2.2 基本不等式同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦基本不等式，以基础巩固-概念深化-综合应用为分层路径，通过选择、填空、解答题梯度设计，强化从概念辨析到实际应用的知识巩固，适配新授课基础目标与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|基本不等式概念辨析、简单不等关系判断|单选题1-2直接考查定义，如正实数条件下不等关系，培养抽象能力| |概念深化|公式灵活应用、条件最值计算|填空题7-8结合“一正二定三相等”条件，如已知和求积的最大值，发展运算能力| |综合应用|实际问题建模、不等式证明|解答题10以矩形育苗区域为情境，12题证明不等式，体现模型意识与推理能力|

2.2 基本不等式 解析版（基础版） 【人教A版 高中数学必修一】 建议时长：45分钟 一、单选题 1．（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，基本不等式以及作差法，即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A,由于，则，故，进而，A错误， 对于B,由于，则，故，B正确， 对于C, 由于，则，故，C错误， 对于D, ，由于，则，故 ，故，D 错误， 2．（2026·河北·三模）已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用“1”的代换和基本不等式判断即可． 【详解】由a，b为正实数且. 根据基本不等式，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立，故B错误； ，当且仅当时等号成立，故C错误； 根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得， 当且仅当时等号成立，即，故D错误. 3．（2026高三·全国·专题练习）某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为（），这两年的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意建立等式，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意得，因为， 所以， 易知，所以， 因为， 则有， 即，即， 因为，所以， 即，所以， 所以. 4．（25-26高二下·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 6．（25-26高一下·河南信阳·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 2、 填空题 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则、、、中最大的一个是________． 【答案】 【分析】由基本不等式和作差法比较大小，得到答案. 【详解】，，由基本不等式得；； 又因为，， 所以， 故， 所以最大的一个是 故答案为： 8．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若正实数满足，则的最大值为__________． 【答案】/ 【详解】因为均为正实数，所以， 当且仅当，时取等号. 9．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知均为正数，满足，当取最小值时，的值为______． 【答案】/ 【详解】由正数满足，得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当取最小值时，的值为. 三、解答题 10．（25-26高一上·浙江丽水·期末）如图，为创设劳动教育基地，计划用篱笆围一个一边靠墙(墙足够长)的矩形育苗区域，设育苗区域的长为米，宽为米. (1)若育苗区域面积为18平方米，求所用篱笆总长的最小值及此时，的值； (2)若使用的篱笆总长为18米，求育苗区域面积的最大值及此时，的值． 【答案】(1)，时所用篱笆总长最小，最小值为 (2)，时所得育苗区域面积最大，最大值为 【分析】（1）根据育苗区域面积为18平方米，得出的关系式，所用篱笆总长为，利用基本不等式求解即可； （2）根据篱笆总长为18米，得到，利用基本不等式求的最大值. 【详解】（1）由题意知篱笆总长为，因为，所以， 当时取等号，解得，， 即，时所用篱笆总长最小，最小值为米. （2）由题意知，育苗区域面积为，， 当时取等号，解得，， 即，时所得育苗区域面积最大，最大值为平方米. 11．（25-26高一上·新疆塔城·阶段检测）（1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）运用基本不等式进行求解即可； （2）用整体代换，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）因为正数满足， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 12．（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 试卷版（基础版） 【人教A版 高中数学必修一】 建议时长：45分钟 一、单选题 1．（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北·三模）已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为（），这两年的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河南信阳·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2、 填空题 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则、、、中最大的一个是________． 8．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若正实数满足，则的最大值为__________． 9．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知均为正数，满足，当取最小值时，的值为______． 三、解答题 10．（25-26高一上·浙江丽水·期末）如图，为创设劳动教育基地，计划用篱笆围一个一边靠墙(墙足够长)的矩形育苗区域，设育苗区域的长为米，宽为米. (1)若育苗区域面积为18平方米，求所用篱笆总长的最小值及此时，的值； (2)若使用的篱笆总长为18米，求育苗区域面积的最大值及此时，的值． 11．（25-26高一上·新疆塔城·阶段检测）（1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 12．（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $