性认知，但对“二次曲线”缺乏经验；对“最高次”“整式”概念较模糊，易把含分母、根号的式子误判为二次函数。 可能困难： 化简过程中二次项抵消导致误判； 从文字情境中抽象变量关系并列式； 自变量取值范围的确定。 学习需求：需要丰富直观情境、对比分析及操作演示；通过小组探究与即时反馈，强化“化简—判断—建模—检验”的思维过程，提高函数模型意识和运算准确性。 创设情景，引入新课 新课引入 教师演示：同学们，我们之前学过一次函数，知道y=kx+b能描述匀速走路、单价不变的买卖这类直线变化的问题。但生活里很多变化不是直线上升、直线下降，老师举几个大家熟悉的例子： 知识回顾 教师演示：同学们，回顾一下一次函数和反比例函数的解析式 如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为xm，ym. （1）若绳长为10m，则y与x的关系式为y=-x+5。y是x的一次函数； （2）若矩形的面积是10，则y与x的关系式为y=。y是x的反比例函数； (3)若矩形的周长为20m，矩形的面积为S，则S与x的关系式为S=−+10x，S是x的二次函数. 【设计意图】借助生活化视频与旧知回顾，引出“变化曲线”与“直线变化”对比，激发学习二次函数的需求，为新知学习营造问题情境。 探究点：从实例抽象二次函数解析式 1.新知探究 ①边长为 的正方形，边长增加 ），面积 与 的关系式是______. ②共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数表达式为___. 解：① ②； 思考：上述的两个问题，函数表达式具有哪些共同特征？ 2.新知归纳 形如y=ax²+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的函数叫做二次函数。 其中： ①x是自变量，y是因变量；（自变量x的最高次数必须是2） ②ax²：二次项，a是二次项系数；（二次项系数不等于0） ③bx：一次项，b是一次项系数； ④c：常数项 注意：函数解析式必须是整式（分母，根号，绝对值里面不能含有x，否则不是二次函数） 3.典例1分析 ◎例1 下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=x; (2)y=x(2x-1); (3)y=(x+2)²-3; (4)y=(x+4)²-; (5)y=ax²+bx+c(a,b,c为常数). 解：（2）（3）是二次函数，其余不是二次函数。 易错点： 1：不化简直接判断，忽略二次项会抵消 2：忽略二次函数的核心条件a≠0 3：混淆一次函数与二次函数，最高次数为2 4：不会整式展开变形，不会识别隐藏二次式 ◎练一练 用下列各式中，哪些一定是y关于x的二次函数？哪些一定不是y关于x的二次函数？对于有可能是y关于x的二次函数的，请补充条件使它一定是y关于x的二次函数． ①y=x²+2x-5 ②y=(3x+2)(4x-3)-12x²; ③y=ax²+bx+c; ④y=2x²+3x-k(k为常数). 解：①④是二次函数，②不是二次函数，③不一定是二次函数 4.典例2分析 ◎例2 将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)y=(1-2x)²+4x; (2)y=(x+1)(3-2x)-6. 解：(1)y=(1-2x)²+4x=1-4x+4x²+4x=4x²+1, 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； (2)y= (x+1)(3-2x)-6=3x-2x²+3-2x-6=-2x²+x-3 二次项系数为-2，一次项系数为1，常数项为-3. ◎练一练 下列函数中，哪些是二次函数？并分别指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)y=3(x-1)²+1, (2)y=4x+ (3)s=3-2t²; (4)y=(2x+1)²-4x²; (5)v=8π. 解：（1）（3）（5）是二次函数 (1)y=3(x-1)²+1=3x²-6x+4,是二次函数，二次项系数是3,一次项系数是-6,常数项4. (3)s=3-2t²=-2t²+3,是二次函数，二次项系数是-2,一次项系数是0,常数项3. (5)v=8π,是二次函数，二次项系数是8π,一次项系数是0,常数项0. 5.典例3分析 ◎例3 如图，利用一面墙（墙的长度为20m），用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为xm (1)若两个鸡场的面积和为S，求S关于x的关系式； (1)解：由题意可得，S=x(34-3x+2)=x(36-3x)=-3x²+36x, 即S关于x的关系式是S= -3x²+36x; (2)两个鸡场面积和S可以等于160（）吗？如果可以，求出此时AB的值． (2)解：依题意，-3x²+36x=160 即3x²-36x+160=0 △=b²-4ac=36²-4×3×160=-624<0, 原方程无实数解， 两个鸡场面积和S不能等于160() ◎练一练 某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； （1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：200(1-x)²=128, 解得：x₁=0.2=20%,x₂=1.8(不合题意，舍去), ∴该种商品每次降价的百分率为20%； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． (2)解：如果将售价定为x元，每天盈利y元， y=(x-80)[20+5(128-x)]-100,=-5x²+1060x-52900, ∵该种商品进价为80元/件，售价128元/件，然后降价，80<x≤128, y=-5x²+1060x-52900(80<x≤128). 6.典例4分析 ◎例4 在平面直角坐标系中，抛物线y=a+bx+3交y轴于点A，且过点B（-1，2），C（3，0)，求抛物线的函数解析式； 解：把B(-1,2)，C(3,0)代入y=ax²+bx+3, 得a∙+b∙(−1)+3=2，a∙+b∙3+3=0 整理得a−b+3=2，9a+3b+3=0 解得a=−，b= 抛物线的函数解析式为y=-x²+x+3 ◎练一练 已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过A(0,2)，B(1,-3)两点，求二次函数解析式并试判断点P(-1,6)是否在此函数图象上 解：将A(0,2)，B(1,-3)代入y=x²+bx+c， 得c=2，1+b+c=−3解得c=2，b=−6 二次函数的解析式为y=x²-6x+2, 当x=-1时，y=(-1)²-6×(-1)+2=9, P(-1,6)不在函数图象上. 【设计意图】通过多样化题型训练，突出“整式化简+核心条件”两大关键，落实学习目标。 1．给出下列函数 ①y=−+1；②y=−2−1；③y=+x−1；④y=2−x−1；⑤y=a+bx+c；⑥y=3−2其中二次函数的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解：B 2．已知二次函数y=-x-3-6，则其二次项系数a，一次项系数b和常数项c分别是（ ） A.a=-1，b=-3，c=6 B.a=-1，b=3，c=6 C.a=-6，b=-1，c=3 D.a=-6，b=-1，c=-3 解：D 3．线段AB=5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y，☉B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 解：C 4．已知函数y=（m−2）+m+n, (1)当m=_____，n=_____时，该函数是反比例函数； (2)当m=_____，n=_____时，该函数是开口向上的二次函数. 解：(1)∵该函数是反比例函数 -5=-1，m-2≠0，m+n=0；∴n=±2，m≠2, ∴当n=2时，m=-2,符合题意； 当n=-2时，m=2,不符合题意； ∴n=2，m=-2; 故答案为：-2,2 (2)∵该函数是开口向上的二次函数 m-2>0，-5=2 ∴m>2，n=± 故答案为：>2，n=± 5.小亮爸爸想用长为80m的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为28m），另外三边用栅栏围成.设矩形与墙垂直的一边长为xm，面积为ym，则y与x的函数关系式是______（写出自变量x的取值范围） 解：设矩形与墙垂直的一边长为xm，面积为ym，则矩形平行于墙的一边长为(80-2x)m， ∴y=x(80-2x）=-2+80x， 又由题意得，80−2x＞0,80−2x≤28 解得26≤x<40， ∴y与x的函数关系式为y=-2+80x(26≤x<40) 6.某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件.若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为____。 解：由题意得，y=(x-2)[50+10(13-x)] =(x-2)(180-10x) =-10x²+200x-360, 故答案为：y=-10x²+200x-360. 7.已知二次函数y=a+4x-1的图象经过点P(1，5). (1)求a的值； (2)点Q(m，15)在该函数的图象上，求m的值. (1)解：∵二次函数y=ax²+4x-1的图象经过点P(1,5), ∴a+4-1=5，∴a=2； (2)解：由(1)得，二次函数解析式为y=2x²+4x-1,∵点Q(m，15)在这个图象上， ∴2m²+4m-1=15，即+2m-8=0,则(m+4)(m-2)=0, 解得m=-4或m=2. 【设计意图】综合运用一次、二次、反比例函数的判定方法，巩固“情境—建模—判断”三步法。 主板书 1.1二次函数的意义 探究点 从实例抽象二次函数解析式 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $