1.2 二次函数的图像（讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数图像核心知识点，系统梳理抛物线特征、五种基本形式（y=ax²等）、绘制方法（列表描点连线）、平移规律（顶点移动a不变）及顶点式与一般式转化，构建递进式学习支架。 资料通过分层设计（知识点+题型+练习），结合实例（如平移转化题）培养几何直观（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型意识（数学语言）。课中辅助教师授课，课后助力学生回顾强化，弥补知识盲点。

第一章 二次函数 1.2 二次函数图像 课标要点 会用列表、描点、连线画出各类二次函数抛物线，规范画草图； 识别图像为抛物线，由a判断开口方向、宽窄； 掌握y=ax2平移得到顶点式图像，理解平移只改位置、不改形状； 会配方将一般式转顶点式，由顶点式确定图像顶点； 看懂c对应图像与y轴交点坐标； 建立图像上点与解析式的对应关系，能由图像定点求参数。。 学习重难点 重点： 描点法画抛物线； a对图像开口、宽窄的影响； 二次函数图像平移规律； 配方求图像顶点； c对应图像与y轴交点。 难点： 图像左右平移符号易混淆； 配方符号出错导致顶点定位错误； 区分图像形状与平移位置； 结合图像开口、交点反向判断a、c； 规范画出含顶点、交点的光滑抛物线草图。 知识点1 二次函数的图像 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 随学随练 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）二次函数的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数顶点式的顶点坐标为， ∴的顶点坐标为． 2．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 3．（2025·广东广州·二模）已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解． 【详解】解：二次函数顶点式的形式为，其顶点坐标为． ∵已知二次函数为，对比顶点式可得， ∴该二次函数的顶点坐标为． 4．（2022·天津南开·模拟预测）顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式． 【详解】解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同， ∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项； ∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为）， 得，，， ∴解析式为． 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数图象的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】二次函数顶点式的对称轴为直线，直接根据顶点式即可得出结果． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线， 故选：A． 知识点2 二次函数图像的绘制（重点） ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． 随学随练 1．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)， 二次函数图象如下， (2)当时该二次函数的函数值y的取值范围为 【分析】（1）运用待定系数法即可求解，运用五点法作图即可； （2）根据自变量的取值范围分别算出临界点的函数值，结合顶点坐标得到函数值的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 当时，， 运用五点法作函数图象：略； （2）解：在二次函数中，当时， 时，；顶点坐标为；时，， ∴当时该二次函数的函数值y的取值范围为． 2．（25-26九年级下·全国·单元复习）已知函数，解答下列问题： (1)画出函数的图象； (2)观察图象，说出x取哪些值时，函数的值为0． 【答案】(1)解：根据题意，列表如下： x …… …… y …… 3 0 3 …… 画出函数图象，如下图： (2)或 【分析】（1）先列表，再描点画图即可； （2）根据图象可得答案. 【详解】（1）略 （2）解：由图象可得：当或时，函数值为0. 3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 描点，连线 （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 4．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知二次函数． (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【答案】(1)表见解析，图见解析； (2)图象的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】此题考查的是二次函数的图象和性质． （1）分别将各数代入中求出对应的y值，再根据描点法画出函数图象； （2）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： x 0 1 2 3 y 5 0 0 5 画图如下： （2）解：由函数图象可知，图象的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 拓展1 二次函数图像的平移转化 y=ax²+c（a≠0）与y=ax²（a≠0）的联系 二次函数y=ax²+c的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到.当c < 0 时,向下平移c个单位长度得到. y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²+c（a≠0）之间的关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 一般地,函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象,可以由函数y=ax2的图象先向右(当h>0)或向左(当h<0)平移|h|个单位,再向上(当k>0)或向下(当k<0)平移|k|个单位得到,顶点是(h,k),对称轴是直线 x=h. 平移本质：顶点移动。 平移不改变抛物线的形状（即 a 不变）。 顶点式 y = a(x - h)² + k 的妙用： 顶点坐标为 (h, k)。 对称轴为 x = h。 平移规律 (基于顶点移动)： 左右平移： h 控制。左加右减 于 x。 向左平移 m 个单位 ➔ 新顶点横坐标 h - m ➔ 新函数：y = a[x - (h - m)]² + k = a(x - h + m)² + k 向右平移 m 个单位 ➔ 新顶点横坐标 h + m ➔ 新函数：y = a[x - (h + m)]² + k = a(x - h - m)² + k 上下平移： k 控制。上加下减。 向上平移 n 个单位 ➔ 新顶点纵坐标 k + n ➔ 新函数：y = a(x - h)² + (k + n) 向下平移 n 个单位 ➔ 新顶点纵坐标 k - n ➔ 新函数：y = a(x - h)² + (k - n) 解题关键： 先找到顶点式或求出顶点坐标。 平移时紧紧抓住顶点的变化。对于标准式 y = ax² + bx + c，可以先配方法或直接用顶点公式求出顶点坐标 (h, k)，再应用平移规律。 活学活用 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解： 与相比较横坐标减， 是向右平移个单位， 与相比较函数值减， 是向下平移个单位， 故抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，平移后的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律，求得平移后的函数图象为，再将选择支中的点分别代入验证即可． 【详解】解：， 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，平移后的抛物线的解析式为， 当时，， 点符合题意，点不符合题意， 当时，， 点不符合题意， 当时，， 点不符合题意． 故选：A． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性． 根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】A、抛物线中的，则该抛物线的开口方向向上，本选项错误； B、抛物线的对称轴是，本选项错误； C、抛物线的顶点坐标是，本选项正确； D、抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线，本选项错误． 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）将抛物线向左平移4个单位，再向下平移3个单位，那么得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是关键． 根据抛物线平移的规则，“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】将抛物线向左平移4个单位，再向下平移3个单位，那么得到的抛物线的解析式为，即． 故答案为：． 5．（2026·宁夏吴忠·三模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 【分析】先根据顶点式得到原抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律计算得到平移后的顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线是顶点式，可得原抛物线的顶点坐标为， 将顶点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 平移后的顶点横坐标为，纵坐标为， 因此平移后的抛物线的顶点坐标为． 题型1 y=ax2的函数图像 【例1】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 【对点练1-1】（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【答案】下 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向； 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下； 【对点练1-2】（25-26九年级下·全国·暑假作业）与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 【答案】 【分析】根据题意，顶点相同形状相同说明顶点坐标不变，二次项系数的绝对值不变，开口方向相反说明二次项系数符号相反，据此即可求解． 【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为，由题意可知，所求抛物线顶点坐标不变，二次项系数绝对值不变，符号相反，因此所求抛物线的解析式为． 【对点练1-3】（25-26九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 【对点练1-4】（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 题型2 y=ax2+k的函数图像 【例2】（26-27九年级·上海·暑假作业）当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入，得 【对点练2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，已知抛物线，则顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 抛物线顶点式为 ，对应顶点坐标为 . ∴ 抛物线的顶点坐标为. 【对点练2-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式． 利用形如的二次函数的顶点坐标为即可求解． 【详解】解：∵形如的二次函数，其顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：D． 【对点练2-3】（25-26九年级上·广东中山·阶段检测）抛物线的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________． 【答案】 向下 y轴 【分析】根据二次函数的系数确定图象开口方向，顶点坐标与对称轴． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下， 该二次函数为的形式， 可得顶点坐标为，对称轴为y轴． 【对点练2-4】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点在函数的图象上，则_______． 【答案】49 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴． 题型3 y=a（x-h）2的函数图像 【例3】（2026·福建厦门·三模）已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 【对点练3-1】（19-20八年级下·湖南长沙·期末）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，对称轴为，当时，函数图象开口向上，当时，函数图象开口向下，即可进行解答． 【详解】解：A、∵， ∴函数图象开口向下，故A正确，不符合题意； B、对称轴是直线，故B正确，不符合题意； C、顶点坐标为，故C正确，不符合题意； D、∵函数图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故D不正确，符合题意． 【对点练3-2】（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 【对点练3-3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的顶点式，根据顶点式直接写出顶点坐标，判断其位置． 【详解】解：顶点坐标为，在轴上， 故选：A． 【对点练3-4】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）抛物线的对称轴是（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查抛物线的对称轴问题，核心是熟练掌握顶点式的性质． 由已知结合抛物线顶点式的对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：抛物线， 对称轴为直线． 故选：B． 题型4 y=a（x-h）2+k的函数图像 【例4】（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 【对点练4-1】（25-26八年级下·北京·期末）抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次函数顶点式的顶点坐标为． 【详解】解：抛物线顶点坐标为． 【对点练4-2】（2026·广西钦州·二模）二次函数图象的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据顶点式的对称轴为直线，即可直接得出结果． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线． 【对点练4-3】（2026·辽宁鞍山·二模）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线顶点式的顶点坐标为，直接根据解析式即可求出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 【对点练4-4】（25-26八年级下·北京·阶段检测）二次函数的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数符合顶点式的形式， ∴二次函数的顶点坐标为． 题型5 y=ax2+bx+c的函数图像 【例5】（26-27九年级·上海·暑假作业）当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将代入，得 【对点练5-1】（2022·辽宁沈阳·模拟预测）抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，再根据顶点式的性质直接得到顶点坐标． 【详解】解： ∴该抛物线的顶点坐标为． 【对点练5-2】（25-26九年级下·安徽亳州·期中）二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴，，． 根据二次函数顶点坐标公式，可得： ，． ∴二次函数的顶点坐标为． 【对点练5-3】（2026·河南周口·二模）开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用待定系数法求解函数表达式以及将抛物线表达式化为顶点式，能够熟练运用待定系数法和配方法是解题的关键． 根据待定系数法求出解析式即可求解． 【详解】解：将点，代入得， ， 解得， 则， 故顶点坐标为． 【对点练5-4】（25-26九年级下·全国·暑假作业）通过配方，写出函数的顶点式，并写出其开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 【答案】，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 【对点练5-5】（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【分析】将代入计算即可． 【详解】解：将代入，得． 题型6 函数图像的绘制 【例6】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值，并写出对称轴和顶点坐标； (2)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【答案】(1)，对称轴为轴，顶点坐标为 (2) 【分析】（）根据二次函数的定义和性质可求出的值，进而由解析式可求出对称轴和顶点坐标； （）列表、描点、连线，画出函数图象，再根据图象求出的范围即可； 本题考查了二次函数的定义和性质，画二次函数图象，根据函数图象求函数的取值范围，正确画出函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， 解得或， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴，顶点坐标为； （2）解：列表如下： 画函数图象如下： 由函数图象可得，当时，的范围为， 故答案为：． 【对点练6-1】（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）在一个平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表、描点、连线： x … 0 1 … y (2)观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】(1)填表、作图见详解 (2)填表见详解 【分析】本题主要考查二次函数作图， （1）把的值代入解析式求解，可得表格数据，在平面直角坐标系中根据的值描点，连线即可求解； （2）根据图示信息即可求解． 【详解】（1）解：代入计算得， 描点，连线如图所示， （2）解：根据图示可得， 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 【对点练6-2】（20-21九年级上·江苏淮安·期中）已知抛物线 （1）该抛物线开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， （2）在直角坐标系中画出的图象． 解：①列表：             … … … … ②描点、连线：    【答案】（1）向下， x=2， (2,3)； （2） 见解析． 【分析】（1）由二次函数的顶点式，根据二次函数的性质解决问题； （2）利用列表，描点，连线作出图形即可． 【详解】解：（1）因为抛物线为，所以该抛物线开口向向下，对称轴是x=2，顶点坐标是(2,3)；   （2） ①列表： … 0 1 2 3 4 … … -1 2 3 2 -1 … ②  描点、连线：    【点睛】本题考查了二次函数的顶点式及二次函数图象的画法，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【对点练6-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图象． （1）从两个函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出这两个函数图象的相同点与不同点． （2）从其他方面说出这两个函数的相同点与不同点． 【答案】图见解析；（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键． （1）根据二次函数的图象解答即可； （2）从开口大小和增减性两个方面作答即可． 【详解】解：如图． （1）相同点：形状都是抛物线，对称轴都是y轴． 不同点：的图象开口向上，顶点坐标是，的图象开口向下，顶点坐标是． （2）相同点：图象开口大小相同． 不同点：对于，当时，随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； 对于，当时y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【对点练6-4】（25-26九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，，，． (1)写出A，B两点分别关于y轴的对称点，的坐标． (2)画出以O为顶点并过A和B两点的抛物线图象． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称，二次函数的性质、画二次函数的图象，掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据点关于y轴对称的点的坐标特征“纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解即可； （2）根据二次函数的对称性描点画图即可． 【详解】（1）解：∵A，B两点分别关于y轴的对称点为，，，， ∴，； （2）解：∵抛物线以O为顶点并过A和B两点， ∴该抛物线关于y轴对称，并经过，两点， 在平面直角坐标系中描点、连线可得抛物线，如图所示： 题型7 二次函数的顶点式与一般式转化 【例7】（25-26九年级下·黑龙江·期中）将二次函数化为的形式，结果为_____． 【答案】 【分析】先提取二次项系数，再利用完全平方公式配方即可得到结果. 【详解】解： ， 即. 【对点练7-1】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【分析】将抛物线的一般式通过配方法转化为顶点式，即可得到顶点坐标，也可利用顶点坐标公式求解． 【详解】解： 抛物线顶点坐标为． 【对点练7-2】（25-26八年级下·山东济南·期末）用配方法把二次函数化成的形式． 【答案】 【详解】解： ． 题型8 二次函数的对称轴与顶点坐标 【例8】（23-24九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象的开口方向、顶点坐标分别是（    ） A．开口向上，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为 C．开口向上，顶点坐标为 D．开口向下，顶点坐标为 【答案】D 【分析】把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴二次函数的图象的开口向下，顶点坐标是， 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【对点练8-1】（25-26九年级上·新疆伊犁·期末）抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标 C．开口向上，顶点坐标 D．开口向下，顶点坐标 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的开口方向和顶点坐标的确定，关键是把函数解析式顶点式的识别.根据二次函数顶点式的性质， 的符号决定开口方向，顶点坐标为 ． 【详解】解：∵中 ， ∴开口向上； 又∵， ∴顶点坐标为 ， 故选 ：C． 【对点练8-2】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）对于抛物线的开口方向、对称轴和顶点表述正确的是（    ） A．开口向上，对称轴是，顶点是 B．开口向下，对称轴是，顶点是 C．开口向上，对称轴是，顶点是 D．开口向下，对称轴是，顶点是 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式 的性质，判断开口方向，对称轴和顶点坐标即可． 【详解】解：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 故选B． 【对点练8-3】（25-26九年级上·江西上饶·期中）抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（   ） A．开口向上，对称轴是直线，顶点是 B．开口向上，对称轴是直线，顶点是 C．开口向上，对称轴是直线，顶点是 D．开口向下，对称轴是直线，顶点是 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数的开口方向由a的正负决定、对称轴为，顶点坐标． 直接根据二次函数的顶点式的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴ 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 故选：B． 【对点练8-4】（专题22.11二次函数y）已知二次函数，求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，小明的计算过程如下： ……① ……② ……③ ∴顶点坐标是……④ (1)请你帮他检查一下，在标出①②③④的几个步骤中开始出现错误的是第______步； (2)请你改正小明的过程，写出本题的正确求顶点的计算过程，并写出顶点坐标； (3)我们知道的顶点坐标为，请你利用公式求出二次函数的顶点坐标． 【答案】(1)① (2)过程见解析，顶点坐标 (3) 【分析】（1）根据配方法将二次函数解析式化为顶点式可得第①步出现错误； （2）将二次函数解析式化为顶点式求解； （3）利用顶点坐标公式解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴开始出现错误的是第①步； 故答案为：① （2）解： ； ∴顶点坐标为； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴顶点坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数一般式与顶点式的转化和顶点坐标公式． 基础通关 1．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 2．（2026·广西百色·三模）二次函数的图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为，求出该二次函数的顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，可变形为，符合顶点式的形式， ∴该二次函数图象的顶点坐标为， ∵顶点横坐标，纵坐标，符合第二象限内点的坐标特点， ∴顶点在第二象限． 3．（2026·江苏泰州·二模）下列函数中，其图像不经过第二象限，且与x轴有且只有一个公共点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需结合函数性质，根据两个要求逐一筛选：①图像不经过第二象限；②与轴有且只有一个公共点，即可得到答案． 【详解】解：选项A．：∵该一次函数与轴只有一个交点，满足条件②；当时，，存在的点，图像经过第二象限，不满足条件①，排除A； 选项B．：∵该二次函数是顶点式，顶点为，顶点在轴上，因此与轴有且只有一个公共点，满足条件②；又∵对任意，，可得，因此图像不经过第二象限，满足条件①，符合要求； 选项C．：∵顶点为，与轴只有一个交点，满足条件②；当时，，存在的点，图像经过第二象限，不满足条件①，排除C； 选项D．：∵反比例函数的图像与轴没有交点，不满足条件②，排除D． 4．（24-25九年级上·山西朔州·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数顶点式的顶点坐标为，直接求出结果即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）小明同学在将抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴ 抛物线顶点坐标为． 6．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据顶点式得到顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：可写为， 该二次函数图象的顶点坐标为， 顶点横坐标，纵坐标， 顶点在第二象限． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 8．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数a决定，形状与开口方向相同的抛物线二次项系数a相同，再将顶点坐标代入解析式即可求出c． 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同， ∴， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴将，代入解析式得： ， ∴． 9．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．最高点的纵坐标是2 【答案】D 【分析】根据顶点式的性质，依次判断开口方向，对称轴，顶点坐标和最值即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为，属于顶点式，其中，，， ∴，开口向上，A选项说法正确； 对称轴为直线，B选项说法正确； 顶点坐标为，C选项说法正确； ∵，抛物线开口向上，∴顶点是图象的最低点，最低点的纵坐标为，函数有最小值，不存在最高点，因此D选项说法错误． 10．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)解：图象如下图所示： (2)解：函数：开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 函数：开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）由函数解析式列表描点作图即可． （2）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）由函数解析式，列表可得 描点、连线、画出这两个函数的图象，如下图所示： （2）略 11．（25-26九年级下·全国·课后作业）不画图象，说出抛物线和的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】 抛物线开口向下，对称轴为直线（y轴），顶点坐标为；抛物线开口向上，对称轴为直线（y轴），顶点坐标为． 【详解】解：抛物线中， ， 抛物线开口向下，对称轴是直线（轴），顶点坐标为； 抛物线中， ， 抛物线开口向上，对称轴是直线（轴），顶点坐标为． 12．（25-26九年级下·湖北黄石·阶段检测）写出一个开口向下，顶点坐标为的二次函数解析式，其顶点式可以表示为__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由二次函数的顶点式为，其中 为顶点坐标． ∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴二次函数的解析式为， ∵开口向下， ∴， 二次函数的解析式为（答案不唯一）． 13．（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的顶点坐标是 ____． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式的性质，直接可得顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式为， ∴顶点坐标为． 素养提升 1．（19-20九年级上·上海闵行·期末）k为任意实数，抛物线的顶点总在（） A．直线上 B．直线上 C．x轴上 D．y轴上 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数顶点的求法和一次函数的性质是解题的关键． 求出抛物线的顶点为，可以得到顶点在直线上． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， ∵为任意实数， ∴顶点坐标满足， ∴顶点总在直线上． 故选：B 2．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键． 将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值，然后得到表达式为，然后求出与的值进而求解即可． 【详解】解：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴（负值舍去） ∴表达式为， ∵把直线向上平移个单位，得到直线 ∴把代入中得，， ∴ ∴ 把代入得，， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）对于抛物线，下列说法正确的是() A．可由抛物线向左平移个单位长度得到 B．顶点坐标是 C．与轴无交点 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线顶点式性质，分析顶点坐标、开口方向、平移关系及与x轴交点情况． 【详解】解：∵抛物线为， ∴顶点坐标为，，开口向上． 对于A：向左平移个单位得，与给定抛物线不符，∴A错误． 对于B：顶点为，不是，∴B错误． 对于C：令，得，，方程有两个实数根，∴与x轴有交点，C错误． 对于D：∵开口向上，对称轴，∴当时，随的增大而增大，∴D正确． 故选：D． 4．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性逐一排除即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 、开口向下，原选项错误，不符合题意； 、由于，则当时，的值随值的增大而减小，原选项正确，符合题意； 、对称轴为，原选项错误，不符合题意； 、顶点坐标为，原选项错误，不符合题意； 故选 ：． 5．（25-26九年级上·云南昭通·期中）嘉嘉绘制抛物线时，将“”看成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．对称轴 C．开口大小 D．与轴的交点 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 通过比较原函数和错误函数的二次项系数、对称轴、开口大小及与轴交点，判断发生改变的性质． 【详解】解：依题意得：原函数为，错误函数为 A、原函数的开口向下，错误函数为开口向上，开口方向发生改变，故此选项符合题意； B、原函数与错误函数的对称轴均为轴，对称轴不变，故此选项不符合题意； C、原函数与错误函数的对称轴均由决定，开口大小不变，故此选项不符合题意； D、原函数与错误函数与轴的交点均为，与轴的交点不变，故此选项不符合题意． 故选 ：A． 6．（25-26九年级上·青海西宁·期中）已知四个二次函数的图像如图所示，那么，，，的大小关系是________．（请用“”连接排序） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次项系数与图像的关系是解题的关键． 直接利用二次函数的图像开口大小与a的关系即可得出答案． 【详解】解：根据图像可知的图像和的图像的开口向上，且的图像的开口小于的图像的开口， 则． 根据图像可知的图像和的图像的开口向下，且的图像的开口大于的图像的开口， 则． ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知抛物线（为常数）的顶点在直线上，求抛物线的函数表达式． 【答案】． 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的性质，根据题意，抛物线的顶点坐标为，把代入，求出的值即可，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，抛物线的顶点坐标为， 将代入， 得，解得， ∴抛物线的函数表达式为． 8．（25-26九年级下·全国·课堂例题）在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 【答案】(1)图见解析；二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． (2)，低． (3)，，大，0． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确作出二次函数的图象是解题关键． （1）先在网格内画出两个二次函数的图象，然后再根据图象即可知开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）根据函数的图象解答即可； （3）根据函数的图象解答即可． 【详解】（1）解：图象如图： 由图可得：二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：抛物线，当时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最低点． 故答案为：，低． （3）解：函数，对于一切的值，总有函数；当时，有最大值是0． 故答案为：，，大，0． 迁移创新 1．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是____________； (2)①列表：如表是x，y的几组对应值，其中____________，____________； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； (3)请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为____________． (4)若点，均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是____________． 【答案】(1)全体实数 (2)①，；②图象见详解；③图象见详解 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据函数解析式可直接进行求解； （2）把或代入函数解析式进行求解即可；②根据描点可进行作图；③根据描点、连线可进行作图； （3）根据函数图象可直接进行求解； （4）由图象易得点A、B在之间的函数图象上，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由可知：自变量为全体实数； 故答案为全体实数； （2）解：①当时，则有； 当时，则有； 故答案为，； ②所描点，如图所示； ③所作函数图象如图所示： （3）解：由（2）中函数图象可知：当y随x的增大而增大时，x的取值范围为或； 故答案为或； （4）解：∵点，均在该函数图象上，且， ∴根据（2）中函数图象可知：点A、B在之间的函数图象上， 由图象可知在之间的函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大， ∴当时，p与q的大小关系是； 故答案为． 2．（25-26九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，若满足，则称，两点互为“倍点”． (1)已知直线上的点是点的“2倍点”， ①若点在轴上，求点的横坐标． ②若点在抛物线上，求点的坐标． (2)已知，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”，求的值． 【答案】(1)①；②点的坐标或 (2)2或  − 14 【分析】本题考查解一元一次方程，二次函数性质，解一元二次方程，根的判别式等． （1）①设，点，根据题意列式计算即可求出本题答案；②设点，列式，整理得，解出即可； （2）设点，再列式，利用根的判别式即可求出本题答案． 【详解】（1）解：①∵直线上的点是点的“2倍点”， ∴设，点， ，解得：， ②∵点在抛物线上， ∴设点，，即，解得，． 点的坐标或； （2）解：∵，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”， ∴设点， 有唯一解， 即， ，解得，． 即的值为2或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数 1.2 二次函数图像 课标要点 会用列表、描点、连线画出各类二次函数抛物线，规范画草图； 识别图像为抛物线，由a判断开口方向、宽窄； 掌握y=ax2平移得到顶点式图像，理解平移只改位置、不改形状； 会配方将一般式转顶点式，由顶点式确定图像顶点； 看懂c对应图像与y轴交点坐标； 建立图像上点与解析式的对应关系，能由图像定点求参数。。 学习重难点 重点： 描点法画抛物线； a对图像开口、宽窄的影响； 二次函数图像平移规律； 配方求图像顶点； c对应图像与y轴交点。 难点： 图像左右平移符号易混淆； 配方符号出错导致顶点定位错误； 区分图像形状与平移位置； 结合图像开口、交点反向判断a、c； 规范画出含顶点、交点的光滑抛物线草图。 知识点1 二次函数的图像 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 随学随练 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）二次函数的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 3．（2025·广东广州·二模）已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 4．（2022·天津南开·模拟预测）顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数图象的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 知识点2 二次函数图像的绘制（重点） ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． 随学随练 1．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 2．（25-26九年级下·全国·单元复习）已知函数，解答下列问题： (1)画出函数的图象； (2)观察图象，说出x取哪些值时，函数的值为0． 3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 4．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知二次函数． (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 拓展1 二次函数图像的平移转化 y=ax²+c（a≠0）与y=ax²（a≠0）的联系 二次函数y=ax²+c的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到.当c < 0 时,向下平移c个单位长度得到. y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²+c（a≠0）之间的关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 一般地,函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象,可以由函数y=ax2的图象先向右(当h>0)或向左(当h<0)平移|h|个单位,再向上(当k>0)或向下(当k<0)平移|k|个单位得到,顶点是(h,k),对称轴是直线 x=h. 平移本质：顶点移动。 平移不改变抛物线的形状（即 a 不变）。 顶点式 y = a(x - h)² + k 的妙用： 顶点坐标为 (h, k)。 对称轴为 x = h。 平移规律 (基于顶点移动)： 左右平移： h 控制。左加右减 于 x。 向左平移 m 个单位 ➔ 新顶点横坐标 h - m ➔ 新函数：y = a[x - (h - m)]² + k = a(x - h + m)² + k 向右平移 m 个单位 ➔ 新顶点横坐标 h + m ➔ 新函数：y = a[x - (h + m)]² + k = a(x - h - m)² + k 上下平移： k 控制。上加下减。 向上平移 n 个单位 ➔ 新顶点纵坐标 k + n ➔ 新函数：y = a(x - h)² + (k + n) 向下平移 n 个单位 ➔ 新顶点纵坐标 k - n ➔ 新函数：y = a(x - h)² + (k - n) 解题关键： 先找到顶点式或求出顶点坐标。 平移时紧紧抓住顶点的变化。对于标准式 y = ax² + bx + c，可以先配方法或直接用顶点公式求出顶点坐标 (h, k)，再应用平移规律。 活学活用 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，平移后的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）将抛物线向左平移4个单位，再向下平移3个单位，那么得到的抛物线的解析式为______． 5．（2026·宁夏吴忠·三模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 题型1 y=ax2的函数图像 【例1】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【对点练1-1】（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【对点练1-2】（25-26九年级下·全国·暑假作业）与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 【对点练1-3】（25-26九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【对点练1-4】（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 题型2 y=ax2+k的函数图像 【例2】（26-27九年级·上海·暑假作业）当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【对点练2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，已知抛物线，则顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【对点练2-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【对点练2-3】（25-26九年级上·广东中山·阶段检测）抛物线的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________． 【对点练2-4】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点在函数的图象上，则_______． 题型3 y=a（x-h）2的函数图像 【例3】（2026·福建厦门·三模）已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【对点练3-1】（19-20八年级下·湖南长沙·期末）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【对点练3-2】（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【对点练3-3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 【对点练3-4】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）抛物线的对称轴是（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 题型4 y=a（x-h）2+k的函数图像 【例4】（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【对点练4-1】（25-26八年级下·北京·期末）抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【对点练4-2】（2026·广西钦州·二模）二次函数图象的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【对点练4-3】（2026·辽宁鞍山·二模）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【对点练4-4】（25-26八年级下·北京·阶段检测）二次函数的顶点坐标为________． 题型5 y=ax2+bx+c的函数图像 【例5】（26-27九年级·上海·暑假作业）当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【对点练5-1】（2022·辽宁沈阳·模拟预测）抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【对点练5-2】（25-26九年级下·安徽亳州·期中）二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【对点练5-3】（2026·河南周口·二模）开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【对点练5-4】（25-26九年级下·全国·暑假作业）通过配方，写出函数的顶点式，并写出其开口方向、对称轴和顶点坐标． 【对点练5-5】（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 题型6 函数图像的绘制 【例6】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值，并写出对称轴和顶点坐标； (2)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【对点练6-1】（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）在一个平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表、描点、连线： x … 0 1 … y (2)观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 【对点练6-2】（20-21九年级上·江苏淮安·期中）已知抛物线 （1）该抛物线开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， （2）在直角坐标系中画出的图象． 解：①列表：             … … … … ②描点、连线：    【对点练6-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图象． （1）从两个函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出这两个函数图象的相同点与不同点． （2）从其他方面说出这两个函数的相同点与不同点． 【对点练6-4】（25-26九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，，，． (1)写出A，B两点分别关于y轴的对称点，的坐标． (2)画出以O为顶点并过A和B两点的抛物线图象． 题型7 二次函数的顶点式与一般式转化 【例7】（25-26九年级下·黑龙江·期中）将二次函数化为的形式，结果为_____． 【对点练7-1】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）抛物线的顶点坐标是__________． 【对点练7-2】（25-26八年级下·山东济南·期末）用配方法把二次函数化成的形式． 题型8 二次函数的对称轴与顶点坐标 【例8】（23-24九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象的开口方向、顶点坐标分别是（    ） A．开口向上，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为 C．开口向上，顶点坐标为 D．开口向下，顶点坐标为 【对点练8-1】（25-26九年级上·新疆伊犁·期末）抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标 C．开口向上，顶点坐标 D．开口向下，顶点坐标 【对点练8-2】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）对于抛物线的开口方向、对称轴和顶点表述正确的是（    ） A．开口向上，对称轴是，顶点是 B．开口向下，对称轴是，顶点是 C．开口向上，对称轴是，顶点是 D．开口向下，对称轴是，顶点是 【对点练8-3】（25-26九年级上·江西上饶·期中）抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（   ） A．开口向上，对称轴是直线，顶点是 B．开口向上，对称轴是直线，顶点是 C．开口向上，对称轴是直线，顶点是 D．开口向下，对称轴是直线，顶点是 【对点练8-4】（专题22.11二次函数y）已知二次函数，求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，小明的计算过程如下： ……① ……② ……③ ∴顶点坐标是……④ (1)请你帮他检查一下，在标出①②③④的几个步骤中开始出现错误的是第______步； (2)请你改正小明的过程，写出本题的正确求顶点的计算过程，并写出顶点坐标； (3)我们知道的顶点坐标为，请你利用公式求出二次函数的顶点坐标． 基础通关 1．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 2．（2026·广西百色·三模）二次函数的图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2026·江苏泰州·二模）下列函数中，其图像不经过第二象限，且与x轴有且只有一个公共点的是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西朔州·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）小明同学在将抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 9．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．最高点的纵坐标是2 10．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 11．（25-26九年级下·全国·课后作业）不画图象，说出抛物线和的开口方向、对称轴和顶点坐标． 12．（25-26九年级下·湖北黄石·阶段检测）写出一个开口向下，顶点坐标为的二次函数解析式，其顶点式可以表示为__________． 13．（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的顶点坐标是 ____． 素养提升 1．（19-20九年级上·上海闵行·期末）k为任意实数，抛物线的顶点总在（） A．直线上 B．直线上 C．x轴上 D．y轴上 2．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 3．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）对于抛物线，下列说法正确的是() A．可由抛物线向左平移个单位长度得到 B．顶点坐标是 C．与轴无交点 D．当时，随的增大而增大 4．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 5．（25-26九年级上·云南昭通·期中）嘉嘉绘制抛物线时，将“”看成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．对称轴 C．开口大小 D．与轴的交点 6．（25-26九年级上·青海西宁·期中）已知四个二次函数的图像如图所示，那么，，，的大小关系是________．（请用“”连接排序） 7．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知抛物线（为常数）的顶点在直线上，求抛物线的函数表达式． 8．（25-26九年级下·全国·课堂例题）在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 迁移创新 1．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是____________； (2)①列表：如表是x，y的几组对应值，其中____________，____________； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； (3)请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为____________． (4)若点，均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是____________． 2．（25-26九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，若满足，则称，两点互为“倍点”． (1)已知直线上的点是点的“2倍点”， ①若点在轴上，求点的横坐标． ②若点在抛物线上，求点的坐标． (2)已知，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $