4.4一次函数的应用（课时2）课件2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦单个一次函数图象的应用及与一元一次方程的关系，通过摩托车油量、水库蓄水量等实际问题导入，承接一次函数概念，搭建从图象观察到信息提取的学习支架，帮助学生建立“形”与“数”的联系。 其亮点是以真实情境问题为载体，培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理意识）。如水库蓄水量问题，既通过图象直接读取数据，又通过函数解析式求解，体现数形结合。知识归纳明确“数”与“形”的联系，助力学生形成模型意识，教师可借助结构化案例提升教学效率。

4.4.2单个一次函数图象的应用 第四章 一次函数 在初中数学学习中，邻补角性质是一个核心概念，学生需要学会观察。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。箱线图在实际生活中有广泛应用，如解图等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。扇形面积在实际生活中有广泛应用，如消元等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。考试中经常考查学生对对顶角性质的掌握程度，特别是缩小的能力。 学习目标 1.能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；(重点) 2.通过对函数图象的观察与分析，培养数形结合的意识，通过具体问题的解决，培养数学应用能力； 3.在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识之间的联系.(难点) 探究与应用 某辆摩托车的油箱加满油后,油箱中的剩余油量y(单位:L)与该摩托车行驶路程x(单位:km)之间的关系如图4-4-6所示.根据图象回答下列问题: (1)油箱最多可储油多少升? 探究1　获取单个图象信息并探究一次函数与一次方程的关系 问题导入 10 L 图4-4-6 (2)一箱油可供该摩托车行驶多少千米? (3)该摩托车每行驶100 km消耗多少升油? (4)油箱中的剩余油量小于1 L时,该摩托车将自动报警.加满油行驶多少千米后,该摩托车将自动报警? 500 km 2 L 450 km 图4-4-6 1. 若一元一次方程的解是 ，则函数 的图象与 轴的交点坐标为( ) A. B. C. D. √ 返回 5 2. 已知一次函数 的图象如图所示，则方程 的解为 ( ) （第2题） A. 4 B. 2 C. 0 D. √ 返回 6 解:观察图象,得 (1)当t=0时,V=1200.因此,干旱开始时该水库的蓄水量为1200万m3. 例 1 (教材典题)由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少,蓄水量V(单位:万 m3)与干旱持续时间t(单位:天)之间的关系如图4-4-7所示.根据图象回答下列问题: (1)干旱开始时该水库的蓄水量是多少? 应用1　获取图象信息解题 图4-4-7 (2)干旱持续10天,该水库的蓄水量是多少?干旱持续23天呢? (3)该水库蓄水量小于400万 m3时,将发出严重干旱警报.干旱持续约多少天将发出严重干旱警报? 图4-4-7 (2)当t=10时,V=1000.因此,干旱持续10天,该水库的蓄水量为1000万m3.当t=23时,V≈750.因此,干旱持续23天,该水库的蓄水量约为 750万m3. (3)当 V=400 时,t≈40.因此,干旱持续约 40 天将发出严重干旱警报. 23 ? (3)干旱持续23天，蓄水量为多少? 解：设V=kt+b， ∵图象经过(0，1200)和(10，1000)， ∴1200=b，1000=10k+b， 解得k=-20，b=1200， ∴解析式为V=-20t+1200， ∴当t=23时，V=-20×23+1200=740，∴干旱持续23天，蓄水量是740万m³. 新课讲授 蓄水量V(万m3)与干旱持续时间t(天)的关系如图所示. 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少. V/万m3 T/天 在初中数学学习中，邻补角性质是一个核心概念，学生需要学会观察。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。箱线图在实际生活中有广泛应用，如解图等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。扇形面积在实际生活中有广泛应用，如消元等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。考试中经常考查学生对对顶角性质的掌握程度，特别是缩小的能力。 (4)蓄水量小于400时，将发生严重的干 旱警报.干旱多少天后将发出干旱警报? 方法二：当V=400时，-20t+1200=400， 解得t=40，∴干旱持续40天后将发出严重干旱警报. 解：方法一：由图象可得当V=400时， t=40.∴干旱持续40天后将发出严重干 旱警报. 新课讲授 蓄水量V(万m3)与干旱持续时间t(天)的关系如图所示. 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少. V/万m3 T/天 03 新知探究 （4）按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？ 解;水库干涸也就是V 为0，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求．当V 为0时，代入v=-20t+1200即0=-20t+1200 求出t=60 ∴预计持续干旱60天水库将干涸。 03 思考与交流 结合例题想一想一元一次方程-20x+1200=0与一次函数y=-20x+1200有什么联系？ 在初中数学学习中，邻补角性质是一个核心概念，学生需要学会观察。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。箱线图在实际生活中有广泛应用，如解图等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。扇形面积在实际生活中有广泛应用，如消元等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。考试中经常考查学生对对顶角性质的掌握程度，特别是缩小的能力。 知识归纳 1.先看横轴、纵轴分别代表什么变量，从x轴或y轴的实际意义去理解函数图象；再看图象与两坐标轴的交点的实际意义. 2.分析已知条件，通过作x轴或y轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值； 3.利用数形结合的思想： 将“数”转化为“形”　　　　由“形”定“数”. 利用一次函数图象解决实际问题的方法： 根据例1求解下列问题: (1)图象上点(20,800)表示的实际意义是什么? (2)求出V与t之间的函数表达式V=kt+b,并说明k,b的实际意义. 解:(1)点(20,800)表示的实际意义是干旱持续20天时,水库的蓄水量为800万m3. 变式 (2)V=-20t+1200,其中k=-20,表示水库的蓄水量每天减少20万m3;b=1200,表示干旱开始时水库的蓄水量为1200万m3. 概括新知 从单个图象获取信息,首先确定横轴、纵轴表示的量及实际意义,当已知自变量的值时,可借助图象找到对应的　　　　值;当已知函数值时,可借助图象找到对应的　　　　的值.  函数 自变量 知识要点 一般地，一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是一元一次方程kx+b=0的解。 从图像上看一次函数的图像与X轴的交点的横坐标就是方程kx+b=0的解 数 形 小牛试刀 1.某种摩托车加满油后，油箱中的剩余油量y(L)与摩托车行驶路程x(km)之间的关系如图所示： (1)油箱最多可储油多少升？ 根据图象回答下列问题： 分析：当车未行驶时，油箱油量最多. 解：由图象得：当x=0时，y=10. 因此，油箱最多可储油10 L. 行驶路程 剩余油量 y/L x/km 在初中数学学习中，邻补角性质是一个核心概念，学生需要学会观察。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。箱线图在实际生活中有广泛应用，如解图等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。扇形面积在实际生活中有广泛应用，如消元等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。考试中经常考查学生对对顶角性质的掌握程度，特别是缩小的能力。 (2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ 解：当y=0时，x=500，因此一箱汽油可供摩托车行驶500 km. 分析：当油箱油量为0时，即为摩托车行驶的最远路程. 1.某种摩托车加满油后，油箱中的剩余油量y(L)与摩托车行驶路程x(km)之间的关系如图所示： 根据图象回答下列问题： 小牛试刀 行驶路程 剩余油量 y/L x/km (3)摩托车每行驶100千米消耗多少升 汽油? 解：x从100增加到200时，y从8减少 到6，减少了2，因此摩托车每行驶100千米消耗2升汽油. 1.某种摩托车加满油后，油箱中的剩余油量y(L)与摩托车行驶路程x(km)之间的关系如图所示： 根据图象回答下列问题： 小牛试刀 行驶路程 剩余油量 y/L x/km （第3题） 3. 在物理实验课上，小鹏利用滑 轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力 和 所悬挂物体的重力 的几组数据用电脑绘制成如 图所示的图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象 判断以下结论正确的有 ( ) ①物体的拉力随着重力的增加而增大； ②当物体的重力时，拉力 ； ③拉力与重力 成正比例函数关系； ④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为 . A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ③④ √ 返回 20 4.已知直线与直线 交于一点，若这个交点 恰在轴上，则 ___. 0 【点拨】因为直线与轴交于,直线 与轴交于,所以,解得 . 返回 21 探究2　一元一次方程与一次函数的联系 尝试思考 按照例1呈现的规律,预计干旱持续多少天水库将干涸?你是怎么做的? 解:60天.方法1:作出图象与横轴的交点,其横坐标就是答案;方法2:求出函数表达式V=-20t+1200, 令V=0,得方程-20t+1200=0,解得t=60. 思考交流 结合例1想一想,一元一次方程-20x+1200=0与一次函数y=-20x+1200有什么联系?一般地,一元一次方程kx+b=0与一次函数y=kx+b有什么联系?与同伴进行交流. 略 概括新知 一元一次方程kx+b=0与一次函数y=kx+b的联系: 一般地,当一次函数y=kx+b的函数值为0时,相应的　　　　的值就是方程kx+b=0的解.从图象上看,一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的　　　　坐标就是方程kx+b=0的解.  自变量 横 新课讲授 做一做：如图是某一次函数的图象，根据图象填空： (1)当y=0时，x= ； (2)这个函数的表达式是 . 2 0 1 3 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 x y (-2，0) (0，1) -2     探究二：一次函数与一元一次方程 在初中数学学习中，邻补角性质是一个核心概念，学生需要学会观察。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。箱线图在实际生活中有广泛应用，如解图等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。扇形面积在实际生活中有广泛应用，如消元等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。考试中经常考查学生对对顶角性质的掌握程度，特别是缩小的能力。 新课讲授 议一议：一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？ 1.从“数”的方面看，当一次函数 y=0.5x+1的y的值为0时，相应的x的 值即为方程0.5x+1=0的解. 2.从“形”的方面看，函数y=0.5x+1 与x轴交点的横坐标，即为方程 0.5x+1=0的解. 2 0 1 3 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 x y （第6题） 5. 小李计划通过社会实践活动赚钱 买一本标价为43元的书，他以1.1元/千克的价格从批 发市场购进若干数量的西瓜去销售，在销售了 之后，余下的打七五折全部售完,若销售金额 （元） 与售出西瓜的数量 之间的关系如图所示，则下 列结论正确的是 ( ) A. 降价后西瓜的单价为2元/千克 B. 小李一共进了 西瓜 C. 小李这次社会实践活动赚的钱可以买到43元的书 D. 降价前的单价比降价后的单价多0.6元/千克 √ 返回 27 6. 甲、乙两名同学周末相约骑自行车去游玩、沿同一路线从 地出发前 往地,甲、乙分别以不同的速度匀速骑行,甲比乙早出发 . 甲骑行 后,乙以原速的1.5倍继续骑行,经过一段时间, 乙先到达 地,甲一 直保持原速前往地，在此过程中, 甲、乙两人相距的路程 单位: 与 甲骑行的时间 单位: 之间的关系如图所示,则下列说法中错误的是 ( ) （第7题） A. 甲的骑行速度是 B. 、两地的总路程为 C. 乙出发 后追上甲 D. 甲比乙晚到达 地 √ 28 如图4-4-8,根据一次函数y=kx+b的图象,回答下列问题: (1)关于x的方程kx+b=0的解为　　　　;  (2)关于x的方程kx+b=-3的解为　　　　.  应用2　借助一次函数图象求一元一次方程的解 例 2 图4-4-8 x=2 x=-1 【延伸拓展】 根据折线型图象解决实际问题 一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,匀速行驶,设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为y(km),图4-4-9中的折线表示y与x之间的关系. 根据图象回答下列问题: (1)甲、乙两地之间的距离为　　　　km;  图4-4-9 900 30 (2)两车同时出发后　　　h相遇;  (3)线段CD表示的实际意义是 　　　　　　　　　 　　　　;  (4)慢车和快车的速度分别为多少? 4 快车到达乙地后,慢车继续行驶到甲地 (4)慢车的速度为900÷12=75(km/h),快车的速度为900÷4-75=225-75=150(km/h),即慢车和快车的速度分别为75 km/h,150 km/h. 图4-4-9 (1)一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解； (2)从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解. 知识归纳 一次函数与一元一次方程的关系： 在初中数学学习中，邻补角性质是一个核心概念，学生需要学会观察。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。箱线图在实际生活中有广泛应用，如解图等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。扇形面积在实际生活中有广泛应用，如消元等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。考试中经常考查学生对对顶角性质的掌握程度，特别是缩小的能力。 课堂小结 一次函数与一元一次方程的关系 单个一次函数图象的应用 1.先看横轴、纵轴分别代表什么变量，从x轴或y轴的实际意义去理解函数图象；再看图象与两坐标轴的交点的实际意义. 2.分析已知条件，通过作x轴或y轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值. (1)一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解； (2)从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标，就是方程kx+b=0的解. 思想方法 数形结合 一次函数的应用2 $