精品解析：江苏南京市2025-2026学年第二学期期末试卷八年级数学

2025-2026学年第二学期期末试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一．选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义分别对A、B、C、D各选项的二次根式进行判断即可得答案. 【详解】解：A. ，可以化简，不是最简二次根式，故A选项错误. B. ，可以化简，不是最简二次根式，故B选项错误. C. ，可以化简，不是最简二次根式，故C选项错误. D. 的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故D选项正确. 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 在标准大气压下，温度低于时水结冰 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D. 人中至少有人的生日相同 【答案】C 【解析】 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；据此逐一判断即可． 【详解】解：A．标准大气压下，温度低于时水一定结冰，是必然事件，故该选项不符合题意， B．任意三角形的内角和为，不是，故该选项为不可能事件，不符合题意， C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故该选项是随机事件，符合题意， D．一年最多有天，人中至少有人的生日相同，故该选项是必然事件，不符合题意． 3. 下列各式从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为的整式，分式的值不变，然后举反例逐项判断． 【详解】解：A．当，时，，，故该选项不一定正确，不符合题意， B．变形一定正确，故该选项符合题意， C．当，时，，，故该选项不一定正确，不符合题意， D．当，时，，，故该选项不一定正确，不符合题意． 4. 已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，，，再根据比较大小即可． 【详解】解：∵点，，在的图象上， ∴，，． ∵， ∴， 即． 5. 如图，在四边形中，、是对角线上的两点（不与点、重合），且，连接、、、，则下列结论错误的是（ ） A. 若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形 B. 若四边形是菱形，则四边形是菱形 C. 若四边形是矩形，则四边形是矩形 D. 若四边形是正方形，则四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，利用平行四边形对角线互相平分及得出，判定四边形为平行四边形，再结合特殊平行四边形的性质逐项判断． 【详解】解：连接交于点．    ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， 即． ∵，， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意． 若四边形是菱形， ∴，即． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故B不符合题意． 若四边形是矩形， ∴． ∵、是对角线上的两点（不与点、重合）， ∴， 即． ∴四边形不是矩形，故C符合题意． 若四边形是正方形， ∴， 即． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故D不符合题意． 6. 已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（ ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 8. 若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：2． 9. 某批乒乓球的质量检验结果如下表，从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是________．（精确到） 抽取的乒乓球数 次品的频数 次品的频率 【答案】 【解析】 【分析】大量重复试验中，频率稳定后的值可作为概率的估计值，观察表格中试验次数增大后的频率即可得到结果． 【详解】解：由表格数据可知，随着试验次数不断增加，次品的频率逐渐稳定在，则任意抽取一只乒乓球是次品的概率估计值是． 10. 甲、乙两人沿着总长度为的道路匀速行走，甲的速度是乙的倍，甲走完全程比乙少用．设乙的速度为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“甲走完全程比乙少用．”列出方程，即可求解． 【详解】解：设乙的速度为，则甲的速度是，根据题意，可列方程为 ． 11. 如图，已知E、F、G、H分别是矩形四边AB、BC、CD、DA的中点，且四边形EFGH的周长为16cm，则矩形ABCD的对角线长等于________cm． 【答案】8 【解析】 【分析】连接AC、BD，根据矩形的性质可得AC＝BD，根据三角形中位线的性质可得HG＝EFAC，EH＝FGBD，根据四边形EFGH的周长为16cm列式求解即可． 【详解】解：如图，连接AC、BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴HG＝EFAC，EH＝FGBD， ∴四边形EFGH的周长等于HG+EF+EH+FG＝4AC＝16， 则AC＝8cm． 故答案为：8． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的中位线的应用，解题的关键是掌握三角形中位线定理．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 12. 如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角__________°． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形是等腰三角形．由旋转的性质可知，由等腰三角形的性质得出，根据旋转角相等可得． 【详解】解：∵绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：40． 13. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】先求解分式方程得到关于的表达式，再根据解为正数、分式有意义的条件列不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘得 ， 整理得 ， 即， ∵方程的解是正数， ∴， 解得， ∵分式方程分母不为0， ∴，即， 代入得， 解得， 因此的取值范围是且． 14. 如图，在梯形中，，为的中点，过点作，垂足为，，，则梯形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长  交  的延长线于点 ，连接，通过证明  将梯形面积转化为  的面积，利用三角形中线性质及面积公式求解． 【详解】解：延长交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴，  ，， ∴，  ，  是  的中线，  ， ，，， ， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 【答案】 【解析】 【分析】作，连接，根据等腰直角三角形的性质得，再设点，则点，即可求出，，同理，最后根据求出答案． 【详解】解：过点D作，交x轴于点E， ∵等腰直角，， ∴，则点D是的中点． ， ， ∵， ∴． 设点， , ， ∴， ∴，，同理， ∴， 即， 解得． 16. 如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性找到点E关于直线对称的点，过点作的延长线于点，根据两点之间线段最短，当点、、三点共线时，取得最小值，利用平行四边形、矩形、菱形的性质和勾股定理求出的最小值． 【详解】解：过点B作，作点E关于直线对称的点，过点作的延长线于点，交于点． ∵点E和点关于直线对称， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，取得最小值， ∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，，，根据勾股定理得，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， 同理，四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴的最小值为． 三．解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简每一项二次根式，再合并同类项得到结果； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项得到结果． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式4，再应用完全平方公式进行因式分解即可得出答案； （2）应用平方差公式进行求解即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法与公式法进行求解是解决本题的关键． 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ，； （2） 原方程无解. 【解析】 【分析】（1）用配方法变形方程后开方求解； （2）去分母转化为整式方程求解，检验后舍去增根得到结论． 【小问1详解】 解：移项得， 配方得， 即， 开方得， 解得，． 【小问2详解】 解：， 方程变形为． 两边同乘得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得． 检验：当时，． 因此是增根． 所以原方程无解． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化．先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后约分，最后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 某校八年级举行了知识挑战赛．为了解全年级名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将样本数据分为A、B、C、D四个组别，并绘制了下列不完整的统计图表． 各组成绩的频数分布表 组别 成绩分 频数 A B C D 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了 名参赛学生的成绩，表中 ； （2）扇形统计图中，B组对应的圆心角的度数为 °； （3）请估计该校八年级竞赛成绩达到分及以上的学生有多少人？ 【答案】（1） （2） （3）估计该校八年级竞赛成绩达到分及以上的学生人数为人 【解析】 【分析】（1）用D组的频数乘以D组所占的百分比可求出抽取的学生人数，用抽取的学生人数减去其它组的人数可求的值； （2）用乘以B组所占的百分比即可求解； （3）用总人数乘以八年级竞赛成绩达到分及以上的学生人数所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查一共随机抽取的学生数为：（人）， ； 【小问2详解】 解：B组对应的圆心角的度数为：； 【小问3详解】 解：估计该校八年级竞赛成绩达到分及以上的学生人数为： （人）． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． （1）求的值； （2）关于的不等式的解集为 ； （3）若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 【答案】（1）的值为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）联立方程，求出点的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可； （3）直线交轴于点，先求出，设，则，根据，列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ； 【小问2详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得，解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，直线交轴于点， 当时，， 则， 设，则， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，则或， 解得或， 则或． 23. 如图，在中，平分交于点，平分交于点，分别作、的中线、，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，当时，四边形是菱形． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形 平分，平分 ， 在和中 ， ， 、分别是、的中线 、分别是的中点 ， ， ， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）当时，四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，根据角平分线，推导出 ，得到，继而推导出，得到，进而推导出，，则四边形是平行四边形，即可解答； （2）设，则，，推导出当四边形是菱形时，，证明出是等边三角形，得到， ，继而推导出是等边三角形，求出，，得到当时，四边形是菱形，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ， 当四边形是菱形时， ，即， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ∴当时，四边形是菱形． 24. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； （2）的值为，方程的另一个实数根为． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 25. 解决问题： （1）关于分式有这样一个结论：若，且，则．请补全下面小明的证明过程． （2）小红从小明的证明过程中获得启发，尝试解决下列问题： 已知（，），（，），求证：． 证明：设，…请接着完成证明． 【答案】（1），； （2）证明：∵ ∴， ∴， 设，则， ∴左边 ， 右边 ， ∴． 【解析】 【分析】（1）将代入中，化简后可得答案； （2）设，则，求出左边，右边，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 在正方形中，点在边上，点在边上，连接，交于点，． （1）如图①，求证：； （2）如图②，若点是的中点，连接并延长交于点． ①求证：平分； ②若正方形边长为，则 ． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ∵在和中， ， ， ； （2）①证明：如下图所示，过点作垂足为点，垂足为点， 则， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 由（1）可知， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形， 平分； ② 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质可证结论成立； （2）①过点作垂足为点，垂足为点，可证四边形是矩形，由（1）可知，又因为点是的中点，可证，证明，根据全等三角形的性质可证，从而可证四边形是正方形，根据正方形的性质可证结论成立； ②以点为原点建立平面直角坐标系，用待定系数法求出、的解析式，根据解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可以求出的长度，利用即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系， 正方形边长为， ， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 点是的中点， ， 点的坐标是，点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 解方程组， 可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， ． 27. 利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分． （1）如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． （2）古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 【答案】（1）解：，理由如下， ，， ，， ， ，，， ，即和是直角三角形， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 则； （2）证明：如图，分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点， 设，，则，， 设直线的解析式为， ，解得， ， 当时，， 即点在直线上， 轴，轴，轴，轴，轴轴 ， 四边形是矩形， 对角线，相等且互相平分， ， ， 轴， ， ， ，即， ， ， ， 则； （3）解：如图，点，即为线段的三等分点； 过点作轴的垂线，交函数（，）的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上截取，点，即为线段的三等分点． 点，在函数（，）的图象上， ，， ， ， ， ， ， 则点，为线段的三等分点． 【解析】 【分析】（1）先根据垂直的定义和平行线的性质，可得和是直角三角形，再根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，得，最后利用角之间的关系和等量代换，易得，，从而，，进而可得，； （2）分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点，设，，则，，求直线的解析式，可证点在直线上，再证四边形是矩形，从而根据矩形的性质，可证，进而可证，，，，即可求证； （3）根据“过一个点作已知直线的垂线”尺规作图的方法，作轴，交函数的图象于点，作矩形，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，作矩形，根据反比例函数的几何意义，即可得到，在轴上截取，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一．选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 在标准大气压下，温度低于时水结冰 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D. 人中至少有人的生日相同 3. 下列各式从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，、是对角线上的两点（不与点、重合），且，连接、、、，则下列结论错误的是（ ） A. 若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形 B. 若四边形是菱形，则四边形是菱形 C. 若四边形是矩形，则四边形是矩形 D. 若四边形是正方形，则四边形是菱形 6. 已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（ ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 8. 若分式的值为0，则x的值是______． 9. 某批乒乓球的质量检验结果如下表，从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是________．（精确到） 抽取的乒乓球数 次品的频数 次品的频率 10. 甲、乙两人沿着总长度为的道路匀速行走，甲的速度是乙的倍，甲走完全程比乙少用．设乙的速度为，根据题意，可列方程为________． 11. 如图，已知E、F、G、H分别是矩形四边AB、BC、CD、DA的中点，且四边形EFGH的周长为16cm，则矩形ABCD的对角线长等于________cm． 12. 如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角__________°． 13. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是________． 14. 如图，在梯形中，，为的中点，过点作，垂足为，，，则梯形的面积为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 16. 如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为________． 三．解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某校八年级举行了知识挑战赛．为了解全年级名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将样本数据分为A、B、C、D四个组别，并绘制了下列不完整的统计图表． 各组成绩的频数分布表 组别 成绩分 频数 A B C D 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了 名参赛学生的成绩，表中 ； （2）扇形统计图中，B组对应的圆心角的度数为 °； （3）请估计该校八年级竞赛成绩达到分及以上的学生有多少人？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． （1）求的值； （2）关于的不等式的解集为 ； （3）若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 23. 如图，在中，平分交于点，平分交于点，分别作、的中线、，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，当时，四边形是菱形． 24. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 25. 解决问题： （1）关于分式有这样一个结论：若，且，则．请补全下面小明的证明过程． （2）小红从小明的证明过程中获得启发，尝试解决下列问题： 已知（，），（，），求证：． 证明：设，…请接着完成证明． 26. 在正方形中，点在边上，点在边上，连接，交于点，． （1）如图①，求证：； （2）如图②，若点是的中点，连接并延长交于点． ①求证：平分； ②若正方形边长为，则 ． 27. 利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分． （1）如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． （2）古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $